Об одном способе обращения линейных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи

В приложениях (например, в теории динамических измерений [1]) возникают проблемы, приводящие к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с неклассическими краевыми условиями - многоточечные краевые задачи, задачи с распределенными данными и т.п.

Все подобные задачи могут быть сформулированы как задачи решения линейного дифференциального уравнения с линейными граничными условиями, задаваемыми системой функционалов:

L[x ] = x ⁽ n ) ( t ) + p n _ 1 ( t ) x ⁽ n ¹ ( t ) + ... + p 1 ( t ) x '( t ) + p ₀ ( t ) x ( t ) = f ( t ), U _j ( x ) = a i , j = 1,2,..., n .    (1)

Здесь p i ( t ), f ( t ) - непрерывные на [ a , b ] функции, a _; - числа, U j ( x ) - линейные, линейнонезависимые функционалы.

Задачу нахождения правой части f ( t ) по экспериментально измеренной функции x ( t ) = x ( t ) будем называть обратной задачей.

На первый взгляд, логичным представляется решение поставленной задачи подстановкой измеренной функции x ( t ) в левую часть уравнения (1). Однако хорошо известно (например, [2]), что наличие погрешностей измерения (даже малых) приводит к значительным ошибкам восстановления f ( t )².

В настоящей работе предлагается способ решения обратной задачи обращением дифференциального оператора задачи (1) с помощью функции Грина.

Основные теоремы

Линейная краевая задача (1) может быть редуцирована к задаче с однородными граничными условиями

' L[ x ] = f ( t ), U j ( x ) = 0, j = 1,2,

..., n .

Если f ( t ) = 0, то задача (2) называется однородной.

Теорема 1. Линейная краевая задача (1) с линейно независимыми краевыми условиями U j ( x ) = a j ( j = 1,2,..., n ) может быть сведена к краевой задаче (2) с однородными граничными условиями U j ( x ) = 0 .

Лемма 1. ( Об общем виде линейного функционала в Cⁿ [ a , b ]). Пусть U ( x ) - линейный в

Cn [ a, b ] функционал, тогда для любого набора точек {ti} n=1 существует вектор c = (ci)|i=1 2 n е Rn и функция ограниченной вариации а(t) такие, что nb

U ( x ) = ^ c i x ( t i ) + J x ⁽ n ) ( t ) d ^CT ( t )•

i = 1              a

Доказательство, напёимеё, в [3].

Лемма 2. Для любых линейных линейно независимых функционалов Uj(x) (j = 1,2,...,n) и любого набоёа чисел aj (j = 1,2,...,n) существует многочлен x(t), удовлетвоёяющий условиям

U j ( x ) = a j ( j = 1,2,..., n ).

В дальнейшем нам потёебуется следующая лемма из теоёии двойственности [4].

Лемма 3. Пусть F , О) - двойственность и y i ( i = 1,2,..., n ) - линейно независимое подмно-жество О. Тогда существует n линейно независимых элементов x i е F, таких, что k^xi , У?) = 5_у ⁽ i , j = 1,2,~, n ) .

Доказательство леммы 2. Пусть P - пёостёанство многочленов x(t), t е[a, b]. Рассмотёим отобёажение A: P ^ Rn, ставящее в соответствие многочлену x вектоё U1(x), U2(x),..., Un(x). A - линейный непёеёывный опеёатоё в силу линейности функционалов Uj. Ядёо опеёатоёа A пёедставляется в виде пеёесечения ядеё функционалов Uj :

Ker A = >>  Ker U j .

j = 1

Рассмотёим двойственность ^ F , О , где F - пёостёанство n ёаз непёеёывно диффеёенци-ёуемых функций, а О - множество линейных функционалов над ним:

F = C n [ a , b ], О = C n [ a , b ]*, ( F , О) - двойственность.

Функционалы U j ( j = 1,2,..., n ) обёазуют линейно независимое подмножество пёостёанства О . Следовательно, выполнены условия леммы 3, т.е. существуют n линейно независимых элементов x i е F таких, что U j ( x i ) = 5 j ( i , j = 1,2,..., n ) .

n

Любой элемент x е Cn [a, b] пёедставляется в виде суммы x = ^ Uj (x)xj + y, где y е Ker A, j=1

n так как, пёименяя поочеёедно функционалы Ui к ёавенству y = x - ^ Uj (x)xj-, получаем j=1

n

Ui (y) = Ut (x) -£ Uj (x)Ui (xj) = Ui (x) - Ui (x) = 0, j=1

n т.е.   y е Ker Ui (i = 1,2,..., n),   откуда   y е > Ker Uj- = Ker A. Таким обёазом, получаем, j=1

codim(Ker A ) = n .

Следовательно, обёаз опеёатоёа Im A , изомоёфный P K_er a , имеет ёазмеёность n . Так как Im A c Rⁿ , то Im A = R n .

