Об одном методе решения уравнения Пуассона

Рассмотрим уравнение Пуассона

Nu = f (х), х е D,

где правая часть /(х) является аналитической в D функцией, a D с Rⁿ звездная область с центром в начале координат. Хорошо известно, что некоторое решение уравнения (1) может быть записано в виде потенциала объемных масс [I]

н(х) = -—f £(х,5)ЖХ

где £'(х,^) = -^|^-х|2 п (при и>2) элементарное решение уравнения Лапласа, а оп площадь единичной сферы в Rn . Однако, это красивое и полезное решение мало пригодно для вычислений. Например, при полиномиальной правой части /(х) решение w(x) может быть полиномом.

Чтобы подсчитать это решение нужно вычислить и -кратный интеграл по D, что довольно трудно сделать. В данной работе приводятся формулы, которые упрощают нахождение решения уравнения Пуассона (1) и неоднородного бигармонического уравнения (17) в случае полиномиальной правой части /(х). Следует отметить, что полученные формулы справедливы и для некоторых аналитических функций, для которых соответствующие операторные ряды сходятся.

Уравнение Пуассона

Теорема 1. Некоторое решение уравнения (1) может быть найдено в виде

I v |2 00      / 1     |    |2А л

_M(^) ₌ LLy -- ^X-a^a^^^f^da,         (3)

2     (2^)!!(2^ + 2)!! »      ’           п                         v >

Доказательство. Определим функции G_k(,x;u) по формуле [2] и(х\к = О

<^(х;м) = ( 1 |Х|2А

4^к к'.      (£-1)!

aniI }u(ax)da,k>0’

где и(х) некоторая гармоническая в D функция. Поскольку D звездная область, то справедливо следующее разложение полинома /(х) [3]

№ = ^G^x; v,) = v₀(x) +         [ ——— aⁿⁿ'v_k(ax}da, xeD,

,=о                         к=\ 4 к.             1)!

где гармонические функции vk (х) задаются равенством s!          (s —1)!

В силу свойства нормируемости системы функций ^G_k(x;u)\k = 0,1...} [2] решение уравнения (4) можно записать в виде

w(x) = G] (х; v₀) + G₂ (х; ^ ) + ... = £ G_k (х; v^) к=1

ибо по определению функций Gk(x;v) верны равенства AG^x^u") - Gk_A(x;u), ^Gq(x;u) = 0 и значит а также

Аи(х) = AG;(x;v₀) +AG₂(x;V])+ = G₀(x;v₀) + AG₁(x;v_i) + ... = /(x).

Перепишем решение (6) в виде

1 |хр^ Н (1 — «У * и/2-1    / ч7

“М=^7^^’7ГДГ“ v«Wda-

Подставим в эту формулу значения v4(x) из (5). Тогда будем иметь мА И 1 »-1)!             1!4 М

£ <1П^ /wwda.

Обозначим последнюю сумму в полученном выражении через Цх) . Тогда получим ⁰⁰ / i V \2k-v2s

Z(x) = У ^v У ■ ^^kJrs ^

^-1 ^25+п/2-1 (}_^5-1 psA-nll-l

(£-1)!

(5-1)!

^^JpxPxWda.

После замены во внутреннем интеграле ар^ р будем иметь

, 5 УХи!ГГ г г «о-«Г(^т-¹ ^..-_v.m_№Wda ^_X4^k+S_kXsX           (£ —l)!(s —1)! ^p                  ) P

Меняя порядок интегрирования в повторном интеграле и вводя обозначение

R(P)= f a(l-a)^k-4a-py^dct получим

У^4^А+Ч!5!(£-1)!(5-1)У                 J a p

Вычислим функцию R(P) . Заменяя под интегралом a ->a + P будем иметь

R^ = j^ (« ₊ py\ -a- pf'^A a^s"^A da.

Заменяя опять a -> a(l - /?), найдем

R(p) = (1 - P)^k+pA ^ (a - ap + p\\ - a)^w a^px da.

Используя теперь представление бета-функции Эйлера в виде

5(5, k) = ^ a^s4 (1 - аУ⁴ da,

(Ю)

после простого преобразования получим

R(P) = 5(5 + 1ЛХ1 - РУ*^к + S(s,il)^(l - РУ*^кЛ.

Воспользовавшись теперь связью между бета-функцией и гамма-функцией , а затем известной формулой T(s) = (s-1)! выпишем

(s + к)'.               (s + k- 1)!

Отсюда сразу получаем выражение для 1(х)

Математика

ж>= Е к, s=l

^у | X \^2k+2s

Ъ   4^ + 5

■ОцнЦз-!)!

(s + £-l)!s!

pnQ”x\Us^j{px{dp.

Кратное суммирование EEi ЗДесь может быть взято следующим образом

Е сс    vyoo           5—100 5^

. Тогда будем иметь

/,5-1   Z-il^lZLu-vs-l   Z-jI=2Z^

со I

/=2

/!(s-l)!(/-s)!

