Об одном применении слабо достаточных множеств

Академику С. М. Никольскому к его столетнему юбилею

Приводится применение теории слабо достаточных множеств к задаче об эпиморфности операторов типа свертки.

Важную роль в теории нормально разрешимых операторов и ее приложениях сыграла работа С. М. Никольского [1], которая впоследствии получила дальнейшее развитие в различных направлениях в исследованиях многих математиков (см. краткий обзор Ю. Ф. Коробейника [2] в этом номере ВМЖ). В настоящей статье будет представлено применение теории слабо достаточных множеств к вопросу о нормальной разрешимости оператора умножения в весовых пространствах целых функций и двойственной задаче об эпиморфности оператора типа свертки.

Пусть H j , где j = 1, 2, — рефлексивные пространства Фреше с топологиями, задаваемыми наборами преднорм ( | • | nj ) П=₁ , которые мы, не ограничивая общности, будем считать неубывающими по n. Предположим, что в H 1 H 2 имеется такая система ненулевых элементов E (C) := { e(A) : А G C } , что ln | e(A) | _n,j — локально ограниченные в C функции (n G N; j = 1, 2), и что обобщенное преобразование Лапласа F : F G H j - —» F (e(A)) является топологическим изоморфизмом сильного сопряженного к H j пространства на весовое пространство целых функций E j = ind E nj , где ^,

E nj := ff G H (C) : k f k n,j

I f (A) |

=^SUP ! /AX, лес ^|e(A) | n,j

< ∞

}

— банахово пространство с нормой k • U nj (n G N; j = 1, 2). Обозначим через M(E2,E1) класс всех мультипликаторов из E 2 в E 1 , т. е. тех целых функций µ, для которых µf ∈ E 1 при всех f ∈ E 2 . Отметим, что структура классов мультипликаторов различных весовых пространств целых функций изучалась ранее Ю. Ф. Коробейником и автором (см., например, [3] и [4]). Предположим, что класс M(E2, E i ) нетривиален, зафиксируем ^(А) ^ 0 из M (E 2 ,E i ) и рассмотрим оператор умножения M ^ : f - —» pf . Из теоремы о замкнутом графике следует, что M µ действует из E 2 в E 1 непрерывно. Поэтому сопряженный к M µ оператор T µ , который мы, следуя А. Мартино, будем называть оператором свертки, является линейным непрерывным оператором из H 1 в H 2 . Из определения сопряженного оператора и наших предположений вытекает, что T ^ (e(A)) = ^(A)e(A) при всех A G C.

• (с) 2005 Абанин А. В.

Наша цель — при некоторых дополнительных ограничениях дать в терминах слабо достаточных множеств близкое к точному описание тех мультипликаторов µ, для которых оператор T p : H i ^ H сюръективен. Отметим, что в силу общей теории двойственности сюръективность T p : H i ^ H эквивалентна нормальной разрешимости оператора умножения M p : E 2 ^ E i .

Напомним понятие слабо достаточного множества, введенное Д. М. Шнайдером в [5]. Пусть Ф = (y n ) n=i — последовательность локально ограниченных в C функций. Ассоциируем с Ф банаховы пространства целых функций

E⁽V n ) ^:= ^ff ^G H ^{(C) :} Ilf k n ^:=sup ^{l f ( A )|}   <  го) , n G

N,

l                   лес exP mA)     J и введем в рассмотрение векторное пространство Е(Ф) := Un=i E(^n). Для произвольного подмножества S в C определим полунормированные пространства

E(^n S) := ff G E (Ф) : kf |n,s := sup lf (A)|   < го) , n ∈ N,

I                        ags exp ^n(A)      J и обозначим через ts топологию внутреннего индуктивного предела ind E(^n; S) в Е(Ф). n

Всегда τ S мажорируется топологией τ C . В случае, когда τ S совпадает с τ C , множество S называется слабо достаточным для Е(Ф).

Положим ^ n,j (А) := ln | e(A) | _nj и Ф ^ := (^ n,j ) n=_i , где A G C, j = 1, 2. Тогда введенные выше пространства E j не что иное, как E (Ф ^ ), j = 1, 2. Далее, назовем замкнутое множество V на плоскости (Ф 1 , Ф2)-исключительным множеством функции ^, если

( V n)( 3 m)( 3 R > D)( V A G C \ V) ( | A | >R ^ In | ^(A) | > ^ n,i (A) - ^, 2 (A) - R).

