Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом
Автор: Насибуллин Рамиль Гайсаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.18, 2016 года.
Бесплатный доступ
Мы доказываем новые дискретные неравенства типа Харди с логарифмическими весами. Логарифмический вес находится под знаком модуля. Константа в неравенстве является точной.
Неравенства типа харди, логарифмический вес, точность констант
Короткий адрес: https://sciup.org/14318540
IDR: 14318540
Текст научной статьи Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом
В 1920 г. при попытке упростить неравенства. Гильберта, (см. [20, с. 272]), Г. X. Харди в статье [19] получил неравенство:
∞
p
n =1
p∞ apn, n=1
где p> 1. an > 0 11 An = ^n=1 щ.
Следующее утверждение является аналогом дискретного неравенства. (1) в интегральном случае [20]:
∞
Fp dx xp
∞
/ pV Г
6 |p - 1| f dx
Р> 1 P = 1,
где f (x) — неотрицательная измеримая функция на. [0, то). а x
R f (f) dt,
P> 1, p < 1.
F (x) = <
∞
R f (t) dt, x
Константа (p/|p — 1|)p в общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Несмотря на. то, что константа, неулучшаема, не существует функции, на. которой эта. константа, достигается.
Дальнейшие исследования и обобщения неравенств типа. Харди можно найти в работах [2-18, 21-37]. Неравенства, типа. Харди широко распространены, поскольку они
находят широкое применение в математической физике, в анализе и в теории дифференциальных уравнений [1, 5, И, 16, 24]. Например, С. Л. Соболев использовал их в теории вложения функциональных пространств. Ф. Г. Авхадиев [1] использовал неравенства Харди для оценки жесткости кручения. Результаты А. Лаптева, Т. Вейдла из [24], и результаты А. Балинского, А. Лаптева и А. В. Соболева из [И] могут быть применены при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шрёдингера. Другое применение этих результатов относится к проблеме существования резонансных состояний.
Отметим, что в статьях [13, 14, 17, 20, 26] авторы получили дискретные неравенства Харди. Например, в [26] было доказано следующее обобщение неравенства типа Харди:
∞
nα n=1
( Ё aP) n =1
n
p∞α
I 1 n - an, ^^ \2
n=1 х7
где an > 0 (n G N). p > 1 11 —1 < a < p — 1.
Ясно, что дискретные неравенства (1) и (3) при p = 1 и интегральное неравенство (2) при p = 1 теряют смысл. В интегральном неравенстве логарифмический вес помогает устранить эту особенность и позволяет получить аналог неравенства (2) при исключительном случае параметра. Примеры использования логарифмов в неравенствах типа Харди можно увидеть в [2-4, 16, 21, 25, 31, 32]. Приведем лишь результат Ю. А. Дубинского из статьи [16]:
Теорема А. Пусть f : (0, +то) ^ R1 — локально интегрируемая функция такая, что интеграл ∞ j If (r)|prp-1dr, p > 1, сходится. Тогда для любого R > 0
∞
/ r|ln R|p
r j f (t)dt
R
p dr 6
∞ p
I prp Mr.
Обратим внимание, что в (4) логарифмический вес находится под знаком модуля (см. также [3, 16, 25, 31]). Будут ли верны дискретные аналоги неравенства (4)? В этой работе мы попытаемся ответить на этот вопрос. В первой части этой статьи мы приведем основные и вспомогательные утверждения. Вторая часть посвящена доказательству точности констант. Статьи Ф. Г. Авхадиева и К.-И. Виртца [8-10] также посвящены получению и доказательству точности констант.
