Об одной теореме о неявных функциях в негладком случае

Хорошо известна, классическая конечномерная теорема, о неявной функции, находящая болвшое количество различных приложений в современной математике. А именно, рассмотрим уравнения вида fi(x, у) = 0, i = 1, 2,... , m, x Е Rn, у E Rm, у — неизвестная, a x — параметр. При условии гладкости функций fi. i = 1,... ,m, ii регулярности доказано существование гладкого решения системы вышеуказанных уравнений. В дальнейшем этот результат развивался в двух направлениях.

Во-первых, рассматривался тот же самый вопрос в бесконечномерных пространствах. Пусть X. Y ii Z — банаховы пространства. Пусть даны отображение F : X х Y ^ Z ii тонки xo Е X. Уо Е Y. для которых F (хо, уо) = 0. Рассмотрим уравнение

(1.1)

F (х,У) = 0.

В литературе [8, с. 492], [3, 4] при тех или иных предположениях доказывается существование решения у(х) уравнения (1.1) для всех х им некоторой окрестности тонки хо x.

о неявных отображениях, аналогичная конечномерной теореме. Затем в статье [4] доказывается теорема, обобщающая теорему о неявном отображении. Здесь производная Fy(хо, Уо) отображения F является сюръективным непрерывным линейным оператором.

А в работе [3] доказана классическая теорема о неявной функции на конусе. Здесь, пред-F регулярности Робинсона.

Во-вторых, опубликованы многочисленные работы, в которых рассматривается во-F кая. Отметим лишь работы [9, 12, 13], где в конечномерном случае для липшицевой в окрестности точки (хо,уо) функции F приводятся достаточные условия, обеспечивающие существование такой липшицевой функции y(x), что F(x, y(x)) = 0, y(xo) = yo. Наиболее общий результат в этом направлении получен в статье [1].

F

F (x, У) = 0 <>  fi(x, у) = 0, i G 1 ⁰, g(y) = 0,

(1.2)

где 1 ⁰ — конечное множентво индексов. Пусть F (xo,yo) = 0. Предполагается, что функции fi. i G 1 ⁰, строго дифференцируемы по совокушюсти переменных в точке (xo,yo), g

(1.2),

КС (xo, yo) = (xo,y(xo)).

Положим

a(x):= {у G Y : F (x,y) = 0, g(y) = 0}, x G X.

Тогда вопрос существования решения уравнения (1.2) можно интерпретировать как во-a.

Отметим, что одной из важных проблем в теории многозначных отображений является вопрос существования однозначных аппроксимаций и селекторов с определенными свойствами. Весьма интересен и находит разнообразные приложения во многих областях математики вопрос существования селекторов, обладающих некоторыми топологическими свойствами. В частности, задача существования непрерывных селекций мультиотображения, восходящая к классической теореме Э. Майкла [14].

В статье приняты известные определения и понятия из выпуклого и нелинейного анализа, [11]: Br(x) — замкнутый шар радиуса, r с центром в точке x G Rn. Если M С Rn — некоторое множество, то cl{M} — замьшанпе множества M.

con(M) d=^f {x : x = Xx1, x1 G M, X> 0};

Lin M d= cl{con M — con M },

2Y — многозначное

hx,yi — скалярное произведепие векторов x,y G Rn. Если a: Rn ^ отображение, то graf(a) d=f {(x,y) : у G a(x)}.

Однозначное отображение у : Rn ^ Rm называется локальным

селектором много-

значного отображения a : Rn ^ 2Rm, проходящей через точку (xo,yo) G graf(a) графика, если существует такая окрестность U(xo) точки xo, что y(x) G a(x) (Vx G dom(a) n U(xo)).

Определение 1 [5, c. 418]. Пусть zo := (xo,yo) G graf(a), где a : Rn ^ 2Rm — mho-z0, ствутот такие числа а1 > 0. a2 > 0. L > 0, что a(xi) П Ba2 (yo) С a(x2) + L\\xi — x2\Bi(0)  (Vxi,x2 G Bai (xo)).

K ⊆ Rⁿ

K * := {y Е Rn : hy,xi > 0 (Vx Е K )}.

M ⊆ Rn точке xo Е cl{M} называется множество вида

CM (x) = { v Е Rn : lim d(v, A^-1 (M — x)) = 0 λ↓0, x ∈ M x→x0

Это означает, что x Е Cm (xo) в том и только в том случае, если для любых после-{λk}

{xk} ⊂ M,                   x0,                                                     {xk}, x, xo + Akxk Е M (Vк Е N).

