Об одном классе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.968                                     

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра–Стилтьеса не всегда сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра, так как интеграл Стилтьеса не всегда сводится к интегралу Римана или интегралу Лебега. Поэтому изучение интегральных уравнений Вольтерра–Стилтьеса представляет самостоятельный интерес.

Материал и методы исследования

В работе используются метод регуляризации по М. М. Лаврентьеву, методы функционального анализа, методы преобразования уравнений, методы интегральных и дифференциальных уравнений. Получена оптимальная оценка приближенного решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра–Стилтьеса третьего рода.

Одновременно рассматриваются следующие нелинейные интегральные уравнения:

m(t)v(t) + [

t o

K(t,s,v(s))dc^(s') = f (t)

t G [to, T], T> to

[£ +

m(t)]d(t,s) + f

t o

K(t,S,d(s,E))dф(s) = f(t) + Ed(to),

t G [to,T]

Где m(t), K(t, s, υ) и f(t) — известные функции, m(t0) = 0, m(t) — неубывающая непрерывная функция на [t0, T], υ(t) и ϑ(t, ε) — искомые функции, ϕ(t) — возрастающая известная непрерывная функция на [t0, T]. ε > 0 — малый параметр, (t, s) ∈ G = {(t, s) : t0 ≤ s ≤ t ≤ T}.

Различные вопросы для интегральных уравнений первого и третьего рода исследованы в работах многих авторов. В частности, исследованы линейные интегральные уравнения второго рода и их системы на конечных и бесконечных интервалах. Здесь все интегралы понимаются в смысле Стилтьеса [1].

Дан обзор результатов по интегральным уравнениям Вольтерра второго рода [2].

Для линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами доказано существование многопараметрического семейства решений [3].

Но основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены и для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву [4].

Исследованы уравнения Вольтерра первого рода и обратные задачи [5, 6].

Доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву для систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с негладкими матричными ядрами [7, 8].

Для систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву [9].

Для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву [10].

На основе нового подхода исследованы вопросы существования и единственности решения для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с особенностью в одной точке на конечном промежутке [11].

Изучен класс интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на конечном промежутке [11, 12].

Разработан новый улучшенный подход к исследованию систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями на конечном промежутке [11-14].

На основе понятия производной функции по возрастающей функции исследовались линейные и нелинейные интегральные уравнения Вольтерра–Стилтьеса первого и второго родов [14, 15].

Для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра–Стилтьеса третьего рода построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности [16].

Выбран параметр регуляризации для решения линейного интегрального уравнения Вольтерра–Стилтьеса третьего рода [17].

Здесь для решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра–Стилтьеса третьего рода (1) построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву, доказана теорема единственности. Предполагаем, что K (t, s, и) представимо в виде:

K(t,s,u(s)) = K₀(t,syu(s) + K i (t,s,u(s)) (3)

где (t,s; и) & G X R, G = {(t,s): t₀< s < t < T}.

Здесь C[t₀, T] — пространство всех непрерывных функцийи(С), определенных на [t₀, T]

υ ( t ) _c = max υ ( t )

t ∈ [ t , T ]

.

с нормой               ^{0 ,}

Будем обозначать через C ^ [t₀,T],  0 < у < 1 линейное пространство всех функций

u(t), определенных на [t₀, T] и удовлетворяющих условию:

|u(t) -u(s)l < М\ф(ф) — ф(s)| ^r ,rde^(t) = f K₀(s,s')dф(s) + m(t),           ⁽⁴⁾

* 0

где M — положительная постоянная, зависящая от u(t), но не от t и s.

Предположим выполнение следующих условий:

• а)    K o (t,s) & C(G} K o (t,t) & C[t o ,T]иK o (t,t) >0, t& [t o ,T].

• б)    при t > т для любых (t,s) (t,s) & G = {(t,s):t₀< s < t < T} и для любых (t,s,u_i),(T,s,u_i),(t,s,u₂),(T,s,u₂) & G X R справедливы оценки |K₀(t, s) — K₀(t, s)| <

  l 1 (s)[f ^t K o (s,s)dф(s) + m(t) — m(T)],   \K i (t,s,U i ) — K i (t,s,U i )

  
  

  _-

  
  

  K i (t,s,U 2 ) +

  
  

  Ki(T,s,U2)| < l2(s) [f_т ^t K o (s,s)dф(s) + m(t) — т(т)] * \u i неотрицательные функции из C[t₀, T].

