Об одном уравнении соболевского типа на графе

В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. За последние годы тематика теории графов стала еще более разнообразной. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. Здесь можно отметить работы S. Kosugu, С. Cattaneo, G. Medolla, A.G. Setti, F. Barra. Независимо от этих авторов и впервые в России краевыми и начальнокраевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный [1] со своими учениками. Ими изучены качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, функция Грина, дифференциальные неравенства, разработана теория эллиптических уравнений на ветвящихся многообразиях.

Г.А. Свиридюк [2] рассмотрел начально-краевую задачу для полулинейного уравнения Соболевского типа первого порядка на графе, эти результаты были развиты в работе [3].

Данная работа посвящена изучению уравнения Буссинеска - Лява [4]

(А - Д)«_й = «( △ - А')^ + £( △ - А")и,                   (0.1)

описывающего продольные колебания упругого стержня, где параметры A, A', A" G R, а > 0, /3 > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу задачи. Пусть G = G(V;£) - конечный связный ориентированный граф, где V = {К} - множество вершин, а £ = {Ej} - множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину 13 > 0 и толщину d3 > 0. На графе G рассмотрим уравнения

Xujtt - u_3XXtt = cn(u_Jxxt — X'ujt) + P{u_JXX — X"u₃) для всех ж G (0, l₃), i G R. (0.2)

Для уравнений (0.2) в каждой вершине Vi зададим краевые условия

^ dj^uj_X(fi>t) ^ d_ku_kx(l_k,t) ⁼ 0;                  (0-3)

EjeE^Vi)            EkeE“(Vi)

u_s(0,t) = Uj(O,t) = u_k(l_k,i) = u_m(l_m,t), для всех E_s,Ej G E^a(Vi), E_k,E_m G Е^ш(^), (0.4) которые являются аналогами законов Кирхгоффа. Здесь через E^^Vt) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V{. Условие (0.3) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.4) - что решение в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф G состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.4) исчезает, а условие (0.3) превращается в однородное условие Неймана.

Поток пропорционален ширине дуги и градиенту решения. Однако не это является главной причиной введения в рассмотрение ширины дуги. Оказывается, конечномерное уравнение (0.1), заданное в трубчатой области, можно свести к одномерному (0.2), где ж - натуральный параметр дуги Ej. Поэтому задачу (0.2) - (0.4) можно рассматривать как задачу Неймана для уравнения (0.1), заданного на области, являющейся объединением конечного множества трубчатых областей с диаметром d₃. Если дополнить (0.3), (0.4) начальным условием

Uj(x,0) = UQj(x), Ujt(x,0) = uij(x), для всех ж G (0, Z₇),              (0.5)

то мы получим задачу Коши - Неймана для уравнения (0.1). Отметим, что данная задача ранее не рассматривалась даже в случае, когда граф G состоит из единственной дуги.

1.    Редукция к абстрактной задаче

Проведем редукцию задачи (0.3) - (0.5) для уравнений (0.2) к задаче Коши

и(0) = ио, «'(О) = «1                                (1.1)

для линейного уравнения Соболевского типа второго порядка

Au" = B_1U'+ В_ои.                             (1.2)

Через L^^G) обозначим множество

^(G) = {д = (д₁,д₂,...,д₃,...) : д₃ G I₂(0J₃)}.

Множество L^tG) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(а, ^ = 22

Через U обозначим множество U = {и = (ui,U2,—,Uj,...) : и₃ G 1^(0,^) и выполнено условие (0.4)}. Множество U является банаховым пространством с нормой

Ihllw ⁼ ^^di ! (^_Ж(ж) +м2(ж))йж.

е^£ о

В силу теорем вложения Соболева пространство ^(О,^) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит 14 корректно определено, плотно и компактно вложено в 1^(0). Отождествим L^G) со своим сопряженным, и через Т обозначим сопряженное относительно двойственности (■,•) пространство к И. Очевидно, Т - банахово пространство, причем вложение 14 в F компактно.

Формулой где a > 0,u,v El4, зададим оператор, определенный на пространстве U. Поскольку

|(Pu,»)| < Ci||u||w||v||w в силу неравенства Коши - Буняковского и c2\\u\\l<\{Du,v)\

при всех u,v Е 14 и некоторых Сь > 0, к = 1,2,3, то линейный оператор D : 14 -^ Д непрерывен и инъективен. Кроме того, из первой оценки (1.3) вытекает сюръективность сопряженного оператора D* : F* -> W*. В силу рефлексивности пространства U и самосопряженности оператора D получаем, что оператор D Е £{14; Т) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора D^¹ Е £(F;U). Поскольку вложение 14 в Т компактно, то оператор D^¹ Е £(^) является компактным. Значит, спектр оператора D вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Теперь фиксируем а, 0 > 0 и А, А', А" € R и построим операторы

A=(X-a)I + D, Bi = а((а - A')I + D), В_о = /3((а - X")I + D).

