Об одном представлении аналитических функций

Рассмотрим полиномы следующего вида [3]

[i/2] I т |2< *-2г,!

Ga(x_m) = У (-1)'           «----- (1)

• 12,2) _;(»-l + 25,2)_z

где (a,b)_k = a(a + b)...(a + kb-b') - обобщенный символ Похгаммера, причем (а,6)₀ = 1, t^w' - факториальная степень t^m' =t^m/m\, а [а] - целая часть числа a . Полиномы G_k^x^ вида (1) называются G -полиномами степени к , порядка 5 и рода п . В [7] установлено, что произведение однородного гармонического полинома от п-1 переменных Н^х^.у^ на G -полином G_k(x_w) дает гармонический полином от п переменных и(х) = G_k(x_w)H_s(x^_n_^) . Более того, всякий гармонический полином от и переменных может быть разложен в сумму полиномов такого вида.

Такой подход к построению гармонических полиномов позволяет получать гармонические полиномы в виде произведения различных G -полиномов где v е Ng , vx>"->vn и vn = 0,1. При рассмотрении следов G -полиномов на единичной сфере возникает понятие G -функции. Следующая функция

[(&—s)/2]        Jc-s-2i'м _f2xi*s/2

G^sAt) = У (-1)  ----——---

Й      (2,2)z(«-l + 2s,2)z называется G -функцией степени к , порядка s и рода п.

Верны следующие утверждения:

Лемма 1. [4] Пусть функция / еС(о$_п) задана в виде /(х) = ф(\х\,х_п)Р_к(х), где Р_к(х) однородный гармонический полином степени к от переменной х = (х_х,.„,х_п-х) и ф^ C(5S_n), тогда

Li =         дW где соп =| dSn | - площадь единичной сферы в R" .

Теорема 1. [3] Нормированная в Z₂(-l,l) с весом /?„(/) = (1-/²У^п~³)^/2 G -функция Gk"^ удовлетворяет оценке

| ОкЧО 1^2⁴^ + (и-2)/2)2^п"³, к > s, п > 2.

Основываясь на свойствах гармонических полиномов GA^X), в теореме 2, известное утверждение Альманси [1]: «для любого полинома Р(х) существуют гармонические полиномы Н₀(х),.„, Н_к(х) такие, что

РА = Я_о (х)+1 х |² Н_х (х) + ■ • ■ +1 х |²* Н_к (х),»                           (3)

распространяется на аналитические функции действительного переменного xeRn . Затем, в теоремах 3 и 4, этот результат уточняется - даются формулы нахождения полиномов Нк{х) и функ- ций ик(х) = НДх), когда Р(х) не полином. Теорема 4 проиллюстрирована на представлении решений уравнения Гельмгольца через гармонические функции (25).

Следует заметить, что в [2] (теорема 2.2) формула Альманси была уже распространена на голоморфные функции. Оказалось, что полученная ниже формула (18) несколько отличается от формулы (2.9), найденной в [2]. Обобщения другого рода были получены в 1958 г. М. Николеску [8], где найдено разложение Альманси для класса операторов от двух переменных, который включает в себя и оператор теплопроводности. В работе [9] рассматривалось разложение Альманси для решений уравнения □”* и = 0, где о- А_х + Яд² / dz² или □= А_х + Яд / 8t при Я е СI {0}.

Полигармонические функции

Имеет место следующее свойство гармонических полиномов (^(х) (2).

Лемма 2. Для нормированного в ДЦ5Д гармонического полинома G

G^ =1X Г1 П G^+b”-'+1(cos^_,+1), м где G -функция Ок’ЧО нормированная в Z2(~M) свесом /9и0) = (1-Z2y”~3)/2.

На основании данной леммы нетрудно доказать

Теорема 2. Для любой функции /(х), аналитической в начале координат, существуют гармонические функции и₀(х),...,и_и(х),..., определенные в некоторой окрестности начала координат D такие, что

№ = ^\х\²¹ и^х), xeD.                         (4)

1=0

Замечание 1. Доказательство теоремы не является конструктивным так же как и формула Альманси. Оно опирается лишь на оценку теоремы 1 и не позволяет строить гармонические функции и^ по известной функции /(х). Формулу для нахождения гармонических функций м_;(х) дает теорема 4.

Рассмотрим область DcRⁿ, обладающую свойством звездности Vx е D, Vz е [0,1] txeD и определим на ней следующую последовательность функций: м(х),                 к = 0

G_k (х; и) = *

4* к'. J (Аг-1)!

