Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
Бесплатный доступ
Аналогично известному элементарному решению уравнения Лапласа вводится элементарное решение бигармонического уравнения. Находится связь этого элементарного решения с элементарным решением уравнения Лапласа. В зависимости от размерности пространства, в котором исследуется краевая задача, через введенное элементарное решение бигармонического уравнения в явном виде определяется некоторая симметричная функция двух переменных. Затем доказывается, что эта функция обладает свойствами функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре. Отдельно исследуются два случая, когда размерность пространства два и когда размерность пространства больше двух. Аналогично функции Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре находится разложение функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре по полной, ортогональной на единичной сфере системе однородных гармонических многочленов. Это сделано в случае размерности пространства больше четырех. С помощью полученного разложения функции Грина вычисляется интеграл по шару с ядром из функции Грина от однородного гармонического многочлена, умноженного на положительную степень нормы независимой переменной. Полученные результаты согласуются с результатами, известными ранее в этой области.
Задача дирихле, бигармоническое уравнение, функция грина
Короткий адрес: https://sciup.org/147232790
IDR: 147232790 | DOI: 10.14529/mmph180402
Текст научной статьи Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
Пусть S = { x e R n :| x | < 1} - n -мерный единичный шар в евклидовом пространстве R n с нормой | x | = x 2 + x 2 +-----+ x 2 , а d S = { x e R n :| x | = 1} - единичная сфера. В единичном шаре S рассмотрим следующую однородную краевую задачу Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения
A 2 u = f ( x ), x e S , (1)
-\ d S = 0, 4- = 0, (2)
dv 9s где —внешняя нормальная производная к единичной сфере, f e C 1(S) - заданная функция. dv
Найдем явное представление функции Грина этой краевой задачи. Хорошо известно (см., например, [1]), что функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре при n > 2 имеет вид
G ( x , £ ) = E ( x , ^ ) - E ( ^-| ,| x | ^ ) , | x |
где
E ( x , ^ ) = ^ n - 2
I x - ^^^n ,
n > 2
- ln| x - ^\, n = 2
– элементарное решение уравнения Лапласа [1]. Явная форма функции Грина в секторе для бигармонического и тригармонического уравнений приведена в работах [2, 3]. Функция Грина задачи Неймана для уравнения Пуассона в полупространстве R + в явном виде построена в [4], а функция Грина для задачи Робена в круге в работах [5–7]. Отметим также работы [8, 9], которые
Математика
посвящены построению функции Грина для задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре и работы [10, 11], где найден оператор Грина задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического уравнения в единичном шаре при полиномиальных данных. В работе [12] найдена функция Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. В работах [13, 14] дано представление функции Грина для классических внешней и внутренней задач Неймана для уравнения Пуассона в единичном шаре.
Рассмотрим следующую функцию
Лемма 1. Функция E 4( x, 6) , определенная при 6 * x , удовлетворяет равенствам
А ^ Е 4 ( x , 6 ) = - E ( x , 6 ), А x E 4 ( x , 6 ) = - E ( x , 6 )
и значит является бигармонической по x и 6 при 6 * x .
Доказательство. В силу симметричности функции Е 4( x,6) достаточно доказать лишь первое равенство. Пусть n > 4 или n = 3. Нетрудно проверить, что
^|x - _.'n = ( 2 - n) 2 (6,-x)|x - 6n = (4 - n) (5- x)|x - 6|2-n
d6i V 2 7
и значит
^|x - 6|4-n = (4 - n) (|x - 6^n +(2 - n) (5- x)2|x - 6Гn).
'*6/ ' '
Поэтому
n
A^|x - 5f-n = (4 - n )£(|x - 6| 2-n +(2 - n) (5i- xi )2|x - 6Г n ) = i=1
= (4 - n) Г nix - 6|2-n V
n
+(2-n)|x-6Гn Z(6i i=1
- x )
= 2(4 - n )| x - 6^ n
Отсюда следует доказываемое равенство
A 5 E 4 ( x , 6 ) = - —— | x - 6 12- n = - E ( x , 6 ). ( n - 2)
При n = 4 будем иметь
—ln | x - 6 | = (6i x i ) d 5 5 | x - 6 12
^in| x - 6 k I x - 6^ - 2( 6 i - x i )2 d6 2 | x - 6 | 4
и значит
Л ( 11 I 12| x - 6 |2_ 1 1 _ A
A e ( — in I x - 6 | ) =---== - E ( x , 6 ) .