Из сказанного следует

Теорема 1. Операторы А,В^,Во Е £(14; F), причем спектр о(А) оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +сю.

Итак, редукция задачи (0.2) - (0.5) к задаче (1.1) - (1.2) закончена.

2.    Морфология фазового пространства

Из теоремы 1 вытекает, что оператор А - фредгольмов. Обозначим через ^ пучок операторов (Bq, В]}.

Лемма 1. Пусть параметры a, A, A', A" G I \ {0}, исключая случай, когда 0 Е а(А) и X = X' = X". Тогда пучок операторов В полиномиально A-ограничен, причем оо является устранимой особой точкой А-резолъвенты пучка ^ [5].

Доказательство, (i) Пусть 0 0 <т(А), тогда существует оператор A^-1 G £(Д;14), причем операторы А~¹В^,А~¹Во Е £(14) по построению. Утверждение леммы очевидно.

Пусть 0 € (т(А). Тогда любой вектор 99 G kerA \ {0} имеет вид l                                            I

Т = ^аМк, ак 6 R,^|a)i| > 0,

• *=1                fc=i

где kerA = spanf^o» -ч й}>I = dimkerA. Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2 [6], достаточно показать отсутствие В-присоединенных векторов у любого вектора р G кег А \ {0}.

• (ii)    Пусть А ^ А'. Тогда

l1

Bxip = -Bi(^2 ^к) = а(А - А') 52 акРк £ imA- fc=i

Значит, ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов.

• (iii)    Если 0 G а(А) и А = А', но А / А", то

l1

В_ор = -В_О(52 ^ак^к) = ^(А - А") 52 ^акРк £ шь4-

Ыfc=l

Следовательно, и в этом случае ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов высоты 1.□

Замечание 1. Как нетрудно видеть, в случае 0 € сг(А) и А = А' = А" пучок операторов ^ не будет полиномиально А-ограничен.

Замечание 2. В случаях (i) и (iii) имеет место выполнение условия

• У(/?А - цВ1 - Borxdp = 0,(А)

где 7 = {|р| = г > а}, а - константа из определения полиномиальной А-ограниченности. Это условие является необходимым и достаточным при построении фазового пространства. В случае (ii)

^А - рВ_г - ВоГ^р / 0, 7

поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.

Определение 1. Множество В называется фазовым пространством уравнения (1.2), если

• (г) любое решение и = u(t) уравнения (1.2) лежит в В, т.е. u(t) G В при всех< G R.

(И) для любых uq,ui G В существует единственное решение задачи (1.1), (1-2).

Пусть {А*,} - собственные значения оператора -D, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {рк} - соответствующие им ортонормированные в смысле Lz(G) функции. Построим проекторы [5]

• I,    О0п(А);

^Р~]¹~ 52 {-^Рк, 0 € сг(А);

.      Aj,=A—а

• I,    О^а(А);

Q-s I- $2 (-,Рк)рк, о сг(А), к     Х^—Х—d определенные на пространствах И и В соответственно, и семейство М, ^функций уравнения (1.2)

M(t) = Л /(М²Л - »В! - ВоГЧ^Л - B^dp =

Ук(^ ~ (^a + A^)) + «(A⁷ — (a + A^))

(A - (a + At))(^ -^)

-^fc* -l. ^(^A - (^a + ^k)) + «(A' - (a + Ajj)) 2₍ (A-(a + A,))(_M²-_MD J

N(t) =    [(p?A — уВ^ — BoY^Aeptdy = здесь crA(B) = {y^2 : fc 6N}, а ^’2 - корни уравнения

(A — (a + Afc))^2 + «(A' — (a + Хк))у + ^(A/z — (a + A^)) = 0, а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что А = а + А^. Отсюда справедлива

Теорема 2. Пусть о, А, А', А" 6Й \ {0} и (г) 0 $ &(А). Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является все пространство U, т. е. для любых uq,u\ € U существует единственное решение и Е C²(R;W) задачи (1.1), (1-2), которое имеет вид u(t) = M(t)uo + N(t)_U1.

• (ii ) 0 E a(A) и X = X', но X ^ А". Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является подпространство U¹ = {и Е И : {щерь) = 0, при А& = А — а}, т.е. для любых uq,ui € U¹ существует единственное решение и Е ^(RjW¹) задачи (1.1), (1-2), которое имеет вид u(t) = M(t)uo +N(t)u\.