Имеет место следующий результат (см. [5, с. 430, следствие 5]).

Теорема 1. Пусть M1 и M2 — непустые замкнутые подмножества пространства Rn такие, что если xo Е M1 П M2, CM1 (xo) — cm2(xo) = Rn, то

CMl ^(x0) ^П CM2 ^(x0 ) ^C CMi PM2 ^(x0 )•

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [6, с. 278]. Конус K называется шатром множества M в точке x Е M, если существует такое отображение r : U ^ Rn, определенное в некоторой окрестности пуля U. что x + x + r(x) Е M,

_               r(x)             _ если x Е K П U и -—г—> 0 щ>п x ^ 0. kxk

K   rK

r для заданного е > 0 можно найти такое 6 > 0, нто kr(x1) — r(x2)k < ekxi — x2k Для xi,x2 Е B5(0) C U.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 [9, с. 32]. Пусть f : U ^ R — липшицевая функция в окрестности U x 0 ∈ R ⁿ,   x ∈ R ⁿ

Кларка функции f в точке xo по наир;шлешпо x. обозначаемая f,C(xo, x). определяется формулой fC(xo,x) =lim sup f(x + Ax)—f^x). x→x0,         λ

λ ↓0

f :

R ⁿ → R      x 0

def (xo) = {x* Е Rn : fc (xo,x) >  h x*,x i ( V x Е Rn)}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 [2, c. 139]. Функция g : Rn ^ R называется строго дифференди-русмой в точке xo, если для любого е > 0 сутпеетвует такая окрестность V тонки xo, что

|g(y) — g(z) — hg⁰(xo),y — zi| 6 eky — zk (Vy,z Е V), где g⁰(xo) Е Rn — градиеит <]>упкппп g в точке xo.

• 2.    Строго дифференцируемые шатры

В этом разделе построены строго дифференцируемые шатры для множеств, задаваемых негладкими ограничениями типа равенства. Приведено достаточное условие, при котором пересечение строго дифференцируемых шатров является строго дифференцируемым шатром.

Предложение 1. Пусть M : = {x G Rn : g(x) = 0}, где g — строго дифференцируемая функция в точке xo, g(xo) = 0 и g(xo ) = 0. Тогда подпространство H := {x G Rn : hg' (xo), xi = 0} является строго дифференцируемым шатром для множества, M в точке xo.

C Поск<)льку g'(xo) = 0. то найдется такой вектор w. ||wk = 1, что hg'(xo),wi < 0.

Так как g строго дифференцируема. то существует такая функция R(x) = o(x), что g(xo + x) = g(xo) + hg'(xo), xi + R(x).

(2.1)

Положим ш(А) = sup{R(x) : ||x| 6 А}. Очевидно. что ш(А) монотонно пеубывает. ш(А)/А ^ 0 щ:ш А ^ 0 1i R(x) 6 w(kx|). Если x G H и ц> 0. то из (2.1) получим

g(xo + x + ^|x|w) = g(xo) + hg'(xo), x + ^|x|wi + R(x + ^|x|w)

HxlHg' (xo),wi+ mixlK1 + дН)) = kxk

Thg' (xo),wi +

^^(kxk^{(1 +} д1МР) kxk

Выберем 51 > 0 настолько малым, чтобы выражение в квадратных скобках стало меньше, чем 2 дhg'(xo ),wi, ко г да |x| 6 51. Тогда выполняются оценки

g(xo + x + ^kx|w) 6 2^kxkhg'(xo),wi < 0 (V x G H П B₅₁(0), x = 0).      (2.2)

Аналогично существует такое число 52 > 0, что g(xo + x — ^kx|w) > 0, x G H П B^ (0), x = 0.                (2.3)

Положим 5 = min{51,52}. Для фиксированного x G H П B^(0) рассмотрим функцию q(x, в):= g(xo + x + ekx|w) на сегменте [—д,д]. Из соотношений (2.2)—(2.3) следует, что q(x, д) < 0. q(x, —д) > 0. Следовательно, сутиествует такая точка в(^х) G [—д,д], что q(x, в(x)) = 0. Теперь покажем, что точка в(x) определяется однозначно. Для этого сначала заметим, что для фиксированного x функция q(x, в) монотонно убывает относи-β                             g                             x0                   ε

0 < Е <  |hg'(xo), w)|. ii достаточио малых x = 0 имеем

q(x,в + т) — q(x,в)

lim sup-------------------

τ↓0              τ

g(xo + x + (в + т )kx|w) — g(xo + x + вkxkw)

= lim sup-----------------------------------------

τ↓0                             τ

6 kxk(hg'(xo),wi + e) < 0.