6V 4 1 4 | x - 6 |4 2| x - 6 |2
При n = 2 будем иметь ^| x - 6 12ln| x - 6\ = 2( 6 i - x i )ln| x - 6 | + | x - 6 12 ^ ^^f i y, d6 i | x - 6 12
^^| x - 6 12 ln| x - 6 | = 2ln| x - 6 | + 4 ( 6i x1)2 + | x - 6 12 1 x 6^ 2 2( 6 : xi )2 6 | x - 6 12 | x - 6 |4
Карачик В.В. Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре и значит
∆ ξ ( | x - ξ |2 ln | x - ξ | ) = 4ln | x - ξ | + 4.
Поэтому
∆ ξ E 4( x , ξ ) =∆ ξ ( | x - 4 ξ | ( ln| x - ξ | - 1 )) = ln| x - ξ | + 1 - 1 = - E ( x , ξ ) .
Последнее равенство легко также проверить с помощью Mathematica .
В силу свойства элементарного решения ∆ξE(x,ξ) = 0 при ξ≠ x получаем бигармоничность функции E4(x,ξ) при ξ≠ x . Лемма доказана.
n
Рассмотрим однородный дифференциальный оператор Λ u = ∑ xiuxi [17], который обладает k = 1
полезным в дальнейшем свойством
(Λu-∂u)|∂S=0.(6)
∂ ν
Теорема 1. Пусть n ≥ 3 . Функция
G4(x,ξ)=E4(x,ξ)-E4( x ,|x|ξ)-|x|2-1|ξ|2-1E( x ,|x|ξ)
|x| 2 2| является функцией Грина задачи Дирихле (1), (2), а именно функция
u(x) = 1 G (x,ξ)f(ξ)dξ,(8)
ω n S 4
где f ∈ C 1( S ) является решением задачи (1), (2). Функция Грина G 4( x , ξ ) симметрична относительно x и ξ и бигармоническая при x , ξ ∈ S , x ≠ ξ .
Доказательство. Пусть n > 4 или n = 3 и ξ ∈ S фиксировано. Докажем, что функция G 4( x , ξ ) бигармоническая при x , ξ ∈ S , x ≠ ξ и удовлетворяет однородным условиям (2).
Бигармоничность функции E 4( x , ξ ) доказана в лемме 1. Бигармоничность функции
E 4( x / | x |,| x | ξ ) по обеим переменным при x , ξ ∈ S следует из равенства
|x/|x|-|x|ξ|4-n=|x/|x|-|x|ξ|2-n|x/|x|-|x|ξ|2, поскольку функция | x/ | x | - | x |ξ|2-n = E(x/ | x|,| x |ξ) - гармоническая по x,ξ∈ S (это преобразование Кельвина по x гармонической функции E(x,ξ) [18]) и
| x -ξ|x||2=|x| -2( x ,ξ|x|)+|ξ|2|x|2=1-2(x,ξ)+|ξ|2|x|2,(9)
|x| |x|2| а произведение таких функций – бигармоническая функция по x,ξ∈ S . Аналогично функция
|x|2-1|ξ|2-1E( x ,|x|ξ) 2 2| бигармоническая по x,ξ∈ S , поскольку функция E(x/ | x |,| x |ξ) гармоническая по x,ξ∈ S .
Очевидно, что при ξ ∈ S переменная x может принимать значение на ∂ S .