  Лемма 1. Пусть выполняются условия а) и

  
  

  _-

  
  

  и₂\

  
  

  где

  
  

  I 1 (t),l 2 (t)

  
  

s[d(t)—d(t₀)]    с ^о^афы

F₀(t,£) = --——-V⁰ _e ^m^w

⁰            £ + m(t)

* K 0 (s,s) -£^а<Ш d(t)—V(s)

------ _e  ^s _£ +^m(q⁾     _£-------—— ^ф (_s) £ + m(t)                £ + m(s)

Тогда: если d(t) & C[t₀, T] функция ф(t) = m(t) + f K₀(s, s)dф(s) является строго

* 0

возрастающая функция на [t₀, T], то на сегменте [t₀, T] справедлива оценка:

H/0(t,£)H_c< 4H^(t)H_c£ⁱ ^ +w ^ (£ ^ ),                             ⁽⁶⁾

где 0 &  (0,1),w ^ (5) = sup |d(ф ^-1 (x))—d(ф ^-1 (v))|, х,и & [0, ф(T)], ф ^-1 (x) -

\x-v\<3

^If o (t,£)^I c < ^M(^M i + M₂)e£ ^Y ,гдеМ =

sup \d(t) — d(s)\/\p(t)—p(s)\Y,  M1 = sup[vYe-v],  M2 = $° e-zzYdz t,SE[t0,T]                                                       v>o

Доказательство.

• a) t_o^-1(£^),0< ^ < 1

s = p ^-1 (v), t = ф ^-1 (х),

• t o ^-1 (£ ^ ),    t o < p ^-1 (v) < ф ^-1 (х) < ф ^-1 (£ 0 ),  p(t o ) = 0,

0 < V < X < £ @ ,  \x — v\<£ ^ .

Далее t_o< t < ф ^-1 (£ ^ ) ^ t_o< p ^-1 (x) < ф ^-1 (£ ^ ) ^ 0 < x < £ ^ .

Тогда:

t К о (т,т) \f o (t,£)\^(£^p)e^-itoe^+m(T^ *     £

+ w-^(£ ^ ) I ----- —e

^     _to £ + m(t)

-I^^Ktss-

£ + m(s)

dф(s) <

^{t K} o (^,^)

w^(£ ^ )e ^i:-^)^{1 ;} + w^(£ ^ )[e

-

tKofcr)

^_+ттФО]1   S=^t o ₌w - (£ ^ ).

б) Пусть p ¹ (£ @ ) < t < T ^ £ ^ < p(t) < p(T), m(t) > m(s) при t > s. Тогда

ш^-^^^тт^

£ + m(t)

2HM)M £ + m(t)

| < ^2|M)H £ ^£ _e ^- ^+mi_^-—__^к^{о (т} ,^т)^^^ £ + m(t)

VW)

ee s+m(t) =

ft            ^£ ^

2N^(t)H c £^1- ^ e-£—e ^£+m(t) <  2H^(t)H c e£^1- ^ sup(ve^-v) = 2^I^(t)^I c £ ^1-^ ^£+m(t)                            v>o

.

Оценим вторую член (5):

* K o ^(s,s)

Jt₀ ^{£ + m(t) 6}

-

S^^W) ^(t)-^(s)

$£+т(т)    £------d—dф(s)

£ + m(s)

-L

^ф-1(Ф⁽*^)-£р) K₀(s,s) —--TV ^e ,           £ + m(t)

-

( t K₀⁽T,T) Ч£+т(т)^аф(т) *

£[^(t)-^(s)] £ + m(s)

dф(s') + J ф-1(ф(*)-£^) £ + m(t)

Ms, s)

- e

ё^+^фю 4MM£(21

£ + m(s)

dф(s)

<

2|£(t)H_££ £ + m(t)

V 1 (V(t)-£^ft)

J             6

* 0

-еятт^ ^K o ^(s'^s)

¹   S=^ ^(t)-^) <

⁺ Wg^) 2|IM)H c £

£

—--7V e £ + m(t)

£ + m(s)

t K o (т,т)

^S s £+т(т) ^ф( )

dф(s)

-

—--77V e

£ + m(t)

₍ t               ^ о (т,т)

^} ф ^-1 (фт- _£ 0-) £+т(т)^аф(т) + _W- (_£ P ) <

2|^ e --^[£ №, ^)dф(т) - J *^^{-1 (} ^ ^(t)-£ " ⁾ K o (r,т)dф(т)] + w^) <

2l^(t)I_c£ e+m(t)

m(t)  т(Ф Ч-ф^-^)     1 гр гт^илгм-еФ ee :+m(t)e e+m(t) e z+m(t) to 0W J Ф\ ) 3oQ

