Об одном методе приближенного решения первой краевой задачи для уравнения дробной диффузии

Дробное исчисление — это раздел прикладной математики, который фокусируется на производных и интегралах произвольного порядка (включая комплексные порядки). Он также известен как обобщенное интегральное и дифференциальное исчисление произвольного порядка. Р. Горенфло и Ф. Мейнарди определили дробное исчисление как раздел математики, связанный с изучением и применением интегралов и производных произвольного порядка [1]- в этом исследовании предлагается разработать аналитические методы разделения переменных (метод Фурье) для решения пространственно-временного дробного адвекции-диффузионного уравнения с постоянными и переменными коэффициентами, зависящими от пространства времени, и начального члена. Производная Римана -Лиувилля рассматривается в пространственном направлении. Поскольку аналитическое решение некоторых моделей уравнений дробной диффузии трудно получить, в частности,

• (с) Захаров И. И., Алероев Т. С., 2024

• (с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

2.    Первая краевая задача для неоднородного уравнения дробной дисперсии

очень популярным стали методы конечных разностей, и совсем недавно было опубликовано большое количество схем. Были выбраны две разные схемы с возрастающим порядком точности для временной, пространственной и пространственно-временной дробной диффузии с возрастающим порядком точности для уравнения дробной диффузии во времени, пространстве-времени. Так как эти две схемы достаточно сложны, в данной работе приводится достаточно продуктивный и простой в реализации приближенный метод, позволяющий моделировать различные физические процессы.

Рассмотрим первую краевую задачу для неоднородного уравнения дробной дисперсии:

дu(x,t)         д“u(x,t)    , ,.

= ^ЧхА2 + с граничными и начальными условиями

и(0, t) = u(1,t)=0,(2)

и(х, 0) = ^(х),(3)

где ^д дх^ = г(2 - а ) дь2 fo (ХАр— — дробная производная (в смысле Римана - Лиувилля), 1 < а < 2 [2].

Будем искать нетривиальное решение, непрерывное в замкнутой области П(0 < х < 1,0 < t < 1), однородного дробного дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2) и начальному условию (3). Для решения этой задачи рассмотрим, как это принято в методе разделения переменных, сначала основную вспомогательную задачу: найти не тождественно нулевое решение уравнения (1), удовлетворяющее однородным граничным условиям (2) в виде

и(х, t) = X(х)Т (t).

Подставляя (4) в (1), получаем

D •

^Хт + кХТ = хД dx^a               dt

D •             Т ‘

—X^{х-+ k} = т = ^

где ц = const, так как левая часть ургшисиия (5) 'зависит только от t. а правая только от х. Граничные условия (2) дают:

X (0) = 0,X (1) = 0.

Таким образом, для определения функции X(х) получена задача Штурма - Лиувилля:

{D • ^ = (ц - k)X(х), ( X (0) =0,X (1) =0.

Данная задача (7) была подробно изучена в [1-13].

М. Джрбашяном и А. Нерсесяном был предложен метод построения собственных и присоединенных функций, порожденных краевыми задачами для дифференциальных уравнений дробного порядка [7]. В данной работе мы существенно опираемся на этот метод. Введём основные понятия и предложения, используемые в этой методике.

Следуя [7], введём функции

У(х,Л) = ^^'-   f-^ (Лх"), i=1

z(х, Л) = ^(1 - хГ f   (Л(1 - О, i=1

ЦЛ) = Л£ a-bj(Е»,^ (Л)), i,j=1

где ^E_a41⁽z) = ^k=o г^+з) — функция Миттаг - Леффлера, х G [0,1], 0 < а < 2, ц1 > ц₂, v1 >  ^₂, al + а2 = b1 + b2 = 1. Заметим, что ш(Л) — целая функция порядка а со счетным числом нулей {Л„}^=₀ (которые пронумерованы в порядки неубывания их модулей).

Как ив [7], отнесем нулю Лп кратности sn > 1 две системы функций д\ (х,Л) дЛ-

A=An

$п —-— 1

∑︁ k=0

bSn-i-k-i    dk z (х,Л)

Г(к + 1)Г(г + 1)    дЛ^к

,i = 0,1,2,. A=A_n

. , Sn 1,

где

1      d^k (Л - Л_n)^Sn

Г(к + 1) dD^   ЦЛ)

,к = 0,1, 2,...,Sn - 1. A=A_n

Пронумеруем все функции, входящие в эти системы, в порядке неубывания чисел |Л_П|, при котором для каждого числа Л_п(п = 1, 2,...) соответсвующим Км функциям из этих групп будут придавать одинаковые номера.