Предложение 1. Если для функции ^ существует такое (Ф _i , Ф ₂ )-исключительное множество V, что C \ V слабо достаточно для E2 (= E (Ф 2 )), то оператор свертки T p — эпиморфизм H 1 на H 2 , или, что равносильно, M µ — нормально разрешимый оператор из E 2 в E 1 .

C В соответствии с теоремой о дискретизации слабо достаточных множеств, установленной О. В. Епифановым в [6], C \ V содержит последовательность Л = (Ak)k=i с единственной предельной точкой на бесконечности, которая образует слабо достаточное для E2 множество. Тогда по теореме К из [7] система E(Л) := (e(Ak))^i является абсолютно представляющей в H2 , т. е. каждый элемент y из H2 разлагается в абсолютно сходящийся в H ряд y = 52fc=i Cke(Ak) (здесь Ck = Ck(y) — комплексные числа, определяемые по у, возможно, неоднозначно; по поводу общего понятия абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах и основных свойств таких систем см. обзорную статью Ю. Ф. Коробейника [8]). Так как по условию V является (Ф1, Ф2)-исключительным множеством функции ^, то для любого n существуют m, R > D и N G N такие, что для k>N ck

^(A k )

^|e(A k ) | n,i

6 e ^R | c k | exp (^ m,2 (A k ) - ^ n,i (A k )) | e(A k ) | n,i = e ^R | c k || e(A k ) | m,2 ,

∞ ck где N выбрано настолько большим, что |Ak| > R при k > N. Поэтому ряд ^2     \ e(Ak)

k=i ^^(A k )

сходится абсолютно в H i к некоторому элементу Х у . Ясно, что T p X y = у, и тем самым предложение доказано. B

Замечание. Изложенный в доказательстве предложения 1 прием использования абсолютно представляющих систем в вопросах разрешимости функциональных уравнений и ранее применялся А. Ф. Леонтьевым, В. Х. Мусояном, Ю. Ф. Коробейником, Ю. Н. Фроловым и др. (см. по этому поводу, например, [9]).

Покажем теперь, как при некоторых дополнительных ограничениях можно получить результат обратного по отношению к предложению 1 характера.

Положим

M o ( E 2 ,E i ) := {^ G H (C) : ( V n)( 3 m) | f(A) | = O(e "■ ^{(л) -}^^{2 (л)} ) в C ^} .

Нетрудно видеть, что Mo(E2,E _i ) С M(E2,E _i ). Одно из ограничений, которое мы будем использовать ниже, состоит в требовании справедливости равенства M ( E ₂ ,E i ) = M o ( E 2 , E i ). Отметим, что это равенство заведомо выполняется для так называемых густых пространств E 2 (см. предложение 3 из [3]) и что простые по форме условия густоты имеются в [3] и [4].

Предложение 2. Допустим, что верхняя огибающая ^2(A) := lim ^n 2(A) весовой n→∞ , последовательности Ф2 принимает всюду в C конечные значения, а Ф1 такова, что

( V n)( 3 m) lim (^ m,1 (A) — ^ n,i (A)) = + го .                        (1)

λ→∞

Положим

^V n,p ^:= {^{A G C :} ln | ^^(A)| 6 ^ n,1 ^{(A) —} ^ 2 ^(A)}, n ^G N.

Если M (E 2 , E i ) = M o ( E 2 , E i ), то из нормальной разрешимости оператора M p : E 2 ^ E i или, что то же самое, эпиморфности оператора T _p : H i ^ H следует, что при любом n ∈ N множество C \ V _n,µ слабо достаточно для E 2 .

• <1 Зафиксируем произвольное k G N и рассмотрим f G E 2 с оценкой | f (A) | = O(exp ^ k,2 (А)) вне V _n,p . Не ограничивая общности, можно считать, что k >  n. Так как ^ G M (E 2 , E i ) и по условию M (E2, E _i ) = M o ( E ₂ , E _i ), то при некотором l >  k всюду в C имеет место соотношение | ^(А) | = O( exp(^ i,i (A) — ^ k,2 (A))). Поэтому

| f(А)^(А) | = O(expy i,i (A)) вне V n,p .

Далее, из принадлежности f пространству E 2 и определения V _n,µ следует, что

| f (A)^(A) | = O(exp ^ n,i (A)) на V n,p .

Таким образом,

I f(АЫА) | = O(exp^ i,i (A)) всюду в C.                        (2)

Отметим, что номер l зависит лишь от k и µ.