^^H

' WW ^£p) _К 0 ⁽тт^)аф(т^)]+ _Ю ^ ^(£ ^ ⁾ ₌

21££Д^_б,_б) .и. ^:^ —■ '^^     + _w__(£ p )

£ + m(t)                               $

£ 0          £^P

= 2^||i9(t)^||_ce£¹-^?^-^^ye ^£+m(t) + ^w^ q (£^ <  2N^(t)H_ce£^1-0sup(ve^-v) + w $ (£ ⁰ ) = 2H^(t)H_c£^1-0 + w $ (£ ⁰ ).

Учитывая (8), (9), (10) из (5) имеем оценку (6).

2) Пусть d(t) G C^[t₀, T], 0 < у < 1. Тогда оценим первый член формулы (5):

£ЕЮ-^еЧ^*><£M^ .<£■ -^й*^) =(11)

£ + m(t)                    £ + m(t)

1—Y pY

H^vrFee ^^^ < MM^,  t G [t₀, T]

[£+m(t)]1-V e+m(t)                     10

Оценим вторую член (5):

^tKo (s,s)_^

J t_o ^{£ + m(t) 6}

-

£1+^^ ^£[^^(t)~^^(s)]

£ + m(s)

dф(s')

M£      ^t _ ^m(t), K₀(s,s)

< -------- I ее ^£+m(t)   ^0V S

£ + m(t) _t          £ + m(s)

,Ko(t,t)                                   t е s£+m(T)

Me£      ^t -[ ^V +f t Ko^T) ^)]

< ________________ I _e [£+m(t)^+} s e+m(r)^u^^{( )]}

< [£ + m(t)] ^1-r i

_m(£)_ £ + m(t)

^t K_q(t,t)          K₀(s,s)

I       Л йф(т)¥     ,\d4(s)

Js £ + m(r)        £ + m(s)

^m(t)     t K o (T,T)

£+m(t)^+J to £+m(r)^d^^(T)

= Me£^r I                   e ^Z z ^r dz < Me£^r

^m(t) £+m(t)

∞

J ^e

^Z z ^r dz

Учитывая оценки (11), (12), из (5) получим оценку (7). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть выполняются условия а) и б) и

1                              ^t K₀(s,s)

^P o ^(t, T^,£) = ^{-           [K} o ^(t,T^{)- K} o ^(Y, Y) + I . z . ^{] e}

£ + m(t)                   T £ + m(s)

_c , z ч ^[K o ^(s, ^{Y) - K} o ⁽Y т^)]dф(т⁾ £ + m(x)

-

( t K o ^(T,^T)

^} s £+m(T)^a*^(T) *

Тогда справедлива оценка

P o (t,T,£)<(1 + e}l i (z) , (t,r)GG, £>0

Доказательство.

t^oC^,^)^,-^

Нетрудно показать что   Po(t, y, £) = —-^^ [Ko(t, y) — Ko(y, r)]e  T£+m(r) ^ T — i     t K0(s,s)  -Lt■^o^-dф(т)

[K o (t,т)-K o (s,т)]dф(s).

_______ I _^{ov J} e ^s £+mW)       * £+m(t) t £+m(s)

Отсюда имеем \P₀(t,T,E)\ < Y¹^^ K_o(^^

-

₍Wow ^t+miT }^') +

4⁽T)    ^t K o ^(s,s)  , _л

--------i --------- * e

£+m(t) t £+m(s)

-

t KoC^)

J s 8+m(t) ^T [f_s K₀(T,T)d((T) + m(t) — m(s)]d((s) <

^t ^ 0 ^(t,^t'⁾ ^UtT^) tKo&S) 1^ J Jt £+m(s) '

d((i) + ^m(t) ] * ee £+m(t)

tKoW^ ,

^[f T E+m(T) ^UW^(T)E +m.(ty +

d((s) ee [^rn+^'+n^   [J^ + f .^^((ту^ф^ <

£+m(t)    s £+m(T)

l₁(i)esup(ve ^v ) + 1 1 (1)8 f ° e ^Z zdz = l 1 (i)e(e V>0

¹ + 1);

(t,i) EG, e> 0.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3.

