Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом

Автор: Насибуллин Рамиль Гайсаевич

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.18, 2016 года.

Бесплатный доступ

Мы доказываем новые дискретные неравенства типа Харди с логарифмическими весами. Логарифмический вес находится под знаком модуля. Константа в неравенстве является точной.

Неравенства типа харди, логарифмический вес, точность констант

Короткий адрес: https://sciup.org/14318540

IDR: 14318540

Текст научной статьи Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом

В 1920 г. при попытке упростить неравенства. Гильберта, (см. [20, с. 272]), Г. X. Харди в статье [19] получил неравенство:

p

n =1

p∞ apn, n=1

где p> 1. an > 0 11 An = ^n=1 щ.

Следующее утверждение является аналогом дискретного неравенства. (1) в интегральном случае [20]:

Fp dx xp

/ pV Г

6 |p - 1| f dx

Р> 1 P = 1,

где f (x) — неотрицательная измеримая функция на. [0, то). а x

R f (f) dt,

P> 1, p <  1.

F (x) = <

R f (t) dt, x

Константа (p/|p — 1|)p в общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Несмотря на. то, что константа, неулучшаема, не существует функции, на. которой эта. константа, достигается.

Дальнейшие исследования и обобщения неравенств типа. Харди можно найти в работах [2-18, 21-37]. Неравенства, типа. Харди широко распространены, поскольку они

находят широкое применение в математической физике, в анализе и в теории дифференциальных уравнений [1, 5, И, 16, 24]. Например, С. Л. Соболев использовал их в теории вложения функциональных пространств. Ф. Г. Авхадиев [1] использовал неравенства Харди для оценки жесткости кручения. Результаты А. Лаптева, Т. Вейдла из [24], и результаты А. Балинского, А. Лаптева и А. В. Соболева из [И] могут быть применены при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шрёдингера. Другое применение этих результатов относится к проблеме существования резонансных состояний.

Отметим, что в статьях [13, 14, 17, 20, 26] авторы получили дискретные неравенства Харди. Например, в [26] было доказано следующее обобщение неравенства типа Харди:

nα n=1

( Ё aP) n =1

n

p∞α

I 1 n - an, ^^ \2

n=1 х7

где an >  0 (n G N). p >  1 11 —1 < a < p — 1.

Ясно, что дискретные неравенства (1) и (3) при p = 1 и интегральное неравенство (2) при p = 1 теряют смысл. В интегральном неравенстве логарифмический вес помогает устранить эту особенность и позволяет получить аналог неравенства (2) при исключительном случае параметра. Примеры использования логарифмов в неравенствах типа Харди можно увидеть в [2-4, 16, 21, 25, 31, 32]. Приведем лишь результат Ю. А. Дубинского из статьи [16]:

Теорема А. Пусть f : (0, +то) ^ R1 — локально интегрируемая функция такая, что интеграл ∞ j If (r)|prp-1dr,    p > 1, сходится. Тогда для любого R > 0

/ r|ln R|p

r j f (t)dt

R

p dr 6

∞ p

I prp Mr.

Обратим внимание, что в (4) логарифмический вес находится под знаком модуля (см. также [3, 16, 25, 31]). Будут ли верны дискретные аналоги неравенства (4)? В этой работе мы попытаемся ответить на этот вопрос. В первой части этой статьи мы приведем основные и вспомогательные утверждения. Вторая часть посвящена доказательству точности констант. Статьи Ф. Г. Авхадиева и К.-И. Виртца [8-10] также посвящены получению и доказательству точности констант.

2.    Основные результаты

Верна следующая

Теорема 1. Пусть p >  1, l G [1,p], ai > 0 и при целом n >  1 полагаем, что

[R] —1n—

1 6 n 6 [R], n > [R] + 1,

An

Е ai — Е ai, i=0

n

E ai — E ai, i=0

где [R] — целая часть от числа R >  1. Тогда верно следующее неравенство типа Харди:

АП      6 / p \ 1 X АП laln Ilo n Ар

П (n + 1) | log n |p    Vp V ^ (n +1)1-11 og R 1

1                                                            n 1

Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть p > 1, n Е N, и пусть R — произвольное нецелое положительное число. Если R > n + 1. то и если R < n — 1. to

Р — (Р — 1)

(n + 1) (log R)

log ПГ Т logR

)

> 1,

Р - (P - ДС +1) (log R)

log n-1 log R

> 1.