Теперь воспользуемся тем, что оператор Mµ нормально разрешим, т. е. тем, что Mp(E2) — замкнутое подпространство в Ei. Поскольку Ei, в силу условия (1), — (DFS)-пространство (или в терминологии Себаштьяна-и-Сильва LN ∗-пространство; см. по поводу таких пространств и их свойств обзор В. В. Жаринова [10]), то тогда Mp(E2), наделенное индуцированной из Ei топологией, совпадает с ind(Mp(E2) QEn i) и так-n, же является (DFS)-пространством. Это обстоятельство позволяет применить теорему А. Гротендика об открытом отображении (см. Приложение 1 Д. А. Райкова в книге [11], теорема 2), в соответствии с которой Mp — топологический изоморфизм E2 на Mp(E2)

(инъективность оператора Mµ очевидна). Отсюда с помощью факторизационной теоремы А. Гротендика (см. [12, теорема 6.5.1]) получаем, что имеются такие m Е N и C > 0, что для всех g Е E2

_SUD g ^A< с-sun IgBMM sup           , . ⁶ C sup , .

лес exp ^ m,2 (A)       лес exp ^ i,i (A)

Применив это неравенство к f вместо g и использовав (2), заключаем отсюда, что | f (A) | = O(exp ^ _m, 2 (A)) в C. При этом номер m зависит в конечном итоге лишь от к и ^. Остается воспользоваться теоремой 2 из [13], чтобы завершить доказательство. B

Замечание. Две весовые последовательности неубывающих по n локально ограниченных в C функций Ф = (^ _n ) n=₁ и Ф = (^ _п ) П=₁ называются эквивалентными (Ф ~ Ф), если одновременно выполняются два условия:

( V k)( 3 l)( 3 C)( V A Е C) . . (A) 6 ^ i (A) + C

и

( V n)( 3 m)( 3 D)( V A Е C) ^ n (A) 6 ^ m (A) + D.

Очевидно, что если Ф ~ Ф, то пространства E (Ф) и Е(Ф) совпадают между собой как множества и топологические пространства. Нетрудно также видеть, что слабая достаточность множества и нормальная разрешимость оператора умножения инвариантны относительно замены весовых последовательностей на эквивалентные. Поэтому в предложениях 1 и 2 можно вместо Ф _j = (ln | e(A) | _n,j ) n=₁ брать любые эквивалентные им последовательности, что мы и будем делать в дальнейшем.

Покажем, как из предложений 1 и 2 можно получать критерии нормальной разрешимости операторов умножения и сюръективности операторов типа свертки. Мы рассмотрим в качестве примера пространства целых функций с заданной оценкой индикатора при порядке р >  0 и двойственные к ним пространства аналитических в (р, а)-выпуклых областях функций, где a(z) — функция вида z ^р (1 + aZ i + ... Zn') со специально подобранными коэффициентами a k (1 6 к 6 n). По поводу используемых ниже понятий и результатов, связанных с теорией целых функций и (р, а)-выпуклыми множествами, см. [14] и [15]. Отметим лишь, что частным случаем (р, а)-выпуклых множеств при a(z) = z ^р являются р-выпуклые (см. [16]), а, следовательно, и выпуклые (они получаются при р = 1 и a(z) = z) множества.

Пусть G — ограниченная (р, а)-выпуклая функция с (р, а)-опорной функцией д(— 0). Обозначим через H (G) пространство всех аналитических в G функций, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах из G. Эту топологию можно задать с помощью последовательности норм

|f|Dn :=max{|f(z)| : z Е Dn},     n Е N, где (Dn)n=i — произвольно зафиксированная последовательность областей, исчерпывающая G изнутри (т. е. G = U^=i Dn и Dn С Dn+i при n = 1,2,...). Как известно (см. [15, гл. 5, теорема 2.6]), обобщенное преобразование Лапласа F -—» Fz(Kp,a(A, z)) устанавливает топологический изоморфизм между сильным сопряженным к H (G) пространством и E^g), где ФG := (|A|p(g(arg A) — 1/k)^ • Здесь Kpa(A, z) — целая в C2 функция, которая при a(z) = zр есть не что иное, как функция Миттаг-Леффлера Ep,1/p(z) := Pfc=a zk/Г( k-p1 )• Отметим, что E(ФG) совпадает с пространством [р, g(0)) тех целых функций, которые имеют при порядке ρ конечные типы и индикаторы, строго меньшие g(9). Кроме того, мы будем еще пользоваться тем, что ФG эквивалентна последовательности (ln |Kp,a(A, z)|n)^=i (это нетрудно извлечь из контекста на С. 142-146 в [15]) и что E(Фс) — густое пространство (это следует из предложения 7 в [3]).