Далее, при ξ ∈ S функция E ( x / | x |,| x | ξ ) ограничена по x ∈ S и значит первое условие из
(2) выполнено
G 4 ( x , ξ ) | x ∈ ∂ S = ( E 4 ( x , ξ ) - E 4 ( x ,| x | ξ ) - | x | 2 - 1| ξ | 2 - 1 E ( x ,| x | ξ ))| x ∈ ∂ S = 0. | x | 2 2 | x |
Докажем второе условие из (2). Нетрудно подсчитать
2( n - 2)( n - 4) Λ x E 4 ( x , ξ ) = Λ x | x - ξ |4 - n = (4 - n ) ∑ = n x i | x x - i ξ - ξ | n i - 2 = (4 - n ) | | x x | 2 - - ξ ( | x n , - ξ 2 )
и
Математика
2( n - 2)( n - 4) Λ x E 4 ( x ,| x | ξ ) =Λ x ( 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 ) 2 - n /2 = | x |
= 4 - n ∑ n x - 2 ξ i + 2 x i | ξ | 2 = (4 - n ) | x |2| ξ |2 - ( x , ξ )
2 ∑i=1 i(1-2(x,ξ)+|x|2|ξ|2)n/2-1 |x/|x|-|x|ξ|n-2, а поэтому при x ∈ ∂S x 1 |x|2-|x|2|ξ|2 |ξ|2 -1 11
Λx (E4 (x,ξ) - E4 ( ,| x |ξ)) = - ==
| x | 2( n - 2) | x /| x | - | x | ξ | n - 2 2 n - 2 | x /| x | - | x | ξ | n - 2
= | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ) =Λ ( | x | - 1 | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ))
2 |x|, x 2 2 |x|,.
Если перенести члены из правой части этого в левую часть, воспользоваться (6) и определением G 4( x , ξ ) найдем
∂ G 4 ( x , ξ ) | ∂ S = 0.
∂ ν
Случаи n > 4 и n = 3 доказаны. Пусть n = 4 . Бигармоничность E 4( x , ξ ) при x ≠ ξ доказана в лемме 1. Если обозначить
- 4 E 4 ( x ,| x | ξ ) = ln | x - | x | ξ | = 1ln ( 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 ) ≡ 1ln t , | x | | x | 2 2
то
- ‘
при i = 1,
∂ x -ξi + xi | ξ |
4 E4 (, ,
∂xi | x | t ∂xi2|
,4 и значит
( - ξ i + x i | ξ |2)2 t 2
+ | ξ |2 t
- 4 ∆ x E 4 ( x ,| x | ξ ) =- 2 | x |
| ξ |2 (1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2)
2| ξ |2
t 2
2| ξ |2
+ 4| ξ | = t
= 2 | ξ | 2 = .
t | x /| x | - | x | ξ | 2 | x |2 | x /| x |2 - ξ | 2
Последняя функция является преобразованием Кельвина по x гармонической при n = 4 функции 2 | ξ |2 / | x - ξ | 2, а поскольку преобразование Кельвина сохраняет гармоничность [18], то эта функция гармоническая по x ∈ S , а значит E 4 ( x / | x |,| x | ξ ) – бигармоническая по x ∈ S .
Проверим граничные условия (2). Начнем со второго. Нетрудно вычислить
- 4 Λ E ( x , ξ ) =Λ ln| x - ξ | = 4 x xi - ξ i = | x | 2 - ( x , ξ )
x 4 x i = 1 i | x - ξ |2 | x - ξ |2
и
- 2 ξ i + 2 x i | ξ |2 = | x |2| ξ |2 - ( x , ξ )
1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 | x /| x | - | x | ξ | 2,
- 4 Λ x E 4 ( x ,| x | ξ ) = 1 Λ x ln ( 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 ) = 1 ∑ x i
| x | 2 2 i = 1
а поэтому при x ∈ ∂ S
-
x 1 |x|2-|x|2|ξ|2 |ξ|2-111
Λx(E4(x,ξ) - E4( ,| x |ξ)) = - ==
| x | 4 | x /| x | - | x | ξ | 2 2 2 | x /| x | - | x | ξ | 2
-
= | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ) =Λ ( | x | - 1 | ξ | - 1 E ( x | x | ξ ))
2 |x|, x 2 2 |x|,.
