Об одной теореме о неподвижных точках многозначного отображения

1.    Предисловие

Рассмотренная теорема является аналогом теоремы Какутани о неподвижной точке (см. [3, с. 630]) при расширении используемой теории множеств до теории множеств с само-принадлежностью [5], впервые рассмотренной Миримановым в 1918 г. [4].

2.    Теорема о неподвижных точках

Рассмотрим многозначное отображение f : X ^ Exp(X),               (1)

где Exp(X) – множество всех подмножеств множества Х.

Неподвижная точка x 0 отображения f понимается в обычном смысле: f(x₀) = x₀.

Теорема 1 (о неподвижных точках). Неподвижными точками многозначного отображения множества всех множеств М в множество всех его подмножеств, g : M ^ Exp(M), являются:

• а)    единичные объекты, [x] = g([x]),

Exp([x]) = [x],

• б)    некоторые самопринадлежащие множества, AeA, A = g(A), A=Exp(A) 1,

• в)    в том числе само множество М, т. к. MgM и Exp(M) = M, то M = g(M),

• г)    а также пустое множество, 0 = g(0), Exp(0) = 0.

3.    Приложение интерпретаций теоремы

Доказательство следует из свойств множеств, ввиду транзитивности отношения принадлежности для самопринадлежащих множеств, см. работу [2]. Примеры множеств, обладающих свойством X=Exp(X), отличных от единичных объектов и от M, приведены в работе [6]2. □

Теорема 2. Неподвижные точки многозначного отображения множества B в множество всех его подмножеств, h : B ^ Exp(B), существуют только при допущении самопри-надлежности.

Доказательство. Рассмотрим только не-самопринадлежащие множества (Y ^ Y), тогда по теореме Кантора [2] Y ^ Exp(Y), для всех несамопринадлежащих множеств Y; т. е. на области несамопринадлежащих множеств неподвижных точек отображения h нет. □

Рассмотрим процесс производства новых товаров (и услуг). Каждый новый товар является результатом потребления производителем некоторого набора товаров, может быть и самого производимого товара (непо-средственно3 или опосредованно, чему соответствует самопринадлежность), – такая рекомбинация товаров в процессе производства-потребления имеется в равновесном состоянии (неравновесный случай состоит из суперпозиции равновесной и неравновесной частей, ограничимся далее рассмотрением равновесного случая). Равновесность соответствует тому, что множество подмножеств Exp(C) всего множества товаров C при такой их рекомбинации является также множеством товаров, т. е. совпадает с самим С, – имеется отображение

С →;ft1 С = Exp(С) →;ft2 С = Exp(С) →;ft3 … в общем случае в стационарном состоянии fti = ftj = f, ∀i, j ∈ I, перепишем (2)

f : C → Exp(С) = С.           (3)

Тогда по теореме 1 в случае множеств, допускающих самопринадлежность, существуют неподвижные точки отображения:

• а)    отдельные товары (единичные объекты),

• б)    некие комплексы товаров, производимые предприятиями и аналогичными по масштабу экономическими субъектами, (само-принадлежащие объекты, промежуточные между единичными и самим С, не единичные и не равные С),

• в)    вся государственная экономика в целом (С),

и исключительный случай: г) пребывание вне товарообмена – ∅ .

Виды неподвижных точек совпадают с действительной структурой экономики:

• а)    домашние хозяйства, производящие и потребляющие внутри себя единичные объекты потребления (как то кашу на завтрак, выстиранную пеленку и т. п.),

• б)    промышленные предприятия и аналогичные по масштабу экономические субъекты,

• в)    государство в целом.

4.    Заключение

Наличие трех видов неподвижных точек позволяет для каждого вида экономических субъектов рассматривать соответствующую интерпретацию основного лосгистического уравнения, примеры см. в статье [8].

Интерпретация теоремы 2. Неподвижные точки рекомбинации товаров (3) существуют только для самопринадлежащих совокупностей товаров, т. е. если товары потребляются и самими производителями (самопри-менимы). В случае же совершенно отчуждённого производства, когда товары не потребляются самими производителями, неподвижных точек, обеспечивающих стационарный режим экономического оборота, нет. Понятие самопринадлежности (несамопринадлежности) в этом случае формализуют экономические категории неотчужденности (отчужденности) процесса производства 4.

Таким образом, доказанные теоремы о неподвижных точках многозначного отображения, имеют экономическую интерпретацию, совпадающую с действительностью 5.

Описанный аналог теоремы Какутани о неподвижной точке и его интерпретация дают формальное выражение основополагающему созерцательному принципу самоприменимо-сти для выделения подлинных (конструктивно действующих) экономических субъектов. Хотя выяснить конкретную структуру само-принадлежащих множеств, являющихся неподвижными точками, соответствующими определенным комплексам товаров, вряд ли возможно (и имеет небольшой прикладной смысл). Более значимо и имеет дальнейшее практическое приложение именно наличие

Математика. Механика. Информатика

2010 формального подтверждения принципа само-применимости. К тому же экономические субъекты гораздо сложнее теории множеств, содержат самого человека (субъекта), поэтому обладают свойством открытости, в отличие от множеств, субъекта не содержащих, замкнутых в M, поэтому применение формальных методов в описании систем с субъектом весьма ограниченно (кстати, даже если множества, являющиеся неподвижными точками, были описаны, то было бы методологически некорректным заключать от их структуры к структуре экономических субъектов, содержащих человека).

5.    Дополнение

Описанная интерпретация теоремы о неподвижной точке является ярчайшим примером ограничения применимости математических методов к описанию систем, неотъемлемо содержащих и самого человека. Так на 4-м уровне сложности математических понятий (функционально интегрально-дифференциальных представлениях) невыразима свобода воли человека, неопределимая некоторой функцией. На 5-м уровне сложности (алгоритмические представления) математические понятия не отражают возрастной изменчивости представлений субъекта (комплексов зна-ний-умений-навыков). На 6-м уровне, даже непредикативные конструкции не в состоянии полностью соответствовать реальным процессам обмена в экономике, поскольку не отражают наличия субъекта как носителя определённой системы ценностей, которому подчинён этот обмен. Таким образом, математические понятия и структуры применимы лишь для упорядочения внешних по отношению к сознанию составляющих бытия,– материальных потребностей, затрат времени и т. п.

Так что математический аппарат, пригодный для описания моделей и упорядочения процессов неживой природы в технике и тех-

Вып. 3(3) нологиях или для упорядочения информационных процессов, в электронных информационных системах весьма ограниченно (и то лишь для измерения параметров системы) применим для описания системы, включающей как неотъемлемую часть и самого человека, с его сознательной и свободной деятельностью.

Результаты исследования оформлены для публикации в связи с НИР №1.15.10, выполняемой при ПермГУ по заданию "Федерального агентства по образованию".