Таким обёазом, существует многочлен : x ( t ) такой, что U j (. x ) = a j ( j = 1,2,..., n ). •

Доказательство теоремы 1. Пусть функция x ( t ) является ёешением задачи (1), т. е.

L [ x ] = f ( t ) и U j ( x ) = a j , j = 1,2,..., n. В силу леммы 3 существует многочлен :r( t ), удовлетвоёяющий граничным условиям этой системы, т. е. такой, что U j (. x ) = a j , j = 1,2,..., n .

Рассмотёим функцию y(t) = x(t) - ,x(t). В силу линейности интегёала функция y удовлетво-ёяет нулевым гёаничным условиям и является ёешением линейного диффеёенциального уёавне-ния L[y] = f(t), где f (t) = L[ x - X] = L [ x ] - L [ X] = f (t) - L [ X].

Таким образом, рассматриваемая функция y ( t ) является решением задачи (2) с правой частью f ( t ) = f ( t ) - L[x ]. •

Известно [5], что если однородная задача имеет только тривиальное решение, то задачи (1) и (2) однозначно разрешимы для любых правых частей f (t) и граничных данных aj, при этом справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то существует единственная функция Грина этой задачи и для любой функции f ( t ) , непрерывной на [ a , b ] , существует единственное решение задачи (2), и это решение задается формулой

b x (t) = j G (t, T) f (t) dT,

a где G(t, t) - функция Грина задачи (2).

Доказательство, например, в [5].

Соотношение (6) и является искомым обращением оператора (2), позволяющим по измеренному экспериментально решению найти правую часть уравнения (2).

Равенство (6) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I-го рода относительно функции f ( t ), устойчивые методы численного решения которого хорошо разработаны [2].

Для нахождения функции Грина основной задачи (2) воспользуемся аналогом теоремы [6], устанавливающей связь между функцией Грина основной задачи (2) и функцией Грина вспомогательной задачи:

' x ⁽ n ) = f ( t ), U j ( x ) = 0, j = 1,2,..., n .

Теорема 3. Пусть задача (2) однозначно разрешима для любой функции ~ ( t ) , тогда функция Грина этой задачи является единственным решением уравнения b

G ( t , s ) - G ( t , s ) = j G ( t , t ) V ( T , s ) d T ,                                    (8)

a где G(t, t) - функция Грина вспомогательной задачи (7) и nT  ,xG ^Т s)

V (Г, s) = -^ Pk (t) —--.

k = 0           d T k

Лемма 4. Функция Г ( t , s ) = G ( t , s ) - G ( t , s ) на прямоугольнике K = {( t , s ): a <  t , s <  b } непрерывна по t и по s и имеет непрерывные производные по t до n -го порядка включительно.

Доказательство. Функции G ( t , s ) и G ( t , s ) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по t до ( n - 2)-го порядка включительно. Производные ( n - 1)-го порядка непрерывны для t е [ a , s ) и ( s , b ], а при t = s они имеют разрыв:

д ^{n - 1}G ( t , s )         d n ^{- 1} G ( t , s )

= 1.

- д tn-1       +       д tn-1

t = s ⁺

Следовательно, ( n - 1)-я производная функции Г ( t , s ) непрерывна и при t = s .

Далее заметим, что для V t е [ a , s ) и ( s , b ]:

L [ Г ] = L [ G ] - L [( G ] = L [ G ] - LL [( G ] - n - 1 p_k ( t ) ^д G k ^s ) . k = 0           ^д t

Так как L[G] = L[G] = 0, получаем n-1

д ^k(G ( t , s ) д t^k '

ЦГ] = - ^ P k ( t )

k = 0

Следовательно, д n Г( t, s) ∂tn

n - 1

- Z P k ( t )

k = 0

д ^k Г ( t , s ) ∂ t ^k

-

n - 1

Z P k ( t )

k = 0

д ^k G ( t , s ) д t^k '

_ „       _ .„ дn Г(t, s)             „

Последнее равенство верно для всех t , следовательно, ------- непрерывна для любого

∂tn t e [a, b]. Таким образом, лемма доказана. •

Доказательство теоремы 3. Из леммы 4 следует, что при фиксированном s функция Г ( t , s ) является решением следующей задачи:

L [ Г ( t , s )] = - £ P k ( t ) ^ Gt ^, 1                 k = o           ^д t

U j ( Г ( t , s )) = 0, j = 1,2,..., n . Следовательно, по определению функции Грина, функция Г ( t , s ) может быть представлена следующим образом:

b

Г ( t , s ) = j G ( t , T )v ( t , s ) d T .

a

Таким образом, функция Грина основной задачи (2) действительно является решением уравнения (8).