2. Основные результаты
Верна следующая
Теорема 1. Пусть p > 1, l G [1,p], ai > 0 и при целом n > 1 полагаем, что
[R] —1n—
1 6 n 6 [R], n > [R] + 1,
An
Е ai — Е ai, i=0
n
E ai — E ai, i=0
где [R] — целая часть от числа R > 1. Тогда верно следующее неравенство типа Харди:
АП 6 / p \ 1 X АП laln Ilo n Ар
П (n + 1) | log n |p Vp — V ^ (n +1)1-11 og R 1
1 n 1
Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Пусть p > 1, n Е N, и пусть R — произвольное нецелое положительное число. Если R > n + 1. то и если R < n — 1. to
Р — (Р — 1)
(n + 1) (log R)
log ПГ Т logR
)
> 1,
Р - (P - ДС +1) (log R)
log n-1 log R
> 1.
<1 Преобразуем неравенство (5). Имеем следующие эквивалентные переходы
1 log -R 1 + (n + 1) log RA p — 1 > (p — 1)
__________+ g n +1 ^ ^ 1 > v ' g n +1 (n + 1) (logR) log Ry (n + 1) logR
^^ (n + 1) log — > 1 + (n + 1) log----^^ (n + 1) log n + > 1.
n n + 1 n
Последнее неравенство легко устанавливается.
Теперь перепишем (6). Имеем
1 >
1 + log ПТ
(n + 1)log R log R ‘
После элементарных вычислений можем получить, что
(n + 1) log n > 1 + (n + 1) log n - 1 ^^ (n + 1) log —n— > 1. R R n—1
Последнее утверждение также можно легко показать, в
< ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Пусть 1 6 n 6 [R] — 2. Определи!i функцию X следующим образом:
X (n) =
АП ___p АП-1
(n + 1) (log R )p p - 1 (log R )p-1
A n
Ap p ap - 1
X (n) = 7----iTTi— fpvp --T7--- "rAET ( А п - An +1 )
(n + 1)^og R)P p - 1(log R)p 1
АП / 1p ! p АП-1
(log RГ1 (n +1)log R p - 1 p — 1 (log R )p - 1 n+1
p-11
АП ( 1 p V p f АП APn+1V .
----------------г I -------------------7T — -------- 1 +--I ------------: 77— I I ~~:------------t^t I log --------. (log R)p-T (n + № R p — 1 p — 1 (lOg R) (^ log nRi)p
Используя неравенство Гёльдера при соответствующих значениях параметров, мы имеем
X (n) 6
p An
i
(n + 1) log R
-
p
p-
+--
(log R )
p An
( p -1) p
p
-
+
1 A'
p — 1
p- 1
1 A +1 1 Api
- p—1 (log п+Г p"1 (,og R)p-1
p
-
p —1
(n + 1) log R
-
(p —1)
R og n +1 log R gn
)
Далее воспользовавшись леммой 1, получаем
X(n)
1 p —1
pp n+1 An
-
/ D \p- 1 R p- 1 ,
(log n +1) ^ n
1 6 n 6 [R] — 2.
Очевидно, что X([R]) = 0. Осталось оценить X([R] — 1). Используя вышеприведенные рассуждения и неравенство
16 [R]logiRR—г несложно показать, что x ([R] — 1) 6
1 __ ApR ] - 1
p - 1 ( log T R- 1 )
Далее оценим РП=1 X(n)- Имеем
[ R ] [ R ] p
X X (n) = X ---- n-— £1£1 (n + 1) (lo g R )
-
p An 1
P - 1 ( log RГ1

[ R ] - 2
-
p
p
-
-
X
n =1
p
A[R ] - 1
p
An + 1
p- 1
p An
p- 1
-
R\p-1
-
Ap
P — 1(log R)p-1
6 0.
Следовательно, P^RL X(n) 6 0. Таким образом, справедливо неравенство
[ R ]
X n=1
p An
(n + 1) ( log R ) p
6 p
p
-
[ R ]
1X n=1
p- 1 An
R yp-1 an‘
Пусть теперь n > [R] + 3. Определи!i (руикцию Y следутотщш образом:
Y (n) =
p An
(n + 1) (log R)p
-
p An 1
a.