<1 Преобразуем неравенство (5). Имеем следующие эквивалентные переходы

1         log -R            1 + (n + 1) log RA p — 1 > (p — 1)

__________+ g n +1    ^ ^ 1 >  v ' g n +1 (n + 1) (logR) log Ry             (n + 1) logR

^^ (n + 1) log — > 1 + (n + 1) log----^^ (n + 1) log n + > 1.

n               n + 1               n

Последнее неравенство легко устанавливается.

Теперь перепишем (6). Имеем

1 >

1       + log ПТ

(n + 1)log R log R

После элементарных вычислений можем получить, что

(n + 1) log n > 1 + (n + 1) log n - 1 ^^ (n + 1) log —n— > 1. R               R              n—1

Последнее утверждение также можно легко показать, в

< ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Пусть 1 6 n 6 [R] — 2. Определи!i функцию X следующим образом:

X (n) =

АП ___p     АП-1

(n + 1) (log R )p    p - 1 (log R )p-1

A n

Ap            p      ap - 1

X (n) = 7----iTTi— fpvp --T7--- "rAET ( А п - An +1 )

(n + 1)^og R)P    p - 1(log R)p 1

АП    /     1p ! p    АП-1

(log RГ1  (n +1)log R p - 1 p 1 (log R )p - 1 n+1

p-11

АП   (    1 p V p f   АП           APn+1V .

----------------г I -------------------7T — -------- 1 +--I ------------: 77— I I ~~:------------t^t I log --------. (log R)p-T (n + № R  p — 1 p — 1  (lOg R) (^       log nRi)p

Используя неравенство Гёльдера при соответствующих значениях параметров, мы имеем

X (n) 6

p An

i

(n + 1) log R

-

p

p-

+--

(log R )

p An

( p -1) p

p

-

+

1 A'

p — 1

p- 1

1 A +1        1      Api

- p—1 (log п+Г  p"1 (,og R)p-1

p

-

p —1

(n + 1) log R

-

(p —1)

R og n +1 log R gn

)

Далее воспользовавшись леммой 1, получаем

X(n)

1 p —1

pp n+1          An

-

/ D \p- 1           R p- 1 ,

(log n +1)     ^ n

1 6 n 6 [R] — 2.

Очевидно, что X([R]) = 0. Осталось оценить X([R] — 1). Используя вышеприведенные рассуждения и неравенство

16 [R]logiRR—г несложно показать, что x ([R] — 1) 6

1 __ ApR ] - 1

p - 1 ( log T R- 1 )

Далее оценим РП=1 X(n)- Имеем

[ R ]                [ R ]                   p

X X (n) = X ---- n-— £1£1 (n + 1) (lo g R )

-

p     An 1

P - 1 ( log RГ1

[ R ] - 2

-

p

p

-

-

X

n =1

p

A[R ] - 1

p

An + 1

p- 1

p An

p- 1

-

R\p-1

-

Ap

P — 1(log R)p-1

6 0.

Следовательно, P^RL X(n) 6 0. Таким образом, справедливо неравенство

[ R ]

X n=1

p An

(n + 1) ( log R ) p

6 p

p

-

[ R ]

1X n=1

p- 1 An

R yp-1 an‘

Пусть теперь n >  [R] + 3. Определи!i (руикцию Y следутотщш образом:

Y (n) =

p An

(n + 1) (log R)p

-

p An 1

a.

