Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

Бесплатный доступ

Аналогично известному элементарному решению уравнения Лапласа вводится элементарное решение бигармонического уравнения. Находится связь этого элементарного решения с элементарным решением уравнения Лапласа. В зависимости от размерности пространства, в котором исследуется краевая задача, через введенное элементарное решение бигармонического уравнения в явном виде определяется некоторая симметричная функция двух переменных. Затем доказывается, что эта функция обладает свойствами функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре. Отдельно исследуются два случая, когда размерность пространства два и когда размерность пространства больше двух. Аналогично функции Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре находится разложение функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре по полной, ортогональной на единичной сфере системе однородных гармонических многочленов. Это сделано в случае размерности пространства больше четырех. С помощью полученного разложения функции Грина вычисляется интеграл по шару с ядром из функции Грина от однородного гармонического многочлена, умноженного на положительную степень нормы независимой переменной. Полученные результаты согласуются с результатами, известными ранее в этой области.

Еще

Задача дирихле, бигармоническое уравнение, функция грина

Короткий адрес: https://sciup.org/147232790

IDR: 147232790   |   DOI: 10.14529/mmph180402

Текст научной статьи Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

Пусть S = { x e R n :| x | < 1} - n -мерный единичный шар в евклидовом пространстве R n с нормой | x | = x 2 + x 2 +-----+ x 2 , а d S = { x e R n :| x | = 1} - единичная сфера. В единичном шаре S рассмотрим следующую однородную краевую задачу Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения

A 2 u = f ( x ), x e S ,                                     (1)

-\ d S = 0, 4- = 0,                                    (2)

dv 9s где —внешняя нормальная производная к единичной сфере, f e C 1(S) - заданная функция. dv

Найдем явное представление функции Грина этой краевой задачи. Хорошо известно (см., например, [1]), что функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре при n 2 имеет вид

G ( x , £ ) = E ( x , ^ ) - E ( ^-| ,| x | ^ ) , | x |

где

E ( x , ^ ) = ^ n - 2

I x - ^^^n ,

n >  2

- ln| x - ^\, n = 2

– элементарное решение уравнения Лапласа [1]. Явная форма функции Грина в секторе для бигармонического и тригармонического уравнений приведена в работах [2, 3]. Функция Грина задачи Неймана для уравнения Пуассона в полупространстве R + в явном виде построена в [4], а функция Грина для задачи Робена в круге в работах [5–7]. Отметим также работы [8, 9], которые

Математика

посвящены построению функции Грина для задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре и работы [10, 11], где найден оператор Грина задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического уравнения в единичном шаре при полиномиальных данных. В работе [12] найдена функция Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. В работах [13, 14] дано представление функции Грина для классических внешней и внутренней задач Неймана для уравнения Пуассона в единичном шаре.

Рассмотрим следующую функцию

которую, по --------1--------|x-6|4-n, n > 4,n = 3 2( n - 2)( n - 4)     9 E4( x ,66 = <- 4ln|x - 61,               n = 4      ,                      (5) ^-^j62 (ln|x - 6|-1),    n = 2 аналогии с функцией E(x,6) из (4), назовем элементарным решением бигармонического уравнения.

Лемма 1. Функция E 4( x, 6) , определенная при 6 * x , удовлетворяет равенствам

А ^ Е 4 ( x , 6 ) = - E ( x , 6 ), А x E 4 ( x , 6 ) = - E ( x , 6 )

и значит является бигармонической по x и 6 при 6 * x .

Доказательство. В силу симметричности функции Е 4( x,6) достаточно доказать лишь первое равенство. Пусть n 4 или n = 3. Нетрудно проверить, что

^|x - _.'n = ( 2 - n) 2 (6,-x)|x - 6n = (4 - n) (5- x)|x - 6|2-n

d6i             V 2 7

и значит

^|x - 6|4-n = (4 - n) (|x - 6^n +(2 - n) (5- x)2|x - 6Гn).