Отсюда, после перенесения функции справа в левую часть равенства, получаем, что при n = 4 функция G4(x,ξ) из (7) при x∈ S удовлетворяет условию G4(x,ξ) |∂S= 0 . Условие
∂ ν
Карачик В.В. Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
G 4 ( x S I d S = 0 при Se S очевидно тоже выполнено, поскольку функция E ( x /| x |,| x I S ) ограничена по x e S .
Известно [18], что интегралы типа потенциала
J P(S) d^ J Six - Sa являются функциями класса Cp (Rn) при ограниченной интегрируемой функции р(x), причем дифференцирование возможно под знаком интеграла при всяком целом неотрицательном p таком, что а + p < n . В нашем случае а = n - 4, а значит для интеграла u (x) = — L E4 (x, S) f (S) dS ®n1S p = 3 и u1 e C3(R n). Поэтому, учитывая лемму 1, при x e S получим
Aui(x) = — J AXE4(x,S)f (S)dS =J E(x,S)f (S)dS, Sx S nn а значит, по свойству объемного потенциала [1] получим
A 2 U 1( x ) = A ( - —J E ( x , S ) f ( S ) d S ) = f ( x ), x e S . ω n S
Условие f e C 1 ( S ) необходимо для выполнения равенства
A(A u 1 ( x )) = f ( x )
в S [1]. Выше было доказано, что функция x 1 x 1 -1 S^ -1 (X E,1 x I S)--"--"----E( ,1 x I S)
I x I 2 2 | x I является бигармонической по x в S при любом Se S и ее можно дифференцировать по x под знаком интеграла по S любое число раз. Обозначая интеграл по Se S от этой функции, умноженной на 1/ tonf (S), через u2(x) найдем
A 2 u 2 ( x ) = - -L J S a 2 ( E4(Pxx-I ,|x | S ) + 'V ^ ^^ E ( p^ ,I x I S )) f ( S ) d S = 0.
Поэтому, учитывая (7), функция u ( x ) из (8) удовлетворяет равенству
A 2 u ( x ) = A 2 u 1 ( x ) + A 2 u 2 ( x ) = f ( x ).
Наконец, в силу того, что u e C 3( S ) и найденных граничных значений G 4( x , S ), найдем
u(x)IdS=тЧSG4(xS)US f (S)dS = 0, |uIdS = -[-J,dG;'x,S) I.xedS f(S)dS = 0, ωn S ∂ν ωn S ∂ν а значит условия (2) для функции u (x) выполнены.
Симметричность функции Грина следует из вида функций E 4( x,S), E ( x,S) и формулы (9). Теорема доказана.
Вид функции Грина, полученный в теореме 1, отличается от найденного в [8].
Замечание 1. Функцию Грина G 4( x , S ) с учетом леммы 1 можно записать в виде
G 4 ( x , S ) = E 4 ( x , S ) - E 4 ( ,I x I S ) +I x i2^1 ^- ^ A E 4 ( ,I x I S ) .
| x I 2 2 | x I
Теорему 1 можно дополнить следующим утверждением.
Теорема 2. Пусть функция E 4( x,S) находится из (5) при n = 2 . Тогда функция
G 4 ( x , S ) = E 4 ( x , S ) - E 4 ( ,| x | S ) - ^ x ^ 2^ 1 S - 1 ( E ( ,| x | S ) + 1 ) | x I 2 2 | x I 2
является функцией Грина задачи Дирихле (1), (2) при n = 2. Функция Грина симметрична и бигармоническая при x, Se S , x * S .