P — 1 ( log R ) p-1

An pp- npn

Y (n)=(n + 1) ( log R ) p - p - 1 ( log R Г1 (An - An^

An    /     1p \ + p    An-1A

( log R ) p—1 (n + 1)log R P - 1 P - 1 ( log R ) p—1 n— 1

p

An           1

-

(log R)p—1  (n + 1)log Rp

+

p

p -

p

n

,         s p ( p- l)

(log R ) p-1

p - 1 p

( An—  !pi n-1

I (log v d     r

В силу неравенства Гёльдера, получим

Y (n) 6

p n

(log R Г1

1 p

-

(n + 1) ( log R )    p - 1

+              AP ,     1       AP,- 1

p(p— 1)              1 p                     _ p— 1

( log R ) p—1 ( log nR1 ) p—1    p 1 ( log )

1       An 1         1       An

- p - 1 (log n^)p—1   p - 1 (log R)p—1

p - 1    - ( - з ) log n-

(n + 1) log R (     ) log R

В последнем утверждении мы использовали тот факт, что p Е (1,p ] и log nR1 / log RR < 1. Из леммы 1 следует оценка

Y (n)

6--- p-1

An— 1           Ap

-

( log nRd ) p—1     ( log R ) p—1

n > [R] + 3.

Теперь оцепим Y([R] + 1) 11 Y([R] + 2). Очевидио. что Y([R] + 1) = 0. Используя нера венство

16 (iRi+3)logiRR-;T'

имеем

Y ([R]+2)

p

1A [ R ]+2

p - 1 ( log [ R + Г 1

Следовательно, для фиксированного целого N > [R] + 1, получаем

X Y (n) 6

n =[ R ]+1

- p-

p

A [ R ]+2

1(log И+2) p-1

N

+ X n=[R]+3

p

An— 1

p n

p -1   log nF p—1

-

(log R)p—1

)

-

p AN

p - plog RF 1

6 0,

t. e. P N=[R]+1 Y (n) 6 0. Следовательно.

N

X n=[R]+1

Apn

(n + 1) (log R ) p

p

p

N

X n=[R]+1

p-n

(log R)p

an.

В итоге из (7) и (8), имеем

N

X n =1

Apn

(n + 1) [ log R i p

p p-

N

X n=1

p-1 An

I log R Г1

an.

Используя неравенство Гёльдера, получим

N

X n =1

Apn

(n + 1) Ilog R [p

N

6 X n=1

p An

(n + 1) Ilog R [p

)

l                   l      p-l l p     An an

p-

1    (n + 1)1 -

n l-p [log R

1 l

N

n =1

Apn

(n + 1) [ log R [p

N             l     p - l l

+ _ X^   p 1  An an l ^ \P — 1   (n + 1)1-/ n=1

,    n [l-p log RI

Таким образом,

N

X n =1

A pn

(n + 1) [ log R [p

p-l l n an

(n + 1)1-1

n l-p log R1

Устремляя N ^ то. получаем утверзкдепие теоремы. B

Следствие 3. Пусть an >  0 при каждом целом n >  1, p > 1 и

' [R]-1

1 6 n 6 [R], n > [R] + 1,

An

Е ai — Е ai, i=0

n         [ R ] + 1

E ai — E ai, i=0

где [R] — целая часть любо го неотрицательного R > 1. Тогда верно следующее неравен ство типа. Харди

Apn

(n + 1) Ilog R [p

p an

(n + 1)1-p ‘

X n =1

3.    Точность константы l—p

Пусть an —

0,

( n+1 ) ( log R )

1+ e , p

1 6 n 6 [R], n > [R] + 1,

причем p — 1 — e >  0.

Определим Y как

Y X n =[ R ]+1

p a n

(n + 1)1-p ‘

Прямые вычисления дают

Y = У n=[R] + 1 (n + 1) (log R)

— >

у

.[R +1 (n + 1) (log n +l)

n +1 \ 1+е

> n=[R]+1

(r + 1) ( log r R 1 ) 1+e

∞ dr = / n =[ R ]+1

d log rR1  = 1

( log rR1 ) 1+e" e

[R] +2   e log

.