'*6/                         '                                                 '

Поэтому

n

A^|x - 5f-n = (4 - n )£(|x - 6| 2-n +(2 - n) (5i- xi )2|x - 6Г n ) = i=1

= (4 - n) Г nix - 6|2-n V

n

+(2-n)|x-6Гn Z(6i i=1

- x )

= 2(4 - n )| x - 6^ n

Отсюда следует доказываемое равенство

A 5 E 4 ( x , 6 ) = - —— | x - 6 12- n = - E ( x , 6 ). ( n - 2)

При n = 4 будем иметь

—ln | x - 6 | = (6i x i ) d 5        5 | x - 6 12

^in| x - 6 k I x - 6^ - 2( 6 i - x i )2 d6 2                   | x - 6 | 4

и значит

Л ( 11 I             12| x - 6 |2_ 1 1 _ A

A e ( — in I x - 6 | ) =---== - E ( x , 6 ) .

6V 4 1             4 | x - 6 |4      2| x - 6 |2

При n = 2 будем иметь ^| x - 6 12ln| x - 6\ = 2( 6 i - x i )ln| x - 6 | + | x - 6 12 ^ ^^f i y, d6 i                                                             | x - 6 12

^^| x - 6 12 ln| x - 6 | = 2ln| x - 6 | + 4 ( 6i x1)2 + | x - 6 12 1 x 6^ 2 2( 6 : xi )2 6                                    | x - 6 12                  | x - 6 |4

Карачик В.В.                          Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре и значит

ξ ( | x - ξ |2 ln | x - ξ | ) = 4ln | x - ξ | + 4.

Поэтому

ξ E 4( x , ξ ) =∆ ξ ( | x - 4 ξ | ( ln| x - ξ | - 1 )) = ln| x - ξ | + 1 - 1 = - E ( x , ξ ) .

Последнее равенство легко также проверить с помощью Mathematica .

В силу свойства элементарного решения ∆ξE(x,ξ) = 0 при ξ≠ x получаем бигармоничность функции E4(x,ξ) при ξ≠ x . Лемма доказана.

n

Рассмотрим однородный дифференциальный оператор Λ u = xiuxi [17], который обладает k = 1

полезным в дальнейшем свойством

(Λu-∂u)|∂S=0.(6)

ν

Теорема 1. Пусть n 3 . Функция

G4(x,ξ)=E4(x,ξ)-E4( x ,|x|ξ)-|x|2-1|ξ|2-1E( x ,|x|ξ)

|x|                   2          2| является функцией Грина задачи Дирихле (1), (2), а именно функция

u(x) = 1   G (x,ξ)f(ξ)dξ,(8)

ω n S 4

где f C 1( S ) является решением задачи (1), (2). Функция Грина G 4( x , ξ ) симметрична относительно x и ξ и бигармоническая при x , ξ S , x ξ .

Доказательство. Пусть n 4 или n = 3 и ξ S фиксировано. Докажем, что функция G 4( x , ξ ) бигармоническая при x , ξ S , x ξ и удовлетворяет однородным условиям (2).

Бигармоничность функции E 4( x , ξ ) доказана в лемме 1. Бигармоничность функции

E 4( x / | x |,| x | ξ ) по обеим переменным при x , ξ S следует из равенства

|x/|x|-|x|ξ|4-n=|x/|x|-|x|ξ|2-n|x/|x|-|x|ξ|2, поскольку функция | x/ | x | - | x |ξ|2-n = E(x/ | x|,| x |ξ) - гармоническая по x,ξ∈ S (это преобразование Кельвина по x гармонической функции E(x,ξ) [18]) и

| x -ξ|x||2=|x| -2( x ,ξ|x|)+|ξ|2|x|2=1-2(x,ξ)+|ξ|2|x|2,(9)

|x|                    |x|2| а произведение таких функций – бигармоническая функция по x,ξ∈ S . Аналогично функция

|x|2-1|ξ|2-1E( x ,|x|ξ) 2        2| бигармоническая по x,ξ∈ S , поскольку функция E(x/ | x |,| x |ξ) гармоническая по x,ξ∈ S .

Очевидно, что при ξ S переменная x может принимать значение на S .

