Об одном автоморфизме порядка 2 бернсайдовой группы B_0 (2, 5)

Свободной бернсайдовой группой периода n с m образующими называется группа B(m, n) = F m /F m , где F m — свободная группа ранга m и F m — ее подгруппа, порожденная всеми n -ми степенями элементов из F m . Проблема Бернсайда для пары (m, n) звучит так: «Является ли группа B(m,n) конечной?» П. С. Новиков и С. И. Адян показали [1], что ответ отрицательный, если m >  2 и n — достаточно большое нечетное число, однако для небольших нечетных n ( 5 6 n 6 663 ) проблема Бернсайда остается нерешенной.

Пусть B o (m, n) = F _m /U (m, n) , где U (m, n) — пересечение всех нормальных подгрупп N 6 F m , для которых F _m /N — конечная группа периода n . А. И. Кострикин показал [2], что B o (m, n) конечна, если n — простое число. Е. И. Зельманов обобщил эту теорему Кострикина на случай, когда n — степень простого числа [3]. Отсюда из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна [4] с использованием классификации конечных простых групп вытекает конечность B 0 (m, n) для произвольных m и n .

Поскольку U(m,n) >  F mm , эти результаты показывают, что проблема Бернсайда для (m, n) решается положительно тогда и только тогда, когда U(m, n) = F mn , т. е. B o (m, n) = B ( m, n ) .

Так как (2, 5) — «наименьшая» пара, для которой проблема Бернсайда не решена, то группа B o (2, 5) представляет особый интерес. В [5] вычислен ее порядок (он равен 5 34 ) и найдены определяющие соотношения. В настоящей работе эти соотношения используются для исследования строения централизатора в B o (2 , 5) представителя одного из двух существующих классов инволютивных автоморфизмов группы B o (2, 5) .

Пусть {х,у } — образующие группы B o (2, 5) . Рассмотрим автоморфизм у , действующий на образующие следующим образом:

У :

f x ^ У, (у ^ х.

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект № 2.1.1/3023, а также Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 09-01-00717-а, № 10-01-00509-a.

Пусть С в 0 (2,5) (^) — централизатор автоморфизма у в В о (2, 5) . Далее для краткости будем обозначать C b ₀ (2,5) ( ^ ) через C .

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Для C имеют место следующие утверждения:

• (1)    |C| =5 17 .

• (2)    Ступени нильпотнтности и разрешимости для C равны 6 и 3 соответственно.

• (3)    3 — минимальное число порождающих C .

C 1) Как и в [5] будем представлять элементы В о (2,5) в виде нормальных коммутаторных слов. В качестве первых двух коммутаторов возьмем образующие группы В о (2, 5) , которые обозначим 1 и 2, а последующие с 3-го по 34-й коммутаторы вычисляются рекурсивно через 1 и 2 [5].

В этом случае каждый элемент g Е В о (2,5) однозначно представляется упорядоченным произведением базисных коммутаторов в определенных степенях g = 1 ^а 1 2 ^а 2 ... 34 ^а 3⁴ , где a i Е {0,1, 2, 3,4} (i = 1, 2,..., 34) . Иногда для краткости мы будем писать g = (a i , a 2 ,..., а з4 ) .

Для доказательства теоремы необходимо найти в группе В о (2, 5) все такие элементы g , что

^(g) = y(1 ^a 1 ... 34 ^a 34 ) = y(1) ^a 1 ... y(34) ^a 3⁴ = 1 ^a 1 ... 34 ^a 3⁴ = g.             (1)

При помощи компьютерных вычислений, используя список соотношений для базисных коммутаторов из [5], был вычислен результат действия у на каждый базисный коммутатор:

^(1) = (0,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

^(2) = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

^(3) = (0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

^(4) = (0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0,1,4,1, 0,1,1,1, 3, 4, 0,1,1,4,1,4,4, 0, 0, 3, 3, 3,1),

