Об одном особом функционально-дифференциальном уравнении второго порядка

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.946.9                                   

В настоящей работе рассмотрим сумму более общих двух бегущих волн и считая ее решением некоторого уравнения гиперболического типа, постараемся восстановить исходное уравнение. Рассмотрим сумму двух произвольных бегущих волн вида [4]:

e^^xX +P^t f ₁ (p(x) + _t) + e^^xX +P^^t f ₂ (p(x) - _t),

где (3 1 ,(3 2 — произвольные постоянные, f 1 , f₂, 1^ 1 , ^₂, p — произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, p'(x~) Ф 0.

Пусть бегущая волна (1) есть общее решение некоторого уравнения гиперболического типа [2]:

a-^=a^+a^+a^+aiu, дt2     1 дх2    2 дх 3 dt

где коэффициенты a1,a2,a3,a4 — рассматриваются как некоторые пока неизвестные функции от х и подлежат определению. Дифференцируя функцию:

u(x,t) = e ^ ¹^^:xX+ ^ ^1tf₁(p(x) + t) + e ^²( ^x)+ ^^{2 t}f₂(p(x) — t),

Найдем:

^ = e^^⁺ ^ 1^t\^' i ⁽x'⁾f i (p{x⁾ + t ⁾ + p'(x)f1(px) + t ^)]

+ е ^ ^2х^+№[ф' 2 (х^ 2 (р(х) — t⁾+ p'(x)f₂⁽p⁽x) — t^)], д²и

_ e^{y i (x)+} ^^{1 t}[^ 1 (x)f₁(p(x) + t)

дх2

+ p'(x)f 1 (p(x) + t)]+e ^ ^1(x)+ ^ ^1t\^ 1' (x)f₁(p(x) + t)

+ ^ { (x^p ' ^x^f^p^x) + t⁾+ p''(x)f 1 ⁽p⁽x⁾ + t^p'^xtf f !' (p(x) + t ⁾ ]

+ ^'₂(x}e^{y 2 (xX+} P^{2 t}[^p'₂(x)f^^     — t)

+ p (x)f 2 (p(x) — t)]+e ^ 2 ^(x) +fi 2 ^t\^ 2' (x)f 2 (p(x) — t)

+ ^2(x)p'(x)f2(p(x) — t) + p''(x)f2(p(x) + t)(p\x))2 f2'(p(x) — t)], или, окончательно,

^ = еУ^'Ы^- [((ф 1 (х ⁾ ) 2 + Vi(x))f i (p(x) + t) (2ip 1 ⁽x)p ' ⁽x) + р ” ⁽х))^⁽р⁽х) + t)] + (p'(x)^f 1 (p(x) + t) + e ^ ²^^:xX+ ^^{2 t} x

^X [((Ф 2 ⁽Х⁾)² + Ф 2' ⁽Х⁾) f 2 ⁽p⁽x⁾ — t ⁾ + (2ф’ 2 ⁽х)р'⁽Х) + p " ⁽x))/'- 2 lp⁽x) — t ⁾ ] + +(p ' (x))²f 2 (p(x) — t)]

^дии = e^^1xX+№\P i f i ⁽p⁽x} + t⁾+ f 1 (p(x) + t ^)]

+ +е^⁺Ы[13Л 1 (рЮ + t)+f 1 (p(x) + t)], д²и            , z ч.

— = hS^^VhfiMx) +1) + f 1 (p(x) +t)]

+ е^Ы+^Ш^х) + t) + f{\p(x) + t)] + +P i e^⁺^‘\P 2 f 2 (p(x) — t) — ЩуЮ — t)]

+ ^^[—^(pW — t) + f 2' (p(x) — t)],

или, окончательно, д2и

= еЛЫ+Л^д^) + t) + 2/?i/i'(p(x) +1) + fCpCr) + t)] + dt2

+e^MU\ftf2^ - t) - ZhKMx) - t) + f >'' (p(x) - t)].

Подставляя (3) – (7) в (2), получаем e^1M+Ps^f^x) + t) + 2/?ifi'(p(x) + t) + fi’’(p(x) + t}}+e^+^^^   - t)

- 2(^2 ⁽p⁽x) - t) + f 2 (p(x) - t^)]

= a^e^^A^ i Cx))² + i^'(x)) +А(р(%) + t) +

+ (2^K% ⁾ p ' (% ⁾ + p ''⁽ x ⁾ )f_L ' (p ⁽ x ⁾ + t) + (p'(xtff l' ⁽p⁽x) + t)]

+ e ^ ₂ ⁽ ^) ^+p 2 ‘ \((^ 2 (x))² + ^(x)) + f 2 (p(x) - t)

+ (2^ 2⁽ x ⁾ p ' (x ⁾ + p’ '⁽ x ⁾ )f₂(p ⁽ x ⁾ -1)

+ (p '⁽ x))²f 2‘’⁽ p(x) - t ⁾ ]}+a 2 {e ^ ^1(%)+P1t\^ 1 (x ⁾ f₁ ⁽ p ⁽ x ⁾ + t)

+ p '⁽ x ⁾ f i'⁽ p ⁽ x ⁾ + t ^)] + e^^ +^^W fHpCx) - t) + p '⁽ x ⁾ f 2'⁽ p ⁽ x ⁾ - t ^)] } + +a 3 {e^^)+P1t\/? i f i (p(x) + t) + f i' (p(x) + t)] + e^⁽ * ^)+P2t\/? 2 f 2 (p(x) - t) + fAp(x) - t)]}

+ a₄{e ^ ^1(%)+P1tf_i(p(x) + t) + e ^ ^2(%)+P2tf₂(p(x) - t)}.

Приравнивая коэффициенты при fi(p(x) + t),f1'(p(x) + t),f1'(p(x) + t),f2(p(x) - t), f2'(p(x) - t),f2’’(p(x) - t), в левых и правых частях последнего равенства, имеем fi(p(x) + t):

0 i = %

+ a₂^ i (x) + a^ + a₄,

A '⁽ p ⁽ x) + t): fi⁽p⁽x) + t): f 2⁽ p ⁽ x) - t):

2^_i = a_i(2^ i (x)p ' (x) + p ’’ (x)) + a₂p ' (x) + a₃,

1 = a i (p '⁽ x))²,

^ 2 ² = ^ai

((^w)2+^w)

+ a 2 ^ 2 (x) + а з& + a 4 ,

>

fi⁽p⁽x) - t):  - 2^ 2 = a i (2^ 2⁽ x)p '⁽ x) + p ’’⁽ x)) + a 2 p '⁽ x) - a 3

f 2''⁽ p ⁽ x) - t):  1 = a i (p ' (x))².

Как видим здесь третье и шестое уравнения системы (8) одтнаковы. Следовательно, неизвестные функции a_i, a₂, a₃, a₄ приходится определить из системы уравнений

1 = a i (p '⁽ x))²,

2^_i = a_i(2^ i (x)p ' (x) + p ’’ (x)) + a₂p ' (x) + a₃,

-2^ 2 = a_i(2^ 2 (x)p ' (x) + p ’’ (x)) + a₂p ' (x) - a₃,

^ i ² = a i ((^ i⁽ x))² + ^i(x))

+ a 2 ^ i (x)

+ a 3 ^ i + a 4 ,

>

^ 2 ² = a i ((^ 2 (x)) 2 + ^ 2'W )

+ a 2 ^ 2⁽ x) + a 3 ^ 2 + a 4 ,^

Из первых трех уравнений системы (9) легко определим функции a_i, a₂, a₃:

ai

1 (p'(x))2

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 12. №1 2026

£ 2   ^ ' (лЛИи) + 1 2⁽ х ^)] + < ''⁽ х)

£1

—

^а2     <‘(х)

а 3 =£ 1 +£ 2

—

(< '⁽ х))³

1 1⁽ х) — 1 2⁽ х)

< '⁽ Х)

,

.

Выбираем функцию 1 1 (x) и l₂(x) таким образом, чтобы система (9) была совместной. Для этого найденные значения а 1 , а₂, а₃ сначала подставляем в четвертое уравнение системы (9). Тогда получим:

£ 2 =

(! 1 (х))²+Ц ' (х) W))²

*|!

£1

—

£2   <'(х)[11(х) — 12(х)]

—

(< '⁽ x))³

■1й(х) +

+£ 1 k+ft

—

1 1⁽ х) +1 2⁽ х) < '⁽ х)

■ ] + а 4 ,

откуда

а4 = — {£1£2 +

£ 1 1 2⁽ х) — £ 2 1 1⁽ х) ₊ 1 1'⁽ х) — 1 1⁽ хЖ ⁽ Х)

< '⁽ х)

(< '⁽ х))²

—

у'ЛхЖО) (< '⁽ х))³

)•

Подставляя теперь значения а 1 , а₂, а₃ в пятое уравнение системы (9), имеем

£ 2 =

⁽ 1 2 (х) ^{) 2} +1 2' (х)

(<‘(х))2

-I

< ' (xW1W +^ 2 (*)]

(< '⁽ х))³

■                                                 •

< (х)

■ ] + а 4 ,

откуда

а4 = — {£1£2 +

^£1 0 ^( x)-£ 2 1 2 (x)  I 'M — 1 1⁽ х)1 2⁽ х)

< '⁽ х)

(< '⁽ х))²

—

<ЧхЖ(Х) (< '⁽ х))³

)■

Из (13) и (14) видно, что система уравнений (9) становится совместной, если только имеет место равенство:

1 1'⁽ х) — 1 1⁽ хЖ ⁽ х) /'(хЖСх)  1 2'⁽ х) — 1 1⁽ x)i 2⁽ x)  < ''⁽ х)! 2⁽ х ⁾

(< '⁽ х))²

—

(< '⁽ x))³

(< '⁽ х))²

—

(< '⁽ x))³

■

Из (15) следует следующие равенства

! 1'⁽ х)< '⁽ х) — < '' ⁽Х⁾1 1 ⁽Х⁾ — Ж'^Ж Ск)

(< '⁽ x))³

— < ''⁽ х ⁾ 1 2⁽ х ^)]

= О,

< '⁽ х)

I

[^ 1' (%W 2'U )]< ' (%) — [i£ 1 (%W 2U )]<"(x)

2 (< '⁽ Х))

■ н

или, окончательно,

1  ._d ЦСх)—1 2 (х)1 _ _о

< ' (х) dx      < ' (х)          ■

Очевидно, что (16) имеет место, если

1 1⁽ х ⁾ —1 2⁽ х⁾ _

< ' (х)     =   1 ,

где С 1 — произвольная постоянная.

Итак, система уравнение (9) становится совместной, если функции у(х), ^ 1 (х),^₂(х) связаны соотношением [3]:

^2(х) = ^'(х) — Ci^'(x), или, окончательно

^ 2⁽ х) = ^ 1 (х) — С 1 ^(х) + C 2

где С 1 , С₂ — произвольные постоянные.

Используя (18), получаем теперь следующие выражения для а₂,а₃:

а2

Р 1 - 0 2   2^ 1⁽ х) — С 1ф' ⁽х)    ф " ⁽ х)

---——:---:---

V ^(х)        (у ' (х))        (у ' (х))

₌ J          ^ 1 (х)          ^ 1 (х) — С 1 ф ' (х)      у '' (х)

Ф ' (х)К ^{0 1}    v ' (x)J   \ ^{0 2}        V ' (x)     ) (v ' (x))^{3 ,}

R                   ^1(х)Л   Л ^1(х) — C1V,(x)

^а 3 =0 1 +0 2 ^{— С} 1 = ^ — ^м) — (⁰ 2 + ---^М----) = ^С0П5'-

Выражения для а₄ можно получить согласно (13) или (14). Например, согласно (13)

получаем:

^а 4 = ^— { ⁰1⁰2 ⁺

0 1 (^ 1⁽ х) — С 1 У '⁽ х))    ^ 1' ⁽х) — ^ 1⁽ х)(^ 1⁽ х)

V'(x)

— C 1 V '⁽ x ⁾ )  у 'Ч х^Кх)

+

(v '⁽ x ⁾ )²

—

(v '⁽ x ⁾ )³

■I=

= {0 1 0 2

0 2 ^ 1⁽ х)   0 1 (^ 1⁽ х) — C 1 V ' ⁽x⁾)

V'(x)

v'W

+

V '⁽ x ⁾ (^ 1' (х) — (^ 1⁽ х))²) — ^ 1⁽ х) (v ''⁽ x ⁾ — C 1 (v '⁽ x ⁾ )²) (v '⁽ x ⁾ )³

{0 1 0 2

0 2 ^ 1⁽ х) ₊ 0 1 (^ 1⁽ х) — С 1 У '⁽ х)) ₊   1   ^ ' (х^Чх) — ^(хУЧх)

V '⁽ x ⁾               V '⁽ x ⁾             V '⁽ x⁾ [          (_V ' (_x))²

—

= — {0 1 0 2

^(хХ^Их) — С 1 у '⁽ х)) (v '⁽ x ⁾ )²

0 2 ^ 1⁽ х)   0 1 (^ 1⁽ х) — С 1 У '⁽ х)) !   1

у ' (х)             V ' (x)            V ' (x)

^1(х)  (^1(х) — С1У'(х))\'| _ у'(х)\      у'(х)      )} =

(  (     ^ 1 (х)          ^ 1 (х)   ^ 1 (х) — С 1 У ' (х)\     1     d ^ 1 (х)У|

^{{0 2 (0 1}   у ' (х) ^{) + (0 1} ф ' (х)Д     ф ' (х)     )у ' (х) dx ⁽ y ' (x) ⁾ J

=        _ ^ 1^(х)           ^ 1 ( ^х )-_С 1 У ' ( ^х )       1   _d   ^ 1^(х)

^{{(0 1} у ' (х) ^{) + (0 2}+     у ' (х)     )у ' (х)^х(у ' (х)Д-

Итак, для а 1 , а₂, а₃, а₄ окончательно имеем следующие выражение:

1 ^a i =7------72, (p'to)

a2 = —^■

P'to

l(*

—

Vito p'to

П--

Vito — Cip'to p 'to

)] —

p "to (p 'to)³

а з =Р 1 +Ъ

—

C i = (s —

Vito p'to

Vi⁽x) — C i p'⁽x)

p'to

■) = const.

a 4 = —{(S i

—

Vito

P'to

■) + (^2 +

Vito — C i p ' (x) p'to

\  1 d^x^

p'(х) dx p'to J).

Вывод. Таким образом нами доказана следующая теорема. Уравнение гиперболического типа:

d2u

d2u

—^- = -------T • --- dt (p'to) dx

+{pw ^{|(s i} du

⁺⁽P i + ^S 2 ^{— C} i )~^: dt

—

Mx) P'to

■)—(^+

Vito — Ci( '⁽ x) P 'to

' )1 ^—

p”to }Uu

(( ' to))^dx

—

I («

—

Vito p'to

■ ^ + (@2 +

Vito — C i p '⁽ x) p 'to

V ¹ . ^d pMWM p^to dx p'to J)

и

допускает общее решение вида

u(x,t) = е ^¹^^¹¹ fi^pto +1) + e⁽ ^ ^{1(%) C i}V ^{(X)+C 2 )+} P²t f₂(p(x) — t),

где P₁,P₂,C₁,C₂— произвольные постоянные числа, p,V₁,V₂,f₁,f₂— произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, p '(x) * 0.

Выбор величин S₁, S₂, C₁, C₂ и p, V₁, V 2 позволяет получить различные уравнения, часто встречающихся в прикладных, технических и инженерных задачах.