Далее, при ξ S функция E ( x / | x |,| x | ξ ) ограничена по x S и значит первое условие из

(2) выполнено

G 4 ( x , ξ ) | x S = ( E 4 ( x , ξ ) - E 4 ( x ,| x | ξ ) - | x | 2 - 1| ξ | 2 - 1 E ( x ,| x | ξ ))| x S = 0. | x |                   2          2          | x |

Докажем второе условие из (2). Нетрудно подсчитать

2( n - 2)( n - 4) Λ x E 4 ( x , ξ ) = Λ x | x - ξ |4 - n = (4 - n ) = n x i | x x - i ξ - ξ | n i - 2 = (4 - n ) | | x x | 2 - - ξ ( | x n , - ξ 2 )

и

Математика

2( n - 2)( n - 4) Λ x E 4 ( x ,| x | ξ ) x ( 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 ) 2 - n /2 = | x |

= 4 - n n x        - 2 ξ i + 2 x i | ξ | 2        = (4 - n ) | x |2| ξ |2 - ( x , ξ )

2 ∑i=1 i(1-2(x,ξ)+|x|2|ξ|2)n/2-1            |x/|x|-|x|ξ|n-2, а поэтому при x ∈ ∂S x                      1       |x|2-|x|2|ξ|2      |ξ|2 -1 11

Λx (E4 (x,ξ) - E4 (   ,| x |ξ)) = -                         ==

| x |               2( n - 2) | x /| x | - | x | ξ | n - 2       2     n - 2 | x /| x | - | x | ξ | n - 2

= | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ) ( | x | - 1 | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ))

2           |x|, x 2          2           |x|,.

Если перенести члены из правой части этого в левую часть, воспользоваться (6) и определением G 4( x , ξ ) найдем

G 4 ( x , ξ ) | S = 0.

ν

Случаи n 4 и n = 3 доказаны. Пусть n = 4 . Бигармоничность E 4( x , ξ ) при x ξ доказана в лемме 1. Если обозначить

- 4 E 4 ( x ,| x | ξ ) = ln | x - | x | ξ | = 1ln ( 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 ) 1ln t , | x |                    | x |               2                                          2

то

- ‘

при i = 1,

∂ x          -ξi + xi | ξ |

4     E4 (,                            ,

∂xi       | x |                      t             ∂xi2|

,4 и значит

( - ξ i + x i | ξ |2)2 t 2

+ | ξ |2 t

- 4 x E 4 ( x ,| x | ξ ) =- 2 | x |

| ξ |2 (1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2)

2| ξ |2

t 2

2| ξ |2

+ 4| ξ | = t

= 2 | ξ | 2 =                                           .

t | x /| x | - | x | ξ | 2    | x |2 | x /| x |2 - ξ | 2

Последняя функция является преобразованием Кельвина по x гармонической при n = 4 функции 2 | ξ |2 / | x - ξ | 2, а поскольку преобразование Кельвина сохраняет гармоничность [18], то эта функция гармоническая по x S , а значит E 4 ( x / | x |,| x | ξ ) – бигармоническая по x S .

Проверим граничные условия (2). Начнем со второго. Нетрудно вычислить

- 4 Λ E ( x , ξ ) ln| x - ξ | = 4 x xi - ξ i = | x | 2 - ( x , ξ )

x 4 x               i = 1 i | x - ξ |2     | x - ξ |2

и

- 2 ξ i + 2 x i | ξ |2 = | x |2| ξ |2 - ( x , ξ )

1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2    | x /| x | - | x | ξ | 2,

- 4 Λ x E 4 ( x ,| x | ξ ) = 1 Λ x ln ( 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 ) = 1 x i

| x |              2                                           2 i = 1

а поэтому при x S

-

x                 1 |x|2-|x|2|ξ|2 |ξ|2-111

Λx(E4(x,ξ) - E4( ,| x |ξ)) = -                 ==

| x |                4 | x /| x | - | x | ξ | 2        2 2 | x /| x | - | x | ξ | 2

-

= | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ) ( | x | - 1 | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ))

2          |x|, x 2          2          |x|,.