P — 1 ( log R ) p-1
An pp- npn
Y (n)=(n + 1) ( log R ) p - p - 1 ( log R Г1 (An - An^
An / 1p \ + p An-1A
( log R ) p—1 (n + 1)log R P - 1 P - 1 ( log R ) p—1 n— 1
p
An 1
-
(log R)p—1 (n + 1)log Rp
+
p
p -
p
n
, s p ( p- l)
(log R ) p-1
p - 1 p
( An— !pi n-1
I (log v d r
В силу неравенства Гёльдера, получим
Y (n) 6
p n
(log R Г1
1 p
-
(n + 1) ( log R ) p - 1
+ AP , 1 AP,- 1
p(p— 1) 1 — p _ p— 1
( log R ) p—1 ( log nR1 ) p—1 p 1 ( log “ )
1 An 1 1 An
- p - 1 (log n^)p—1 p - 1 (log R)p—1
p - 1 - ( - з ) log n-
(n + 1) log R ( ) log R
В последнем утверждении мы использовали тот факт, что p Е (1,p ] и log nR1 / log RR < 1. Из леммы 1 следует оценка
Y (n)
6--- p-1
An— 1 Ap
-
( log nRd ) p—1 ( log R ) p—1
n > [R] + 3.
Теперь оцепим Y([R] + 1) 11 Y([R] + 2). Очевидио. что Y([R] + 1) = 0. Используя нера венство
16 (iRi+3)logiRR-;T'
имеем
Y ([R]+2)
p
1A [ R ]+2
p - 1 ( log [ R + Г 1
Следовательно, для фиксированного целого N > [R] + 1, получаем
X Y (n) 6
n =[ R ]+1
- p-
p
A [ R ]+2
1(log И+2) p-1
N
+ X n=[R]+3
p
An— 1
p n
p -1 log nF p—1
-
(log R)p—1
)
-
p AN
p - plog RF 1
6 0,
t. e. P N=[R]+1 Y (n) 6 0. Следовательно.
N
X n=[R]+1
Apn
(n + 1) (log R ) p
p
p
N
X n=[R]+1
p-n
(log R)p
an.
В итоге из (7) и (8), имеем
N
X n =1
Apn
(n + 1) [ log R i p
p p-
N
X n=1
p-1 An
I log R Г1
an.
Используя неравенство Гёльдера, получим
N
X n =1
Apn
(n + 1) Ilog R [p
N
6 X n=1
p An
(n + 1) Ilog R [p
)
l l p-l l p An an
p-
1 (n + 1)1 -
n l-p [log R
1 l
N
n =1
Apn
(n + 1) [ log R [p
N l p - l l
+ _ X^ p 1 An an l ^ \P — 1 (n + 1)1-/ n=1
, n [l-p log RI
Таким образом,
N
X n =1
A pn
(n + 1) [ log R [p

p-l l n an
(n + 1)1-1
n l-p log R1
Устремляя N ^ то. получаем утверзкдепие теоремы. B
Следствие 3. Пусть an > 0 при каждом целом n > 1, p > 1 и
' [R]-1
1 6 n 6 [R], n > [R] + 1,
An
Е ai — Е ai, i=0
n [ R ] + 1
E ai — E ai, i=0
где [R] — целая часть любо го неотрицательного R > 1. Тогда верно следующее неравен ство типа. Харди
∞
Apn
(n + 1) Ilog R [p

p an
(n + 1)1-p ‘
X n =1
3. Точность константы l—p
Пусть an —
0,
( n+1 ) ( log R )
1+ e , p
1 6 n 6 [R], n > [R] + 1,
причем p — 1 — e > 0.
Определим Y как
∞
Y — X n =[ R ]+1
p a n
(n + 1)1-p ‘
Прямые вычисления дают
∞
∞
Y = У n=[R] + 1 (n + 1) (log R)
— >
у
.[R +1 (n + 1) (log n +l)
n +1 \ 1+е
∞
> n=[R]+1
(r + 1) ( log r R 1 ) 1+e
∞ dr = / n =[ R ]+1
d log rR1 = 1
( log rR1 ) 1+e" e
[R] +2 e log
.
