Об одном обобщении теоремы о среднем для гармонических функций

{ G ( _v )( x )}, которая ортогональна в L ₂(д 5 ), где д 5 - единичная сфера в R n . Оказывается, что эта система ортогональна ив Р (теорема 3). В качестве приложения этих результатов в теореме 5 получена формула для значения выражения вида G ( _v )( D ) u ( x ) x =₀, где u ( x ) - гармоническая в 5 и непрерывная в 5 функция. В теореме 6 получена формула вычисления интеграла вида j | Q m ( x ) ds_x , где Q m ( x ) - однородный полином.

Рассмотрим полиномы вида

[ k /2]                        ² i k^{- 2} i ^,!

G s ( x ) =      (-1) i ¹ x ⁽ n ^{- 1) |} x n --------,

⁽ n p Z^ ) (2,2) i ( n — i ₊ 2 s ,2) .

где обозначено xk,! = xk / k!, x( n-1) = (x1,^, x(n-1)) и (a, b) - = a (a + b)—(a + kb - b) - обобщенный символ Похгаммера с соглашением (a, b)0 = 1. Пусть N 0 = N и {0} и

[( - - s )/2]

H k ( x (2) ) = Z (-1) i x ^i ⁺ s 'x 2 i " s ^,!, s = 0,1.

i = 0

Теорема 1. [2] При n > 2 и v1 > — > vn, vn = 0,1 полиномы n-2

Gv)(x(n))=n Gs-vijx(n-i+1)) hkx(2)), i=1

где v = (v 1 , ^ ,v_n ), ve N 0 образуют базис в однородных степени V 1 гармонических полиномах.

Теорема 2. [2] Полиномы { G^ ) } при различиых векторах ve N 0 , удовлетворяющих условию v 1 >  v ₂ > — >  v n , v n = 0,1, ортогональны на единичной сфере.

Рассмотрим полиномы G(v)(x) в пространстве полиномов Р = {P(x) = Z P«x“} со скаляра ным произведением (P(x),Q(x)) = P(D)Q(x)bix=0 [1]. Норму полинома P(x)e Р будем обозначать | P |D . Например, | x12 +-----+ x2 |D = A | x |2x=0 = 2n. Система полиномов G(v) (x) обладает еще одним интересным свойством.

Теорема 3. Полиномы G ( _v )( x ) для различньix векторов ve N n , удовлетворяющих условию V 1 > — >  v n (v n = 0,1) ортогональны в Р.

Карачик В .В.

Доказательство. Нам необходимо проверить справедливость следующего утверждения: v = ц ^ ( G(_v ), G _{( ц} )) = 0. Применим индукцию по размерности n . Рассмотрим случай и₁ = ц ₁ поскольку если v ₁5= ц ₁, то гармонические полиномы G(_v )( x ) и G _{( ц} )( x ) ортогональны, как имеющие различную степень. Это следует из формулы Гаусса-Остроградского [4]

⁰ = J x _k1 ( ^H p ⁽ x ) d v^H m ^{( x} ) - ^H m ^{( x} ) dvH_p ^{( x} )) ds x = ^{( m} - p ) J x _|=₁ H p ^{( x} ) H m ⁽ x ) ds x , где H_p ( x ) и H_m ( x ) однородные гармонические полиномы степеней p Ф m соответственно.

Пусть n = 2. Полиномы G ( _v )( x ) и G ( _ц )( x ) ортогональны поскольку они имеют различную четность по x ₁: если v ₂ = 0 тогда G ( _v ) ( x ) - четный, а если v ₂ = 1, то нечетный.

Пусть т > 2. Рассмотрим случай v2 < ц2 . Определим G -полиномы для k е X \ N 0 как Gsk = 0 и обозначим zi = A - д2 /дxn . Нетрудно проверить, что д                       ~ dx" G( ц)( x) = G(ц-)(x), A G( ц)(x) = - G(ц=)(x), где ц- = (ц1 -1, ц2, ^, цп ) и ц= = (ц-)_. Поэтому, будем иметь

Gv ) ( D ) ^G ( ц ) ( x ) = ^Gv ) ( D K G^r ₂ ( D ) ^G^ 2 - ц ₂ ( x ) ^G ( ц ) ( x )).

