Об одной задаче определения правой части интегро-дифференциального уравнения в частных производных

Введение. Обратные задачи впервые появились в практике, например, задача об определении скорости распространения сейсмических волн внутри нашей планеты по движению фронтов сейсмических волн по поверхности Земли. Нетрудно понять, насколько интересна и важна такая информация для физиков, геофизиков, врачей и вообще исследователей таких объектов и областей, проникновение внутрь которых либо слишком трудоемко, либо опасно, либо вообще невозможно [1–3]. Различные обратные задачи исследованы в [4–15], а также в цитируемых работах в них. Исследование теории и методы обратных задач интенсивно продолжается.

В статье предлагается конкретный алгоритм решения одной обратной задачи об источнике. Найдены достаточные условия, при выполнении которых гарантируется существование и единственность решения рассматриваемой обратной задачи.

Постановка задачи

Исследуем разрешимость обратной задачи об источнике t _n u_tt ( t , x ) = a u xxtt ( t , x ) - в и хх ( t , x ) + j K ( t — ⁵ ) u ss ( s , x ) ds + ^ T i ( t ) h i ( t , x ) + F ( t , x ), ( t , x ) ^G G ,    (1)

0                                 i = 1

u (0, x ) = ф (x ), u_t (0, x ) = ф ( x ), 0 <  x <  1,

u(t ,0) = u(t,1) = 0,  0 < t < T, где K(t), F(t,x), ф(x), ф(x), hi(t,x), i = 1,2,...,n - известные функций, T, а, в - заданные положительные постоянные, а функций u(t,x), ф(t),...,фп(t) неизвестные, G = {(t,x) | 0 < t < T, 0 < x < 1}.

Кроме этого, нам известны значения неизвестной функций u ( t , x ) в внутренних отрезках области G , т. е.

u ( t , x i ) = g i ( t ), t g [0, T ], x i g (0,1), i = 1,2,..., n .                           (4)

Требуется найти неизвестные функций u ( t , x ) , ф ( t ),..., ф _п ( t ). Подобную обратную задачу называют обратной задачей об источнике [1].

Пусть выполняются следующие условия:

U 1 : F g C ( G ),   ф , ф g C ² [ 0,1 ] , g i g C ² [ 0, T ] ,

U 2 : ф (0) = 0, ф (1) = 0, g i (0) = ф ( x i ), g ' i (0) = ф ( x i ), i = 1,2,..., n .

Введем обозначение, пусть v (t, x) = utt (t, x),                                                   (5)

интегрируя равенство (5) по переменной t и учитывая условие u_t (0, x ) = ф ( x ), получим

t ut (t, x) = J v (5, x) ds + ф( x),                                       (6)

еще раз интегрируя последнее равенство по переменной t и учитывая начальное условие u (0, x ) = ф ( x ), имеем:

t u (t, x) = J (t — s) v (s, x) ds + ф( x) t + ф( x).

Подставляя (5), (6) и (7) в уравнение (1) имеем:

t

n

^{v (} t , x ) = ^a v xx

( t , x ) — в J ( t — s ) v xx ( s , x ) ds + ф "( x ) t + ф "( x ) + J K ( t — s ) v ( s , x ) ds + V ф , ( t ) h i ( t , x ) + F ( t , x ),

k 0

i = 1

или

t z.                               1                                                  1

v xx = Y J ⁽ t ^{— s} ) v xx ^{( s} , ^x ) ^{ds +} - ^{v (} t , ^x ) ⁺ YV ^{( x} ) t ⁺ Y Ф ^(x ) ^— - J ^{K ( s} ) ^{v (} t ^{— s} , ^x ) ^{ds —}

0                       ^{a                               a} 0

n

^—; а ^ ф - ⁽ t ) ^h i ⁽ t , ^x ) ^— a F ⁽ t , x ).

i = 1

В нашей работе [18] доказана

Лемма 1. Резольвенту R(t, s) ядра K(t, s) = /(t — s) можно представить в следующем виде R(t, s) = ^sh {^(t — s)}, (t, s) g G, где у = в, (t,s) g G = {(t,s) 10 < s < t < T}.

a

На основании этой леммы 1 равенство (8) запишем в виде:

1                   1L.1

vxx (t, x)--v (t, x) = P (t, x)--f K (s) v (t — s, x) ds--V ф, (t) hi (t, x) + a                  a 0                   a i=1

+— а

t                                /                 s

JV / sh ( 4y ( t — s ) ) v ( s , x ) — J K ( t ) v ( s

—

t , x ) d T — ^ ф - ( s ) h i ( s , x ) I ds , i = 1                      >

где P 1 ( t , x ) = уж "( x ) t + y

"(x) -—F(t, x) - Jy [5h(Jy(t - 5))[ж (x)5 + уф (x) + — F(5,x)]ds . a          '                            a

Из равенства (5), для функции v(t,x) получаем граничные условия вида:

v (t ,0) = v (t ,1) = 0.

