Об однозначности идентификации параметров упругого закрепления и сосредоточенного инерционного элемента

Вопросы вычисления собственных частот распределеных механических систем (в частности, упруго закрепленных стержней и пластин) достаточно хорошо изучены [1–5]. Обратные задачи для таких систем стали решаться сравнительно недавно [6–20]. Так, в работах [6–8] обсуждались задачи идентификации пружинно-массовых систем с конечным числом степеней свободы по собственным частотам их колебаний. В обратных спектральных задачах [6, 9, 10] требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. В качестве данных для восстановления краевых условий используется не один спектр или его часть (как в предлагаемой вниманию статье), а несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, функция Вейля или так называемые весовые числа). К тому же основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях.

В настоящей статье расматриваются изгибные колебания распределенной механической системы. Цель работы состоит в восстановлении краевых условий спектральной задачи с известными по части спектра коэффициентами в уравнении.

Распределенные механические системы (стержни и балки) служат объектами исследования в [16–20], где диагностируются трещины и полости в них по собственным частотам продольных и изгибных колебаний. Но в этих работах определяются не краевые условия, а условия сопряжения.

В [11, 15] и других публикациях (см. [6] и библиографию к ней) решаются задачи идентификации сосредоточенных масс на стержне и балке по собственным частотам продольных и изгибных колебаний. В [12–14] приводятся задачи идентификации видов и параметров закреплений стержней балок. В монографии [12] обобщаются результаты идентификации краевых условий в случае, когда отыскиваются все их коэффиценты. Подобные задачи впервые начали изучаться одним из авторов данной статьи и сводятся к идентификации (с точностью до линейных преобразованиий строк) матрицы из коэффициентов краевых условий по ее минорам. Из упомянутых выше публикаций работы [13–15] наиболее близки к обсуждаемой статье, так как в ней также полагается, что коэффициенты при старших производных y ′′′ (1), y ′′ (1) уже известны. В работах [13, 14] по собственным частотам восстанавливаются

вид и параметры закрепления концов стержня и трубопровода. В [15] по собственным частотам идентифицируются параметры твердого тела (масса, момент инерции, статический момент инерции), прикрепленного к одному из концов балки Тимошенко. Но, в отличие от этих работ, в данной статье идентифицируются как параметры упругого закрепления конца стержня (два относительных коэффициента жесткости пружинок), так и параметры сосредоточенного инерционного элемента (масса и момент инерции), прикрепленного к концу стержня. Ранее подобная задача не рассматривалась. Предложен метод введения дополнительных неизвестных величин, на основе которого доказывается теорема об однозначности восстановления параметров закрепления конца стержня и сосредоточенного инерционного элемента. При доказательстве используется теория некорректных задач [21-27].

Исследуемая проблема часто возникает в технических устройствах, поскольку деталями многих механизмов являются упруго закрепленные стержни с сосредоточенной массой на конце. Такими системами можно считать, в частности, краны и автомобили [8], автоматические записывающие устройства с трубками, из которых вытекает краска, детали некоторых механизмов виброзащиты [14]. Как правило, пружинки (рессоры), служащие составной частью систем, имеют определенную жесткость, влияющую на нагруженность конца. Со временем системы теряют свои массу и жесткость ввиду износа или, наоборот, наращивают их в результате захватывания инородных предметов. Если конец стержня недоступен для визуального осмотра, а разборка механизма представляет собой дорогостоящую процедуру, то для сохранения надежной работы механизма возникает потребность в его ранней и неразрушающей диагностике (например, акустической), то есть возникает задача определения параметров упругого закрепления и нагруженности конца стержня по характеристикам звуковых колебаний, вызванных ударом по стержню. Поэтому становится важной проблема идентификации параметров упругого закрепления и нагруженности конца однородного стержня по собственным частотам его колебаний.