Верно следующее соотношение
Y<--------;-------■
([R] + 2) (log [ RR1) p
∞
+ 7
n =[ R ]+1
dr.
(r +1) ( log rR1 ) +
Таким образом,
Y = - (log ε
[R] + 2
R
-ε
+ 0(1).
Также имеем неравенство
n
n
An = E ai = E i =[ R ]+2 i =[ R ]+2
n
>
[ R ]+2
dr
(r + 1) (log rp > J
R [ R ]+2
(i + 1) ( log R ) |1+e)/p
n
dr
(r +1) ( logrR1 ) |1+e)/p
p p — 1 — e

p—1 — E n + 1 \ p
R
-

[R] +3
R
p — 1 — E p
p
p
—1—e
H (n).
Следовательно,
An > / p У H p(n)
(n + 1) ( log R ) p > p — 1 — e (n + 1) ( log nR1 ) p
( p— 1 — E\ p [ R ]+3 P
1 - log j-R- \ p \ __________1__________ log nR1 (n + 1) (log nR1 )1+e
-
> 7 p V 1— Kn
p — 1 — e) (n + 1) (log nR! )1+e ’ где Kn ^ 0 nj)ii n ^ to. Таким образом,
∞
X = X n=[R]+1
Apn
(n + 1) ( log R ) p
>
p
p
—1
-ε
N
X n =[ R ]+1
1 — Kn
(n + 1) (log nR1 ) 1+e
N p pN p dr p Kn
- p
p
p
—1
-ε
ε
log
[R]+2 R
-ε
+ O(1).
Ясно, что
p
X
Y>
ε
+ еО(1)
Устремляя е ^ 0. полупим
Таким образом, при любом е о > ство
(log [ R J+2)
ε
+ еО(1)
X> p p
Y > p - 1
.
.
существует an = an(E) такое.
что выполнено неравен-
∞
X n =0
p n
p
∞
(n + 1) Ilog R |p
>
p an
n =0
(n + 1)1-p ■
Это показывает, что константа неравенства теоремы 1 при l = p является точной.
Автор благодарит своего научного руководителя профессора. Ф. Г. Авхадиева за. ценные советы и замечания.
Список литературы Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом
- Авхадиев Ф. Г. Неравенства для интегральных характеристик областей.-Казань: КГУ, 2006.-140 с.
- Авхадиев Ф. Г., Насибуллин Р. Г., Шафигуллин И. К. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства//Изв. вузов. Матем.-2011.-№ 9.-C. 90-94.
- Насибуллин Р. Г. Обобщения неравенств типа Харди в форме Ю. А. Дубинского//Мат. заметки.-2014.-Vol. 95, № 1.-C. 109-122.
- Насибуллин Р. Г., Тухватуллина А. М. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей//Уфимский мат. журн.-2013.-Т. 5, № 2.-С. 43-55.
- Соболев Л. С. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных.-М.: Наука, 1989.-254 c.
- Ancona A. On strong barriers and an inequality of Hardy's for domains in Rn//J. London Math. Soc.-1986.-Vol. 34.-P.274-290.
- Avkhadiev F. G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants//Lobachevskii J. Math.-2006.-Vol. 21.-P. 3-31.
- Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains//Z. Angew. Math. Mech.-2007.-Vol. 87.-P. 632-642.
- Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Weighted Hardy inequalities with sharp constants//Lobachevskii J. Math.-2010.-Vol. 31.-P. 1-7.
- Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants//Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin.-2011.-Vol. 18.-P. 723-736.
- Balinsky A., Laptev A., and Sobolev A. V. Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms//J. of Statistical Physics.-2004.-Vol. 116, № 1-4.-P. 507-521.
- Brezis H., Marcus M. Hardy's inequality revisited//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 4.-1997.-Vol. 25, № 1-2.-P.217-237.
- Chen C., Luor D., and Ou Z. Extensions of Hardy's inequality//J. Math. Anal. Appl.-2002.-Vol. 273.-P. 160-171.