Предположим, что нам даны две ограниченные (р, а)-выпуклые области G i и G 2 с (р, а)-опорными функциями g1(—9) и g ₂ (—9), причем g1(9) = g ₂ (9) + h(9), где h(9) — 2п-периодическая р-тригонометрически выпуклая функция. Положим H j := H(G j ), e(A) := K _p,_a (A, z), E j := E(^ G j ) = [р, g j (9)), где j = 1, 2 и A G C, возьмем произвольную целую функцию ^, имеющую при порядке р конечный тип и индикатор, равный h(9), и применим к этим пространствам и µ предложения 1 и 2. Отметим, что в данном случае класс мультипликаторов M (E 2 ,E i ) совпадает с M o (E 2 ,E i ) и представляет собой пространство [р, h(9)] всех целых функций конечного типа при порядке р с индикаторами при этом порядке, не превосходящими h(9). Поэтому ^ G M (E 2 ,E i ).

Обозначим через ^(д з ) дополнение до R множества int { 9 G R : g 20 (9) + р ² д 2 (9) = 0 } , являющегося объединением всех интервалов ρ -тригонометричности функции g 2 , и допустим, что д имеет вполне регулярный рост на 5(g 2 ). Тогда из классической теории целых функций (см. [14, гл. III]) следует, что имеется такое множество V 0 кружков с нулевой линейной плотностью ( C ⁰ -множество), что имеет место условие:

( V n)( 3 R n > 0) ln | g(A) | >  | A | ^p (h(arg A) — 1/n)

для любых A G C \ V o с | A | >  R n и arg A G 6(g ₂ ). Отсюда следует, что V o является ^G 1 , Ф G ₂ )-исключительным множеством для д. Далее, с помощью принципов Фрагме-на — Линделефа и максимума модуля и определения C ⁰ -множества стандартным путем устанавливается, что C \ V 0 — слабо достаточное для E 2 множество. Последнее следует также из приведенных в [17] условий слабой достаточности множеств для пространств вида [р(г), g(9)), где р(г) ^ р — уточненный порядок. Остается воспользоваться предложением 1, чтобы прийти к выводу об эпиморфности оператора T p : H(G i ) ^ H(G 2 ).

Обратно, если T p (H (G i )) = H (G 2 ), то по предложению 2 множество

Vnp := {a G C : In |^(A)| 6 |A|P (h(arg A) — 1) } обладает тем свойством, что C\ Vn,µ слабо достаточно для E2 при любом натуральном n.

Если предположить, что ^(A) не имеет полной регулярности роста лучей множества 5(g2), скажем, 9o, то в соответствии с [18] имеются и последовательность rm f го такие, что ln |g(A)| 6 |A|P(h(arg A) — на каком-либо из no G N, ao G (0,1)

при всех λ ∈ n 0

K m := {Z : | Z — r m e ⁱ⁸ 0 1 6 a o r m} , m = 1, 2,... Так как U := U m=1 K m содержится в V^ p , то C \ V n ₀ ,µ вложено в C \ U . Поэтому C \ U также должно быть слабо достаточным для E 2 . А последнее невозможно, так как слабо достаточные для E 2 = [р, g 2 (9)) множества S обладают тем свойством (см. [17], а также [19]), что для любых 9 o G S(g2) и е >  0

inf { A G S : | A | >  kr, | arg A — 9 o | 6 e} lim lim ---—---——----:-------—---— = 1.

k k-o r -^ sup { A G S : | A | 6 r, | arg A — 9 o | 6 e}

Итак, мы пришли к следующему результату, обобщающему известный критерий В. А. Ткаченко эпиморфности операторов типа свертки в ρ-выпуклых областях [20] и одновременно являющемуся усилением результатов Л. С. Маергойза из § 3 главы 5 в [15], в которых были установлены достаточные условия эпиморфности таких операторов в (р, а)-выпуклых областях (в [15] требовалось, чтобы д имела вполне регулярный рост на всех лучах, исходящих из начала координат).

Предложение 3. Пусть Gi и G2 — ( р, а)-выпуклые области с (р, а)-опорными функциями g i ( - 6) и g2(-6), причем g i (6) = g 2 (6) + h(6), где h(6) — р-тригонометрически выпуклая функция, и пусть µ — произвольная целая функция, имеющая при порядке р конечный тип и индикатор, равный h(6). Для того чтобы оператор свертки T p : H (G i ) ^ H (G 2 ) был эпиморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы д имела вполне регулярный рост на множестве 6(92).

В заключение отметим, что предложения 1 и 2 можно использовать и для других пространств (например, для пространств ультрадифференцируемых функций). Однако это требует значительных дополнительных исследований, выходящих по объему за рамки настоящей работы.