2.    Постановка обратной задачи

Рассмотрим однородную балку Эйлера-Бернулли длиной L , плотностью р и площадью поперечного сечения F , левый конец которой заделан; на правом конце сосредоточен груз, обладающий массой m и моментом инерции I . Груз упруго закреплен на пружинках с жесткостями c и c ₂, препятствующими вертикальному смещению балки ( с , ) и повороту ( c ₂). Требуется найти массу m , момент инерции I , коэффициенты жесткостей пружинок с , и c ₂ по собственным частотам колебаний балки. Отклонения точек оси балки от начального состояния (при t = 0) при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных — осевой координаты X и времени t : U = U ( X , t ) .

Как известно [3], уравнение свободных изгибных колебаний однородного стержня с постоянной жесткостью на изгиб имеет вид

EI ⁵⁴ U ⁽ X , t ) +р F ⁹² U ⁽ X , t ) =0, д x ⁴ д t²

где U = U (X, t) — прогиб оси стержня, EI — изгибная жесткость, р — плотность материала, F — площадь поперечного сечения стержня.

При t = 0 должны выполняться начальные условия dU

U (X ,0) = f (X),    д (X ,0) = g (X), д t где f (X), g(X) — функции, определяющие начальное положение оси стержня.

Если левый конец заделан, а на правом конце имеется упруго закрепленный сосредоточенный инерционный элемент, то краевые условия записываются в следующем виде:

U = 0,

д1иг        д1 U

EI —г + c U = - m —7-, д X ^{3    1} д t ²

• ^U- = 0 (при X = 0 ), д X

...ди ди . Uu   . Y

EI--7 + c---= -1----7 (при X = L ), дx 2   2 дx     дX д t2

Вводя обозначения x = X)L , и = U/L , запишем уравнение свободных изгибных колебаний однородного стержня и краевые условия следующим образом:

д4и(x, t) рFL4 д2и (x, t) Л Л ди ..

. 4   ■    ,--,     = 0, и = 0,   — = 0 (при x = 0), дx      EI д tд д3 и      з          Зд2 и         д2 и.    Т8 иТт     Т Т д3 и,

EI —_г + c.L и = - mL— ,   EI—77 + cL—U = - IL---т- (при x = 1).

д x ^{3    1}               д t ²           д x ^{2    2} д x         ¹ д x д t ²

Тогда, при замене и ( x , t ) = у ( x )cos( to t ), поставленная выше задача сводится (см., например, [2]) к следующей спектральной задаче [3]:

у ⁽⁴⁾ = X ⁴ у ,     U i = у (0) = 0,      U 2 = у '(0) = 0;                             (1)

U з ( у ) = у "(1) + ( a i - a 2 Х ⁴ ) у (1) = 0,      U ₄( у ) = у "(1) + ( a 3 - a 4 X ⁴ ) у ‘ (1) = 0.                 (2)

Здесь a 1 = ( c 1 L ³)/( EI ), a ₂ = ( mL ³)/( EI ), a ₃ = ( c ₂ L )/( EI ), a ₄ = ( 1 1 L )/( EI ), X ⁴ = р FL ⁴ ю ²/ ( EI ).

Таким образом, имеем краевую задачу (1), (2) со спектральным параметром X и неизвестными коэффициентами a i ( i = 1,2,3,4). Требуется по ее собственным значениям X k найти неизвестные коэффициенты a i ( i = 1,2,3,4), то есть поставленную задачу определения массы, момента инерции груза, сосредоточенного на одном из концов стержня, и коэффициентов жесткости удерживающей его связи, свели к обратной. Покажем, что эту обратную задачу можно переформулировать в терминах характеристического определителя.