Пусть выполняются условия а), б),

K 1 (t,t,v) = 0 при   (t,^)E[t₀,T]xR , H(t_fт,^(т_r8У) = —^[K 1 (t_fт_>v(т) +

^(т,Е) — K(t,T,v(T)y] + fK^e- g^^

¹                 t £+m(s)

——— [К 1 (^з,т^(т) + %⁽t^{,e)) —} K i ^(s,T^,v(T^))]d((s) e + m(t)

Тогда справедлива оценка lH(t,T,^(T,E))l < l2(i)e(e

-

¹ + 1)I^(t,e)I, (t,T,^)EGxR , e>0

Доказательство.

Сначала покажем, что tKM_

—

H(t, t, ^(t, e)) = — ^ [K 1 (t, t, v(T)) + ^(t, e) — K 1 (t, T,v(T))]e ^fTt+m^^(q)

z^frSm^ ^fs ' ^+m^^(q\ ^K 1 ^(t,^T,^v(T) + ^E))^{— K} 1 (^s,T,^v(T) + ^^(t,E))^—

K 1 (t,T,v(T)) + K₁(s,T,v(i))]d((s).

В самом деле

/■

T

^t 1

K0(s , s)

-

e e + m(t) e + m(s)

[ tK0(q,q)^^z -, is£+m(q) ^(q)[K1(t,T,v(T)) + ^e)) — K1(t,T,v(T))]d((s)

-----ТГ * e + m(t)

[K 1 (t,T,v(i)') + ^(т,Е)) — K 1 (t,T,v(i))]e 1

-

₍tK o 'q.q) ^f s _£ +m(q)^a^^(q) l

s=t

S=T

—m-^'-'^1))-'1'-)

—K 1 (t,T,v(T)y] — _{£ + m}^ [K 1 (t,T,v(i) + ^(t,e)) — K 1 (t,T,v(T)')]e

-

₍tK o Cqq) ^f T £+m(q)^a^^(q)

.

Учитывая (18) имеем (17).

Далее из (17) получим

|H)t,T,^)т, £))|

< £ + m(t) lK - (t,T,v(T)) + ((t,£)) — K - (t,t,v(t) + +((t,£)) — K i (t,T,v(T))

+ K i (t , T,v(T))le

-

f t K₀⁽q,q) ^} r _£ +m(q)^a^^(q) +

£ + m(t)

t K (s s)       ^{t K} o (q,q)

I       ’■>^-Js£+m(q⁾ *^(q) l[K i (t,T,v(T) + %(T,£)) — K - (s,T^

T £ + m(s)

< ----7Т

£ + m(t)

— K i (t,T,v(T)) + K 1 (s,т,v(т))]|dф(s)

^(t) I K o (q,q)dф(q) + m(t)—m(т) |v)т) + ^)т,£) J T

— v(T)|e

-

f t K₀⁽q,q) ^} T _£ +m(q)^a^^(q)

⁺ T7--77 £ + m(t)

Г ^{t K} o ^(s,s) ^ _T £ + m(s)

-

₍^ к₀⁽д,д)

^} r _£ +m(q)^a^^(q) *

^(t) I K o (q,q)d$(q)+ m(t)-m(s') Iv(t)) + ^(t, £)

J S

— v(т)|dф(s)

< ^l 2

₊ f ^{t K} 0 ^(s,s) _T £ + m(s)

< m(t)

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

^t K₀(q,q)           m(t)     —^m(t)

-----— dф(q') + --—I ee ^£+m(t)

. £ + m(q)        £ + m(t)

_ee ^£+m(t) e

-

-

(tKotqql     \ eJr£+m(q)a^(q)

SsMq)at Ko⁽ q,q)            ^m(t)

^S£+m(q)       I            x ^dФ⁽q)^{+            d}ф^(s)}^|^⁽т^,£)^|

S £ + m(q)        £ + m(t)

^t K₀(q,q)              m(t)     _ ^m(t)   _ft Ko^(q.^q) _d(/)( .

= l₂(T)e (I -^-^d-d(p)q+₊ ---4—)e ^{£+m(t) J} ^ ^£+m( q) ^a ^ ^(q)

T £ + m(q)       £ + m(t)

^t IK(_{s s})       ^m(t)    ft ^ o ⁽ q ^, q ⁾

+ I __⁰   , _—e £+m(t) ^J s £+m(q) ^^ *

T £ + m(s)

(I

S

K o t^q)

£ + m(q)

dф(q)+7т^)dф(s)]^|()T'^£)|< ^ ^{2 )T})^e[sUS^{(ve -r )} £ +     (t )

t Kofaq)         ^m(t)

^J T £+m(q)^a^^(q)+£+m(t)

⁺ I ^m(t) £+m(t)

< l 2 (^)e(e ^-1 + 1)И(т,£)|.

