Об одной задаче электрохимической заточки режущих инструментов

Для затачивания режущих инструментов можно применять методы электрохимической обработки металлов. Заточка осуществляется за счет анодного растворения заготов-

Об одной задаче электрохимической заточки режущих инструментов ки (анода) в проточном электролите с помощью специального формообразующего электрода-инструмента (катода). Создавая повышенную плотность тока на режущей части инструмента за счет соответствующей ее ориентации относительно катода, можно повысить интенсивность анодного растворения на этом участке, что, в свою очередь, приводит к заострению лезвия [1–5].

Метод электрохимической заточки используется в различных отраслях, например, в машиностроении для обработки твердосплавных инструментов, медицинской технике при производстве хирургических инструментов и др.

В данной работе в рамках модели идеального процесса [6; 7] найдено численно-аналитическое решение двумерной задачи определения формы затачиваемой поверхности для одной из возможных схем электрохимической заточки.

В модели рассматриваемой задачи предполагается, что электрохимическая обработка производится неподвижным катодом с использованием электролитов с пассивирующими свойствами. Например, при обработке деталей из стали такими являются электролиты на основе водного раствора нитрата натрия. В процессе обработки с течением времени плотность тока на обрабатываемой поверхности достигает предельного значения , и анодное растворение металла прекращается. Описанный режим электрохимической обработки называется предельным, получаемая форма обработанной поверхности – предельной [3; 8; 9].

Схема электрохимической обработки

Геометрия межэлектродного промежутка имеет вид (см. Рисунок 1): ABCDC'B'A' – граница заготовки детали; ARPEP'R'A' – граница электрода-инструмента. Система декартовых координат ( x ₁, y ₁) связана с катодом, и ее начало выбрано в точке R . Точки A , E , A' являются бесконечно удаленными.

Между границами электродов в процессе электрохимической обработки осуществляется прокачка раствора электролита для удаления продуктов электрохимических реакций. Такой электрод можно применять для двусторонней заточки лезвия.

В силу симметрии межэлектродного промежутка ограничимся рассмотрением ее симметричной нижней части, определенной границами электродов ABCD , ARPE и линией симметрии DE .

Рисунок 1. Геометрия межэлектродного промежутка Источник: здесь и далее рисунки выполнены автором

Вестник Российского нового университета

Серия «Сложные системы: модели, анализ и управление». 2026. № 1

Граница катода в рассматриваемой части состоит из электроизолированных участков AR , PE и токопроводящей (рабочей) части RP .

Изолированные участки катода предназначены для локализации анодного растворения металла на участке BC (затачиваемой части) анода. Будем считать, что на участках AB и CD из-за падения анодной плотности тока , вызванной наличием изолированных участков катода, растворения металла не происходит. Будем называть эти участки анода необрабатываемыми [9].

Введем обозначения: L – длина отрезка RP ; απ – угол наклона отрезка RP относительно положительного направления оси абсцисс; H _{1 A} – величина межэлектродного зазора на бесконечности в сечении AA ; H _{1 E} – расстояние между линией симметрии DE и границей PE инструмента.

Модель электрического поля в межэлектродном промежутке

Вводится аналитическая функция W ₁( z ₁) = v ( x ₁, y ₁) + iu ( x ₁, y ₁) комплексной переменной z ₁ = x ₁ + iy ₁, называемая комплексным потенциалом электрического поля [10], где v ( x ₁, y ₁) = Re W ( z ₁) соответствует силовой функции электрического поля, u ( x ₁, y ₁) = Im W ( z ₁) – потенциалу электрического поля. Потенциал u ( x ₁, y ₁) удовлетворяет уравнению Лапласа Δ u ( x ₁, y ₁) = 0 в области межэлектродного промежутка. На границах ABCD и RP- электродов потенциал принимает постоянные значения u_a , u_c соответственно:

и u ABCD

= u_a , u_RP = u_c .

На изолированных участках AR , PE и линии симметрии DE выполняется условие

∂ u ⁄ ∂ n ₁ = 0,                                        (2)

где « j - нормаль к границе.

На неизвестной предельной анодной границе BC выполняется равенство

∂u ja = κ ∂n1 jпр , где κ - удельная электропроводность среды [8; 9].