Функции у 1 ( x , X ) = (cos X x + ch X x )/2, у ₂( x , X ) = (sin X x + sh X x )/ ( 2 X ) , у ₃( x , X ) = ( - cos X x + ch X x )/ ( 2 X ² ) , у ₄( x , X ) = ( - sin X x + sh X x )/ ( 2 X ³ ) являются линейно независимыми решениями уравнения

у ⁽⁴⁾ ( x , X ) = X ⁴ у ( x , X ),

удовлетворяющими условиям у (r "(0,X) = (0,при j * r (j,r = 1,2,3,4)                                 (4)

j ,      |1, при j = r ’      ’ ’ ’

(другими словами, решения у] (x, X) (j = 1,2,3,4) образуют фундаментальную систему Коши и выражаются через функции Крылова [3]).

Общее решение уравнения (3) представляется в следующем виде:

у ( x ) = у ( x , X ) = C 1 у , ( x , X ) + C 2 у 2 ( x , X ) + C 3 у 3 ( x , X ) + C 4 у 4 ( x , X ).

Для нахождения констант C 1 , C ₂, C ₃, C ₄ используем краевые условия (1), (2):

U ( у ) = U ( C 1 у 1 + C 2 у 2 + C 3 у 3 + C 4 у 4 ) = C 1 U ( у 1 ) + C 2 U ( у 2 ) + C 3 U ( у 3 ) + C 4 U ( у 4 ) = 0 ( i = 1,4). (5)

Уравнение для определения собственных значений задачи (1), (2) следует из условия существования ненулевого решения системы (5). Ненулевое решение для C i существует тогда и только тогда, когда равняется нулю определитель системы:

U , ( у 1 ) U 1 ( у 2 ) U 1 ( у 3 ) U 1 ( у ₄) U 2 ( у 1 ) U 2 ( у 2 ) U 2 ( у 3 ) U 2 ( у 4 ) U 3 ( у 1 ) U 3 ( у 2 ) U 3 ( у 3 ) U 3 ( у 4 ) U 4 ( у 1 ) U 4 ( у 2 ) U 4 ( у 3 ) U 4 ( у 4 )

Выражение (6) называется характеристическим определителем спектральной задачи (1), (2). Его нули совпадают с собственными значениями этой задачи [28]. Учитывая условия (4), из (6) получаем

10  0  0

0     10     0   uU з ( у з ) и з ( у ₄)

U з ( У 1 )   U з ( у ₂)   U з ( у з )   U з ( у 4 )     U 4 ( у з )   U 4 ( у 4 )

U 4 ( у 1 )   U 4 ( у 2 )   U 4 ( у з )   U 4 ( у 4 )

Отсюда, с учетом (1), (2), имеем

A ( X ) =

у з” (1) + q у з (1) - а 2 X ⁴ у з (1) у з" (1) + а з у з ' (1) — а 4 X ⁴ у з ' (1)

у 7(1) + а 1 у 4 (1) — а 2 X ⁴ у 4 (1) у 4 "(1) + а з у /(1) — а 4 X ⁴ у 4 ‘ (1)

Следовательно,

А ( Х ) = - f , ( X ) + q f ( X ) + а 2 f , ( X ) + а з f , ( X ) + а 4 f , ( X ) + ( q а 4 + а 2 а з ) f , ( X ) + q а з f , ( X ) + а 2 а 4 f , ( X ), ⁽⁷⁾

где f ) ( X )= ( 1 + cos X ch X ) /2; f ( X ) = ( - cos X sh X + sin X ch X )/ ( 2 X ³ ) ; f , ( X ) = -X ⁴ f 1 ( X ); f , ( X ) = - ( sin X ch X + cos X sh X )/( 2 X ) ; f , ( X ) = -X ⁴ f , ( X ); f ₅( X )= ( cos X ch X- 1 )/ 2; f , ( X ) = - f _;( X )/ X ⁴ ; f , ( X ) = -X ⁴ f Д).

Таким образом, задачу идентификации краевых условий по собственным частотам в терминах функции (7) можно сформулировать следующим образом: требуется найти неизвестные коэффициенты u i ( i = 1,2, з,4) по известным корням X k характеристического определителя (7). Решение можно получить следующим способом.