+ «-^ (1-ДО (Z-l)!s!(Z-s)!

Если обозначить в полученном выражении

'P^^jXpxW-

и

MPV

{V-Pi^ ИУР;

Z!

(/-5)!(5-1)!

MPV

(/-1)! Д(/-^!’

тогда получим

Кх) = Z “Г- £ кА <Р)+А {Р^ Pⁿ'^Mk^!-^x№W.

(Н)

Вычислим суммы Jx{p) и J^PY Имеем j ш              i-pv4 = {-ру

/! ^(Z-l-Cs-l))!^-!)! Z! ^(Z-l-s)!5!

₌ {\-рЙ(-РУ (-РГА ₌           _п

/! [y0(/-l-sN (Z-l)! J /!(/-l)!l         1

и

(/-1)! Й(/”^1 (/-1)!

4, {-ру {-pj 1

рх-РГ (/-1)!

(1-^У (-Р)¹ 1 ₌(1^

/!                /! Z!

/!(/-!)!

Отсюда w+j^=(1 - рх-рГ - (1 - р1+(1 - р1 л-Pi -11=

/!(/-!)! L J

После подстановки полученного выражения в (И), а затем замены индекса I на индекс к получим

^ У /! * (/-1)!            J Н р и^ Z!

t~^-Pn^^MJ{Px)dp =

® С I _v |2^

,V ы 4* к'.

(к-^.

_an!l 1д4 'j^_ax^d_a _

-У-Т™ t^—a^n/2"^xA^k4/(«xW.

^4^А к\ -Ь (£-1)!                ⁷

Подставляя найденное значение 1(х) в (7) и замечая, что последняя сумма из (12) сокраща ется с первой суммой из (7) получим

«оо=-2

И

(-1/ и²⁴ 4^А к'.

a^k"41-a)^k"^v (^-1)!

a^² lд^ ^AJ^ax^da

или заменяя индекс к на к +1 найдем

” /_П^ I у ]2Л+2 ,

-to=g т^т^ ( о - ^«‘«^Ka.w,         из)

что совпадает с формулой (3). П

Замечание 1. Решение (3) имеет смысл и в случае аналитической в D функции Дх), если соответствующий ряд сходится в D. В [3] была установлена сходимость ряда представляющего решение и(х) только лишь в некоторой окрестности начала координат.

Замечание 2. Конечно же, компактная запись (2) решения уравнения Пуассона, более привлекательна, чем громоздкий операторный ряд из (3), но как показывает следующий пример, в случае когда /(х) полином решение и(х) находится легко.

Пример 1. Пусть правая часть в уравнении (4) имеет вид f(x) = x,, тогда ряд из (13) содержит только одно слагаемое при к = О

п(х) = ^ЛI f a^nQ da =---------х. | х I².                           (14)

4 -Ь 2(н + 2) ' '

Проверим полученное решение

. , ,         1 О            О Г 2           3

—--------- ---г- +... Ч--z- Х;Хл + ...4- X, +...+ Х,Х_П —

1                            х 2и + 4

=---------\2х, +...+ Ьх, + ... + 2х, = —■------х, = х,.

2(п + 2У '        ¹             2(н + 2) '    '

Пусть теперь, в общем случае, f(x) = P_m(xy где Р_т(х) однородный полином степени т. Тогда верно следующее утверждение

Теорема 2. Решение уравнения (1) вида (3) при /(х) = РДД может быть записано в форме и^ =| X |2

[т/2]+1

(-1/ к=0

и²* ^^кр_т^ ^ЛУДп + 2т-2к,2\_+х ’

где {a, b\ = a(a + by.(a + kb-b) обобщенный символ Похгаммера, а [я] - целая часть числа а.

Доказательство. Преобразуем формулу (3). Очевидно, что в силу однородности полинома РДД верно равенство ДР_т(ах) = а^т~^2к /Х^к РДх) . Поэтому (3) имеет вид

= ^У (-1)^           f ₍] _ _а)^ка^мча^т-^2к da.

2 (Iky.^k + iy.k

Принимая во внимание определение бета-функции (10) запишем

и(х) = У (-1/-—1 В(к + \,т-к + п/2).

2            (2k)V.(2k + 2)V.

Воспользовавшись теперь соотношением B(s,k) = F(5)F(^)/T(s + к), а также равенством

(2^)! \(2к + 2)!! = 2 ■ 4⁴ к\(,к +1)! = 2 ■ 4⁴( к + 1)!Г(^ +1) найдем

Математика

4=0      4^1(Л7 + 1)!Г(т + и/2 + 1)Г(/Е + 1)

После сокращения получим

м(х)=и2 f                         д^ (х).