Введем характерную длину H =

κ( u_a – u_c ) j пр

и безразмерные переменные [8; 11; 12]:

z = ¹ = x + iy , ψ = H

u – u_c           v

( u_a – u_c )^,φ   ( u_a – u_c )^.

Функция ψ в межэлектродном промежутке удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям на электродах

ψ _ABCD = 1, ψ _RP = 0.

На изолированных участках AR , PE и линии симметрии DE , согласно условиям Коши – Римана [10], функция принимает постоянные значения. Не нарушая общности, будем считать, что

φ _AR = 0, φ _PE = φ _ED = φ.                                (6)

Условие (3) в безразмерных переменных имеет вид

= 1.

Об одной задаче электрохимической заточки режущих инструментов

Согласно гидродинамической аналогии [10], рассматриваемая задача электрохимической обработки, связанная с определением формы предельной анодной границы BC , равносильна задаче теории плоских установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости по определению свободной поверхности BC . При гидродинамической интерпретации поток фиктивной жидкости создается системой непрерывно распределенных источников на линии AR и стоков на линиях PE и DE [7; 13].

Введем функцию комплексно сопряженной скорости dW ⁄ dz = Ve ^{– i θ} , где V – величина скорости фиктивного течения, θ – угол, образуемый вектором скорости в какой-нибудь точке плоскости течения с осью абсцисс [14]. Тогда скорость фиктивного течения на искомой границе BC , согласно условию (7), удовлетворяет равенству

^V BC

dWdz

= 1.

BC

Далее для решения задачи используются методы теории струй идеальной несжимаемой жидкости [14; 15].

Численно-аналитический метод решения задачи

Введем вспомогательное комплексное переменное t = ξ + i δ, изменяющееся в области G_t (| t | < 1, δ > 0) (см. Рисунок 2, а ), и будем искать функцию z ( t ), конформно отображающую полукруг единичного радиуса G_t на область течения в физической плоскости z = x + iy с соответствием точек, указанных на Рисунках 1 и 2, а .

Рисунок 2. Вспомогательные области:

а – область G_t ; b – область изменения комплексного потенциала W

Безразмерный комплексный потенциал W ( t ) = φ( t ) + i ψ( t ) удовлетворяет граничным условиям

	1, t = exp ( i o ) , Qe ( 0, л] ,
t( t ) = ‘	1, t =5 , ^ t =5 ,	5e[ d ,1 ] u [ - 1> - a ] , 5e[ 0, p ] .	(9)
	ф(У = -	0,   5Ф f , -e ] , Ф 0 , 5б[ P, d ] .	(10)

Область изменения функции W ( t ) представляет собой прямоугольник со сторонами φ₀ и 1 (см. Рисунок 2, b ).

Вестник Российского нового университета

Серия «Сложные системы: модели, анализ и управление». 2026. № 1

Функция, осуществляющая конформное отображение [10] области G_t на область изменения переменной W ( t ), с учетом нормировки W (0) = 0, имеет вид

t-                      (1 — T2) d T

^t ) ^N ' ^ т ( т- p )(1 - p т )( т- d )(1 - d t )( t + a )(1 + a T ) ’

где N - постоянная величина.

Интегрированием выражения (11) на отрезке [– a , 0] найдем постоянную N :

1, I = a r               (1 -T2)dT                   .

1 1 ' ¹ ' 7 т ( т + p )(1 + p t )( t + d )(1 + d t )( a -t )(1 — a T )

Параметр φ0 определяется по формуле

I

² φ₀       , ₂

I ₁

p                    (1 — T2) dT

' д/ t ( p -t )(1 - p t )( d -t )(1 - d t )( t + a )(1 + a t )

Введем в рассмотрение функцию Жуковского [14; 15]:

χ( t ) = ln dW = ln dW e ^{– i θ} = r ^{– i θ} , r = ln dW . dz dz                 dz

На границе области G_t функция χ( t ) удовлетворяет условиям r ( e ^{i σ} ) = 0, σ ∈ [0, π];

e® = 0, ^ g [-1, - a ); e® = n/2, ^ g (- a , 0) U ( b , 1];

θ(ξ) = α π, ξ ∈ (0, p ); θ(ξ) = –π/2, ξ ∈ ( p , b ).