Пусть X k являются собственными значениями краевой задачи (1), (2). Тогда X k — корни уравнения характеристического определителя (7) [28]. Подставляя значения X k в (7), получаем систему уравнений для отыскания неизвестных а , ( i = 1,2, з,4):

• ^а1 fl^(Xk ) ^{+ а} 2 ^f-^(Xk ) ^{+ а} з ^fl(^Xk ) ^{+ а} 4 ^f_t^(Xk ) ^{+ (а}1 ^а 4 ^{+ а} 2 ^а з) ^f5^(Xk ) ^{+ а}1 ^а з ^f,^(Xk ) ^{+ а} 2 ^а 4 ^f-^(Xk ) = ^f)(^Xk ). ⁽⁸⁾

3.    Метод нескольких систем нелинейных уравнений и его недостатки

Поскольку число собственных значений X _k бесконечно, то (8) можно решать с любыми из них, а значит, система (8) может содержать любое число уравнений. Заметим, что функция (7) является четной целой функцией первого порядка. Отсюда следует, что по всему бесконечному набору корней X _k характеристического определителя (7) неизвестные коэффициенты а ( i = 1,2, з,4) восстанавливаются однозначно (см. [15]).

Заметим, что для однозначного восстановления неизвестных G i ( i = 1,2, з,4) нет необходимости использовать весь бесконечный набор корней X _k . Для ответа на вопрос, сколько же нелинейных уравнений следует взять, воспользуемся опытом авторов работы [15]. Ими установлено, что требуется решить несколько систем нелинейных уравнений с числом уравнений, совпадающим с числом неизвестных, а затем найти пересечение этих решений.

Подставляя значения X _k ( k = 1,2, з,4) в (8), решаем систему четырех уравнений. Получается шесть решений. Добавляем к этой системе еще одно уравнение, используя в (8) еще и X ₅. Заменяем в предыдущей системе уравнений четвертое уравнение на пятое. Решаем вторую систему четырех нелинейных уравнений с четырьмя значениями X _k ( k = 1,2, з, 5). Опять получаем шесть решений. Не все решения второй системы совпадают с решениями первой. Значит, они не являются решениями всех пяти уравнений (8) со значениями X _k ( k = 1,2, з, 4,5). Их можно не рассматривать в качестве решений. Допустим, осталось два общих решения. Можно ли удалить еще одно? Для ответа на этот вопрос добавляем еще одно уравнение: подставляем в (8) X ₆ . Заменяем в предыдущей системе уравнений пятое уравнение на шестое. Решаем вторую систему четырех нелинейных уравнений с четырьмя значениями X _k ( k = 1,2, з, 6). Снова имеем шесть решений. Если среди этих шести решений нет одного из двух общих решений системы пяти уравнений (8) со значениями X _k ( k = 1,2, з, 4,5), то тем единственным решением, которое мы ищем, будет решение, пересекающее все шесть уравнений (8) со значениями X _k ( k = 1,2, з, 4,5,6).

Однако этот метод имеет явные недостатки. Так, он не дает ответа на вопросы: сколько собственных значений Xk требуется для однозначной идентификации четырех неизвестных ai (i = 1,2,3,4); достаточно ли шести собственных значений; если этого количества уравнений недостаточно, то сколько собственных значений следует взять для однозначной идентификации; если приближенные решения имеют близкие значения, то можно ли считать их общими (пересекающимися), или это различные решения.

Продемонстрируем эти недостатки на примере.

Пример 1 . Пусть X 1 =3,861483, X ₂ = 7,031643, X ₃ =10,18502, X ₄ =13,33266, X ₅ =16,47796, X ₆ =19,62205, X ₇ = 22,76544 — первые семь собственных значений задачи (1), (2). Подставляя первые четыре из них в уравнение (8), получаем систему четырех нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными, имеющую шесть наборов решений (эти решения найдены с помощью пакета аналитических вычислений Maple), среди которых два решения представляются следующим образом:

{ а 1 =0,00000, а ₂ =2,00000, а ₃ =0,00000, а ₄ =0,00000},

{ а 1 =13653, а 2 =36,044, а ₃ = - 0,47369, а ₄ =0,00000}.