Отсюда следует, что функция q(x, в) монотонно убывает относительно в и, следовательно. в(x) определяется одиозная!ю. Заметим также, что в(x) ^ 0 ni:>ii x ^ 0. Теперь определим отображение r следующим образом: r(x) = p(x)w для любых x G Rn, где p(x) = в(Ргн(х))кРгн(x)k- Здесь Ргн — оператор проектирования на подпространство H. По определению r для достаточно малых x G H имеем g(xo + x + r(x)) = 0.

Нетрудно доказать также, что

lim Hx)ll x-O ||xk

= 0.

Наконец докажем, что отображение r строго дифференцируемо в нуле. Для любого е >  0 найдется такое число 6 >  0, что для любых x_i,x₂ G H П В§ (0) имеет место

|hg0(xo), (p(xi) - p(x2))wi|

= |g(xo + xi + p(xi)w) - g(xo + x2 + p(x2)w) - hg(xo ),xi - x2 + (p(xi) - p(x2))wi| 6 £^(kxi ^- X2k ⁺ IlwHHxi) ^- P⁽x2^)|).

Поскольку |w| = 1, то получим

I^p(^{X1) - p}(x^{2)| 6} | hg, (x^ ,- e kx ^- x*

Теперь, если x_i,x₂ G B5 (0). to

I^р(Ч) ^{- p}(x^{2)| 6} |h g , ₍ х ₀ )^Е„ )|_ е »^PrH<^X1) - ^PrH6 Ih g , (x o )^Ew )|- E kx¹ - x²k' ^p

Предложение 2 (о пересечении строго дифференцируемых шатров). Пусть выпуклые замкнутые конусы K_i и K2 являются строго дифференцируемыми шатрами для множеств M_i С Rn 11 M2 С Rn еоответствеппо в точке xo G M_i П M2. Предположим также, что

K1 - K₂ = Rn.                                (2.4)

Тогда конус Q : = K_i П K2 является строго дифференцируемым шатром ко множеству M : = M_i П M2 в тсшке xo.

C отображения Pi : Rn ^ K1. P2 : Rn ^ K2. что для любого x G Rn имеет место равенство x = P1 (x) - P2(x).

(2.5)

Положим

a(x) := {y G Ki : (y - x) G K2}.

a с выпуклым замкнутым графиком и dom(a) = Rn. Следовательно, в силу [15, предложе-P1 ,

P1(x) G a(x) (Vx G Rn).

P2 (x) = Pi (x) - x.                              P2

P2 (x) G K2             x G Rn.

Итак, существуют такие числа L1 > 0, L2 > 0, что

»Pi(xi) - Pi(x2)k 6 Li»xi - x2II,   ||P2(xi) - P2 (x2)k 6 L2»xi - x2II   (Vxi,x2 G Rn).

K1 K2

ражеипя yi : U ^ R. где

^i (x):= xo + x + ri(x),

r kxk ^ 0,

i = 1, 2

(отображения ri. i = 1, 2, строго дифференцируемв! в нуле) и число 5 > 0, что yi (X) G Mi для любого X G Q П B5 (0).

Теперь рассмотрим систему уравнений, записав ее в векторной форме

q(x,y):= У1(Х + Pi(y)) - ^2(x + P2(y)) = 0.                    (2.6)

Учитывая соотношение (2.5), запишем уравнение (2.6) в виде

q(x,y) = У + ri(X + Pi(y)) - Г2(Х + P2(y)) = 0.                  (2.7)

Покажем, что уравнение (2.7) удовлетворяет всем требованиям теоремы о неявных функциях из [2, с. 161]. Действительно, имеем

• a)    q непрерывное отображение и q(0, 0) = 0;

• b)    для лтобого е >  0 пайлчтся число 51 > 0 и окрестиоств шля U такие, что если X G U i 1 ky⁰k 6 5i, ky⁰⁰k 6 ф.то

kq(X,y⁰) - q(x,y" ) - (y⁰ - y⁰⁰)k 6 sky - y"k.

Следовательно, согласно вышеуказанной теореме существуют число C > 0, окрестность нуля V и отображение у(Д, определенное в этой окрестности, такие, что q(x,y(x)) = 0, ||y(X)k 6 Cq(X,0) (VX G V).