Функции θ( t ) приписаны те значения, которые она принимает, изменяясь непрерывно при движении точки t по отрезку –1 ≤ ξ ≤ 1, δ = 0 с обходом особых точек A ( t = – a ), R ( t = 0), P ( t = p ), E ( t = b ) функции χ( t ) по дугам бесконечно малых окружностей [15].

Используя метод особых точек Чаплыгина [14; 15], получим

χ( t ) = ln

( ta 0.5

I

t + a

1 + at

t - p 1 — pt,

- (0,5 +a )

t— b ] n .

—t~ \ —i .

1 — bt ⁷    2

Используя соотношение

dz = e ^{–χ( t )} dW dt , dt

формулы (11), (16) и соответствие z (0) = 0, получим

t z (t) = i- jF1 (T) d T, F 1(t) =

I _{1 0}

^{( 1 — T} 2 ^{) ( t — p} Г           ( 1 — b T A .    (18)

Ta(T + a)(1 — pT)a+1 (t-d)(1 — dt) к T — b 7

Интегрированием выражения (18) по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в точке t = – a с помощью теории вычетов [10] найдем безразмерную величину межэлектродного зазора на бесконечности в сечении AA :

H = H1 a = n (1 — a 2)(a + p)_______(1 + ba

A H 1 1 a ^a ( 1 + pa ) ^{a+ 1} ( a + d )( 1 + da ) V a + b

Об одной задаче электрохимической заточки режущих инструментов

Аналогично интегрированием выражения (18) по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в точке t = b найдем безразмерную величину расстояния между линией симметрии DE и границей PE инструмента:

H E

H i e _ n           ^{( 1} - b ² )2 ⁽ b - p f

H   1 1 b ^a ( b + a ) ( 1 — pb ) ^a    ( d — b )( 1 — db )

Интегрируя выражение (18) на отрезке [0, p ], найдем безразмерную длину отрезка RP :

1 ^p

L = - I F 2 ( ^T ) ^{d T} , F 2 ( ^T ) =

^I 1 0

__________(1—t2)(p—т)а___________< 1—b т A

Ta(T + a)(1 — pт)а+1 J(d — т)(1 — dт) I b — TJ

Для учета ориентации заготовки относительно катода введем величину l , соответствующую смещению абсциссы точки D относительно абсциссы точки P в плоскости переменной z :

l = L cos απ – x_D , x_D = Re( z ( d )).

Далее будем считать, что абсцисса точки D не превосходит абсциссу точки P , т. е. l ≥ 0.

Для численного решения задаются геометрические величины α, L , H_A , H_E , l . Параметры a , b , d , p определяются с помощью соотношений (19)–(22). Координаты точек предельной анодной границы определяются с помощью формулы (18).

Результаты расчетов

В качестве примера рассмотрим случай, когда α = 1⁄6 и L = 4,5. Чтобы выяснить, как влияет расположение точки D анода относительно катода на форму предельной анодной границы, зафиксируем значение величины H_A и выполним расчеты для различных значений параметра l . На Рисунке 3 представлены результаты расчета предельных анодных границ при H_A = 0,5 для трех значений параметра l : 0; 0,5; 0,8.

Из представленных графиков видно, что при увеличении значения l уменьшается длина необрабатываемого участка CD , положение точки B не меняется.

Рисунок 3. Результаты расчета предельных анодных границ

Вестник Российского нового университета

Серия «Сложные системы: модели, анализ и управление». 2026. № 1

Рассмотрим следующий случай, когда положение точки D относительно катода зафиксировано, а меняется величина зазора . Выполнены расчеты при для трех значений параметра . Зависимость формы предельных анодных границ для указанных случаев демонстрируется графиками, представленными на Рисунке 4.

Рисунок 4. Результаты расчета предельных анодных границ

Заключение

В работе на основе методов теории струй идеальной несжимаемой жидкости с применением гидродинамической интерпретации решена задача расчета предельной формы анодной границы, получаемой при электрохимической заточке режущего инструмента. Анализ полученных результатов позволяет сделать выводы о влиянии геометрических характеристик электрода-инструмента на форму затачиваемой поверхности.