^(5) = (0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0, 3, 0,1, 4, 2, 0, 0,1, 3, 3, 0,1,1,4,4, 0,1, 0,1, 0, 0, 3, 3, 3, 0,1), ^(6) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0,1, 0, 0, 4, 2, 3, 0, 3,1,1, 0, 3, 3,1,4,1, 2,4), ^(7) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 3,4,1, 2, 2,4, 0,4,4,1,1, 0,1,1,1,1, 3, 3, 0,4, 2, 4, 0, 2, 3, 0), ^(8) = (0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0,4, 2, 0, 0, 2, 3, 3, 0,1, 0, 0, 0,4, 0, 2, 3, 0,1, 3, 3), ^(9) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 3, 2,4,1,4,1, 3, 4, 2,1,1,1, 3, 0,4, 3, 4, 2,1, 3, 3, 0), ^(10) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 3, 3, 0, 0,4,4, 3, 0, 3, 0,4, 0, 3, 2, 0,1, 0, 2,1,1, 3, 3, 3),

^(11) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 2,4, 0,4,1,4, 0, 2,1, 0,4,4, 0, 3,1, 3, 0,4),

^(12) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 3, 0, 2,4,4,1, 0, 3, 4, 2, 0,1, 0,1,4, 3, 2, 2, 3),

^(13) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3,4,4,1, 3, 3, 3,4, 0, 4,1,1, 3, 0,1,1, 0,1, 4,1),

^(14) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 0,4, 3, 0, 0, 3, 0, 0,4, 0, 0,1, 0, 3,1,1),

^(15) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0,1, 2, 0,1, 0,4,4, 0,1, 2,1, 3,1,1),

^(16) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,4,4, 0, 2,1, 2, 0, 4, 0, 0, 2,4, 2, 0,1, 3, 4, 2),

^(17) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3,4,1, 0, 3, 3, 3, 0,4, 0,4, 3, 0,1, 2, 3),

^(18) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 0,4, 0, 0, 3, 2, 0,1, 0, 0, 3,4,1, 2, 3),

^(19) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 0, 3, 2, 2, 2,1),

^(20) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3,4, 0, 0,1, 0, 2, 0, 0,1,1,4, 2, 0, 2),

^(21) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0,4, 4, 3,4, 0,4,4,1, 0, 0,1),

^(22) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 3,1, 0, 3,4, 0),

^(23) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0,1, 2),

^(24) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2,4, 0, 0, 2,1,4, 3, 3),

^(25) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0,4,1, 3),

^(26) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 0,4,4, 0,4, 2, 3), ^(27) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 3),

^(28) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 0, 4),

^(29) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0,1, 3),

^(30) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 0,1, 3, 0),

^(31) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0,4, 0, 4),

^(32) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0),

^(33) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0),

^(34) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1).

Так как у — автоморфизм, то

у(1 ^а 1 2 ^а 2 ... 34 ^а 34 ) = у(1 ^а 1 ... 10 ^а 10 М11 ^аи ... 34 ^а 3⁴ ).                    (2)

В [5] показано, что коммутаторы с 11 по 34 перестановочны и порождают в В о (2, 5) характеристическую нормальную абелеву подгруппу, поэтому

y(11^au12 ^{a 12} ... 34 ^a 3⁴ )

= 11 ^{γ 11} 12 ^{γ 12}

... 34 ^{Y 34} .                              (3)

Беря во внимание (2) и (3), найдем такие элементы V k = 1 ^а 1 2 ^а 2 ... 10 ^а 10 , что ^(v k ) = у(1 ^а 1 2 ^а 2 ... 10 ^{а 10} ) = 1 ^а 1 2 ^а 2 ... 10 ^{а 10} b k , где b k = 11 ^{в 11} 12 ^{в 12} ... 34 ^в 3⁴ .

В результате полного перебора, используя компьютерные вычисления, было получено, что всего таких элементов V k будет 625.

Ввиду того, что коммутаторы с 11 по 34 перестановочны, нахождение степеней ац, а 12 , ... , а з4 , удовлетворяющих условию (1), сводится к решению систем линейных уравнений над полем GF (5) следующего вида:

Aa + ~ k = a (k = 1, 2,..., 625).

