Об одной разностной схеме решения задачи Дирихле для многомерного уравнения диффузии с дробной производной Капуто в области с произвольной границей
Автор: Бештокова Зарьяна Владимировна, Бештоков Мурат Хамидбиевич, Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В настоящей работе исследуется задача Дирихле для уравнения диффузии с дробной производной Капуто в многомерном случае в области с произвольной границей. Вместо исходного уравнения рассматривается уравнение диффузии с дробной производной Капуто с малым параметром. Построена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского, основная суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из вспомогательных задач может не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место. Эти методы были названы методами расщепления. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике в норме C. Доказаны устойчивость локально-одномерной разностной схемы и равномерная сходимость приближенного решения предложенной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи при любых 0
Уравнение конвекции-диффузии, уравнение дробного порядка, дробная производная в смысле капуто, принцип максимума, локально-одномерная схема, устойчивость и сходимость, краевые задачи, априорная оценка
Короткий адрес: https://sciup.org/143179305
IDR: 143179305 | УДК: 519.63 | DOI: 10.46698/v2914-8977-8335-s
On a difference scheme for solution of the Dirichlet problem for diffusion equation with a fractional Caputo derivative in the multidimensional case in a domain with an arbitrary boundary
In this paper, we study the Dirichlet problem for the diffusion equation with a fractional Caputo derivative in the multidimensional case in a domain with an arbitrary boundary. Instead of the original equation, we consider the diffusion equation with a fractional Caputo derivative with a small parameter. A~locally one-dimensional difference scheme of A. A. Samarsky, the main essence of which is to reduce the transition from layer to layer to the sequential solution of a number of one-dimensional problems in each of the coordinate directions. Moreover, each of the auxiliary problems may not approximate the original problem, but in the aggregate and in special norms such an approximation takes place. These methods have been called splitting methods. Using the maximum principle, we obtain an a priori estimate in the uniform metric norm. The stability of the locally one-dimensional difference scheme and the uniform convergence of the approximate solution of the proposed difference scheme to the solution of the original differential problem for any 0
Список литературы Об одной разностной схеме решения задачи Дирихле для многомерного уравнения диффузии с дробной производной Капуто в области с произвольной границей
- Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus.—N. Y.-London: Academic Press, 1974.—234 p.
- Miller K. S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations.— N. Y.: John Wiley and Sons. Inc., 1993.—376 p.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.—М.: Физматлит, 2003.—272 с.
- Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Докл. Адыгск. (Черкесск.) Междунар. АН.—1996.—Т. 2, № 1.—C. 43-45.
- Podlubny I. Fractional Differential Equations.—San-Diego: Academic Press, 1999.—368 p.
- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.—Минск: Наука и техника, 1987.—688 с.
- Кочубей А. Ю. Диффузия дробного порядка // Диф. уравнения.—1990.—Т. 26, № 4.—C. 660-670.
- Мальшаков A. B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией // Инж.-Физ. журн.—1992.—Т. 62, № 3.—C. 405-410.
- Учайкин В. В. Метод дробных производных.—Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008.—512 с.
- Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка.— Ижевск: Ижевский ин-т компьют. исслед., 2011.—568 p.
- Douglas J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc.—1956.—Vol. 82, № 2.—P. 421-439. DOI: 10.1090/s0002-9947-1956-0084194-4.
- Peaceman D. W., Rасhfоrd H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Industr. Appl. Math.—1955.—Vol. 3, № 1.—P. 28-41. DOI: 10.1137/0103003.
- Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.— Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1967.—196 с.
- Самарский А. А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—1962.—Т. 2, № 5.—C. 787-811.
- Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1983.—617 с.
- Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—415 с.
- Марчук Г. И. Методы расщепления.—М.: Наука, 1988.—264 с.
- Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—1962.—Т. 2, № 4.—C. 549-568.
- Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2008.—Т. 48, № 10.— C. 1878-1887.
- Ашабоков Б. А., Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения переноса примесей дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.— 2017.—Т. 57, № 9.—C. 1517-1529. DOI: 10.7868/S0044466917090046.
- Баззаев А. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии с дробной производной по времени в области произвольной формы // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2016.—Т. 56, № 1.—C. 113-123. DOI: 10.7868/S0044466916010063.
- Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема третьей краевой задачи для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Диф. уравнения.—2018.—Т. 54, № 7.—C. 891-901. DOI: 10.1134/S0374064118070051.
- Бештокова З. В., Лафишев М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2018.—Т. 58, № 9.—C. 1531-1542. DOI: 10.31857/S004446690002531-5.
- Бештоков М. Х., Водахова В. A. Нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка // Вестн. Удмурт. ун-та. Мат. Мех. Компьют. науки.—2019.—Т. 29, № 4.—C. 459-482. DOI: 10.20537/vm190401.
- Нахушева Ф. М., Водахова В. А., Кудаева Ф. Х., Абаева З. В. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // Современные проблемы науки и образования.—2015.—№ 2-1.—С. 763.
- Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук.—1957.—Т. 12, № 5 (77).— С. 3-122.
- Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы.—М.: Наука, 1977.—439 с.
- Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Диф. уравнения.—2010.—Т. 46, № 5.—C. 658-664.