Таким образом^ системы {Тп}^1 = {^2=1 aiX^i-1Eai/li (Лпх")}^1 и {Zn}n=1 = {EL1M1 - х}^-1 Е^(Лп(1 - х)")}^ биортоганальны в £2(0,1), то есть

TnZk dх =

I

п = к, п = к.

Приведённая выше биортогональная система является системой собственных и присоединенных функций краевой задачи для дробного дифференциального уравнения, поэтому доказана равносходимость биортогонального разложения с тригонометрическим рядом Фурье.

Так как присоединенные функции если и есть, то их всего лишь конечное число. Поэтому на сходимость разложения по собственным и присоединенным функциям это никак не влияет. Поэтому, когда речь идёт о сходимости таких разложений, оценивают только слагаемые с собственным функциями, не обращая внимания на слагаемые, содержащие присоединенные функции.

В некоторых случаях (в частности, когда a1 = b1 = 1, a₂ = b₂ = 1, ц1 = щ = а, 1 < а < 2) присоединенных функций вообще нет.

Как и в работах [3, 5, 9], решение данной краевой задачи представим в виде суммы двух функций. Первая функция состоит из членов ряда, порождаемых из собственных функций, а вторая из членов ряда, порождаемых присоединенными функциями. Очевидно, что когда задача не порождает присоединенных функций, то второе слагаемое равняется нулю. В данной работе исследование решения задачи сводится к изучению первой функции.

Показано, что число Л_п = ^ ^{п —} является собственным значением (7) только в том случае, когда оно является нулем функции Миттаг - Леффлера Е_а,_а(Л_п):

^   ■   Е гщщд • j0

Для таких X_n существуют собственные функции задачи, равные

Хп(Хп,х) = xa-1Ea,a(Xnxa).(9)

Эти собственник значения X_n, очевидно, соответствуют решениям уравнения

Т ‘(t) = XT (t),

Т X ,-    . . Dk ', где ^п — ещё не определённые коэффициенты.

Таким образом, функции

Un (x, t) = Хп (Xn ,x) • Tn (Xn , t) = Tn e^(DXn+k)tx^a-1E_a,_a(Xnx^a)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям (2).

Перейдем теперв к решению задачи (1) - (3). Составим ряд:

и(х, t) = ^Е Tn■ ' ^+k)tx^a-1E_a,_a(XnX^a).                         (10)

n=1

Функция u(x,t) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем

T(x) = ^Е TnX^a-1E_a,_a(Xnx^a).                           (11)

n=1

В [6] показано, что система функций {X_n(X_n, x)} = {x^a-1E_a,_a(X_n x“)}“_₁ образует базис в ^2(0,1). Так как базис {X_n(X_n, x)}n_1 не ортогонален, то вместе с системой {X_n(X_n,x)} будем рассматривать систему

{Zn(Xn,x)} = {(1 -x)“-1Ea,a(Xn(1 - x)a)}^_1, которая биортогональная {Xn(Xn,x)} [6]. Вообще говоря, система {zn(Xn,x)} — система собственных функций сопряженной задачи [8]:

I

■Xf^ = XY (x), d(1-x)^a

Y (0) = 0,Y (1) = 0.

Для определения неизвестных коэффициентов T_n обе части равенства (11) умножаем на систему функций z_n(X_n,t) :

∞

T(x)Zn (Xn,x) = ^TnXn(Xn,x)Zn(Xn,x),                       (12)

n=1

равенство (12) можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1]:

/ ОС¹

T(x)Zn(x) = ^Tn   Xn(x)Zn(x)dx.

0                n_1    0

Полученное (13) перепишем в виде

∞

(Т, z_n ) = ^ Tn(Xn, Z_n),                              (14)

n=1

где

(^,Zn) = У ^(x)Zn(x)dx, 0

^(Xn, ^Zn)    У Xn^(x)Zn^(x) d^X. 0

В силу биортогональности систем функций {X_n} и {z_n} из (14) следует, что (Т, Zn) - ^n(Xn , Zn). Отсюда

_ (V,Zn)

^ⁿ =      V

^(Xn, ^Zn)

Таким образом, решение задачи (1) - (3) записывается в виде

“(x,i) = Е _v , e^(DX-⁺^x^a-1E_a,_a(\nX^a).                   (16)

^(Xn, ^Zn ) n=1

В работах [1,8] были изучены вопросы сходимости ряда (16) и его производных.