Здесь, а = (ац,..., аз4)т — вектор неизвестных значений степеней коммутаторов с 11 по 34. bk = (в11,..., вз4)Т — векторы с координатами равными значеням степеней коммутаторов с 11-го по 34-й для элементов вида Vk. A24x24 — матрица, каждый элемент aij которой вычисляется как aij = в(г+10), т- е- является степенью коммутатора (i + 10) под действием автоморфизма на коммутатор (j + 10): ^(j + 10) = ... (i + 10)e(i+10) ... (i, j = 1, 2,..., 24). Другими словами, если w = 11a11 ... 34a34 и ^(w) = 11Y11 ... 34Y34, то в векторном виде это можно записать как Aa = ~, где a = (ац,..., a34)T и 7 = (711,...,734)Т.

Перепишем систему (4) в виде (A — E)a = —b k , где E — единичная матрица.

Для каждого b k необходимо исследовать систему на совместность. Для этого сначала было найдено, что ранг матрицы [A — E ] равен 11. Затем, при помощи компьютерных вычислений было получено, что ранги расширенных матриц [(A — E )|(— b k )] для всех k также равны 11. Таким образом, все системы уравнений совместны. Так как число параметров будет 24 — 11 = 13 , то каждая система имеет 5 ¹³ решений. Общее же чило решений равно 625 • 5 ¹³ = 5 ¹⁷ . Каждому полученному решению будет однозначным образом соответсвовать элемент группы В о (2, 5) , удовлетворяющий условию (1). Первое утверждение теоремы доказано.

• 2)    Рассмотрим следующие элементы группы В о (2, 5) :

ki = (3, 3, 2,4, 0, 0, 2, 3, 3, 2,1,1, 3, 0, 3, 0,4,4,1, 2, 0,1, 3, 2,1,4,1, 4, 4,1,1, 2,4, 2), k2 = (1,1, 3,1,4, 2, 0, 3, 3, 3, 0,1, 3, 3, 0, 0, 3,1, 4, 4,4, 2, 2,4,4,4,4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2), кз = (4, 4, 3, 3,1, 0, 3,1,1, 3, 3, 3,4,4,4,1, 0, 2,1, 4,4, 0,1, 3, 2,4,4, 2,1,1, 0,1, 3, 3).

Поскольку ^(k i ) = k i (i = 1, 2, 3) , то k i G C.

При помощи компьютерных вычислений получим подгруппу K = hk i , k 2 , k 3 i в коммутаторном представлении.

Коммутаторы веса 1: 1 = k 1 , 2 = k 2 , 3 = k 3 .

Коммутаторы веса 2: 4 = [2, 1] , 5 = [3, 1] , 6 = [3, 2] .

Коммутаторы веса 3: 7 = [4,1] , 8 = [4, 2] , 9 = [5,1] .

Коммутаторы веса 4: 10 = [7,1] , 11 = [7, 2] , 12 = [8, 2] , 13 = [9,1] .

Коммутаторы веса 5: 14 = [10, 2] , 15 = [11, 2] .

Коммутаторы веса 6: 16 = [14,1] , 17 = [14, 2] .

Ниже приведены нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:

• [2,1]    = 4 , [3,1] = 5 , [3, 2] = 6 , [4,1] = 7 , [4, 2] = 8 , [4, 3] = 7 2 • 8 3 • 10 2 • 12 2 • 14 • 15 2 • 16 2 • 17 , [5,1] = 9 , [5, 2] = 7 4 ^8 3 •О ² •Ю ³ •11^12 ³ 4344 4 •Тб ² 46 3 •ХТ ³ , [5, 3] = 7 2 ^8 4 ^9 3 41 3 43 3444 4546 , [5,4] = 14 3 • 16 • 17 ² , [6,1] = 7 ² • 9 ² • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 4 • 16 3 • 17 ⁴ , [6, 2] = 7 ³ • 8 ³ • 9 ⁴ • 10 3 • 11 ⁴ • 12 3 • 13 ⁴ • 14 4 • 15 3 • 16 ⁴ • 17 ⁴ , [6, 3] =7 3 • 8 ⁴ • 9 • 10 ² • 11 ⁴ • 12 2 • 13 ⁴ • 14 • 15 3 • 16 3 • 17 , [6,4] = 1446 4 47 4 , [6, 5] = 14 4 46 4 47 , [7,1] = 10 , [7, 2] = 11 , [7, 3] = 10 ² 41 3 44 ² 45 446 47 3 , [7,4] = 14 • 16 • 17 ⁴ , [7, 5] = 14 3 • 16 3 • 17 ² , [7, 6] = 14 3 • 16 3 • 17 ² , [8,1] = 11 • 14 • 15 ² • 17 3 , [8, 2] = 12 , [8, 3] = 11 ² • 12 344² 4546 2 47 3 , [8,4] = 15 ² , [8, 5] = 154647 2 , [8, 6] = 1546 ² 47 4 , [8, 7] = 16 ² • 17 ⁴ , [9,1] = 13 , [9, 2] = 10 ⁴ • 11 3 • 13 ² • 14 4 • 15 ⁴ • 16 ² , [9, 3] = 10 ² • 11 ⁴ • 13 3 • 14 3 • 15 ⁴ • 16 ² • 17 ² , [9,4] = 14 3 • 16 • 17 ² , [9, 5] = 14 4 • 16 3 • 17 , [9, 6] = 14 4 • 16 3 • 17 , [9, 8] = 16 ⁴ • 17 3 ,

• [10,1] = 16 , [10, 2] = 14 , [10, 3] = 14 3 • 16 ⁴ • 17 3 , [10, 4] = 16 , [10, 5] = 16 3 , [10, 6] = 16 3 ,

• [11,1]    = 14 ² • 16 ⁴ • 17 ⁴ , [11, 2] = 15 , [11, 3] = 14 4 • 15 3 , [11,4] = 16 ² , [11, 5] = 16 , [11, 6] = 16 , [12,1] = 15 3 • 17 , [12, 2] = 16 , [12, 3] = 15 • 16 3 • 17 3 , [12, 4] = 16 ⁴ , [12, 5] = 16 ² , [12, 6] = 16 ² , [13,1] = 16 ⁴ , [13, 2] = 14 3 • 16 • 17 3 , [13, 3] = 14 4 • 16 ² • 17 3 , [13,4] = 16 3 , [13, 5] = 16 ⁴ ,

[13, 6] = 16 ⁴ , [14,1] = 16 , [14, 2] = 17 , [14, 3] = 16 ² • 17 3 , [15,1] = 16 ² • 17 ² , [15, 2] = 16 ² ,

[15, 3] = 17 ⁴ .

Любой элемент g G K представим в виде нормального коммутаторного слова g = 1а1 • 2a2 • ... • 17a17, ai G {0,1, 2, 3, 4} (i = 1, 2,..., 17). Так как |K| = |C|, то K ' C. Используя вышеприведенное коммутаторное представление, построим нижний центральный ряд группы C :

C D Ci D C2 D C3 D C4 D C5 D Сб = e, где Ci = [C, C] = h4,5,..., 17>, C2 = [Ci, C] = h7,8,..., 17>, C3 = [C2, C] = h10,11,..., 17>, C4 = [C3, C] = h14,15,16,17>, C5 = [C4, C] = h16,17>.

Теперь построим верхний центральный ряд группы C :

e = Zo C Zi C Z2 C Z3 C Z4 C Z5 C Z6 = C, где Zi = C5, Z2 = C4, Z3 = C3, Z4 = C2, Z5 = Ci.

Далее вычислим ступень разрешимости C . C ⁽ⁱ⁾ = [C, C] = C i . Из полученных в пункте 2) соотношений следует, что C ⁽²⁾ = [C ⁽ⁱ⁾ , C ⁽ⁱ⁾ ] = h14,15,16,17> является абелевой подгруппой, поэтому ступень разрешимости группы C равна 3.

• 3)    Так как |C/C i | = 5 3 , то 3 — минимальное число порождающих C . B