Об одной задаче оптимизации формы в стоматологии

В работе рассматривается одна прикладная задача оптимизации упругой формы. Она возникает в ортопедической стоматологии и содержательно заключается в определении оптимальной формы цельнокерамической реставрации (микропротеза) при восстановлении депульпированного зуба без использования армирующих штифтов. Оптимальной считается та форма микропротеза, которая при заданной внешней статической нагрузке обеспечивает равномерное распределение значений напряжений, возникающих на контактной границе реставрации с зубными тканями. При этом допустимая форма микропротеза должна удовлетворять ряду естественных для этой задачи габаритных, изопериметрических и других ограничений. Основной целью работы является разработка подходов к определению формы микропротеза, близкой к оптимальной (субоптимальной формы). Для этого используются методы математического и численного моделирования. В предположении однородности и изотропности материалов неоднородной конструкции «зуб - микропротез» строится математическая модель задачи. Для определения субоптимальной формы применяется метод последовательных приближений. Задается допустимая начальная форма контактной границы. Затем строится последовательность форм, в которой каждая последующая форма получается из предыдущей при помощи специальной локальной вариации контактной границы. Такая вариация обеспечивает выполнение всех ограничений и уменьшает значение минимизируемого функционала на каждой последующей форме. В результате строится близкая к оптимальной форма контактной границы. Применимость предлагаемого подхода иллюстрируется для случая упрощенной двумерной постановки неоднородной задачи теории упругости, решение которой описывает напряженно-деформированное состояние трехмерной неоднородной конструкции в ее частном плоском сечении. Такая упрощенная постановка возникает в результате применения известного метода плоских сечений. Приводятся результаты математического и численного моделирования.