Задачу (9)-(10) исследуем при фиксированном t, здесь v(t,x) - искомая функция. Однородное уравнение у"(x)-к²у(x) = 0 (в нашем случае k²= 1/ a) имеет два линейно независимых решения: уi(х) = sh(kx) и у₂(х) = sh(kx-k), Вронскиан которых равен W(у1, у₂) = кsh(к).

Заметим, что у 1(0) = 0 и у₂(1) = 0 учитывая эти соотношения, легко можно построить решение следующей однородной краевой задачи с помощью функции Грина:

у"(x) - к²у(x) = fx), 0 < x< 1, у 1(0) = 0 и у2(1) = 0.

т. е. решение записывается в виде [16-18]:

1 y(x) = J G(x,^) f (^)d., 0

sh( kx - k) sh(k5)

где функция Грина G(x,^) = < k sh( k) sh( kx) sh(k5 - k)

k sh( k)

Применяя этот результат к интегро-дифференциальной задаче (9)-(10), получим интегральное уравнение Вольтерра:

«чисто»

t

v (t, x) = / G (x ,^) P( t, £) - - jK (5) v (t

0       V         ^a 0

V

1   ”

- 5, ^) d5--Д ф(t) hi(t, ^) + a i=1

+— a

t

s

n

\

J^h(л/У(t-5)) v(5,£)-JK(t)v(5 -T,5)dr-Дф(5)hi(5,£) ds dy .

i=1

7

Уравнение (11) перепишем в виде

t 1

v(t,x)=— J Jg(x,5)R(t,5)v(5,£)d^d5 - — Д Jg(x, £)hi(t, £)d^ ф,(t) ^a 00                               ^ai=1L^J)                   J

-

n tt

— Д' J [ G(x, ^)R(t, 5)hi (5, ^)] d^фi (5)d5 -^ai=100

1 t 1                                                             t 1 1 5

— f f G (x, ^) K (5) v (t - 5, ^)d^d5--f f f R (t, 5) G (x, ^) K (t ) v (5 - T, ^)dTd^d5 + P (t, x), ^a00                        ^a000

где P(t, x) =J G(x, ^)P1(t, ^) d^.

Полагая  x = xj-,  j = 1,2,...

(12) имеем

, n и учитывая данные (4), а также равенство (5), из соотношения

— Д Jg (xj, ^) hi (t, ^) d^ ф^ t) = -j Jg (xj, ^) R (t, 5) v (5, §) d^d5 - a i=1 и)                  J

1 nt 1i

--Д J [G(xj, ^)R(t, 5)hi (5, ^) J d^фi (5)d5--J J G(xj, ^)K(5)v (t - 5, ^ "d^d5 -a i=100

1 t 1 5

— I J J R(t, 5)G(^xj, 5)K(t)v(5 - T, £)drd^d5 + P(t, x j) - g j (t), j = 1,2, ^a000

Введем обозначение

...

., n.

jt) = IfG(Xj,5)hi(t,5)d^, i,j = 1,2,...,n.(14)

^a 0

Пусть det A(t) * 0 Vt e[0,T],(15)

где A(t) = {aj(t)}, i, j = 1,2,...,n .

Учитывая обозначение (14), систему (13) можно представить nI

Z aji(t >i(t) = — f / G (Xj,5) (R (t,s ) - K (t - 5 ) ) v (5, 5)d ^ds -i=1

1 nt¹

• -    -ПКG(Xj,5)R(t,s)h(s,5)]5(s)ds -

• a i=100

• -    - jJs R (t, s) G (xj. ,5) K (s - t) v (t, 5) drd^ds + P (t, Xj) - gj (t), j = 1,2,..., n. ^a000

В итоге мы пришли к системе из (n+1) уравнений (12), (16). Из общей теории интегральных уравнений нам известно, что решение системы (12), (16) существует и единственно.