Отсюда следует, что

(2.8)

^ 0, при x ^ 0. kxk

Положим теперь

^(x) := yi(x + Pi(y(x))) = xo + x + Pi(y(x)) + ri(x + Pi(y(x))) = xo + x + r(x), где

r(X) = Pi(y(X)) + ri (X + Pi (y (X))).

Из (2.8) и того, что ri(X) = o(x), следует, что r(X) обладает тем же свойством. Так как K1 K2

X + Pi(y(X)) G Ki, X + P2(y(X)) G K (VX G Q).

K1  K2                                        M1

M2                     x ∈ Q

^(X) = yi(X + Pi(y(X))) = ^2(X + P2(y(X))) G Mi П M2.

r статочно доказать, что таковым является отображение у(Д. Действительно, имеем y (X) + ri(X + Pi(y(X))) - r2(X + P2(y(X))) = 0 (VX G V).

ri i = 1, 2, заданного s > 0 существует такая окрестпоств U С V нуля, что для любых xi, x2 G U справедливы оценки ky(Xi) - y(X2)k 6 kri(Xi + Pi(y(Xi))) - ri(x2 + Pi(y(x2)))k

+ |Г2 (Xi + P2(y(Xi))) - r2(X2 + P2(y(X2)))| 6 2s(|Xi - X2 || + C |y(Xi) - y(X2) |), где C = max{Li, L2}. Отсюда.

IHxl) ^— y⁽x2^)k 6     2^Е    ||xi ^— x2 ||,

1 — 26C т. о. отображение y(-) строго дифферш тируемо в нуле. B

Следствие 1. Пусть множество M задано системой уравнений gi(x) = 0,   i Е Io, где I0 — конечное множество индексов. Пуств xo Е M н функции gi(x) строго дифференцируемы в xo. Предположим так же. что градиенты gi (xo), i Е 10, линейно независимы. Тогда подпространство H := {x Е Rn : hgi(xo), xi = 0, i E 10} является строго дифференцируемым шатром к множеству M в точке xo.

• 3.    Теорема о неявных функциях в негладком случае

В этом разделе при некоторых достаточных условиях доказано, что через любую точку графика многозначного отображения вида (1.2) проходит дифференцируемая селекция этого отображения. При помощи дифференцируемых селекций можно аппроксимировать многозначную функцию и исследовать локальное поведение этих отображений. Такие аппроксимации проведены в работах [5, 10, 11], где они реализованы различными касательными конусами.

Здесь использованы шатры различной гладкости, что позволило исследовать многозначные отображения, заданные негладкими ограничениями типа равенства. Этот результат отражен в следующем утверждении, которое можно интерпретировать как теорему о неявных функциях в негладком случае.

Теорема 2 (теорема о неявных функциях в негладком случае). Пусть многозначное отображение а задано при помощи системы равенств:

a(x) = {y Е Rm : fi(x,y) = 0, i Е Io, g(y) = 0} , x Е Rn, y Е Rm, где функции fi, i E Io, строго дифференцируемы (Io — конечное множество индексов), a g — локально липшицева. Предположим, что

• 1.    (xo, yo) Е graf(a), 0 / deg(xo);

• 2.    для каждого у* Е Lin deg(x_o) система, векторов {y*} U {fiy(x_o, yo), i Е I ^o} линейно независима.

Тогда существует такое отображение y(-), определенное в некоторой окрестности V точки xo и дифференцируемое в этой точке, что y(x) Е a(x) (Vx Е V, y(xo) = yo).

C Так как функции f. i Е I ^o, строго диффереицируемы в точке (xo, yo), 11 векторы fiy (xo, yo), i Е I ^o, линейно независимы, то подпространство [9, с. 59, следствие 2]

CM (xo,yo):= (z =(x,y) Е Rn+m : hf0y(xo,yo),yi + hfJxo^oLxi = 0, i Е Io} является конусом касательных направлений в смысле Кларка множества

Ml := {z = (x,y) Е Rn+m : fi(z) = 0, i Е Io} в точке zo = (xo, yo). В силу следствия 1 это подпространство является и строго дифференцируемым шатром для M1 в точке (xo,yo). Отметим также, что по теореме 1.2 из [16] подпространство

H:= nz = (x, y) е Rn+m : gC(y0,y) 6 о, gC(yo, -у) 6 °| является непрерывным шатром множества M2 : = {(x,y) G Rn+m : g(y) = 0} в точке zo = (xo, yo).