Пусть Q(t, s) - другое решение уравнения (8), тогда функция Грина задачи (2) может быть представлена в виде G(t, s) = Q(t, s) + r(t, s), где r(t, s) удовлетворяет уравнению (из (7)):

b j r(t, T)v(t, s) dT = r(t, s). a

Пусть f ( t ) - произвольная функция, непрерывная на [ a , b ], тогда

b

b

b

b

bb

j G ( t , s ) f ( s ) ds = j Q ( t , s ) f ( s ) ds + j r ( t , s ) f ( s ) ds = j Q ( t , s ) f ( s ) ds + j r ( t , s ) j v ( s , t ) f ( t ) d T ds .

a

a

a

a

aa

Последний интеграл может быть представлен в форме

J r ( t , s ) b v ( s , t ) f ( T ) d T ds = - j r ( t , s ) Z P k ( t ) j 5 -

aa

a ^k = ⁰ a

G ( s , T )

—-_k—f (T ) dTds . ∂ s ^k

Пусть X c (t ) - решение вспомогательной задачи (6) с некоторой правой частью f ( t ), тогда kG    b ^д k^{G ( s} , ^T )

x ( ) ( s ) = I— — f ( T ) d T .

∂ s

a

Решение основной задачи (2) может быть записано в виде

b

b        n - 1

x ( t ) = j Q ( t , s ) f ( s ) ds - j r ( t , s ) Z P k ( t ) x ⁽ k ) ( s ) ds .

a

a       k = 0

Заметим, что n-1

L [ x( s )] = f ( s ) + Z P k ( t ) x k ) ( s ).

k = 0

Учитывая представление r(t, s) через G(t, s) и Q(t, s) и предыдущее выражение x(t), получаем: b jr(t,s)L[Xc(s)]ds = 0 для Vf (t)e C[a,b]. a

Из произвольности функции f ( t ) и единственности решения задачи (2) следует, что r ( t , s ) = 0. Таким образом, G ( t , s ) = Q ( t , s ), т.е. G ( t , s ) является единственным решением уравнения (8). Теорема доказана. •

Функция Грина

В случае, когда фундаментальная система решений исходного дифференциального уравнения известна, функция Грина задачи (2) может быть найдена методом, описанным в [5]. Определенную сложность представляет построение функции Грина в ситуации, когда фундаментальная система решений неизвестна.

В этом случае мы используем уравнение (8), где функция G ( t , т ) - функция Грина вспомогательной задачи (7). Фундаментальная система решений дифференциального уравнения вспомогательной задачи известна, поэтому функция Грина вспомогательной задачи G ( t , т ) может быть легко найдена.

В результате получаем функцию Грина на отрезке [ a , b ], заданную различными формулами в каждой из (2 n ) областей, приведенных на рисунке.

Функция Грина вспомогательной задачи дается соотношением:

G ( t , т ) = ^

n

• У . a ik ^{( т )} x ⁽ t )* при

i = 1

n

• У b ik^{( т} ) x ⁽ t )* при

. i = 1

tk ^ t < т ^ tk+1,

tk ^ т < t ^ tk+1,

Aik^n._VW№ где ^ai^{k ( т} ) - А ( т ) ⁺ W( т ) следующим образом:

и

А ( т )

bk (т) =  —, ik        А(т)

функции

Д ( т ), A _ik ( т ), W( т ), Wj определяются

А(т) =

U 1 ( X 1 )

^U 2^{( x} 1 )

U 1 ( x 2 )   ...    U 1 ( X n )

^U 2^{( X} 2 )  ...   ^U 2^{( X} _n )

.

...

U n ( X 1 )

...          ...          ...

U n ( X 2 )  ...   U n ( X n )

^А ik ^{( т} ) =

U 1 ( x^   ...    U 1 ( X j - 1 )

^U 2⁽ x i )  ...   U 2^{( х}, - 1 )

n

У C s U 1 a ( X s )

s = 1

n

У C s U 2 a ( X s )

s = 1

U 1 ( x , _{+ 1})   ...    U 1 ( х „ )

U 2 ( X , + 1 )  ...   U 2 ( х_п )

,

...         ...           ...

...

...           ...          ...

U n ( X 1 )  ...   U n ( X i - 1 )

n

У c s U na ^{( X}s ) s = 1

U n ( x , + 1 )  ...   U n ( X n )

W( т ) - определитель Вронского фундаментальной системы решений дифференциального уравнения задачи (7):

	X 1	X 2      .	.      Xn
W ( т ) =	X ‘ ...	X 2      . ...         .	.      Xn ..        ...
	v ( n - 1) X 1	( n - 1) X 2         .	( n - 1) ..    Xn

W i ( т ) - алгебраическое дополнение в матрице W( т ) к элементу n -й строки i -го столбца:

	x 1      .	.      x i - 1	x i + 1      .	..      xn
Wi ( Т ) = ( - 1) n	x ‘      . ...          .	.      x i - 1 ..         ...	x i + 1     . ...          .	.      x n ..         ...
	у ( n - 2) x 1         .	( n - 2) ..    xi - 1	( n - 2) xi + 1       .	( n - 2) ..    xn