/2 ^xu(ax)da,

к>0,

где и(х) некоторая гармоническая в D функция. Система функций {ОДх;м)| & = 0,1,...} является 0-нормированной относительно оператора А в D [5], т.е. в области D верны равенства АС₄(х;и) = С₄_](х;и) и AG_o(x;u) = O.

Лемма 3. Для всякой полигармонической функции Р(х) существуют такие гармонические функции v0(x),...,vm(x), что имеет место равенство

Р(х) = G_o (х; v₀) + G_t (х; ^) + ... + G_m (х; v_m).

Доказательство. Рассмотрим полигармоническую функцию Р(х) порядка т т.е. такую функцию, что Ре С®ЦУ) и Ат/’(х) = 0. Согласно формуле Альманси (3), найдутся такие гармонические функции иДх), что т

РЦ>^>\2к икЦ\

4=0

Из определения функции GA(x;v) видно, что ее можно представить в виде произведения некоторой гармонической функции на полином | х |2*. Записывая функцию ик (х) из (6), при к > 1, в виде ик(х) = —т— ————an/2 xvk(ax)da,                      (7)

4^!» (А:-1)! А формулу (6) можно записать в форме (5). Покажем, что уравнение (7) можно однозначно разрешить относительно vk(x), причем функция vk(x) получается при этом гармонической. Это и до кажет утверждение леммы.

Введем следующий оператор Л = Vx —. При qeN и s > 0, верно равенство м

(Л + 5 +1) f ——^—asv(ax)da = £ ————as+iv(ax)da,(8)

Л (9-1)!

а также при q = О

(Л + я-1) asv(ax) da = v(x).(9)

Пусть к = 1. В силу равенства (9) взятого при s = и/2 -1 получим

4^A + ^U](x) = ^A + ^ ^all/2"~1vx(ax)da = vx(x).(10)

Пусть к > 1. Тогда, в силу равенства (8) взятого при s = л/2 -1 получим

^!4* Л + — ^(х)^ I--------a ²v_k(ax)da. \    2)          (к-2)1

Используя опять (8), но уже при х = п/2 найдем

А14* Л + — Л + —+ 1 ul(x)= [  ----—a ² S_k(ax)da. у   2 Д   2 )         (£-3)!

Продолжая указанный процесс, найдем к-2 /          \,

£!4 «t(x)= Га^к 2vk(ax)da. i=o V 2>

Воспользовавшись равенством (9) при s = n/2 + k-2 и внося множитель кАк под знак произведения, будем иметь vkW = П 4(z' + i=0 к 22

В силу (10) данное равенство верно и при к = 1. Итак, функция гДх) найдена. Для окончательного доказательства леммы следует заметить, что оператор Л переводит гармонические функции в гармонические. □

Таким образом, в силу леммы 3, для произвольной полигармонической функции Р(х) имеет место равенство

Р(х) = G_o (х; v₀ ) + G_x (х; ^) + ... + G_m (х; v_m)

(И)

где v_k(x) - неизвестные гармонические функции. Найдем зависимость этих функций от функции Р(х). В силу О-нормированности системы функций {С_Л(х;и)| к = 0,1,...} относительно оператора А в области D верно равенство

^_г(х;у(х)), к>г к = г. к<г

Отсюда нетрудно получить, что

\mP^x) = \mGMvQ)^^Gx(x-vx)A-..^^mGm^m) =

Далее,

Am"1P(x) = Go (х; vm_x) + G] (х; vm ) = vm_x (х) +an,2-xvm (ах) da и значит, используя предыдущее равенство, запишем vm4 (х) = АтЧР(х) - ™- an/24 АтР(ах) da.                   (12)

Докажем следующую формулу для вычисления функции vm_,(x):

(1Э)

4 s! Л    (s —1)!

где z = 1,.,.,/и . При z = 1 она имеет вид (12). Предполагая верность (13) при некотором j > 1 и для всех / < у, докажем ее справедливость и при z = у +1.