- Czmesija A. On weighted discrete Hardy's inequality for negative power numbers//J. Math. Inequal. Appl.-2005.-Vol. 8, №2.-P. 273-285.
- Davies E. B. A review of Hardy's inequalities//The Maz'ya anniversary Collection. Vol. 2. Oper. Theory Adv. Appl.-1999.-Vol. 110.-P. 55-67.
- Dubinskii Yu. A. A Hardy-type inequality and its applications//Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics.-2010.-Vol. 269.-P. 106-126.
- Gao P. Hardy type inequalities via auxiliary sequences//J. Math. Anal. Appl.-2008.-Vol. 343.-P. 48-57.
- Gord Sinnamon. Weighted inequalities for positive operators//J. Math. Inequal. Appl.-2005.-Vol. 8, № 3.-P. 419-440.
- Hardy G. H. Note on a theorem of Hilbert//Math. Zeitschr.-1920.-Vol. 6.-P. 314-317.
- Hardy G. H., Littlewood J. E., and Polya G. Inequalities.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1973.
- Hoffmann-Ostenhof M., Hoffmann-Ostenhof T., and Laptev A. A geometrical version of Hardy's inequality//J. Funct. Anal.-2002.-Vol. 189, № 2.-P. 539-548.
- Kufner A., Persson L.-E. Weighted Inequalities of Hardy's type.-World Sci. Publ. Co Inc., 2003.-376 p.
- Landau E. A note on a theorem concerning series of positive terms: extract from a letter of Prof. E. Landau to Prof. J. Schur//J. London Math. Soc.-1926.-Vol. 1.-P. 38-39.
- Laptev A., Weidl T. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms/\!/Operator Theory: Advances and Appl.-1999.-Vol. 108.-P.299-305.
- Ling-Yau Chan. Some extensions of Hardy's inequality//Canad. Math. Bull.-1979.-Vol. 22, № 2.-P. 165-169.
- Liu J., Xuande Zhang, and Bo Jiang. Some generalizations and improvements of discrete Hardy's inequality//Comp. Math. Appl.-2012.-Vol. 63.-P. 601-607.
- Miclo L. An example of application of discrete Hardy's inequalities/\!/Markov Processes Relat. Fields.-1999.-Vol. 5, № 3.-P.319-330.
- Miklyukov V. M., Vuorinen M. K. Hardy's inequalities for W_0^{1,p} -functions on Riemannian manyfolds//Proc. Amer. Math. Soc.-1999.-Vol. 127, № 9.-P. 2745-2754.
- Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights//Stud. Math.-1972.-Vol. 44, № 1.-P. 31-38.
- Okpoti Ch. A., Persson L.-E., and Wedestig A. Weight characterizations for the discrete Hardy inequality with kernel//J. Math. Inequal. Appl.-2006.-Vol. 2006.-P. 1-14.
- Pachpatte B. G. A note on certain inequalities related to Hardy's inequality//Indian J. Pure Appl. Math.-1992.-Vol. 23, № 11.-P. 773-776.
- Pecaric J. E., Love E. R. Still more generalization of Hardy's inequality//J. Austral. Math. Soc. Ser. A.-1995.-Vol. 59.-P.214-224.
- Qiang Chen, Bicheng Yang. Half-discrete Hardy-Hilbert's inequality with two interval variables//J. Math. Inequal. Appl.-2013.-Vol. 485.
- Stepanov V. D. The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions//Trans. Amer. Math. Soc.-1993.-Vol. 338, № 1.-P. 173-186.
- Talenti G. Osservazione sopra una classe di disuguaglianze//Rend. Semin. Mat. Efis. Milano.-1969.-Vol. 39.-P. 171-185.
- Tomaselli G. A class of inequalities//Boll. Unione Mat. Ital. Ser.-1969.-Vol. 4, № 6.-P. 622-631.
- Wannebo A. Hardy Inequalities//Proc. Amer. Math. Soc.-1990.-Vol. 109, № 1.-P. 85-95.