*

e^{-V 1} v^(v i ) ]К(т,£)|

Так как sup(ve v) = -,   L° e Vvdv = 1. Лемма 3 доказана.

V>0           e

Теорема. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда

• 1)    если ф(t) - строго возрастающая функция на t £ [t₀,T], где где ф(t) -определена с помощью формулы (4), уравнение (1) имеет решение v(t) £ C[t₀,T] , то решение d(t,£) уравнения (2) при £ ^ Осходится по норме C[t₀,T] к ^(t).

При этом справедлива оценка

||tf(t,£) — v(t)||_c< 4K^||v(t)^||_c£ⁱ V +Кш_Ъ(8 ^) ,

где ft — произвольное число из интервала (0,1).

ϖ ( δ ) = sup υ ( ψ ^{- 1}( x )) - υ ( ψ ^{- 1}( ν ))  ,

υ       x-ν ≤δ ф-1(x)

—

обратная функция к функции

t

^(t), К = exp[ (1 + e) J (l i (s) + l 2 (s)dф(s)];

^е 0

• 2)    если уравнение (1) имеет решение v(t) £ C ^ [t₀,T],  0 < у < 1, то решение ^9(t,г)

уравнения (2) при г ^ Осходится по норме C[t₀, T] к v(t). При этом справедлива оценка

^e(t,г)—v(t)^c

где М = sup \v(t)— v(s)\/\ф(t) — ф(s)\Y,M1 = sup(pre-^),M2 = fo°e-zzrdф(z), t,s£[to,T]^>0

М3 = (M1 + M2)e.

Доказательство.

В уравнении (2) сделаем замену

^(t,г)=v(t)+%(t,г)(21)

где v(t) — решение уравнения (1). Подставляя (21) в (2) имеем t                                t(22)

[f + m (t )]^( t, s) + j K о (s, s )^( s, £) dp( s) + J [ K₀ (t, s) - K₀ (s, s )]^( s, s) dp( s) +

J,‘ ^₁(t,s,v(s) + f(s,г')')dф(s') = f(t) —&(<:),№) + ^0

^^(s.zwis + ^-^[K^s-) ^{— K}o(s,s)]f(s,_s)^dф(s) + ^-^[K^s,

г

^—K₁^(t,s,v(^s))]dф(^s) = -^^^{[v(t) — v(t}0^)].

Используя резольвенты R(t,s,г') = — ^(^ e ^^S£+m(s)d^^(s) ядра [—K₀(s,s)/(s + m(t))], уравнению (22) сводим к эквивалентному уравнению

^,г) = tf P0(t,s,E)^(s,E)dф(s) + C H(t,s,%(s,^^dф(^)+fo(t,г),  t £ [to,T], t0

где H(t, s, % (s, s')") -определена в лемме,

P_o(t,т,г) =--1— [K_o(t,t) — К₀(т,т)] + ^^0^e ^S¹^[K_o(s,t) —

0             £+m(t)   0          0          T £+m(s)                 £+m(t)

Ko(t, т)]dф(s),

г[v(t) — v(t0)]  -(25)

fo(t^ = —~4rf^ e !‘°-+m(^'

^{t K}0^(s,^s)  - g^g)^-) ^{v(t) — v(s)}

----- e ^s-+^mw    г------—— dф(s). г + m(t)               г + m(s)

Если v(t) £ C[t0,T],  ф(1) = tf К^^^ф^) + m(t) -строго возрастающая функция t0

при t £ [t₀, T], то в силу леммы1 из (25) имеем

^fo(t,г)^c < 4^v(t)^cг¹ ^ + ^ъ(г^),                           ⁽²⁶⁾

где Р — произвольное число из интервала (0,1),

Если f(t) £ C^[t₀, T],  0 < у < 1,тов силу леммы1 из (25) имеем

^fo(t,г)^c3г^y.                                  (27)

Если выполняются условия а) и б), то в силу леммы 1 из (24) получим

|P₀(t,T,£)| <(61 + 1)е/₁(т),   (t,T) G G, £ > 0 .

Учитывая леммы и оценки (18), из(13) имеем

K(t,£)l< f to

Ui(s) + ^(s)^](1 + 6 ⁱ)e|^(s,£)|d0(s) + |/0(t,£)L

t G [to,T].