Из (11) нетрудно получить откуда

^4 z! 0-1)! ^J

Используя предположение индукции (13) и равенство ^Р = 0 для к > т найдем

^4' zl »     0-1)!         4" s!                                      ( х t ^n/2-1 ^^Г PS"X^HWSp(

Обозначим последнее слагаемое в полученной сумме через 7(х). Тогда

СО | |2/ , /-1

1=2 ⁴      5=1

где обозначено хл = (1-^ у (-1/^-’ + ы£1 у W П SO-^(s-l)!  0-1)! S0-5)W

Вычисления показывают, что J^⁼ ^^)Г [(-/?)^W -1] и значит

. х' (-1/ И^2/ а^О-а/^-1„/2-i ,_т- ,-i+s

Й 4^ s! Ь (.-1)!                                           (15)

г 4^s s! -b (5-1)!                  ^{k 5}

Подставляя вычисленное значение I(x) - последнего слагаемого в (14), будем иметь =5”-^-|P(x)+f;fcEiy. ^У<ЦйТа-'г-|Д-^1"Р(а,)5а, v                          45 SJ Д) (5-1)!

что совпадает с формулой (13) при z = У +1. Индукция доказана.

Таким образом, основываясь на (13), мы имеем для vk(x) общее выражение vk(x) = ^кР(х) + f              .у.......a^^PkaxW,        (16)

4    5!        (5-1)!

где к = 0,...,т . Таким образом, доказана теорема, уточняющая лемму 3. □

Теорема 3. Для любой полигармонической функции Р(х) имеет место равенство (5)

Р(х) = G_o (х; v₀) + G, (х; ^) + ... + G_m (х; v_m), где гармонические функции v₀(x),...,v_m(x) находятся из равенства (16).

Замечание 2. При к = 0 формула (16) принимает вид

5!  »    («-!)!

и задает гармоническую составляющую произвольного полинома Р^ в формуле Альманси P(x)-v₀(x)+|x|²Q(x). Заметим, что в [6] получено другое - «дифференциальное» представление гармонического полинома v₀(x).

Докажем теперь, что для аналитической в начале координат функции Дх) имеет место формула (5) с бесконечным значением параметра т т.е.

№ = v₀(x) + ^       { _(jl _₁₎, a^n,24v_k(ax)da, x&D.             (17)

Теорема 4. Для любой функции /(х) аналитической в начале координат имеет место равенство (17), в котором гармонические функции v₀(x),...,v„(x),... определены в некоторой звездной области D с центром в начале координат и задаются формулой

= л‘/М + ^⁽J ¹ t⁽ , * “ a^-'^-f^da.         (18)

й 4 si * (s-l)l

Замечание 3. Формула (18) несколько отличается от аналогичной формулы (2.9), полученной ранее в [2].

Доказательство. Покажем сначала, что функции ^(х), найденные из равенства (18) являются гармоническими (этого не требовалось при доказательстве теоремы 3, поскольку там мы исходили из леммы 3) и при подстановке в (17) обращают его в тождество. Применим оператор А к обеим частям равенства (18), считая законным дифференцирование под знаком суммирования. Если использовать равенство

A ^J х j^2s м(х)] = 4з|х|²⁵"²^A + s + -^--1^m(x)+|x|^2s Au(x), а также формулы (8) и (9), то можно убедиться, что Av_t(x) = 0.

Докажем теперь, что имеет место формула (17), где гДх) находятся из (18). Для этого под ставим vA(x) в (17). Получим

№ = /(x) + £> / ¹ L ■ ...--a a Kax^da + 4^J s! »    (д-1)!

+У 1 M_ (0-“) a^-'^Kax-jdax У

Й4* t! *> (»-D!       ” ’ Д

(-1/ (x]2^

4^⁵k\s\

^'"t-“Г г ^'Г

Обозначим последнюю сумму в полученном выражении через /Дх). Тогда

А« = 2

k, s=l

(-1/|х|^ 4*+i    £!s!

У-«У ^x_a^{2s+nl2 1} (И)!

Имеет место равенство /Дх) = -/(х) при /(х) = Дт 7 ’/Дх). Поэтому, в соответствии с (15)

А00 = -£

5=1

(-1/1^ I2'

4s s!

а^{5 1}(1-«У ¹_n/2-i_A5zz х, --—а ' Д f(ax)da-

Г —а^п'^{2 x}A^s/(ax)da.

■Ь (з-1)!

После подстановки полученного значения /Дх) в (19) получим тождество /(х) = /(х).

Для окончательного доказательства теоремы необходимо обосновать правомерность проделанных выше действий, т.е. доказать что:

• 1)    ряды в (18) VZ равномерно сходятся по х в некоторой звездной области D и их можно почленно дифференцировать в D, а значит их суммы гармонические в D функции (лемма 5 и следствие из нее);

• 2)    если функции гДх) определены в D и находятся из (18), то ряд (17) равномерно сходится в некоторой подобласти D' с D и его можно почленно дифференцировать в D' (лемма 6).