Решение системы четырех нелинейных уравнений (8) с X 1 =3,861483, X ₂ = 7,031643, X ₃ =10,18502 и X ₅ = 16,47796, снова дает шесть наборов, среди которых два таковы:

{ а 1 =0,00000, а ₂ =2,00000, а ₃ =0,00000, а ₄ =0,00000}, { а 1 =13656, а ₂ =36,362, а ₃ = - 0,47400, а ₄ =0,00000}.

Другие наборы решений второй системы уравнений существенно отличаются от наборов решений первой системы.

Разрешая (8) с X 1 = 3,861483, X ₂ = 7,031643 , X ₃ = 10,18502 и X ₆ = 19,62205 , получаем шесть наборов, среди которых два имеют вид:

{ а 1 =0,00000, а ₂ =2,00000, а ₃ =0,00000, а ₄ =0,00000}, { а 1 =13657, а ₂ =36,395, а ₃ = - 0,47403, а ₄ =0,00000}.

При X 1 =3,861483, X ₂ = 7,031643, X ₃ =10,18502 и X ₇ =22,76544 из решения (8) следуют шесть наборов, и среди них два следующие:

{ а =0,00000, а ₂ =2,00000, а ₃ =0,00000, а ₄ =0,00000}, { а 1 =13656, а ₂ =36,383, а ₃ = - 0,47403, а ₄ =0,00000}.

Видно, что решение { а 1 = 0,00000, а ₂ = 2,00000, а ₃ = 0,00000, а ₄ = 0,00000} является общим для всех систем уравнений, а вторые решения выделенной пары совпадают с точностью до двух-четырех значащих цифр. Можно ли считать вторые решения общими? На этот вопрос трудно ответить без общих теорем. Поэтому ниже предлагается метод решения системы (8), из которого следует общая теорема, утверждающая, что для выделения единственного решения достаточно семи собственных значений. Эта теорема также дает ответ на вопрос об общности вторых решений. И ответ этот — отрицательный.

4.    Метод дополнительных неизвестных

Пусть X1, X2, .. , X7 — собственные значения задачи (1), (2). Вводим дополнительные неизвестные а 5 = а1 а 4 + а 2 а 3, а 6 = а1 а 3, а 7 = а 2 а 4                                       (9)

и подставляем их вместе с собственными значениями X _к ( к = 1,2,...,7). в уравнение (8). В результате получаем систему семи линейных уравнений с семью неизвестными n i ( i = 1,2,...,7):

а 1 f₃ ( X к ) + а 2 f 2 ( X к ) + а 3 f , ( X к ) + а 4 f , ( X к ) + а 5 f _; ( X к ) + а 6 f _;( X к ) + а 7 f , ( X к ) = f , ( X к ) ( к = 1,2,...,7).     (10)

Из правила Крамера следует, что если определитель системы уравнений (10)

f (X1) fА) . •   f,(X1) D= f (X2) fД2)  . • f,(X2) (11) fl (X7 ) fД7)  . f,(X7) отличен от нуля, то коэффициенты ai (i = 1,2,...,7) однозначно вычисляются по формулам a1 = D1 /D, a 2 = D 2 /D, a 3 = D3 /D, a 4 = D4 /D,                         (12)

a ₅= D ₅ / D , a 6 = D 6 / D , a 7 = D 7 / D ,                                (13)

где D i — определитель, получающийся из D при замене элементов f ( X 1 ), f ( X ₂), ..., f ( X ₇) i -го столбца соответствующими свободными членами f , ( X 1 ), f , ( X ₂), . , f 0 ( X ₇).