4w(^ + l)!E(m+ П/2 + 1) т

Теперь, используя свойство гамма-функции r(s + l) = sT(s) можно найти

F(m + п!2 +1) = (т + п/2)(т + п/2 - 1)(ти - к + т7/2)Г(т - к + п!2\ а значит, сокращая дробь в (16) на Г(т - к + п/2) получим

(2£ + 2)!!(и + 2/и)(7? + 2т-2А:)

Наконец, вспоминая определение обобщенного символа Похгаммера запишем (2к + 2)!! = 2 • 4(2А: + 2) = (2,2)_А+1 и (и + 2т - 2к)(п + 2m) = (п + 2т - 2к, 2)_w , а значит

. . . 2 v (-1)^|х|24 А^т(х) и(х)=х > -—————--—-—.

Что и требовалось доказать. □-

Если теперь опять вернуться к примеру 1, то т = 1 и при ^ = 0 будем иметь (2,2)к+1(п + 2т-2к,2)к+1^=0 =(2,2)1(и + 2,2)1 =2(п + 2) и значит х ! х I2 и(х) = —!.

2(и + 2)

Бигармоническое уравнение

Рассмотрим теперь неоднородное бигармоническое уравнение

Теорема 3. Решение уравнения (17) может быть записано в форме

H\-a^ak+n,24^k/(ax)da.(18)

4      (2£)!!(2А + 4)!! -b '               J!

Доказательство. Обозначая ^ = g получим для g(x) уравнение Пуассона (1) ^g- f и значит согласно теореме 1

I у =0

z 4=0

|х|24

£ (а -1)⁴ а^к"^п'~^х \ ^кДах^а,

и, кроме того,

I у |2 со | <24,

м(х) = —-У---—----- -\)^к а^к+п/2чА^к g(ax)da.

2 ^0(2k)V.(.2k + 2)V. »                  57

Замечая, что A4g(x) = А4”1/(х) из (20) найдем

|у|2,

м(х) =--- ^^а”^/2 ^(«x^da-v-

I у |2 со           , ,24,

₊И£у---Ш--- ^a-^^ka^UnQ"4^k-^xj-

2 ^(2()!!(2А + 2)!! •«

Преобразуем первый интеграл в полученном равенстве. Используя (19) найдем

---Га^{п/2 х}g^ax^da =

4 л

₌ М.у _L2Ll£l--f             pf р^м”^хZx^kf^apx>)dpda =

8 ^(2^)!!(2т1 + 2)!! -b »           \ p j \ p ) p

I у I4 m              I у I24 J J

Заменяя aP -> /?, а затем, меняя порядок интегрирования, получим

™^а',/2""^(ах)^ =

;   |4 -со / id г i2k л

=£^Л?О75^Н^ £ Г“(“=       (М)

^L^_L12J£1--- f £ «(«-рУ dap^^KPxW- 8 ^№^!(2А: + 2)!!-b                      j ) р

Вычислим внутренний интеграл. Интеграл такого типа был уже вычислен в (9) и поэтому j^ apx - рУ da =

(1-^ ₊ ^(1-^ к + 2 к +1

Подставляя найденное значение интеграла в (22) и, меняя р -^ а. получим

^an/2 Ag(ax)da =

”   (-1/|х|²^

2 £^>№*2^.

Н f О-^² ₊ aP-at^ ^2(2A + 4) ⁺ 2(2£ + 2) ,

ak+ni2'xAkJpopda.

Вернемся к формуле (21) и преобразуем второй интеграл. Заменим в нем к -» к +1

I у 7 ”

z <1=1

и2*

(2£)!!(2£ + 2)!!

j^(a-1)как+м/2 АЛк xppxx)da =

_ I |               I I                             ^k+n/2-l дА

" Т" ^0(2кЖ2к + 2)\'Л(2к + 2Х2к + 4)

Складывая полученные интегралы найдем

|х|4^ (-l/lx^

2 fc^2kWk*2p.

^ K

где

_К(ал₌О-^²₊а^-а^^Х _ аО-а)^¹

^V 2(2к + 4)   2(2к + 2) (2к + 2Х.2к + 4У

Вычислим функцию К(а"). Имеем

. (1-<т)^А+Ч \-а а 2а

2   (2^ + 4 2к*2 р.к + 2Х2к*^

_ (1 - а)^к+А (1 - а\2к + 2) + а(2к + 4)-2а _

~   2          (2к + 2Х2к + 4)       ~

₌(l-a)^ul(,2k+ 2)    ₌(Д-аУ"^

“   2   (2к + 2Х2к + 4)^- 2(2к + 4)’

Значит, из (23) получим

_M(_T) ₌                 f р-а)^ыа^к+п,2ЧА^кKaxW-

4 ty₀(2k)'.X2k + 4)V. »

Что и требовалось доказать. □

Пример 2. Пусть правая часть в уравнении (17) имеет вид /(x) = x_z, тогда ряд из (18) содержит только одно слагаемое при к = О