Математика
Доказательство. Докажем, что функция G 4( x , ξ ) бигармоническая при x , ξ ∈ S и x ≠ ξ и удовлетворяет однородным условиям (2). Бигармоничность функции
E 4 ( x , ξ ) = | x - 4 ξ |2 ( ln| x - ξ | - 1 )
при x ≠ ξ была установлена в лемме 1. Исследуем функцию
E 4 ( x / | x |,| x | ξ ) . Аналогично
случаю n = 4 обозначим ln| x -|x|ξ|=1ln(1-2(x,ξ)+|x|2|ξ|2)≡1lnt. | x | 22
Тогда
∂ 1ln t = - ξ i + x i | ξ |2 , ∂ 2 1ln t =- 2 ( - ξ i + x i | ξ |2)2 + | ξ |2
∂xi 2 t ∂xi2 2 t2
и значит
1 |ξ|2(1-2(x,ξ)+|x|2|ξ|2)|
∆x ln t = -2 + 2
x 2 t2
т. е. функция ln | x / | x | - | x | ξ | гармоническая по x ∈ S . Так как множитель перед логарифмом в E 4( x , ξ ) равен | x / | x | - | x | ξ | 2 = 1 - 2( x , ξ ) + | x |2| ξ |2 , то функция E 4 ( x / | x |,| x | ξ ) при n = 2 бигармоническая по x при x , ξ ∈ S . Наконец, функция
| x |2 - 1| ξ |2 - 1
( E ( x ,| x | ξ ) + 1 )
| x | 2
бигармоническая, поскольку функция E ( x / | x |,| x | ξ ) – гармоническая при x , ξ ∈ S .
Проверим граничные условия (2). Начнем со второго. Нетрудно видеть, что
Λ | x - ξ |2 = 2(| x |2 - ( x , ξ )), Λ ln| x - ξ | = | x | 2 - ( x , ξ ) , xx
| x - ξ |2
а поэтому
4 Λ xE 4( x , ξ ) = 2(| x |2 - ( x , ξ )) ( ln| x - ξ | - 1 ) + | x |2 - ( x , ξ ) = ( | x |2 - ( x , ξ ) ) (2ln| x - ξ | - 1)
Аналогично случаю n = 4 найдем
Λ x | x /| x | - | x | ξ | 2 = 2(| x |2| ξ |2 - ( x , ξ )), Λ x ln | x /| x | - | x | ξ | = | x | 2 | ξ | 2 - ( x , ξ ) ,
| x / | x | - | x | ξ | 2
а поэтому, поскольку оператор Λ первого порядка, найдем
4 Λ xE 4 ( x /| x |,| x | ξ ) = 2(| x |2| ξ |2 - ( x , ξ )) ( ln | x /| x | - | x | ξ | - 1 ) +
+ | x /| x | - | x | ξ | 2 | x | 2 | ξ | 2 - ( x , ξ ) = ( | x |2| ξ |2 - ( x , ξ ) )( 2ln | x /| x | - | x | ξ | - 1 ) .
| x /| x | - | x | ξ | 2
Таким образом, при x ∈ ∂ S будем иметь
4 Λ x ( E 4 ( x , ξ ) - E 4 ( x /| x |,| x | ξ )) = ( 2ln | x /| x | - | x | ξ | - 1 ) (1 - | ξ |2) =
= 4 ( - ln | x /| x | - | x | ξ | + 1 2 ) | ξ | 2 - 1 = 4 ( E ( x /| x |,| x | ξ ) + 1 2 ) | ξ | 2 - 1 = = 4 Λ x ( | x | 2 2 - 1| ξ | 2 2 - 1 ( E ( x /| x |,| x | ξ ) + 1 2 )) .
Сокращая полученное равенство на 4 и перенося члены из правой части в левую часть, получим G 4( x , ξ ) | x ∈ ∂ S = 0 . Условие G 4( x , ξ ) | x ∈ ∂ S = 0 , где ξ ∈ S , очевидно тоже выполнено.
∂ ν 4 x ∈ S 4 x ∈ S
Дальнейшее доказательство повторяет конец доказательства теоремы 1, в силу которого
Карачик В.В. Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре дифференцирование и предельный переход можно внести под знак интеграла в формуле (8). Симметрия доказывается аналогично. Теорема доказана.
Пусть {Hki)(x): i = 1,..., hk, к e N 0} - полная система однородных степени к e N 0 ортогональных сферических гармоник (см., например, [15]), нормированных так, что ids (Hki)(f))2 ds^ = ®n, где hk — размерность базиса однородных гармонических многочленов степени к [16], а ton - площадь единичной сферы д5. Справедливо также следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть n > 4 . Функция О 4( x , f ) при | f | < | x | может быть записана в виде
1 fl x ‘ к + n - 2) ( I x I2 I f | 2 ) 1
Од ( x , f ) = ( х
-
4 2 k = 0V 2 к + n - 2 ( 2 к + n - 4 2 к + n J 2 к + n - 2
х
( 1
-
( 2 к + n - 4 2 к + n
1 * Ж+ 1 x l2 - 1
, x Y кк
( | f ^ -1 ) ) X H ' ) ( x ) H ' )© .