Следовательно справедлива

Теорема. Если выполняются U1 U2 и неравенство (15), то в пространстве C2,2(G) хCn [0,T], решение задачи (1)-(4) существует и единственно, Cn [0, T] = С[0, T] х C[0, T] х... х C[0, T].

n раз

Пример. Пусть в задаче (1)-(4): a = в = 1, n = 1, K(t) = t,  h1(t,x) = 1,  x1 = 1, F(t,x) = 0, g1 (t) = t2, ^(x) = 0, ^(x) = 0 для всех x e [0,1], т. е. рассмотрим задачу

t utt(t,x) = uxxtt (t,x) - uxx (t,x) + f (t - s)uss (s,x)ds + ф\(t),(t,x) € G

u(0, x) = 0, u_t (0, x) = 0,0 < x< 1, u(t, 0) = u(t, 1) = 0, u(t,1/2)=t², t e [0, T].

Ищем u (t, x) и ^,(t).

t

Пусть v(t,x) = u_tt (t,x), тогда u(t, x) = f (t - s)v(s, x)ds и имеем:

tt

v(t, x) = v_xx (t, x) - f (t - s)v_xx (s, x)ds + f (t - s)v(s, x)ds + ф₁ (t),

0                        0

или vxx = f (t - s)vxx (s, x) ds + v(t, x) - f sv(t - s, x)ds - ф1 (t). 0                                  0

Резольвента примет вид: R(t, s) = sh(t - s), (t, s) e G.

Отсюда получаем следующую задачу:

t

t

s

v_xx (t, x) - v (t, x) = -f sv(t - s, x) ds - ^(t) + f sh (t - s ) v (s, x) - f tv(s

-

t, x)dT - ф(s) ds ,

v (t ,0) = v (t ,1) = 0.

Одронодную краевую задачу заменяем интегральным уравнением:

t 1                                                                         1

v (t, x)=j j G (x, ^) R (t, 5) v(5, ^) d ^ds - p( t) j G (x, £) d^ - j j [ G (x, £) R (t, s) ] d ^p s) ds -

0 0                                         00 0

-j j G(x, £)sv(t - s, £)d^ds - j j J R(t, s)G(x, ^)rv(s - t, ^^drd^ds, 00000

sh( x -1) sh( s)

где G(x,^) = <

sh(1) sh( x )sh( s -1)

sh(1)

0 < s< x,

x < s < 1.

Полагая x = 1/2 и учитывая, что u(t,1/2)=t2 и v(t,x) = utt(t,x) = 2, имеем t 1

2 + p(t)a = j j G(1/2, ^)R(t, s)v(s, §)d^ds - a j R(t, s)p(s)ds -

0 00

-j j G (1 / 2, ^)( t - s) v (s, ^) d^ds - j j Jr (t, s) G (1 / 2, ^)( s - t ) v (t, ^) dTd^ds, 00000

здесь a =j G (1/2, ^) d^ = 0,11.

Мы получили систему из двух уравнений, решение которой существует и единственно.

• 1.    Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2018. – 511 с.

• 2.    Бухгейм, А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи / А.Л. Бухгейм. – Новосибирск: Наука, 1983. – 207 с.

• 3.    Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. – 92 с.

• 4.    Фалалеев, М.В. О разрешимости в классе распределений вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. – 2020. – Т. 34. – С. 77–92.

• 5.    Исломов, Б.И. Обратная задача для уравнения смешанного типа с оператором дробного порядка в прямоугольной области / Б.И. Исломов, У.Ш. Убайдуллаев // Изв. вузов. Матем. – 2021. – № 3. – С. 29–46.

• 6.    Убайдуллаев, У. Ш. Обратная задача для смешанного нагруженного уравнения с оператором Римана–Лиувилля в прямоугольной области / У. Ш. Убайдуллаев // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. – 2020. – Т. 31, № 2. – С. 18–31.

• 7.    Гласко, Ю. В. Обратная задача интерпретации гравитационной и магнитной аномалий месторождения углеводородов / Ю.В. Гласко // Сиб. журн. индустр. матем. – 2020. – Т. 23, № 1. – С. 46–57.

• 8.    Мегралиев, Я.Т. Обратная краевая задача для линеаризованного уравнения Бенни–Люка с нелокальными условиями / Я.Т. Мегралиев, Б.К. Велиева // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. – 2019. – Т. 29, № 2. – С. 166–182.