Покажем, что подпространство K_graf(a)(zo):= См1 (xo,yo) П H является шатром множества graf(a) в точке zo. Для этого проверим условия теоремы 2.1 из [16] (теорема о пересечении непрерывных шатров). Имеем

Cmi (xo,yo) - H = Rn+m      (Cmi (xo, yo))* П H * = {0}.

Далее, имеем

(Cmi(xo,yo))* = {(x*,y*): x* = FX(xo,yo)a, y* = Fy(xo,yo)a, a G Rk}, где k = IIo|, FX(xo,yo) = (f1 x(xo,yo),f2x(xo,yo),... ,fkx(xo,yo)),

Fy^(xo,yo) = ^(f1 y ^(xo,yo^),f2 y ⁽xo,yo⁾,... ^,fk y ⁽xo,yo)),

H * = {(0,y*) : y* G Lin deg(xo)}.

Так как по предположению теоремы для каждого у* G Lin deg(xo), у* = 0, система векторов {f'y (xo, yo), i G I ^o} U {у*} линейно независима, то

(CM1 (xo,yo))* n H * = {0}.

Значит, конус Kgraf(a)(xo,yo) является шатром множества, graf(a) в точке (xo,yo)• Теперь покажем, что

H С См2(xo,yo).

По теореме 2.4.7 из [9, с. 58] выпуклые конусы

K1 := {у : gC(yo,y) 6 0}, K2 := {у : gC(yo, -у) 6 0} являются конусами касательных направлений в смысле Кларка множеств A1 = {у G Rm : g(y) 6 0} и A2 = {у G Rm : g(y) > 0} соответственно. Проверим условие теоремы 1:

K1 — K2 = Rm ^^ K* П (—K2)* = {0} ^^ con dCg(xo) П (— con dCg(xo)) = {0}.

Это условие выполняется очевидным образом, поскольку 0 G dCg(xo). Следовательно, по теореме 1 K1 П K2 С Са_{1 П} А₂ (yo)• Отсюда немедленно следует, что H С CM2(x₀,y₀). Так как CM1 - H = Rn+m,

CM1 ^(x0,^y0^{) П H С} CM1HM2 ^(xo, ^y0) Cgraf(a) ^(xo, ^y0⁾•

Далее, пусть у*,у* ,... ,ур — система, векторов. прпнадлежаттшх dCg(xo) и образутошнх базис в подпространстве LindCg(xo). Поскольку по предположению система векторов {Fy(xo, Уo), у*, у*,..., у _р * } линейно независима, то система уравнений

Fy0 (xo ,Уo) у = -FX (xo ,Уo) x, hUi ,yi = 0, i = 1,2, •••,p, имеет решение y = Px, где P : Rn ^ Rm — некоторый линейный оператор. Таким x ∈ Rn                y ∈ Rm

(x,y) G Cgraf(a) (xo,yo), и существует такой линейный непрерывный оператор P : Rn ^ Rm, что

(x, Px) G CM1 П См2 (V x G Rn).

a ко zo. Так как конус Kgraf(a)(xo,yo) является шатром графика отображения a в точке (xo, yo), т° существует такое отображение r(z):= r(x,y) = (r1(x,y),r2(x,y)) = o(z). onpe-

U zo + z + r(z) G graf(a), z G Kgraf(a) (zo) П U, t. e.

У0 + y + r2(x,y) G a(xo + x + Г1 (x,y)) (V (x,y) G Kgraf(a) (xo,yo) П U ).

Вместо y подставим P(x). Для достаточно малых x получим yo + P(x) + r2(x,P(x)) G a(xo + x + ri(x, P(x))).                 (3.1)

Так как a является псевдолипшицевым в точке (xo,yo), то из (3.1) следует, что найдутся такие константа L > 0 и окрестиость нуля V, что yo + P(x) + r2(x,P(x)) G a(xo + x) + L\\n(x,P(x))kBi(0)  (Vx G V).      (3.2)

Поскольку r1 (x,P(x)) = o(x) и r2(x,P(x)) = o(x), то из (3.2) следует, что существует такое отображение Гз(ж) = o(x). что yo + P(x) + Гз(ж) G a(xo + x) (Vx G V).

Таким образом, если V = xo + V. то положим y (x) := yo + P(x - xo) + Г3(x - xo) (Vx G V).

yB