В случае, если собственные значения X _к ( к = 1,2,...,7) найдены с погрешностью, то может оказаться, что

D 5 / D * ( D i / D ) • ( D 4 / D ) + ( D 2 / D ) • ( D 3 / D ) ,

(D б/ D И Di /D )■( D3/ D), (D 7 /D )*( D 2/ D )■( D4 /D), и тогда система уравнений для определения четырех неизвестных ai (i = 1,2,3,4) становится переопределенной. То есть задача отыскания неизвестных ai (i = 1,2,3,4) по семи значениям Xк (к = 1,2,...,7) может не иметь решения, а поэтому является некорректной по Адамару. Однако она корректна по А.Н. Тихонову.

Действительно, для подхода А.Н. Тихонова к вопросу корректности характерно, что рассматривается некоторое множество M с V , существенно более узкое, чем все пространство V . Пусть образ множества M в пространстве Z при отображении с помощью оператора R есть множество Л , то есть Л = RM .

Задача Rv = z , где v из пространства V , а z из пространства Z , называется корректной по А.Н. Тихонову (условно корректной), если [22, 23, 24]:

• 1)    априори известно, что решение задачи существует и принадлежит некоторому множеству M пространства V ;

• 2)    решение единственно на множестве M ;

• 3)    для любого б > 0 существует такое 5 > 0, что для любых z , z е Л = RM , и таких, что || z - z || _z<  5 , выполняется неравенство || v - v || <  б .

В обсуждаемом случае под оператором R можно понимать отображение, задаваемое системой уравнений (10), преобразующее семерку чисел a i ( i = 1,2,...,7) в семерку значений X _к ( к = 1,2,...,7), при которых матрица системы имеет определитель D * 0 . Множеством корректности M будем называть такое множество семичисельных наборов v = ( a 1 , a ₂,..., a ₇), для каждого из которых выполняются условия (9). С помощью введенного множества корректности нетрудно показать корректность по А.Н. Тихонову задачи отыскания a i ( i = 1,2,3,4) по значениям X _к ( к = 1,2,...,7), при которых система уравнений (10) имеет определитель, отличный от нуля.

Пусть V — это пространство R ⁷ элементов v = ( v 1 , v ₂, . , v ₇) с нормой || v || = max(| v 1 |,| v ₂ |, . ,| v ₇|); Z — это пространство R ⁷ элементов z = ( z 1 , z ₂, . , z ₇) с нормой || z || = max(| z 1 |,| z ₂ |, . ,| z ₇ |) ; образ множества M в пространстве Z при отображении с помощью оператора R есть множество Л , то есть Л = RM . Тогда задача Rv = z будет корректной по А.Н. Тихонову, так как все перечисленные выше условия выполнены (третье условие вытекает из аналитичности f ( X ) ( i = 0,1,...,7) по X ).

Наиболее известны два метода решения корректных по А.Н. Тихонову задач — метод квазирешения и метод подбора. В настоящей статье предлагается метод решения задачи идентификации краевых условий, который по сути представляет собой метод подбора.

Априори известно, что искомые числа ai (i = 1,2,3,4) существуют, так как идентифицируется реально существующая механическая система. Если действительные собственные значения X1, X2, ., X7 и определители D * 0, Di (i = 1,...,7) найдены точно, то условия (9) выполнены, причем числа ai (i = 1,2,3,4) однозначно вычисляются по формулам (12). Все условия корректности по А.Н. Тихонову реализованы, в том числе и третье. Действительно, для любого ε >0 существует такое δ >0, что для любых z = (X1, X 2,..., X7), z = (X 1, X 2,..., X 7) eA = RM , и таких, что ||Z - zl l»’ <δ, соблюдается неравенство ||(D1 /D,D2/D,...,D7/D)-(Ё)1 /D,Ё)2/D,...,Ё)7/D)|| i <ε. Последнее вытекает из аналитичности функций fi (λ) (i = 1,..., 7) по параметру λ .