Верно следующее соотношение

Y<--------;-------■

([R] + 2) (log [ RR1) p

+ 7

n =[ R ]+1

dr.

(r +1) ( log rR1 ) +

Таким образом,

Y = - (log ε

[R] + 2

R

+ 0(1).

Также имеем неравенство

n

n

An = E ai = E i =[ R ]+2       i =[ R ]+2

n

>

[ R ]+2

dr

(r + 1) (log rp >  J

R           [ R ]+2

(i + 1) ( log R ) |1+e)/p

n

dr

(r +1) ( logrR1 ) |1+e)/p

p p — 1 — e

p—1 — E n + 1 \ p

R

-

[R] +3

R

p 1 E p

p

p

—1—e

H (n).

Следовательно,

An      > / p У      H p(n)

(n + 1) ( log R ) p p — 1 — e   (n + 1) ( log nR1 ) p

( p— 1 E\ p [ R ]+3      P

1 - log j-R- \ p \ __________1__________ log nR1            (n + 1) (log nR1 )1+e

  • > 7 p V 1— Kn

p — 1 — e) (n + 1) (log nR! )1+e ’ где Kn ^ 0 nj)ii n ^ to. Таким образом,

X = X n=[R]+1

Apn

(n + 1) ( log R ) p

>

p

p

—1

N

X n =[ R ]+1

1 — Kn

(n + 1) (log nR1 ) 1+e

N p                  pN p                 dr              p                   Kn

- p

p

p

—1

ε

log

[R]+2 R

+ O(1).

Ясно, что

p

X

Y>

ε

+ еО(1)

Устремляя е ^ 0. полупим

Таким образом, при любом е о > ство

(log [ R J+2)

ε

+ еО(1)

X> p p

Y p - 1

.

.

существует an = an(E) такое.

что выполнено неравен-

X n =0

p n

p

(n + 1) Ilog R |p

>

p an

n =0

(n + 1)1-p ■

Это показывает, что константа неравенства теоремы 1 при l = p является точной.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора. Ф. Г. Авхадиева за. ценные советы и замечания.