7 i = 1
При | x <| f | представление для О 4 ( x , f ) получается из приведенного выше перестановкой местами переменных x и f .
Замечание 2. С помощью теоремы 3 вычисляется интеграл
—J О4(x,Ш|2'Н„(f)d^ = 1 x|2l+4 -1 -*1 + 2)(|x|2 -1)H,(x), ton 5S C',m где Cl,m = (2' + 2)(2' + 4)(2' + 2m + n)(2' + 2m + n + 2) и Hm (x) - однородный степени m e N 0
гармонический многочлен. Похожий результат при ' e N 0 был получен в [19] с помощью результатов [20]. Представление функции E ( x , f ), аналогичное полученному в теореме 2, было найдено ранее в [21], а равномерная сходимость аналогичных рядов исследовалась в [22].
Список литературы Об одном представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
- Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1982. - 336 с.
- Wang, Y. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector / Y. Wang, L. Ye // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2013. - Vol. 58, no. 1. - P. 7-22.
- Wang, Y. Tri-harmonic boundary value problems in a sector / Y. Wang // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2014. - Vol. 59. - Issue 5. - P. 732-749.
- Constantin, E. Green function of the Laplacian for the Neumann problem in / E. Constantin, N.H. Pavel // Libertas Mathematica. - 2010. - Vol. 30. - P. 57-69.
- Begehr, H. Modified harmonic Robin function / H. Begehr, T. Vaitekhovich // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2013. - Vol. 58. - Issue 4. - P. 483-496.
- Sadybekov, M.A. On an explicit form of the Green function of the third boundary value problem for the Poisson equation in a circle / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.Kh. Turmetov // AIP Conf. Proc. - 2015. - Vol. 1611. - P. 255-260.
- Sadybekov, M.A. On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.Kh. Turmetov // Advances in Pure and Applied Mathematics. - 2015. - Vol. 6, Issue 3. - P. 163-172.
- Кальменов, Т.Ш. Представление функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений в шаре / Т.Ш. Кальменов, Б.Д. Кошанов, М.Ю. Немченко // Доклады Академии Наук. - 2008. - Т. 421, № 3. - С. 305-307.
- Кальменов, Т.Ш. О новом методе построения функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения / Т.Ш. Кальменов, Д. Сураган // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 3. - С. 435-438.
- Карачик, В.В. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - T. 15, № 2. - C. 86-98.
- Карачик, В.В. Функция Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных / В.В. Карачик // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2014. - T. 14, № 4(2). - C. 550-558.
- Карачик, В.В. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона / В.В. Карачик, Б.Х. Турметов // Математические труды. - 2018. - T. 21, № 1. - C. 17-34.
- Садыбеков, М.А. Представление функции Грина внешней задачи Неймана для оператора Лапласа / М.А. Садыбеков, Б.Т. Торебек, Б.Х. Турметов // Сиб. матем. журн. - 2017. - Т. 58, № 1. - С. 199-205.
- Sadybekov, M.A. Representation of Green's function of the Neumann problem for a multi-dimensional ball / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.Kh. Turmetov // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2016. - Vol. 61, no. 1. - P. 104-123.
- Karachik, V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of American Mathematical Society. - 1998. - Vol. 126, no. 12. - P. 3513-3519.
- Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1966. - 295 с.
- Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - С. 1149-1170.
- Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1981. - 512 с.
- Карачик, В.В. Решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2015. - T. 51, № 8. - С. 1038-1047.
- Карачик, В.В. Об одном разложении типа Альманси / В.В. Карачик // Математические заметки. - 2008. - Т. 83, № 3. - С. 370-380.
- Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1674-1694.
- Карачик, В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В.В. Карачик // Математические труды. - 2016. - № 2. - С. 86-108.
