Об одной разностной схеме решения задачи Дирихле для многомерного уравнения диффузии с дробной производной Капуто в области с произвольной границей
Автор: Бештокова Зарьяна Владимировна, Бештоков Мурат Хамидбиевич, Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В настоящей работе исследуется задача Дирихле для уравнения диффузии с дробной производной Капуто в многомерном случае в области с произвольной границей. Вместо исходного уравнения рассматривается уравнение диффузии с дробной производной Капуто с малым параметром. Построена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского, основная суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из вспомогательных задач может не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место. Эти методы были названы методами расщепления. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике в норме C. Доказаны устойчивость локально-одномерной разностной схемы и равномерная сходимость приближенного решения предложенной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи при любых 0
Уравнение конвекции-диффузии, уравнение дробного порядка, дробная производная в смысле капуто, принцип максимума, локально-одномерная схема, устойчивость и сходимость, краевые задачи, априорная оценка
Короткий адрес: https://sciup.org/143179305
IDR: 143179305 | DOI: 10.46698/v2914-8977-8335-s
Список литературы Об одной разностной схеме решения задачи Дирихле для многомерного уравнения диффузии с дробной производной Капуто в области с произвольной границей
- Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus.—N. Y.-London: Academic Press, 1974.—234 p.
- Miller K. S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations.— N. Y.: John Wiley and Sons. Inc., 1993.—376 p.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.—М.: Физматлит, 2003.—272 с.
- Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Докл. Адыгск. (Черкесск.) Междунар. АН.—1996.—Т. 2, № 1.—C. 43-45.
- Podlubny I. Fractional Differential Equations.—San-Diego: Academic Press, 1999.—368 p.
- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.—Минск: Наука и техника, 1987.—688 с.
- Кочубей А. Ю. Диффузия дробного порядка // Диф. уравнения.—1990.—Т. 26, № 4.—C. 660-670.
- Мальшаков A. B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией // Инж.-Физ. журн.—1992.—Т. 62, № 3.—C. 405-410.
- Учайкин В. В. Метод дробных производных.—Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008.—512 с.
- Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка.— Ижевск: Ижевский ин-т компьют. исслед., 2011.—568 p.
- Douglas J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc.—1956.—Vol. 82, № 2.—P. 421-439. DOI: 10.1090/s0002-9947-1956-0084194-4.
- Peaceman D. W., Rасhfоrd H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Industr. Appl. Math.—1955.—Vol. 3, № 1.—P. 28-41. DOI: 10.1137/0103003.
- Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.— Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1967.—196 с.
- Самарский А. А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—1962.—Т. 2, № 5.—C. 787-811.
- Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1983.—617 с.
- Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—415 с.
- Марчук Г. И. Методы расщепления.—М.: Наука, 1988.—264 с.
- Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—1962.—Т. 2, № 4.—C. 549-568.
- Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2008.—Т. 48, № 10.— C. 1878-1887.
- Ашабоков Б. А., Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения переноса примесей дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.— 2017.—Т. 57, № 9.—C. 1517-1529. DOI: 10.7868/S0044466917090046.
- Баззаев А. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии с дробной производной по времени в области произвольной формы // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2016.—Т. 56, № 1.—C. 113-123. DOI: 10.7868/S0044466916010063.
- Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема третьей краевой задачи для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Диф. уравнения.—2018.—Т. 54, № 7.—C. 891-901. DOI: 10.1134/S0374064118070051.
- Бештокова З. В., Лафишев М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2018.—Т. 58, № 9.—C. 1531-1542. DOI: 10.31857/S004446690002531-5.
- Бештоков М. Х., Водахова В. A. Нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка // Вестн. Удмурт. ун-та. Мат. Мех. Компьют. науки.—2019.—Т. 29, № 4.—C. 459-482. DOI: 10.20537/vm190401.
- Нахушева Ф. М., Водахова В. А., Кудаева Ф. Х., Абаева З. В. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // Современные проблемы науки и образования.—2015.—№ 2-1.—С. 763.
- Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук.—1957.—Т. 12, № 5 (77).— С. 3-122.
- Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы.—М.: Наука, 1977.—439 с.
- Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Диф. уравнения.—2010.—Т. 46, № 5.—C. 658-664.