Для приближенного решения сначала найдем несколько собственных значений Xn из уравнения

E_a,_a(Xn)- Е гГтЧ -0.                    ⁽¹⁷⁾

^=0 ^r(a + aj )

В табл. 1 приведены результаты вычислений нескольких первых собственных значений при различных значениях 1 < a <  2.

Таблица!

Первые собственные значения для 1 < a < 2

a	1.1	1.2	1.3	1.4
Xn	-5.101	-4.567	-4.518	-4.708
	-10.795 ± 7.989г	-14.139 ± 6.9214г	-17.920 ± 3.920г	-16.726
	-14.338 ± 16.876г	-21.916 ± 18.035г	-32.274 ± 17.144г	-26.220
	-17.273 ± 26.049г	-28.880 ± 30.344г	-45.830 ± 32.677г	-45.424 ± 12.811г
	-19.920 ± 35.456г	-35.547 ± 43.497г	-59.425 ± 50.079г	-69.176 ± 30.809г
	-22.400 ± 45.061г	-42.078 ± 57.328г	-73.206 ± 68.999г	-94.023 ± 52.268г

Первые собственные значения для 1 < a < 2

a	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
Xn	-5.075	-5.610	-6.322	-7.240	-8.404
	-17.472	-19.513	-22.570	-26.737	-32.253
	-32.129	-38.158	-45.945	-56.345	-70.247
	-55.834	-62.410	-76.129	-95.440	-121.869
	-64.586	-88.220	-111.768	-143.271	-186.675
	-99.718±21.304г	-123.879	-153.696	-199.672	-264.408

Таким образом, для приближенного решения достаточно взять несколько первых членов ряда (16):

u(x,t) ^ ^ ^, ^{Zn )} e^(DXn+k)x^{a 1}E_o,^_a(XnX^a).

, ⁽^n, ^Zn )

n=1

Приближенное решение обозначим

uo (x,t) = ^ (%^{,Z n)} e^(DA"^+k)tx^C 1E_a,_a(X_nx^C).

, ⁽^n, ^Zn )

n=1

3. Точность приближенного решения

Для оценки точности приближенного решения (18) согласно [11] рассмотрим величину

ес

max|uv (x, t)|

—         • 100%, max|uo(x, t)|

где П(0    < x <    1,0    < t <    1)   — замкнутая область, uv(x,t) = (x^zу)e(DXN+к)xC-1ECC(XvxC') — последний член суммы (19).

Результаты расчета для различных начальных условий ^(x) приведены в табл. 2-4:

Т а б л и ц а 2

Результат расчета е_с при ^(x) = x — x²

a	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
е., %	0.063	0.055	0.048	0.037	0.033	0.029	0.025	0.023	0.022

Т а б л и ц а 3

Результат расчета е_с при ^(x) = sin xx

a	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
е., %	0.039	0.034	0.029	0.026	0.023	0.020	0.017	0.015	0.014

Т а б л и ц а 4

Результат расчета е_с при ^(x) = sin2xx

a	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
ес, %	0.055	0.049	0.042	0.036	0.031	0.027	0.024	0.021	0.019

Определим невязку, подставив приближенное решение (19) в (1):

^du0^{(x,t)        д Cu}0^(x,t)

^Й0 =   — ^{— D} '    ....   +*^uo<^x.‘).

^C

max|5o(x, t)| max|uo(x, t)|

• 100%.

Результаты расчета для различных начальных условий ^(x) приведены в табл. 5-7:

Полученные результаты демонстрируют высокую точность аппроксимации решения исходной задачи функцией (19).

Т а б л и ц а 5

Результат расчета 5_а при <Дж) = ж — ж²

a	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
5a, %	0.081	0.068	0.058	0.052	0.048	0.043	0.039	0.034	0.035

Т а б л и ц а б

Результат расчета 6_а при <Дж) = sin лж

a	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
Sa, %	0.096	0.086	0.074	0.054	0.048	0.039	0.031	0.027	0.023

Т а б л и ц а 7

Результат расчета 5_а при ^(ж) = sin2лж

a	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
Sa, %	0.113	0.095	0.083	0.071	0.059	0.047	0.039	0.034	0.031

4.    Заключение

Представленные результаты демонстрируют возможности разработанной методики приближенного решения краевой задачи для уравнения дробной диффузии. Уравнение решается на основе аналитического метода разделения переменных (метода Фурье). Производная Римана - Лиувилля рассматривается в пространственном направлении. Результаты вычислительного эксперимента демонстрируют высокую точность приближенного решения задачи.