Об одной задаче наклонной производной с линейными коэффициентами

Задача о наклонной производной заключается в определении гармонической в области D функции U(x,y,z), непрерывной вместе со своими производными первого порядка вплоть до границы S и удовлетворяющая условию (grad и-Р\ =f, где/- заданная на S непрерывная функция

1.    Постановка задачи

В данной работе ставится такая задача: найти регулярную в шаре Е: {х2 + у2 + z2 < 1}, непрерывно дифференцируемую в замкнутом шаре S, гармоническую функцию и, удовлетворяющую на сфере S: {х2 + у2 + z2 = 1} условию лги + (х + ау)их + (-ах + у)и = / ,                  (1)

где коэффициенты и функция/- непрерывно дифференцируемые на S функции.

2.    Теорема

Задача (1) при Я < О имеет единственное решение, принимающее наперед заданные значения на многообразии точек выхода векторного поля (х + ау,-ах + у, Яг) в касательную к сфере плоскость.

Доказательство: Условие (1) перепишем так:

лги + хих + ауих - ахиу + уиу = / или хих + уиу + Azuz + а(уих -хиу) = /                      (1*)

Как известно, что если функция и гармоническая, то функция W = хи_х + уи_у + Azu_z + а(уи_х — хи_у) является бигармонической и имеет место представление Ж = g + (1 -х² -у² — z²}h, где g и h - регулярные в шаре X гармонические функции [1]. Функции и, g, h связаны соотношениями:

хих + уи + лги + а(уих - хиу) = g + (1 - г2 )А п 9                                          (2)

(Я-1)г/и = -lr — -3h or                   J где г2 = х2 + у2 + z2. Второе уравнение последней системы получается, если к уравнению (1 ) применить оператор Лапласа На сфере S функция gq совпадает с/

Можно показать, что для любой наперед заданной гармонической функции g всегда найдется гармоническая функция h такая, что система (2) будет справедлива для некоторой гармонической функции и [4].

Всякую регулярную в шаре гармоническую функцию Н(х, у, г) можно представить абсолютно сходящимся в шаре рядом по шаровым функциям. Перегруппировав в этом ряде члены для Н получим представление

Я(х,5,г) = ^ЯДх² + y\z)P,(x,y)

/ = 0

где Pi - есть однородные гармонические полиномы степени I от двух переменных, а функция Hi (s, z) удовлетворяет уравнению д2Я2 dz2

а² я,          ан,

+ 45----L + 4(/ + пL

8s28s

Дня регулярной в шаре X гармонической функции Н все функции Hi определяются однозначно аналитической в круге z < 1 функцией Я/ (0, z) одного комплексного переменного z.

Пусть и = ^ит, g = ^gm, h = ^hm, где т=0            т=0т=0

и_т =v_m(x² + у², z)p^m cos ma *W_m^ + у², z)p^m sin ma

Sm = Pm^² + y² ,^p^m cosma + g_m(x² + y²,z)/?“sinma >

h_m ^Фт^ + У¹ ,^z).P™ cosma + T _m(x² + y², z)p^m sin ma

Тогда для осесимметричных функций, аналогично тому, как и в [3] имеем: Azuz = g + (l-z^)h oz J где и = w(0,0,z), g = g(0,0,z), h = A(0,0,z)

Рения систему (6), получим, что в этом случае по известной функции g всегда можно найти функцию h.

Аналогично в общем случае можно получить и функцию и, в итоге получаем следующую теорему:

Задача (1) при Я < 0 имеет единственное решение, принимающее наперед заданные значения на многообразии точек выхода векторного поля (х + ay,-ax + у, Az) в касательную к сфере плоскость.

Эта задача может применяться в моделировании природных процессов, в частности, в теории приливов.

Заключение

Таким образом, в данной работе доказана безусловная разрешимость задачи о наклонной производной для регулярных в единичном шаре гармонических функций с граничным условием (1).