Поскольку при k >  m и однородном гармоническом полиноме H_s ( x )

I xf kH ( x )

I x |^{2 k -2 m}H_s ( x )

A m

(2,2)k(n + 2s,2)k   (2,2)k-m(n + 2s,2)k-m ’ то будем иметь

G?< D ) G ?( x ) ^H «< x ) =

[ k 1 /2]

= I

(-1) i A i D k^{1 -2} i

^{[ k} 2 /,^2]   (-1) j 1x |^{2 j} x k ^{2-2 j ,!}

(2,2) i ( n- 1 + 2 v 2 ,2) i ( k 1 -2 i )! j = 0 (2,2) j ( n -1 + 2 ц 2 ,2) j

-Hц ₂( x ) =

[ k 1 /2]

= I

(2,2) i ( n -1 + 2v 2 ,2) i ( k i -2 i )!

^[ ( ^k 2 ^{- k} 1 ^)/2]+ i

■ I

(-1) ^{j -} i I x |^{2 j -2} i x n ^{2- k 1+2} i ^{-2 j ,!}

(2,2) j - i ( n -1 + 2ц 2 ,2) j - i

-Hц ₂( x ) =

^[ ( k 2 ^{- k} 1 ^)/2]         j     ^{2 j} k 2 ^{- k} 1 ^{-2 j ,!}

= C ( k 1 , v 2 )   I ^{( 1) 1 x1}   x n

j = 0

(2,2) j ( n -1 + 2^,2) j

-H ^( x ) = C ( k i , v 2 ) G^- k 1 ( x ) Hц ₂( x ),

[ k 1 /2]

где C ( k₁,v ₂) = I 1/((2,2) i ( n -1 + 2 v ₂,2) i ( k ₁ -2 i )!). Значит из (1) при k ₁ = v ₁ - v ₂ и k ₁ = ц ₁ - ц ₂

i = 0

ВЫВОДИМ

^G(v ) ( D ) ^G ( ц ) ( x ) = ^C ( v 1 -v 2 , v 2 ) ^Gv ) ( D )^[ G* - „ _Hv ₁ . ₂ ) ( x ) ^G ( ц ) ( X |.

Так как ц ₁ - ц ₂ - v ₁ + v ₂ = v ₂ - ц ₂< 0, то мы можем заключить, что G ( _v ) ( x ) и G ( _ц ) ( x ) ортогональны . В силу симметричности скалярного произведения это утверждение верно и при v ₂ >  ц ₂ . Рассмотрим последний случай v ₂ = ц ₂. Используя равенство (2) и учитывая, что G 0 = 1 получим ( G ( _v ), G ( _ц )) = C ( v ₁ - v ₂, v ₂)( G ( _v ), G ( ц )). Так как v ₁ = ц ₁ и v 5= ц имеем у 5= ц . Следовательно, по индукции, полиномы G ( _v )( x ) и G ( _ц )( x ) ортогональныв Р. Теорема доказана.

Известно [5], что максимальное число линейно независимых однородных степени k гармо- нических полиномов равно hk =

2 k + n - 2 (k + n - 3

n -2

n -3

. Перенумеруем полиномы G ( _v )( x ) c v ₁ = k

так, что получится полная система ортогональных сферических гармоник степени k . Обозначим эту систему { H ki ) ( x ): i = 1, ^, h_k } и нормируем так, что j^ ( H ki ) ( x ))² ds_x = to n .

Математика

Теорема 4. Если u (x) - гармоническая в 5 и непрерывная в 5 функция тогда справедливо представление u (x)=z ^i) н^ч x),                           (3)

где h¹ ) = 1/ ® n J_a S H<¹ 4f)u ( f ) df .

Доказательство. Пусть E(x,f) = (n - 2)-1 | f - x 2n (n > 2), A = x1d /dx1 +-----+ xnd /dxn и при x = fed5 верно равенство л ,e (x , f) - л£е (x , f)=-Zx-(x - f) -ff x) = EM-.

i =1              | ^{x f} |                   | ^{x f} |

Воспользуемся леммой 11 из [7]. При | x |<| f | имеем

^     -(2 k + n -2) h k

E ⁽ x - ^{f )}=s ^k^n ^T- z H^k ' ^,( x ) H^k * ^{)( f )}.

Поэтому при | x |<| f |= 1 ядро Пуассона имеет вид

= A x E ( x , f ) -A fE ( x , f ) = I ^{x f} I

= у k - k + (2 k + n

= ^h 2 k + n - 2

^^^^^^^

ЭА h k                       ^ h k

i =1                          k =0 i =1

Дифференцирование и предельный переход под знаком суммирования законны, поскольку ряд в (4) сходится равномерно по f e д 5 и по x пр и | x |< а < 1. Подставляя полученное значение ядра Пуассона в известную формулу решения задачи Дирихле в единичном шаре и используя равномерную сходимость ряда по f ed 5 приходим к (3)

2                « h u ( x ’ =  А5     u ® ^ =  JdS hh H^f) u (f) dSfHk^ x ) = шп    Ix -f I              шп    k=0 i=1

^ h k                                      ^ h k

= ZZ — L _SH k ^{Z )}( f ) u ( f ) &НЧx ) = ZZ h k ^{- )} H^ x ).

k =0 i =1 ® n                                   k =0 i =1

Теорема 5. Если u ( x ) - гармоническая в 5 и непрерывная в 5 функция, тогда имеет место

ГМДТЭЕЧТГ'ТТЭГА j^fk1 G

где gv =|G₍v) L2/|G(v) dd.