Отсюда, после перенесения функции справа в левую часть равенства, получаем, что при n = 4 функция G4(x,ξ) из (7) при x∈ S удовлетворяет условию    G4(x,ξ) |∂S= 0 . Условие

ν

Карачик В.В.                          Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

G 4 ( x S I d S = 0 при Se S очевидно тоже выполнено, поскольку функция E ( x /| x |,| x I S ) ограничена по x e S .

Известно [18], что интегралы типа потенциала

J P(S) d^ J Six - Sa являются функциями класса Cp (Rn) при ограниченной интегрируемой функции р(x), причем дифференцирование возможно под знаком интеграла при всяком целом неотрицательном p таком, что а + p < n . В нашем случае а = n - 4, а значит для интеграла u (x) = — L E4 (x, S) f (S) dS ®n1S p = 3 и u1 e C3(R n). Поэтому, учитывая лемму 1, при x e S получим

Aui(x) = — J AXE4(x,S)f (S)dS =J E(x,S)f (S)dS, Sx                            S nn а значит, по свойству объемного потенциала [1] получим

A 2 U 1( x ) = A ( - —J E ( x , S ) f ( S ) d S ) = f ( x ), x e S . ω n S

Условие f e C 1 ( S ) необходимо для выполнения равенства

A(A u 1 ( x )) = f ( x )

в S [1]. Выше было доказано, что функция x 1 x 1 -1 S^ -1 (X E,1 x I S)--"--"----E( ,1 x I S)

I x I 2           2           | x I является бигармонической по x в S при любом Se S и ее можно дифференцировать по x под знаком интеграла по S любое число раз. Обозначая интеграл по Se S от этой функции, умноженной на 1/ tonf (S), через u2(x) найдем

A 2 u 2 ( x ) = - -L J S a 2 ( E4(Pxx-I ,|x | S ) + 'V ^ ^^ E ( p^ ,I x I S )) f ( S ) d S = 0.

Поэтому, учитывая (7), функция u ( x ) из (8) удовлетворяет равенству

A 2 u ( x ) = A 2 u 1 ( x ) + A 2 u 2 ( x ) = f ( x ).

Наконец, в силу того, что u e C 3( S ) и найденных граничных значений G 4( x , S ), найдем

u(x)IdS=тЧSG4(xS)US f (S)dS = 0, |uIdS = -[-J,dG;'x,S) I.xedS f(S)dS = 0, ωn S                      ∂ν    ωn S  ∂ν а значит условия (2) для функции u (x) выполнены.

Симметричность функции Грина следует из вида функций E 4( x,S), E ( x,S) и формулы (9). Теорема доказана.

Вид функции Грина, полученный в теореме 1, отличается от найденного в [8].

Замечание 1. Функцию Грина G 4( x , S ) с учетом леммы 1 можно записать в виде

G 4 ( x , S ) = E 4 ( x , S ) - E 4 (    ,I x I S ) +I x i2^1 ^- ^ A E 4 (    ,I x I S ) .

| x I 2           2                | x I

Теорему 1 можно дополнить следующим утверждением.

Теорема 2. Пусть функция E 4( x,S) находится из (5) при n = 2 . Тогда функция

G 4 ( x , S ) = E 4 ( x , S ) - E 4 ( ,| x | S ) - ^ x ^ 2^ 1 S - 1 ( E ( ,| x | S ) + 1 ) | x I 2          2             | x I 2

является функцией Грина задачи Дирихле (1), (2) при n = 2. Функция Грина симметрична и бигармоническая при x, Se S , x * S .

Математика

Доказательство. Докажем, что функция G 4( x , ξ ) бигармоническая при x , ξ S и x ξ и удовлетворяет однородным условиям (2). Бигармоничность функции

E 4 ( x , ξ ) = | x - 4 ξ |2 ( ln| x - ξ | - 1 )

при x ξ была установлена в лемме 1. Исследуем функцию

E 4 ( x / | x |,| x | ξ ) . Аналогично

случаю n = 4 обозначим ln| x -|x|ξ|=1ln(1-2(x,ξ)+|x|2|ξ|2)≡1lnt. | x |              22