• 9.    Дурдиев, У.Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах / У. Д. Дурдиев // Сиб. журн. индустр. матем. – 2019. – Т. 22, № 4. – С. 26–32.

• 10.    Суляндзига, П.Б. Внутренняя обратная задача комплексного магнитного потенциала / П. Б. Суляндзига, А. Н. Иванов, Е. П. Суляндзига // Дальневост. матем. журн. – 2019. – Т. 19, № 1. – С. 75–83.

• 11.    Zamyshlyaeva, A.A. Inverse problem for Sobolev type mathematical models / A.A. Zamyshlyaeva, A.V. Lut // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2019. – Т. 12, № 2. – С. 25–36.

• 12.    Камынин, В.Л. Обратная задача одновременного определения двух зависящих от пространственной переменной младших коэффициентов в параболическом уравнении / В.Л. Камынин // Матем. заметки. – 2019. – Т. 106, № 2. – С. 248–261.

• 13.    Князьков, Д.Ю. Обратная задача дифракции электромагнитной волны на плоском слое / Д.Ю. Князьков // Программные системы: теория и приложения. – 2018. – Т. 9, № 1. – С. 21–36.

• 14.    Бутерин, С.А. Обратная спектральная задача для интегро-дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля с условиями разрыва, / С.А. Бутерин // Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, Т. 64, № 3, Российский университет дружбы народов. – М., 2018. – С. 427–458.

• 15.    Корнилов, В.С. История развития теории обратных задач для дифференциальных уравнений - составляющая гуманитарного потенциала обучения прикладной математике / В.С. Корнилов // Вестник МГПУ. Серия: Информатика и информатизация образования. – 2009. – № 17. – С. 108–113.

• 16.    Мамытов, А.О. Обратная задача для линейного дифференциального уравнения четвертого порядка с переопределением во внутренних точках / А.О. Мамытов // Наука, новые технологии и инновации Кыргызстана. – 2015. – № 7. – С. 10–15.

• 17.    Мамытов, А.О. Определение правой части для одного класса линейного дифференциального уравнения четвертого порядка / А.О. Мамытов // Наука, новые технологии и инновации Кыргызстана. – 2014. – № 7. – С. 37–42.

• 18.    Мамытов, А.О. Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка / А.О. Мамытов // Молодой учёный. – 2016. – № 11(115). – С. 49–53.

Поступила в редакцию 25 мая 2021 г.

ON A PROBLEM OF DETERMINING THE RIGHT-HAND SIDE OF THE PARTIAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION

As it is known, in the inverse problem, apart from the sought-for “basic” solution of the problem (i. e., the solution of the direct problem), the components of the direct problem are unknown. It is required to find these unknown components, so they will be also included in the solution of the inverse problem. To determine these components in the inverse problem, some additional information on the solution of the direct problem is added to the given equations. The additional information is called the inverse problem data. In the proposed article, the specific fourth-order partial integro-differential equation with the known initial and boundary conditions is considered. For simplicity, the homogeneous boundary conditions have been examined, since with the help of a linear transformation, the always inhomogeneous boundary conditions can be reduced to the homogeneous ones. The right-hand side of the equation contains n unknown functions: φi(t), i = 1,2,…,n.. To determine these unknown functions: φi(t), i = 1,2,…,n in the inverse problem there is additional information on the solution of the direct problem, i.e., the values of the sought-for “basic” solution to the problem in the inner segments of the investigated

Мамытов А.О.                                  Об одной задаче определения правой части

____________________________интегро-дифференциального уравнения в частных производных region are known, i. e., u(t,xi) = gi(t), t∈[0,T], xi∈ (0,1), i = 1,2,…,n. The problem is investigated in a rectangle located in the first quarter of the Cartesian coordinate system. To solve the inverse problem, an algorithm has been elaborated and sufficient conditions for the existence and the uniqueness of the solution of the inverse problem for the restoration of the right-hand side in a fourth-order partial integrodifferential equation have been found. When solving the inverse problem, the methods of transformations, Green's function, solutions of systems of linear Volterra integral equations have been used. As a result, the inverse problem has been reduced to a system of (n + 1) linear Volterra integral equations of the second kind, the solution of which for small 0 < T exists and is unique. The considered inverse problem can be called the inverse source problem.

Received May 25, 2021