Список литературы Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом

  • Авхадиев Ф. Г. Неравенства для интегральных характеристик областей.-Казань: КГУ, 2006.-140 с.
  • Авхадиев Ф. Г., Насибуллин Р. Г., Шафигуллин И. К. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства//Изв. вузов. Матем.-2011.-№ 9.-C. 90-94.
  • Насибуллин Р. Г. Обобщения неравенств типа Харди в форме Ю. А. Дубинского//Мат. заметки.-2014.-Vol. 95, № 1.-C. 109-122.
  • Насибуллин Р. Г., Тухватуллина А. М. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей//Уфимский мат. журн.-2013.-Т. 5, № 2.-С. 43-55.
  • Соболев Л. С. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных.-М.: Наука, 1989.-254 c.
  • Ancona A. On strong barriers and an inequality of Hardy's for domains in Rn//J. London Math. Soc.-1986.-Vol. 34.-P.274-290.
  • Avkhadiev F. G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants//Lobachevskii J. Math.-2006.-Vol. 21.-P. 3-31.
  • Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains//Z. Angew. Math. Mech.-2007.-Vol. 87.-P. 632-642.
  • Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Weighted Hardy inequalities with sharp constants//Lobachevskii J. Math.-2010.-Vol. 31.-P. 1-7.
  • Avkhadiev F. G., Wirths K.-J. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants//Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin.-2011.-Vol. 18.-P. 723-736.
  • Balinsky A., Laptev A., and Sobolev A. V. Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms//J. of Statistical Physics.-2004.-Vol. 116, № 1-4.-P. 507-521.
  • Brezis H., Marcus M. Hardy's inequality revisited//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 4.-1997.-Vol. 25, № 1-2.-P.217-237.
  • Chen C., Luor D., and Ou Z. Extensions of Hardy's inequality//J. Math. Anal. Appl.-2002.-Vol. 273.-P. 160-171.
  • Czmesija A. On weighted discrete Hardy's inequality for negative power numbers//J. Math. Inequal. Appl.-2005.-Vol. 8, №2.-P. 273-285.
  • Davies E. B. A review of Hardy's inequalities//The Maz'ya anniversary Collection. Vol. 2. Oper. Theory Adv. Appl.-1999.-Vol. 110.-P. 55-67.
  • Dubinskii Yu. A. A Hardy-type inequality and its applications//Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics.-2010.-Vol. 269.-P. 106-126.
  • Gao P. Hardy type inequalities via auxiliary sequences//J. Math. Anal. Appl.-2008.-Vol. 343.-P. 48-57.
  • Gord Sinnamon. Weighted inequalities for positive operators//J. Math. Inequal. Appl.-2005.-Vol. 8, № 3.-P. 419-440.
  • Hardy G. H. Note on a theorem of Hilbert//Math. Zeitschr.-1920.-Vol. 6.-P. 314-317.
  • Hardy G. H., Littlewood J. E., and Polya G. Inequalities.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1973.
  • Hoffmann-Ostenhof M., Hoffmann-Ostenhof T., and Laptev A. A geometrical version of Hardy's inequality//J. Funct. Anal.-2002.-Vol. 189, № 2.-P. 539-548.
  • Kufner A., Persson L.-E. Weighted Inequalities of Hardy's type.-World Sci. Publ. Co Inc., 2003.-376 p.
  • Landau E. A note on a theorem concerning series of positive terms: extract from a letter of Prof. E. Landau to Prof. J. Schur//J. London Math. Soc.-1926.-Vol. 1.-P. 38-39.
  • Laptev A., Weidl T. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms/\!/Operator Theory: Advances and Appl.-1999.-Vol. 108.-P.299-305.
  • Ling-Yau Chan. Some extensions of Hardy's inequality//Canad. Math. Bull.-1979.-Vol. 22, № 2.-P. 165-169.
  • Liu J., Xuande Zhang, and Bo Jiang. Some generalizations and improvements of discrete Hardy's inequality//Comp. Math. Appl.-2012.-Vol. 63.-P. 601-607.
  • Miclo L. An example of application of discrete Hardy's inequalities/\!/Markov Processes Relat. Fields.-1999.-Vol. 5, № 3.-P.319-330.
  • Miklyukov V. M., Vuorinen M. K. Hardy's inequalities for W_0^{1,p} -functions on Riemannian manyfolds//Proc. Amer. Math. Soc.-1999.-Vol. 127, № 9.-P. 2745-2754.
  • Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights//Stud. Math.-1972.-Vol. 44, № 1.-P. 31-38.
  • Okpoti Ch. A., Persson L.-E., and Wedestig A. Weight characterizations for the discrete Hardy inequality with kernel//J. Math. Inequal. Appl.-2006.-Vol. 2006.-P. 1-14.
  • Pachpatte B. G. A note on certain inequalities related to Hardy's inequality//Indian J. Pure Appl. Math.-1992.-Vol. 23, № 11.-P. 773-776.
  • Pecaric J. E., Love E. R. Still more generalization of Hardy's inequality//J. Austral. Math. Soc. Ser. A.-1995.-Vol. 59.-P.214-224.
  • Qiang Chen, Bicheng Yang. Half-discrete Hardy-Hilbert's inequality with two interval variables//J. Math. Inequal. Appl.-2013.-Vol. 485.
  • Stepanov V. D. The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions//Trans. Amer. Math. Soc.-1993.-Vol. 338, № 1.-P. 173-186.
  • Talenti G. Osservazione sopra una classe di disuguaglianze//Rend. Semin. Mat. Efis. Milano.-1969.-Vol. 39.-P. 171-185.
  • Tomaselli G. A class of inequalities//Boll. Unione Mat. Ital. Ser.-1969.-Vol. 4, № 6.-P. 622-631.
  • Wannebo A. Hardy Inequalities//Proc. Amer. Math. Soc.-1990.-Vol. 109, № 1.-P. 85-95.
Еще
Статья научная