В силу оценки (26), (27), и обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана [9] из (29) вытекает оценки (19) и (20). Теорема доказана.

t

m(t) + j K₀(s, s)d$(s) > 0 при t e (1₀, T),

Следствие 1. Если выполняются условия а), б),      t⁰

K_i(t, t, v) = 0 и ^(t) - строго возрастающая функция при t G [t₀, Т], то решение уравнения

• (1)    единственно в пространстве C[t₀, Т].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть уравнение (1) имеет два решения V_i (t) и v₂ (t) на [t₀, Т], т.е. m(t)Vi(t) + С K(t,s,Vi(s))d0(s) = m(t)v2(t) + f K(t,s,V2(s))d0(s),  t G [t0,T]

^0                                                                ^0

Отсюда     m⁽t^)[Vi⁽t) - V2⁽t^)] + f K0⁽t, S^)[V1⁽5) - V2⁽s^)]d0⁽s) + f [Ki(t,s,Vi⁽s)) -

^L0                                                          ^L0

Ki(t,S,V2⁽S⁾)]d0⁽S⁾ = 0,m(t)[Vi(t0) - V2(t0)] + ^_ОК0(5,5Ж(^) - V2(t0)W(s) +

m(t)[Vi(t) - V2(t) - (Vi(t0) - V2(t0))] + ft K0(s,s)[Vi(s) - V₂(S) - (Vi(t0) -0

• V2(t0))]d0(s) + f [K0(t,5) - K0(s,s)][Vi(s) - V2(s)]d0(s) + ft [Ki(t,s,Vi(s)) -00

Ki(s,s,v(s)) - Ki(t,s,V2(s)) +Ki(s,s,V2(s))]d0(s) = 0.

Далее

t

[ m(t) + j K 0(s, s) d9( s )] | ui(t 0 ) - u2(t 0 ) ^ m(t )|ui(t)- u2(t) - (ui(t о)- u2(t о)) + t 0

ft K0(s, s)^lVi(s) - V2(s) - Vi(t0) + V2(to)^|dф(s) + f^t|K0(t,s) -K0(s,s)||Vi(5) -^c0                                                                                         ^c0

• V2(s)|d0(s) + f^f|Ki(t,s,Vi(s)) -Ki(s, s,Vi(s)) - Ki(t, s,V2(s)) +

^Lo

Ki(s, s, V2(s))|d0(s)

Из (30) имеем

[m(t)+ f K)(s,s)d0(s)]|Vi(t0) - V2(t0)| to

• < m(t)|Vi(t) - V2(t) - (Vi(t0) - V2(t0)| + f Ko(s,s)dф(s)

to

* sup |Vi(s) - V2(s) - (Vi(t0) - V2(t0)|

SG[to,t] tt

+ 1 ^(s)[l K₀(т,т)dф(т) + m(t) - m(s)]|V_i(s) - V₂(s)|d0(s)

to tt

t

+ 1 ^2(s)[| K0(T,T)d0(T) + m(t) - m(s)]|Vi(s) - V2(s)|d0(s), to

G [t0,T],

Деля обе части на m(t) + С K0(s, s)dф(s)из (31) получим |ni(t0) - f2(t0)| ^ |fi(t) -

^0

^(t) - (V1(to) + W2O + sup |^1 (s) - ^(s) - (Vi(to) - v2(to)| + C Zi(s)Ms) -se[to,t]                                                         t0

W2(s)|dф(s) + C ^2(s) |v1(s)-u2(s)|dф(s), t e [to,T].

^L0

Отсюда переходя к пределу при t ^ t0 получим |n1(t0) - w2(t0)| = 0 при t e [t0, Г]. Тогда Ui(^) = ^0).

Далее из (19) имеем ||vi(t) - ^(Ollc < H^i(t) -^(t,^)Hc + 11№Ю - u2(t)llc ^ °, при e ^ 0. Поэтому ui(t) = v2(t). при t e [t0, Г].

Следствие 2. Если выполняются условия а), б) и существует число t_i e (t₀, Г] такое, что ^(t) > 0 при всех te(t₀, t_i], то решение уравнения (1) единственно в пространстве ^cJ[t0,T],    0<у<1, где фЮ = ^^(s, s)dф(s) + m(t).

Доказательство аналогично доказательству следствия 1.

Были сделаны следующие выводы:

• 1.    Найдены достаточные условия единственности и регуляризации решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода;

• 2.    Доказаны теоремы единственности решений для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода.