Об одном подходе к численной оценке устойчивости многоуровневых конститутивных моделей материалов
Автор: Швейкин Алексей Игоревич, Трусов Петр Валентинович, Романов Кирилл Андреевич
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 1 т.14, 2021 года.
Бесплатный доступ
Для исследования и совершенствования методов обработки металлов и изделий давлением целесообразно применять многоуровневые конститутивные модели материалов, позволяющие явным образом описывать механизмы неупругого деформирования, а также перестройку структуры материала и изменение эффективных физико-механических свойств, которые определяются состоянием последней. Стохастический характер имеют как начальные физико-механические характеристики материала (в том числе на нижних структурно-масштабных уровнях), так и физические процессы, реализующиеся при деформировании (например, акты взаимодействия дефектных структур на микромасштабном уровне), а также воздействия на отдельные представительные объемы внутри изделия, продуцируемые стохастическими граничными условиями для обрабатываемой заготовки. Это обусловливает актуальность исследования изменений отклика (решений), получаемых в конститутивных моделях материалов при возмущении входных данных (истории воздействий и начальных условий) и оператора модели. Особо следует отметить важность решения этой задачи для обоснованного использования новых конститутивных моделей при описании современных технологических процессов термомеханической обработки, в частности, ориентированных на создание функциональных материалов. В статье обозначены некоторые трудности применения традиционных аналитических подходов (методов Ляпунова) к анализу устойчивости многоуровневых моделей материалов. Вводится понятие устойчивости решения, в отличие от традиционного учитывающее параметрическое возмущение оператора и возмущение истории воздействий (влияющих на правую часть системы уравнений). Процедура численной оценки устойчивости модели включает рассмотрение устойчивости решений при различных значениях параметров, определяющих оператор и входные данные. Представлено описание программы вычислительных экспериментов для реализации предлагаемого подхода c осуществлением разнообразных возмущений начальных условий, истории воздействий, оператора и анализом норм их отклонений, а также интегральной нормы отклонения возмущенных решений от базовых (получаемых в расчетах с невозмущенными параметрами).
Многоуровневая конститутивная модель материала, устойчивость математической модели, чувствительность к возмущениям
Короткий адрес: https://sciup.org/143174599
IDR: 143174599 | УДК: 539.52 | DOI: 10.7242/1999-6691/2021.14.1.6
An approach to numerical estimating the stability of multilevel constitutive models
Multilevel constitutive models of materials give the possibility to explicitly describe the mechanisms of inelastic deformation, evolution of a material structure and changes in the physical and mechanical properties of materials determined by their chemical composition and their internal structure. Therefore, these models seem to be very effective for improving metal processing and forming techniques. A study of the solutions (response change histories) obtained using constitutive models under perturbation of input data (influence history and initial conditions) and model operator is actual due to the fact that the material mechanical characteristics (including the lower scale level properties), physical processes occurring during deformation (for example, acts of interaction of defect structures at the microscale level) and the resulting influences (produced by stochastic boundary conditions) are stochastic in nature. Finding the solution to this problem is particularly important when researchers need to justify the use of new constitutive models for describing modern technological processes of thermomechanical treatment, in particular, those focused on creation of functional materials. The disadvantages of traditional analytical approaches (Lyapunov methods) taken to analyze the stability of multilevel material models have been briefly discussed. The definition of the solution stability is introduced; in contrast to the traditional definition, it takes into account the parametric perturbation of operators and the perturbation of the history of influences, which determine the right-hand side of the system of equations. A procedure for the model stability numerical assessment includes consideration of solutions stability for various values of the parameters that determine the operator and input data. The description of the program of computational experiments for the implementation of the proposed approach is presented. This program can be used to study various perturbations of initial conditions, the influence history, the operator, as well as to analyze the norms of their deviations and the integral norm of deviation of perturbed solutions from the base ones obtained in calculations with unperturbed parameters.
Список литературы Об одном подходе к численной оценке устойчивости многоуровневых конститутивных моделей материалов
- Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. М.: Логос, 2007. 440 с.
- Соболь И.М. Об оценке чувствительности нелинейных математических моделей // Матем. моделирование. 1990. Т. 2, № 1. C. 112-118.
- Archer G.E.B., Saltelli A., Sobol I.M. Sensitivity measures, anova-like Techniques and the use of bootstrap // J. Stat. Comput. Simulat. 1997. Vol. 58. P. 99-120. https://doi.org/10.1080/00949659708811825
- Saltelli A., Tarantola S., Chan K.P.-S. A quantitative model-independent method for global sensitivity analysis of model output // Technometrics. 1999. Vol. 41. P. 39-56. https://doi.org/10.1080/00401706.1999.10485594
- Соболь И.М. Глобальные показатели чувствительности для изучения нелинейных математических моделей // Матем. моделирование. 2005. Т. 17, № 9. С. 43-52.
- Saltelli A., Ratto M., Andres T., Campolongo F., Cariboni J., Gatelli D., Saisana M., Tarantola S. Global sensitivity analysis. The Primer. John Wiley & Sons Ltd., 2008. 292 p.
- Агошков В.И., Пармузин Е.И., Шутяев В.П. Ассимиляция данных наблюдений в задаче циркуляции Черного моря и анализ чувствительности ее решения // Изв. РАН. Физ. атм. и ок. 2013. Т. 49, № 6. С. 643-654. https://doi.org/10.7868/S0002351513060023
- Нурисламова Л.Ф., Губайдуллин И.М. Редукция детальных схем химических превращений окислительных реакций формальдегида и водорода на основании результатов анализа чувствительности математической модели // Вычислительные методы и программирование. 2014. Т. 15, № 4. С. 685-696.
- Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов одномерных дискретных отображений // Изв. вузов. ПНД. 2009. Т. 17, № 6. С. 74-85. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2009-17-6-74-85
- Nossent J., Elsen P., Bauwens W. Sobol’ sensitivity analysis of a complex environmental model // Environ. Model. Software. 2011. Vol. 26. P. 1515-1525. https://doi.org/10.1016/j.envsoft.2011.08.010
- Gan Y., Duan Q., Gong W., Tong C., Sun Y., Chu W., Ye A., Miao C., Di Z. A comprehensive evaluation of various sensitivity analysis methods: A case study with a hydrological model // Environ. Model. Software. 2014. Vol. 51. P. 269-285. https://doi.org/10.1016/j.envsoft.2013.09.031
- Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. 428 с.
- Kleiber M., Hien T.D., Postek E. Incremental finite element sensitivity analysis for non-linear mechanics applications // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. Vol. 37. P. 3291-3308. https://doi.org/10.1002/nme.1620371906
- Gutiérrez M.A., de Borst R. Simulation of size-effect behaviour through sensitivity analyses // Eng. Fract. Mech. 2003. Vol. 70. P. 2269-2279. https://doi.org/10.1016/S0013-7944(02)00221-7
- Khaledi K., Mahmoudi E., Datcheva M., König D., Schanz T. Sensitivity analysis and parameter identification of a time dependent constitutive model for rock salt // J. Comput. Appl. Math. 2016. Vol. 293. P. 128-138. https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.03.049
- McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plast. 2010. Vol. 26. P. 1280-1309. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2010.02.008
- Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Materialia. 2010. Vol. 58. P. 1152-1211. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2009.10.058
- Beyerlein I., Knezevic M. Review of microstructure and micromechanism-based constitutive modeling of polycrystals with a low-symmetry crystal structure // J. Mater. Res. 2018. Vol. 33. P. 3711-3738. https://doi.org/10.1557/jmr.2018.333
- Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2019. 605 с. https://doi.org/10.15372/MULTILEVEL2019TPV
- Guo Y.B., Wen Q., Horstemeyer M.F. An internal state variable plasticity-based approach to determine dynamic loading history effects on material property in manufacturing processes // Int. J. Mech. Sci. 2005. Vol. 47. Р. 1423-1441. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2005.04.015
- Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. 2009. Т. 12, № 3. С. 61-71. (English version https://doi.org/10.1016/j.physme.2010.03.005)
- Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermos-mechanics (1893-2013) // Mech. Res. Comm. 2015. Vol. 69. P. 79-86. https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2015.06.009
- Швейкин А.И., Шарифуллина Э.Р., Трусов П.В., Пушков Д.А. Об оценке чувствительности статистических многоуровневых моделей поликристаллических металлов к возмущениям параметров // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 2. С. 214-231. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.2.17
- Yang Z., Elgamal A. Application of unconstrained optimization and sensitivity analysis to calibration of a soil constitutive model // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 2003. Vol. 27. P. 1277-1297. https://doi.org/10.1002/nag.320
- Qu J., Xu B., Jin Q. Parameter identification method of large macro-micro coupled constitutive models based on identifiability analysis // CMC. 2010. Vol. 20. P. 119-157. https://doi.org/10.3970/cmc.2010.020.119
- Shutov A.V., Kaygorodtseva A.A. Parameter identification in elasto-plasticity: distance between parameters and impact of measurement errors // ZAMM. 2019. Vol. 99. e201800340. https://doi.org/10.1002/zamm.201800340
- Kotha S., Ozturk D., Ghosh S. Parametrically homogenized constitutive models (PHCMs) from micromechanical crystal plasticity FE simulations, part I: Sensitivity analysis and parameter identification for titanium alloys // Int. J. Plast. 2019. Vol. 120. P. 296-319. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2019.05.008
- Diehl M. Review and outlook: mechanical, thermodynamic, and kinetic continuum modeling of metallic materials at the grain scale // MRS Communications. 2017. Vol. 7. P. 735-746. https://doi.org/10.1557/mrc.2017.98
- Knezevic M., Beyerlein I. Multiscale modeling of microstructure-property relationships of polycrystalline metals during thermo-mechanical deformation // Adv. Eng. Mater. 2018. Vol. 20. 1700956. https://doi.org/10.1002/adem.201700956
- Трусов П.В., Швейкин А.И., Кондратьев Н.С., Янц А.Ю. Многоуровневые модели в физической мезомеханике металлов и сплавов: результаты и перспективы // Физ. мезомех. 2020. Т. 23, № 6. С. 33-62. https://doi.org/10.24411/1683-805X-2020-16003
- Трусов П.В. Классические и многоуровневые конститутивные модели для описания поведения металлов и сплавов: проблемы и перспективы (в порядке обсуждения) // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 1. С. 69-82. https://doi.org/10.31857/S0572329921010128
- Васин Р.А. Свойства функционалов пластичности у металлов, определяемые в экспериментах на двузвенных траекториях деформации // Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1987. С. 115-127.
- Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 342 с.
- Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: Изд-во ТГТУ, ЧуДо, 2000. 703 с.
- Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
- Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 312 c.
- Rice J.R. Inelastic constitutive relations for solids: An internal-variable theory and its application to metal plasticity // J. Mech. Phys. Solid. 1971. Vol. 19. P. 433-455. https://doi.org/10.1016/0022-5096(71)90010-X
- Mandel J. Equations constitutives et directeurs dans les milieux plastiques et viscoplastiquest // Int. J. Solid. Struct. 1973. Vol. 9. P. 725-740. https://doi.org/10.1016/0020-7683(73)90120-0
- Aravas N. Finite elastoplastic transformations of transversely isotropic metals // Int. J. Solids Struct. 1992. Vol. 29. P. 2137-2157. https://doi.org/10.1016/0020-7683(92)90062-X
- Aravas N. Finite-strain anisotropic plasticity and the plastic spin // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 1994. Vol. 2. P. 483-504. https://doi.org/10.1088/0965-0393/2/3A/005
- Dafalias Y.F. On multiple spins and texture development. Case study: kinematic and orthotropic hardening // Acta Mechanica. 1993. Vol. 100. P. 171-194. https://doi.org/10.1007/BF01174788
- Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности // Физ. мезомех. 2010. Т. 13, № 3. С. 21-30. (English version https://doi.org/10.1016/j.physme.2011.04.006)
- Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. 367 с.
- Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
- Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 232 с.
- Роговой А.А. Формализованный подход к построению моделей механики деформируемого твердого тела. Ч. 1. Основные соотношения механики сплошных сред. М.: Изд-во ИКИ, 2021. 288 с.
- Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезомех. 2016. Т. 19, № 2. С. 47-65. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959917040014)
- Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов // Физ. мезомех. 2016. Т. 19, № 3. С. 25-38. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959917040026)
- Trusov P.V., Shveykin A.I., Kondratev N.S. Multilevel metal models: formulation for large displacements gradients // Nanoscience and Technology: An International Journal. 2017. Vol. 8. P. 133-166. https://doi.org/10.1615/NanoSciTechnolIntJ.v8.i2.40
- Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. 2012. Т. 15, № 1. С. 33-56. https://doi.org/10.24411/1683-805X-2012-00007
- Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals // Arch. Computat. Methods Eng. 2004. Vol. 11. Р. 3-96. https://doi.org/10.1007/BF02736210
- Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезомех. 2011. Т. 14, № 4. С. 17-28. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959913010037)
- Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. 2011. Т. 14, № 5. С. 5-30. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959913020021)
- Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.
- Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.
- Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 c.
- Швейкин А.И. Многоуровневые модели поликристаллических металлов: сопоставление определяющих соотношений для кристаллитов // ППП. 2017. Т. 79, № 4. С. 385-397.
- Швейкин А.И., Трусов П.В. Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженной конфигураций геометрически нелинейных упруговязкопластических определяющих соотношений для кристаллитов // Физ. мезомех. 2016. Т. 19, № 5. С. 48-57. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959918030025)
- Shveykin A.I., Trusov P.V. Multilevel models of polycrystalline metals: Comparison of relations describing the rotations of crystallite lattice // Nanoscience and Technology: An International Journal. 2019. Vol. 10. P. 1-20. https://doi.org/10.1615/NanoSciTechnolIntJ.2018028673
- Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М., Л.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1950. 470 с.
- Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 477 с. (English version https://doi.org/10.1007/978-3-662-40368-6)
- Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 223 с.
- Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
- Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.
- Lyapunov A.M. The general problem of the stability of motion // Int. J. Contr. 1992. Vol. 55. P. 531-534. https://doi.org/10.1080/00207179208934253
- Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. 229 с.
- Линь Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд. иностр. лит., 1958. 196 с.
- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.
- Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Локальная устойчивость одной модели популяции в условиях воздействия вредных веществ // Сибирские электронные математические известия. 2015. Т. 12. С. 610-624. https://doi.org/10.17377/semi.2015.12.049
- Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости модели популяционной динамики на основе построения стохастических самосогласованных моделей и принципа редукции // Вестник РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. 2015. № 3. С. 18-29.
- Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Лань, 2002. 672 с.
- Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
- Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1955. 176 с.
- Precup R.-E., Tomescu M.-L., Preitl St. Fuzzy logic control system stability analysis based on Lyapunov’s direct method // International Journal of Computers, Communications & Control. 2009. Vol. 4. P. 415-426. https://doi.org/10.15837/ijccc.2009.4.2457
- Li Y., Chen Y.Q., Podlubny I. Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag–Leffler stability // Comput. Math. Appl. 2010. Vol. 59. P. 1810-1821. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2009.08.019
- Aguila-Camacho N., Duarte-Mermoud M.A., Gallegos J.A. Lyapunov functions for fractional order systems // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2014. Vol. 19. P. 2951-2957. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2014.01.022
- Георгиевский Д.В., Квачѐв К.В. Метод Ляпунова–Мовчана в задачах устойчивости течений и процессов деформирования // ПММ. 2014. Вып. 6. С. 862-885.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. M.: Физматлит, 2009. 572 с.
- Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.
- Гитман М.Б. Введение в стохастическую оптимизацию. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. 104 с.
- Romanov K.A., Shveykin A.I. Investigation of HCP metal mesolevel model sensitivity to lattice orientation perturbations // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2216. 020010. https://doi.org/10.1063/5.0003386