Доказательство. Воспользуемся формулой (3) из теоремы 4. Так как для каждых г и k найдется вектор v такой, что v1 = k > — >vn (vn = 0,1) и нЦЧ x) = J^ G(v)(x) .

kn

I ^G(v) IL₂(d5)

то имеем

G_(v)(x)

^u(x) = Z -—2----j_fh1^G(v)^(f)u(f)dsf.

T1=0l ^G(v)lL₂(d5) ⁶

Применяя к этому равенству оператор G(_Д) (D) (дифференцирование можно внести под интеграл так как ряд сходится равномерно по | x |< а< 1) и полагая затем x = 0 получим

G_(Д)(D)u(x)x=0 = Z ^G(^)^^j’_f_₁G₍v)(f)u(f)dsf = — [   g₍v)(f)u(f)dsf.

v1= Д1 I ^G(v) IL2 (d5) ⁶                               gv ¹⁶¹

Здесь мы воспользовались ортогональностью полиномов G(д)(x) в Р (теорема 3). Отсюда сразу получаем равенство (5). Теорема доказана.

Для использования теоремы 5 необходима формула для вычисления интегралов вида Qm (x) ds_x, ^гД^еQ_m (x) — однородный полином степени m .

LI

fo,

^=1 Qm^(x) dsx

A m Qm ( x >    ton, m!! n — (n + m - 2)

m e 2N -1

m e 2N

Доказательство. Воспользуемся леммой 4 из [7].

Лемма 1. Гармонические полиномы Rm_-2k (x) в разложении одно родного полинома Q_m (x) по формуле Альманси

Qm^(x) = Rm^(x)+ I ^x I²Rm-2 ^(x) ^{+ —+} I ^x 12l Rm-21^(x)

имеют вид

Rm-2k^(x) =

2m - 4k + n - 2 у      (-1)s I x \²s As^+kQ_m (x)

(2,2) k     t=0 (2,2) s (2 m - 4 k - 2 s + n - 2,2) s+_k+,^.

Из теоремы о среднем для гармонических функций и формулы Альманси следует, что

[   Qm (x) dSx = [   ГRm (x) + Rm-2(x)

-1^x I=1                         -I^x I=1

f 0,

21< m

2l = m

+ — + Rm-21    dsx =    n ltonR0,

При нечетном m интеграл равен нулю так как m - 21 > 0 и значит R_m-2l (0) = 0. При четном m, используя лемму 1 запишем (s = 0, k = m / 2)

f                 n - 2   A^m/2Q (x)          A^m/2Q (x)

Q_m (x) ds_x =--^m     to„ =-------- ^m ---to..

W m x (2,2)m/2(n-2,2)m/2+1 n m!!n — (n + m-2) ⁿ

Теорема доказана.

В [6] формула Альманси обобщена на аналитические функции.

. Если u (x) гармонииеская в 5 и непрерывная в 5 функция, то имеет место ра- о ЦЧ 1 ЩТГ> ГЛ r>CriVlr>U

1 Г -                AV1G2Дx) - to n ^G(V Щ u 9 d = ^2^1^- GV)( D ) u ( x)x=0,              <7)

где Gv)(x) = G(_v)(x)/G(_v) D.

Доказательство. Нетрудно заметить, что в обозначениях теоремы 5 и с помощью теоремы 6 (m = 2v1) можно записать

₂      2-2   A^V1G2_V}( x)

g_v =IG_(V J2 /| G_(v J2, =IG_V J2 =-------''     ^ .                        (8)

V I ^v) IL2 ^{1 v}) D ^{1 v}) ^il2 (2V1)!!( n ,2V ⁿ"

Подставляя найденное значение константы g_V в (5) и деля обе части полученного равенства на | G(_V) |D и ton получим (7). Следствие доказано.