Леммы 4-6, приведенные ниже, решают эти задачи. Поэтому, теорему 4, можно считать доказанной. □

Лемма 4. Пусть L(D) = L(D ,...,DXn) дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами и функция /(х) аналитическая в точке х(°) е Rn, тогда существуют такие положительные числа С и £, что для х таких, что | х-х^ |< £ имеет место оценка где фр) = С dps -1) и многочлен Z(^) получен из многочлена Z(^) заменой его коэффициентов аа на их модули | аа |.

Доказательство. Из условия леммы, функция /(х) аналитическая в точке х^ е Rⁿ, а поэтому /(х) = "^^ f_a(x-х₀)“, причем ряд абсолютно сходится в D - некоторой окрестности точки х<°\ Отсюда следует, что существует f >0 такое, что (x^+f.—.x^+^eZ) и значит, для всех к, имеет место неравенство

|о1=4

из которого, с учетом сделанных выше обозначений и неравенства | х,--xf |<| х-х(0^ |, следует оценка

l/WI^Z Z l/all^-^rl^S

4=0 |а|=4                    4=0

V              ОО

^Zi/jscZ

У |а[=4          4=0

Л (0)|У | X - Х^ J

= <р(\х-х№ |),

справедливая для | х - х⁽°) |< £.

Теперь оценим производную D^f{x) от функции /(х) порядка Д = (Д,...,Д„). Для этого рассмотрим множитель Са>р =а\/(а- Р)\ при а > Д (а > Д о di,а, > Д\ Докажем, что

С_ар<---.                                (22)

Применим индукцию по размерности и. При и = 1 эта формула, очевидно, верна и в ней имеет место равенство. Пусть формула (22) верна при и = и-1. Обозначим через а е Z"”¹ вектор, полученный из вектора а отбрасыванием его первой компоненты. Тогда

= «, («,-XYA«x-Р ^С^р <|а|(|а|-1)...(|а|-Д ^С5р для а> Д. Поэтому, в силу предположения индукции и неравенства | а |=| а | -ах <| а | - Д, полу чим

<\а\(\ос\-\уД\ос\-р_х +1)

Са,д

(И-ДУ 1«П (И~Д-|11)! (1«ЫД1)!'

На основании (22) при / =|х-х(°) | получим

\п^рАху< yc_ap\f_a kx-x^f-^^ У — аг^Д                                     4=|Д| V^K I Р U-

4=|Д|

(к-1Р№

= С У £-^kD\P4^k = D\^     = Dfcpm , _(0)|

1        1 X-tie 1

для | х - х^⁰-¹1< е . Отсюда сразу следует, что

IЦО_Хх,...,О_Хп|< YI^ II D^a№IS£1a_a I^^(О^и, = ^.„Ж^. a                a

Что и требовалось доказать. □

Лемма 5. Пусть функция /(х) аналитическая в некоторой звездной области D, тогда ряд

№/)              Ч J «^nQ-X^^SK«xW,        (20)

4s 5! «    (5-1)!

равномерно сходится по х в некоторой звездной подобласти Д' с D и возможно дифференцирование под знаком суммы.

Доказательство. Воспользуемся леммой 4 в частном случае L(D) = A^J и х^ = 0 . Легко видеть, что в этом случае L(D_t,...,D_t)~ L{D_t,...,D_t) = n^sDj^s, а поэтому, существуют такие положительные С и £, что для | х |< Е

\\s№\

где как и выше ф^ = СеКе -1) . Отсюда, учитывая что а е [0,1], получим |д7(«х)|<_й^²7(^^

Применяя полученное неравенство в формуле (23), найдем

|     /) |< ^(| х |) + - У .. J²⁵ Л¹)’   (IX I) da.

1 J '           2 ^ 2s! !2(s -1)!! "V                     (25-1)! '      1 м

Для интегрального члена, при п > 2 и | х |< г имеем оценку

.                                   A I |2$ j (1 -аГХаИп,И ^ДЛ-^ф^ \x^da<

(25-1)!

^ D^^^dt <

Ф^^$ °(И).

Отсюда находим

(25-1)! (V^lxl)²-¹_м 25!!2(5-1)!! (2s-l)! ^{9     (}

\Рф№фф\^^У4

2 5=1

G^W^i (25-1)!

Ф9"ХЧ\х\\

или с учетом равенства

£/25-1^(25-1)(|

5=1

верного при достаточно малых /, получим

-у^((1+7й)|х|)<

y-+i ^((i+7«)|x|),

где х уже должно быть таким, что |x|0 и ^((1 + Vh)|x|)>^(|x|). Поэтому, в области D1 = ^х\<е7(1 + ^^ , где s' <е ряд из (23) сходится равномерно по х.

Из приведенных выше оценок видно, что ряд D^aF(x’,f) сходится равномерно в D' и значит

D^aF(x;/) = F(x; D^a f}. Лемма доказана. □

Следствие 1. Ряд F(x\\^mf) сходится равномерно по х в той же области что и ряд F(x;/).

Доказательство. Нетрудно видеть, что согласно (22), рассуждения, аналогичные рассуждениям леммы 5, можно применить и к функции А™/. Тогда получим

| Р<х-д^тл 1^ п^т_Ф^^тЧ\ х \)+п^т ——11----22J

Отсюда, поскольку функция ф^ХО^т'-Сб/^Е-^”¹*^ удовлетворяет неравенствам Ф^ДХ - 7й) | х |) > 0 и ф^^ -\-х[п') | х |) > ^^w)(| х I), аналогично (25), получим

| F(x; А^т Л |< (2^/4 + l)nV^2m40 + ^ | х |),                    (26)

где х, также как и в (25), такое, что | х |< б/(1 + 2/). □

Лемма 6. Пусть функции ^(х) определяются по формуле (18) и заданы в звездной области D, тогда ряд

00 1 I т |2А Я Л - /у^-1

G(x)

сходится равномерно по х в некоторой звездной подобласти D' с. D и позволяет дифференцирование под знаком суммы.

Доказательство. Нетрудно видеть, что v_k(x) = Р(хД^кЛ. Поэтому, согласно следствия 1, все функции v_k(x) определены в некоторой D* cD . Более точно, в соответствии с (23), найдутся такие положительные С и £, что V£

| v_k(x) |< (ТЙ/4 + Х^ф^Хо + Хп) IXI), где, как и прежде, фЛ = Се/(е -/). Обозначая е* = dXX + 2г) и С = С(4п1% +1), для новой функции ^(/), найдем | v_k(x) |< п^кф^^кХ\ х I) ■ Тогда,

| G^ |< ^(| х |) + f 1 <^М1 jj 2^^2kX« j _х ^ и⁴ ^^{!    40} (^-1)!

Для функций ф^Л^ S t < s'"), очевидно, имеет место неравенство ф^^к\аГ) < ф^Л,^гД^е «е [0,1] и поэтому

И 0—Л—а^^ф^Ха | х \)da< 2^2А)(1 х |) £ 5_22—_a"^/2_1da <

< ф^^кХ х I)      —da =—2²^(l х |).

¹ -Ь (^-1)! kV ^{1 м}

Значит,

|°(^^ S “?<’^{(i^) < i 6^г2<21,(| _t=0 (2к!}к=0

или с учетом равенства

/2s,!^)(2$)^   _ £C222i^L2z2

5=0                           2

верного при достаточно малых t, получим

ф((Х + ^)\х\') + ф((Х-Хп')\х\)

2                    ’ где х должно быть таким, что | х|< е7(\ + 4п) = е!{\ + Хп)2 .

Аналогично проделанному, можно показать, что ряд, задающий G(x), допускает почленное дифференцирование под знаком суммы, и полученный в результате этого ряд будет сходиться равномерно. Значит, функцию G(x) можно дифференцировать под знаком суммы. Лемма доказана. □

Пример 1. Рассмотрим уравнение Гельмгольца

I X I w(x) = v(x) + Л-—— gJ-Za(l-a)l х I2 p(ctx)an/2 xda.

и [5]

Sm^ ^₌₀( ^ pg^mg^ •

Поскольку, согласно теореме 4, функция v^x) гармоническая в П,тои и(х) гармоническая в Q. Теперь из (17) находим

v(x) = «(х)- Z—^~

^g^^l-oOIxp^ax)^^{2 x}da.

Формулы (24) и (25), задающие взаимно однозначное соответствие между гармоническими в О функциями и решениями уравнения Гельмгольца, совпадают с ранее полученными в [5, 10].