Тогда

1ln t = - ξ i + x i | ξ |2 , 2 1ln t =- 2 ( - ξ i + x i | ξ |2)2 + | ξ |2

∂xi 2             t          ∂xi2 2                  t2

и значит

1           |ξ|2(1-2(x,ξ)+|x|2|ξ|2)|

∆x ln t = -2                         + 2

x 2                          t2

т. е. функция ln | x / | x | - | x | ξ | гармоническая по x S . Так как множитель перед логарифмом в E 4( x , ξ ) равен | x / | x | - | x | ξ | 2 = 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 , то функция E 4 ( x / | x |,| x | ξ ) при n = 2 бигармоническая по x при x , ξ S . Наконец, функция

| x |2 - 1| ξ |2 - 1

( E ( x ,| x | ξ ) + 1 )

| x |               2

бигармоническая, поскольку функция E ( x / | x |,| x | ξ ) – гармоническая при x , ξ S .

Проверим граничные условия (2). Начнем со второго. Нетрудно видеть, что

Λ | x - ξ |2 = 2(| x |2 - ( x , ξ )), Λ ln| x - ξ | = | x | 2 - ( x , ξ ) , xx

| x - ξ |2

а поэтому

4 Λ xE 4( x , ξ ) = 2(| x |2 - ( x , ξ )) ( ln| x - ξ | - 1 ) + | x |2 - ( x , ξ ) = ( | x |2 - ( x , ξ ) ) (2ln| x - ξ | - 1)

Аналогично случаю n = 4 найдем

Λ x | x /| x | - | x | ξ | 2 = 2(| x |2| ξ |2 - ( x , ξ )), Λ x ln | x /| x | - | x | ξ | = | x | 2 | ξ | 2 - ( x , ξ ) ,

| x / | x | - | x | ξ | 2

а поэтому, поскольку оператор Λ первого порядка, найдем

4 Λ xE 4 ( x /| x |,| x | ξ ) = 2(| x |2| ξ |2 - ( x , ξ )) ( ln | x /| x | - | x | ξ | - 1 ) +

+ | x /| x | - | x | ξ | 2 | x | 2 | ξ | 2 - ( x , ξ ) = ( | x |2| ξ |2 - ( x , ξ ) )( 2ln | x /| x | - | x | ξ | - 1 ) .

| x /| x | - | x | ξ | 2

Таким образом, при x S будем иметь

4 Λ x ( E 4 ( x , ξ ) - E 4 ( x /| x |,| x | ξ )) = ( 2ln | x /| x | - | x | ξ | - 1 ) (1 - | ξ |2) =

= 4 ( - ln | x /| x | - | x | ξ | + 1 2 ) | ξ | 2 - 1 = 4 ( E ( x /| x |,| x | ξ ) + 1 2 ) | ξ | 2 - 1 = = 4 Λ x ( | x | 2 2 - 1| ξ | 2 2 - 1 ( E ( x /| x |,| x | ξ ) + 1 2 )) .

Сокращая полученное равенство на 4 и перенося члены из правой части в левую часть, получим     G 4( x , ξ ) | x S = 0 . Условие G 4( x , ξ ) | x S = 0 , где ξ S , очевидно тоже выполнено.

ν 4        x S                   4       x S

Дальнейшее доказательство повторяет конец доказательства теоремы 1, в силу которого

Карачик В.В.                          Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре дифференцирование и предельный переход можно внести под знак интеграла в формуле (8). Симметрия доказывается аналогично. Теорема доказана.

Пусть {Hki)(x): i = 1,..., hk, к e N 0} - полная система однородных степени к e N 0 ортогональных сферических гармоник (см., например, [15]), нормированных так, что ids (Hki)(f))2 ds^ = ®n, где hk — размерность базиса однородных гармонических многочленов степени к [16], а ton - площадь единичной сферы д5. Справедливо также следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть n >  4 . Функция О 4( x , f ) при | f | < | x | может быть записана в виде

1 fl x ‘ к + n - 2) ( I x I2         I f | 2 )          1

Од ( x , f ) =      ( х

  • 4       2 k = 0V 2 к + n - 2 ( 2 к + n - 4 2 к + n J 2 к + n - 2

    х


    ( 1


    -


    ( 2 к + n - 4   2 к + n


    1 * Ж+ 1 x l2 - 1



    , x Y кк

    ( | f ^ -1 ) ) X H ' ) ( x ) H ' .

