Об одном классе решений двухмерного уравнения Лапласа на трехмерном многообразии
Автор: Гладков Сергей Октябринович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
Найдено решение двухмерного уравнения Лапласа на некотором заданном множестве трех независимых переменных в трехмерном евклидовом пространстве. Задача решается с помощью преобразования двухмерного уравнения Лапласа в уравнение, в которой искомая функция зависит от трех независимых переменных, что оказалось возможным осуществить путем введения сферической системы координат. Предлагаемый метод позволил найти решение двухмерного уравнения Лапласа в виде функции от трех независимых переменных. Как пример применения полученного решения, рассмотрена задача об обтекании потоком несжимаемой жидкости трехмерного тела, имеющего форму «утюга». Для этой задачи приведены подробные рассуждения, позволяющие свести трехмерное уравнение Лапласа, описывающее распределение скалярного потенциала скоростей потока вблизи поверхности тела и зависящего от трех независимых координат, к двухмерному уравнению Лапласа, решение которого строго аналитически обосновано в предлагаемой работе. Отмечено также, что аналогичные задачи встречаются не только в гидродинамике, но также в теории упругости и в теории электромагнетизма. Описанный прием, а именно возможность перехода от двух независимых переменных к трем с помощью заданного преобразования, позволяет находить чисто физические решения для широкого спектра задач из разных областей естественных наук.
Уравнения в частных производных, двухмерное уравнение лапласа, сферические координаты, обыкновенные дифференциальные уравнения
Короткий адрес: https://sciup.org/143182544
IDR: 143182544 | УДК: 517.951 | DOI: 10.46698/j9246-8718-0030-f
On a class of solutions of Laplace’s two-dimensional equation on a three-dimensional manifold
The solution of the two-dimensional Laplace equation on a given set of three independent variables in three-dimensional Euclidean space is found. The problem is solved by converting the two-dimensional Laplace equation into an equation in which the desired function depends on three independent variables. This turns out to be possible by introducing a spherical coordinate system. The proposed method made it possible to find a solution to the two-dimensional Laplace equation in the form of a function of three independent variables. As an example of the application of the obtained solution the problem of an incompressible fluid flow around a three-dimensional body shaped an "iron'' is considered. For this problem detailed reasoning is given that makes it possible to reduce the three-dimensional Laplace equation which describes the distribution of the scalar potential of the flow velocities near the surface of the body and depends on three independent coordinates to the two-dimensional Laplace equation the solution of which was strictly analytically substantiated in the proposed work. It’s also noted that similar problems arise not only in hydrodynamics but also in the theory of elasticity and in the theory of electromagnetism. The described technique, namely, the possibility of moving from two independent variables to three ones using a given transformation enables us to find purely physical solutions for a wide range of problems from different fields of natural sciences.
Список литературы Об одном классе решений двухмерного уравнения Лапласа на трехмерном многообразии
- Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 710 с.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 800 с.
- Михайлов В. П. Лекции по уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 208 с.
- Боговский М. Е. Уравнения математической физики. М.: МФТИ, 2019. 105 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Т. 6. М.: Наука, 1988. 733 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. Т. 7. М.: Наука, 2002. 286 с.
- Gladkov S. O. About one method of calculation in the arbitrary curvilinear basis of the Laplace operator and curl from the vector function // Appl. Math. Nonlin. Sci. 2021. Vol. 7, № 2. P. 1-9. DOI: 10.2478/amns.2021.2.00002
- Gladkov S. O. To the question of Gauss's curvature in n-dimensional Eeuclidian space // J. Math. Research. 2020. Vol. 12, № 6. P. 93-99. DOI: 10.5539/jmr.v12n6p93
- Gladkov S. O. On a transversality condition for one variation problem with moving boundary // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2019. Vol. 12, № 1. P. 125-129. DOI: 10.17516/1997-1397-2019-12-1-125-129
