Об операторах, мажорируемых операторами Канторовича - Банаха и операторами Леви в локально солидных решетках

Все векторные решетки, о которых пойдет речь в данной заметке, предполагаются вещественными и архимедовыми, а векторные топологии — хаусдорфовыми. Главная тема заметки: проблема мажорирования операторов в локально солидных решетках с помощью решеточных гомоморфизмов Канторовича — Банаха, квази K B -операторов и операторов квази Леви. Интерес к этой тематике возник недавно (см. [1]). Напомним, что локально солидная решетка (E, т ) называется:

• i)    лебеговой (ст-лебеговой), если для любой сети (последовательности) х _а ^ 0 в E выполняется х _а -^ 0;

• ii)    решеткой Леви (σ-Леви), если любая возрастающая τ -ограниченная сеть (последовательность) в Е ₊ обладает точной верхней гранью в E .

Условие х _а ^ 0 в i) можно заменить на х _а —> 0.

^# Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект № FWNF-2022-0004.

Нормированная решетка (E, || • ||) называется пространством Канторовича — Банаха (или коротко K B -пространством ), если всякое ограниченное по норме направленное вверх множество в Е ₊ сходится по норме. Каждое KB-пространство является решеткой Леви с порядково-непрерывной полной нормой; всякая нормированная решетка Леви (σ-Леви) является K -пространством (K _σ -пространством).

• iii)    Локально солидная решетка (E, т ) называется KB (ст-KB ) решеткой, если всякая возрастающая т -ограниченная сеть (последовательность) в Е ₊ т -сходится.

Известно, что каждая KB ( σ - KB ) решетка является решеткой Леви ( σ -Леви), а всякая решетка Леви ( σ -Леви) является K -пространством ( K _σ -пространством) (см., например, [2, Теорема 2.21(c)]). Линейный оператор T , действующий в локально солидной решетке (Е,т ), называется от-непрерывным (ст-от-непрерывным), если Тх _а ^ 0 для любой сети (последовательности) х _а такой, что х _а -o- 0 [3]. Различные локально солидные версии свойств банаховых решеток, вроде свойства быть K B -пространством, изучались недавно многими авторами (см., например, [3–6]). Основная идея операторных версий свойств топологических векторных решеток заключается в перераспределении топологических и порядковых свойств между областью определения и областью значения исследуемого оператора. Поскольку порядковая сходимость в общем случае не топологична, наиболее важные операторные версии возникают, когда o - и τ - сходимости вовлекаются одновременно. Следующее определение в общем виде можно найти в [1].

Определение 1. Линейный оператор T , действующий в локально солидной решетке E , называется:

• (а)    лебеговым (ст-лебеговым), если Тх _а ^- 0 для любой сети (последовательности) х _а ^ 0 в E;

• (b)    от-ограниченным (от-компактным?), если множество T [0, х] т -ограничено (т-вполне ограничено) в E для каждого х G E+;

• (c)    оператором ( σ -) Канторовича — Банаха (далее ( σ -) K B -оператором), если для всякой т -ограниченной возрастающей сети (последовательности) х _а в Е ₊ существует х G E такой, что Tx _a -^ Tx;

• (d)    квази KB ( квази σ-KB ) оператором, если он переводит τ -ограниченные возрастающие сети (последовательности) в Е ₊ в т -фундаментальные сети;

• (e)    оператором Леви ( σ-Леви ), если для всякой τ -ограниченной возрастающей сети (последовательности) х _а в Е ₊ существует х G E такой, что Tx _a -o- Tx;

• (f)    оператором квази Леви ( квази σ-Леви ), если T переводит τ -ограниченные возрастающие сети (последовательности) в Е ₊ в о-фундаментальные сети.

Предложение 1 (ср. [1, Предложение 2.7]) . Всякий непрерывный линейный оператор T в локально солидной решетке (E, т ) является от-ограниченным.

Утверждение сформулированного выше предложения непосредственно вытекает из двух классических фактов:

• 1)    в локально солидной решетке (E, т ) порядково ограниченные множества т -огра-ничены;

• 2)    всякий τ -непрерывный линейный оператор переводит τ -ограниченные множества в τ -ограниченные.

Определение 2 (см. [7, Определение 2]). Пусть P — некоторое множество линейных операторов, действующих между полуупорядоченными векторными пространствами X и Y. Оператор T : X ^ Y называется регулярным P-оператором (коротко r-P-оператором), если существуют два положительных P-оператора Ti,T2 : X ^ Y такие, что T = T — T2. Множество всех r-P-операторов из X в Y будет обозначаться через r-P(X,Y).

Предложение 2. Всякий регулярно лебегов (регулярно а-лебегов) оператор T в локально солидной решетке (E, т) является порядково непрерывным (порядково а-не-прерывным).

• < 1 Без ограничения общности предположим, что T ^ 0. Пусть x _a ^ 0 — сеть (последовательность) в E. Тогда Tx _a ^ и Tx _a — 0. Следовательно, Tx _a ^ 0 в силу, например, [2, Теорема 2.21(c)]. >

Следствие 1. Множество r-L Leb (E) (r-L Leb (E )) регулярно лебеговых (регулярно а-лебеговых) операторов в локально солидной решетке (E, т ) является подалгеброй алгебры L _r (E) регулярных операторов в E. Более того, I Е r-L Leb (E) (I Е r-L' Leb (E)) тогда и только тогда, когда решетка (Е,т ) лебегова (а-лебегова), где I — тождественный оператор в E .

• <    Достаточно установить, что множество r-L Leb (E) замкнуто относительно композиции операторов. Пусть T, S Е r-L Leb (E). Без ограничения общности предположим, что T, S ^ 0. Возьмем сеть x _a ^ 0. Тогда, по Предложению 2, Sx _a ^ 0 и, значит, TSx _a — 0. В случае регулярно σ -лебеговых операторов доказательство аналогичное, а оставшаяся часть следствия тривиальна. >

Лемма 1 (ср. [1, Лемма 2.1]) . Линейный оператор T в локально солидной решетке ( E, т ) является регулярно лебеговым ( регулярно а-лебеговым ) тогда и только тогда, когда T регулярно от-непрерывен (регулярно а-от-непрерывен).

• <    Не ограничивая общности, предположим, что T ^ 0 и, поскольку случай а-лебе-гового оператора сходный, рассмотрим только лебегов оператор. Достаточность доказывается непосредственной проверкой. Чтобы установить необходимость, допустим, что оператор T лебегов, и х _а —— 0 в E. Возьмем в E сеть у в ^ 0 такую, что для каждого в существует а в удовлетворяющее | x _a | С У в при а ^ а в . Поскольку T ^ 0, имеем | Tx _a | С T | х _а | С Ty e при а ^ а в . И, так как оператор T лебегов, Ty e — 0. Следовательно, Tx _a — 0, поскольку топология т локально солидная. >

Предложение 3 (см. [1, Предложение 2.1]) . Всякий регулярный оператор T в локально солидной решетке (E, т ) от-ограничен.

Приведем список полезных свойств рассматриваемых операторов.

• a)    Тождественный оператор в E лебегов/ K B /Леви тогда и только тогда, когда решетка E — лебегова/ K B /Леви соответственно. Всякий oτ -непрерывный ( σ - oτ -непрерывный) оператор является лебеговым ( σ -лебеговым) и, согласно лемме 1, всякий регулярно лебегов (регулярно σ -лебегов) оператор в E является регулярно oτ -непрерывным (регулярно σ - oτ -непрерывным). Авторам неизвестно, является ли всякий регулярный лебегов ( σ -лебегов) оператор oτ -непрерывным ( σ - oτ -непрерывным).

• b)    Разрывный оператор Tx := ( ^^i Xk)ei в нормированной решетке (соо, || • ||^) является oτ -компактным и oτ -непрерывным, однако T не компактен. Всякий непрерывный линейный оператор T в локально солидном локально выпуклом лебеговом дискретном K -пространстве oτ -компактен, ввиду [2, Следствие 6.57].

• c)    Всякий K B -оператор является квази K B -оператором, и всякий непрерывный линейный оператор в K B -пространстве — K B -оператор. Хорошо известно, что тождественный оператор I в банаховой решетке является K B -оператором тогда и только тогда, когда I — σ - K B -оператор, тогда и только тогда, когда I — квази K B -оператор. Предложение 4 ниже показывает, что понятия квази KB и квази σ - KB операторов совпада-

• ют. Всякий порядково ограниченный оператор в K B -пространстве является квази KB-оператором.

• d)    Всякий компактный оператор T в банаховой решетке oτ -компактен. При этом, компактный оператор не обязан быть лебеговым (см. Пример 1 ниже). В частности, oτ -компактный оператор не обязательно oτ -непрерывен.

Пример 1 (ср. [1, Пример 3.1]). Пусть E = (с _ш ( R ), || • ||^) — банахова решетка всех ограниченных вещественных функций на R таких, что каждая f Е E отличается от константы a f на не более, чем счетном подмножестве R .

Определим положительный оператор T в E следующим образом: T f — постоянная функция a f • I r Е E , для которой множество { d Е R : f (d) = a f } не более, чем счетно.

• (1)    T — непрерывный оператор ранга 1 (и, следовательно, KB компактный и от -компактный) в E . Пусть f n -° 0. Поскольку для всякого е >  0 существует п _е такое, что множество U n^n _E { d Е R : | f n (d) | ^ е } не более, чем счетно, то | Tf n | ^ < е для всех n ^ п _е . Таким образом, оператор T является ст-от-непрерывным и, значит, ст-лебеговым по отношению к топологии нормы на E .

• (2)    Оператор T не является лебеговым. В самом деле, для сети f _a : = I r \ _q Е E , индексированной семейством А всех конечных подмножеств R , упорядоченных по включению, имеем f a 4 0, при том, что ||Tfa|U = | I r \ = 1 для всех а Е А.

Предложение 4 (ср., например, [1, Предложение 1.2]) . Оператор T в локально солидной решетке будет квази K B -оператором тогда и только тогда, когда T квази σ - KB .

Отсюда следует, что всякая топологически полная ст-KB решетка (E, т ) является KB решеткой (см. [1, Следствие 1.1]). Заметим, что множества L _OT (E), L _OTb (E) и L _OTc (E ) oτ -непрерывных, oτ -ограниченных и oτ -компактных операторов в локально солидной решетке E суть векторные пространства, удовлетворяющие L _OTc (E) С L _OTb (E).

Решетка E называется латерально (ст-')полной, если любое (счетное) подмножество попарно дизъюнктных векторов из Е ₊ имеет супремум. Латерально полная векторная решетка дискретна тогда и только тогда, когда она решеточно изоморфна R ^S для некоторого множества S .

Определение 3 (ср., например, [1, Определение 2.1]). Локально солидная решетка (E, т ) является т-латерально (ст-) полной, если всякое т -ограниченное (счетное) подмножество попарно дизъюнктных векторов из Е ₊ обладает точной верхней гранью.

Всякая латерально (ст-) полная локально солидная решетка (E, т ) т -латерально (ст-) полна, и всякое порядково полное AM -пространство X с порядковой единицей τ -лате-рально полно по отношению к норме.

Пример 2 (ср. [1, Пример 2.1]). Рассмотрим векторную решетку E вещественных функций на R таких, что каждая f Е E отличается от константы a f на не более, чем счетном подмножестве R , и f — a f I r Е li( R ) для каждой f Е E. Векторная решетка E полна по отношению к норме | f || := | a f | + | f — a f I r ||i . Ясно, что E не является К _ст -пространством, поскольку f n := I] R \{ i , 2 ,.„,_n} 4 ^ 0, при том, что точной нижней грани inf _nG N f n в E не существует. Отметим, что E не является τ -латерально σ -полной по отношению к топологии, порожденной нормой на E . В самом деле, ограниченное по норме счетное множество попарно дизъюнктных ортов e n = I {_n} Е E+ не имеет супремума в E.

В силу [1, Предложение 2.4], всякая решетка Леви (ст-Леви) является т -латерально ( σ -) полным K ( K _σ ) пространством.

Рассмотрим теперь проблему мажорирования для положительных операторов. А именно, пусть T и S — положительные операторы в E такие, что 0 С S С T • При каких условиях из предположения, что оператор T лебегов, oτ -ограниченный, oτ -компактный,

KB или Леви, вытекает, что оператор S обладает тем же свойством? Ясно, что проблема имеет положительное решение для лебеговых, σ-лебеговых и oτ -ограниченных операторов.

Напомним, что всякий порядково ограниченный сохраняющий дизъюнктность оператор T в векторной решетке Е имеет модуль | T | , удовлетворяющий | T || x | = | T | x || = | Tx | для всех x ∈ E (см., например, [8, Теорема 2.40]); более того, существуют два решеточных гомоморфизма Ri, R2 : Е ^ Е такие, что T = Ri — R2 (см. [8, Exer. 1, p. 130]).

Предложение 5 (ср. [1, Теорема 2.5]) . Пусть T — порядково ограниченный сохраня ющий дизъюнктность KB (a-KB ) оператор в локально солидной решетке (Е,т ) . Если | S | С | Т | , тогда S также является KB (a-KB ) оператором.

• < 1 Возьмем т -ограниченную возрастающую сеть (последовательность) х _а в Е ₊ . Тогда T (x _a — x) —> 0 для некоторого х Е Е .И, значит,

| S(x _a — х) | С | S || х _а — х | С | T || x _a — x | = | Tx _a — Tx | —> 0.

Следовательно, Sx _a -^ Sx. >

Поскольку для решеточного гомоморфизма T всякий оператор S , удовлетворяющий 0 С S С T , является решеточным гомоморфизмом (см., например, [8, Теорема 2.14]), следующая теорема вытекает непосредственно из предложения 5.

Теорема 1 (ср. [1, Следствие 2.3]) . Пусть T — решеточный KB (a-KB ) гомоморфизм в локально солидной решетке. Тогда всякий оператор S , удовлетворяющий условию 0 С S С T, является решеточным KB (a-KB ) гомоморфизмом.

Следующий результат обобщает [4, Предложение 2.9] на локально солидные решетки.

Теорема 2 (ср. [1, Теорема 2.6]) . Пусть T — положительный квази K B -оператор в локально солидной решетке (Е,т ) . Тогда всякий оператор S, удовлетворяющий условию 0 С S С T, также является квази KB-оператором.

• <    Пусть х _а — возрастающая т -ограниченная сеть в Е+ . Тогда Tx _a f и, поскольку T — квази KB -оператор, сеть Tx _a будет т -фундаментальной. Возьмем U Е т (0) и солидную окрестность V Е т (0) такую, что V — V С U . Существует ао, удовлетворяющая T(х _а — Х в ) Е V для всех а, в ^ ао• В частности, T(x _a — x _a 0 ) Е V для всех а ^ ао. Поскольку 0 С S С T , и V солидна, то S(х _а — х _а 0 ) Е V для всех а ^ ао . Таким образом, получаем

SXa — Sxe — S (Xa — Хао ) — S (хв — Хао) Е V — V С U для всех а, в ^ ао. Поскольку окрестность U Е т(0) выбрана произвольно, сеть Sxa т-фундаментальна. >

Теорема 3 (ср., например, [1, Теорема 2.7]) . Пусть T — положительный квази Леви оператор в локально солидной решетке (Е,т ) . Тогда всякий оператор S, удовлетворяющий условию 0 С S С T, тоже является квази Леви оператором.

• <    Возьмем возрастающую т -ограниченную сеть х _а в Е+ . Тогда сеть Tx _a o-фундаментальна. Значит, существует сеть у в ^ 0 в Е такая, что для каждого в найдется а в такое, что | Tx _a 1 — Tx _a 2 1 С У в при всех « i , а2 ^ а в . Тогда при « i , а2 ^ а в имеем

  Sx _{α 1}

  
  

  Sx _{α 2}

  
  

  С S(X a i — Х а _в ) С T (X a i — Х а _в ) С У в ,

  
  

  x α 2

  
  

  Sx _{α 1}

  
  

  С S (Х а 2

  
  

  ^х а в ) ^{С T ( х} а 2

  
  
  
  

  Х а _в )

  
  

  ^С У в .

  
  

Таким образом, | Sx _{a 1} — Sx _a 2 1 С У в для всех « i , а2 ^ а в , и значит S тоже будет оператором квази Леви. >