    7 i = 1


При | x <| f | представление для О 4 ( x , f ) получается из приведенного выше перестановкой местами переменных x и f .

Замечание 2. С помощью теоремы 3 вычисляется интеграл

—J О4(x,Ш|2'Н„(f)d^ = 1 x|2l+4 -1 -*1 + 2)(|x|2 -1)H,(x), ton 5S                                               C',m где Cl,m = (2' + 2)(2' + 4)(2' + 2m + n)(2' + 2m + n + 2) и Hm (x) - однородный степени m e N 0

гармонический многочлен. Похожий результат при ' e N 0 был получен в [19] с помощью результатов [20]. Представление функции E ( x , f ), аналогичное полученному в теореме 2, было найдено ранее в [21], а равномерная сходимость аналогичных рядов исследовалась в [22].

Список литературы Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

  • Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1982. - 336 с.
  • Wang, Y. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector / Y. Wang, L. Ye // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2013. - Vol. 58, no. 1. - P. 7-22.
  • Wang, Y. Tri-harmonic boundary value problems in a sector / Y. Wang // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2014. - Vol. 59. - Issue 5. - P. 732-749.
  • Constantin, E. Green function of the Laplacian for the Neumann problem in / E. Constantin, N.H. Pavel // Libertas Mathematica. - 2010. - Vol. 30. - P. 57-69.
  • Begehr, H. Modified harmonic Robin function / H. Begehr, T. Vaitekhovich // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2013. - Vol. 58. - Issue 4. - P. 483-496.
  • Sadybekov, M.A. On an explicit form of the Green function of the third boundary value problem for the Poisson equation in a circle / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.Kh. Turmetov // AIP Conf. Proc. - 2015. - Vol. 1611. - P. 255-260.
  • Sadybekov, M.A. On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.Kh. Turmetov // Advances in Pure and Applied Mathematics. - 2015. - Vol. 6, Issue 3. - P. 163-172.
  • Кальменов, Т.Ш. Представление функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений в шаре / Т.Ш. Кальменов, Б.Д. Кошанов, М.Ю. Немченко // Доклады Академии Наук. - 2008. - Т. 421, № 3. - С. 305-307.
  • Кальменов, Т.Ш. О новом методе построения функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения / Т.Ш. Кальменов, Д. Сураган // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 3. - С. 435-438.
  • Карачик, В.В. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - T. 15, № 2. - C. 86-98.
  • Карачик, В.В. Функция Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных / В.В. Карачик // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2014. - T. 14, № 4(2). - C. 550-558.
  • Карачик, В.В. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона / В.В. Карачик, Б.Х. Турметов // Математические труды. - 2018. - T. 21, № 1. - C. 17-34.
  • Садыбеков, М.А. Представление функции Грина внешней задачи Неймана для оператора Лапласа / М.А. Садыбеков, Б.Т. Торебек, Б.Х. Турметов // Сиб. матем. журн. - 2017. - Т. 58, № 1. - С. 199-205.
  • Sadybekov, M.A. Representation of Green's function of the Neumann problem for a multi-dimensional ball / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.Kh. Turmetov // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2016. - Vol. 61, no. 1. - P. 104-123.
  • Karachik, V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of American Mathematical Society. - 1998. - Vol. 126, no. 12. - P. 3513-3519.
  • Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1966. - 295 с.
  • Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - С. 1149-1170.
  • Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1981. - 512 с.
  • Карачик, В.В. Решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2015. - T. 51, № 8. - С. 1038-1047.
  • Карачик, В.В. Об одном разложении типа Альманси / В.В. Карачик // Математические заметки. - 2008. - Т. 83, № 3. - С. 370-380.
  • Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1674-1694.
  • Карачик, В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В.В. Карачик // Математические труды. - 2016. - № 2. - С. 86-108.
Еще
Статья научная