Пример. Пусть u (x) - гармоническая в 5 и непрерывная в 5 функция, тогда имеют место равенства

1     11       1

— L, ^iu⁽£) ds§ = -ux,⁽⁰⁾, — L., ^i^ju⁽^) ^ds§ = ——-uxx,⁽⁰⁾, ton ^sH^{1         9}n i ton²^ ^{J 9}n(n + 2) i j

— t. 9i²u(9) dss = ——-Uxx (0) + -u(0).

ton^J ^H^{1           9}n (n + 2) i i n

• I.    Первую формулу нетрудно получить из (5). Если взять V = e1 +-----+ e_n-i₊₁, где

ei = (51, i, ^, 5_n, i), то получим

Математика

GV)( X) = GV-v,( X(n)) GVX(n-,)" G^Й, -( X(3)) H^X(2)) =

= G0 ^(x(n))G0 ^(x(n-1)) ^—G1 ^(x(i)) ^—G0 ^(x(3))H0 ^(X(2)) = ^Xi •

Так как

I xi

12 + - + Xn2) dSx = ^^, n и | xi D = Dxi xi = 1, to gv =| xi L /1 xi D = ton I n и значит первая формула верна

55^{(5) d}s§=tonnDxiu^(x )x=0.

• II.    Далее положим v = 2e1 +-----+ 2en- j+1 ⁺en - j+2 ⁺ - ⁺en - i+1 ecли i > j. Тогда

Gv)(x ) = ^GJ. x(n)) GV3-vз( x(n-1))-Gn--v.-1( x(3)) С 1< x(2)) =

= ^G0^(x(n))^G0 ^(x(n-1)) ^{— G}1^(x(i))^G0 ^(x(i-1)) ^{— G}0 ^(x(j+1))G^{0 (x}(j)) ^—G^{0 (x}(3))H(°^(x(2)) = ^xi^xj •

Для вычисления интеграла | xixj |L = f x²x2 ds_x воспользуемся формулой (6). Имеем

²       | x |=1

Qm (x) = x²x² , m = 4 и значит Am^/2Qm (X)

m!! n — (n + m - 2)  4!!( n ,2)₂

^to„ Поэтому         xj x j ds_Y =----

Ix= i ^{j x} n (n + 2)

----¹ A(2 x² + 2 x 2 ) = ¹ 8 n (n + 2)            ^] n (n + 2)

•

•

Так как      ^{| x}_t^x₃D = ^Dx_l^Dx^X_l^xj = 1, ^т0

gv =| xi |L 11 xi- |D = ton I n(n + 2) и значит вторая формула тоже верна

L !^jU⁽^)ds^ =  ^ton DDu^(x)|x=0.

^J|5k^{1 J 5} n (n + 2) i j

• III.    Для доказательства третьей формулы выберем v = 2e1 и значит

  G₍v)(x) = G 2⁰(x₍n)) G0⁰( x₍n-1))^ H0⁰( x₍2)) = -n-

  Отсюда следует, что

  
  

  ^^^^^^^в

  
  

  2 .        .2

  ^X1 ^{+ —+ X}n-1

  2(n -1)

  
  

  •

  
  

  .2          .2 .           . .2

  G (x) =  - ^X—^{- x}n^-1

  ^(v)       2       2(n -1)

  
  

  n^x2

  
  

  I X I²

  
  

  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^В  ^^^^^^^в  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^в

  2(n -1)   2(n -1),

  
  

2 n — 1 x 1    2

или xn = 2----G(v ) (x) + — | x | , а значит, используя формулу (5) и теорему о среднем запишем nn

L,^,2uс^)ds^ =²n-¹ [ G(v)⁽^)uc^ids₅⁺ ^f u⁽^>^ds₅ =

^J|£^|=1                              n^J|^^{|=1 v 7}                          n^J|^^|=1

+ ^Lu (0) = n

= 2 n-l gv G(v)( D) u (x )x=0 + ^nu (0) = gv (2 n-¹Gv)(D) +¹a) u (x )_k=0 nnnn

= gv D2_nu (x )x=0 + -^u (0).

nn

n а значит по фор -

Вычислим gv . Нетрудно подсчитать, что | G(v) |D = G(v)(D)G(v)(x) = -----, муле (8) (v 1 = 2) запишем g^ = 2n - 2 a2Gv )(x) = ton 8n(n,2)2

nxn-1 x |²)² = A²(n²X4 -2nxn I x |² +1 x |⁴) =

16 n²( n -1)( n + 2)

24n² -16n (n + 2) + 8n(n + 2) =    16n(n -1)

16 n²( n -1)( n + 2)

16 n²( n -1)( n + 2)

16 n²( n -1)( n + 2) n (n + 2)

•

Подставляя вычисленное значение g_v в предыдущую формулу и деля на ton получим третью формулу при i = n. В силу симметрии эта формула будет верна и для любого i = 1, ^, n .