Если числа λ _k ( k = 1, 2,..., 7) , а значит, и D ≠ 0, D ₁, D ₂,... , D ₇ установлены приближенно, то равенство (14) может не существовать, и поэтому формально по определителям D ≠ 0, D ₁, D ₂,... , D ₇ (формулам Крамера) неизвестные a_i ( i = 1,2,3,4) вычислить невозможно. Однако для предъявления приближенного решения (14) это и не нужно. Приближенным решением будем считать значения a_i ( i = 1,2,3,4), найденные по формулам (12), где определители D ≠ 0, D ₁, D ₂, D ₃, D ₄ рассчитываются по приближенным λ _k ( k = 1, 2,..., 7) . Приближенные решения a_i ( i = 1,2,3,4) вместе с числами a_i ( i = 5,6,7), определяемыми по формулам (9), а не по (13), лежат во множестве корректности, так как для них справедливы условия (9). Эти приближенные решения для a_i ( i = 1, 2,..., 7) тем ближе к точным, чем ближе к точным собственным значениям числа λ _k ( k = 1, 2,..., 7) , а значит, чем ближе к точным значениям определители D ≠ 0, D ₁, D ₂, ..., D ₇. Таким образом, верна теорема:

Теорема. Если λ _k ( k = 1, 2,..., 7) являются действительными собственными значениями краевой задачи (1), (2), причем определитель (11) системы уравнений (10) отличен от нуля, то задача отыскания коэффициентов a_i ( i = 1, 2,..., 7) по собственным значениям λ _k ( k = 1, 2,..., 7) является корректной по А.Н. Тихонову, и ее единственное решение описывается формулами (12, 13).

Пример 2 . Пусть собственные значения задачи такие же, как в первом примере, а именно λ ₁ = 3, 861483 , λ ₂ =7,031643 , λ ₃ =10,18502, λ ₄ =13,33266, λ ₅ =16, 47796, λ ₆ =19, 62205, λ ₇ =22, 76544. Подставляя эти значения в (11), (12) и находя D = - 0, 3680993 ⋅ 10 ³¹ , D ₁ = - 0,1608490 ⋅ 10 ²² , D ₂ = - 0, 7361985 ⋅ 10 ³¹ , D ₃ = 0,1224316 ⋅ 10 ¹⁸ , D ₄ = - 0,1467282 ⋅ 10 ¹³ , получаем единственное решение: a ₁= D ₁ D = 0, 000 , a ₂= D ₂ D =2,000, a ₃= D ₃ D =0,000, a ₄= D ₄ D =0,000 .

Пример 3 . Пусть λ ₁ =1, 016782, λ ₂ =4,696921, λ ₃ =7,831946, λ ₄ =10,98039, λ ₅ =14,12531, λ ₆ = 17, 26906 , λ ₇ = 20, 41215 — первые семь собственных значений задачи (1), (2). Используя их, из (11) и (12) имеем D =0,4241723 ⋅ 10 ¹⁹ , D ₁ =0,2120861 ⋅ 10 ²⁰ , D ₂ =0, 2545034 ⋅ 10 ²⁰ , D ₃ =0,1272516 ⋅ 10 ²⁰ , D ₄ = 0,1696689 ⋅ 10 ²⁰ , а также единственное решение a ₁= D ₁ D = 5, 000, a ₂= D ₂ D = 6, 000 , a ₃= D ₃ D = 3, 000 , a ₄= D ₄ D = 4, 000 .

Доказанная теорема и примеры показывают, что для выделения единственного решения достаточно семи собственных значений, а второе решение из Примера 1 следует исключить.

5.    Заключение

Предложенный метод дополнительных неизвестных величин позволил построить множество корректности задачи и доказать ее корректность по А.Н. Тихонову. Проделанные выкладки, сформулированная теорема и примеры свидетельствуют, что для однозначной идентификации двух параметров упругого закрепления и двух параметров концевого груза достаточно использовать семь собственных частот. И хотя теорема содержит лишь достаточные условия, которые могут быть далеки от необходимых, она подтверждает достоверность формул для точной и приближенной идентификации параметров закрепления и концевого груза.