Об описании пространства риссовых потенциалов функций из банаховых пространств с некоторыми априорными свойствами

Рассматривается вопрос об описании пространства I^a(X ) функций, представимых риссовым потенциалом

I^ = /

Rn

ka(x - У>(у) dy,

a >  0,

с плотностью у из того или иного функционального пространства, X. Висеово ядро ka(x) определяется, как известно, равенством ka (x) = —1 yn(a)

|x|^a-n,             a — n = 0, 2,4, 6,... ;

|x|^a-n In 1, a — n = 0, 2,4, 6,... ,

|x| ,                                                , , , ,            , где Yn(a) — известная нормировочная константа (см., например, [1]).

Заметим, что в случае когда X — пространство функций, обладающих некоторой гладкостью, например, X = H ^ш (Rn, (1 + |x|)^Y) — весовое обобщенное пространство Гёльдера, определяемое заданным модулем непрерывности ш, такое описание возможно в терминах пространств той же серии, т. е. I^a(H^ш (Rn, (1 + |x|)^Y)) = H^Ша (Rn, (1 + |x|)^Ya), где ш_а и Y_a строятся по ш и y соответственно; ссылки на работы с такими результатами при a < 1 можно найти в обзоре [2, п. 2.3.1].

В случае, когда X — пространство измеримых функций, например, пространства Лебега, Орлича, их весовые версии или иные модификации, подобное точное описание образа, I ^a(X) невозможно, та к как функции f Е I ^a(X) обладают некоторой слабой падкостью (интегрального типа), неприсущей, вообще говоря, пространству X из исходной серии пространств. В этом случае описание функций f Е I ^а (X) дается фактически в некоторых дифференциальных терминах порядка a, именно, в терминах сходимости гиперсингулярных интегралов этого порядка.

Подобное описание для X = Lp(Rn) впервые бы.то дано при a < 2 в [3] для бесселевых потенциалов, которые в отличие от риссовых потенциалов сохраняют, вообще говоря, исходное пространство X. Для произвольного a > 0 такое описание было дано в [4], что потребовало использование гиперсингулярных интегралов с разностями высших порядков. Для риссовых потенциалов подобное описание в случае X = Lp(Rn) и a > 0 (см. в [1]), см. также в § 5 ссылки на работы, относящиеся к другим пространствам X.

В данной работе предлагается некоторый общий подход для подобного описания распределений f, являющихся риссовыми потеипналами функций на Rn из абстрактного пространства X, удовлетворяющего некоторым априорным свойствам. Распределения рассматриваются над основным классом Лизоркина Ф и oneратор Ia трактуется в смысле обобщенных функций.

• §§ 2 и 3 содержат необходимые предварительные сведения и вспомогательные результаты, в §4 даны основные результаты. В §5 рассматривается вопрос о выполнимости введенных априорных свойств для конкретных функциональных пространств и дается некоторый обзор результатов, относящихся к описанию образа, риссова потенциала.

• 2.    Предварительные сведения

Класс Лнзоркниа Ф. инвариантный опк)сптелыю оператора I^а, есть подпространство пространства S шварцевых функций, ортогональных многочленам:

У xj ш(x) dx = 0, |j | = 0,1, 2,..., xj = x1 ••• xn, |j| = ji +-----+ jn.

Rn

Множество Ф плотно в весовом пространстве Lp(Rn,w), w Е Ap [1. теорема 7.34].

Гиперсингулярный интеграл Da определяется как предел Da := lim Da, г де Da — ею0

усеченный гиперсингулярный интеграл

Daf (x) = -^— [ ^yf^x- dy, a> 0,               (2)

dn,'(a)          |y|n+a

|y|>ε где Af(x) = Pk=o(-l)fc (

f (x — kh) — конечная pa:зноеть порядка ' > a функции f и dn,'(a) — нормировочная константа, выбранная так, чтобы построение в (2) не зависело от ' (подробности см. в [1]).

При фиксированном е >  0 усеченные гиперсингулярные интегралы имеют вид

Daf(x) = с^f(x) + X ck(е) у fx-at) dt, k=1        |t|>ke получаемый очевидными преобразованиями.

Для конечных разностей функции f имеет место представление

(^Ah^f) ^(x) = I ^(A',a)^(x - У, ^h) D^{a f (}y) dy, '>^a, Rⁿ

где равенство A',a(x,h) = A((ka (x) справедливое, по край ней мере, на функциях f 6 Ф, хотя оно верно для более широкого класса функций, см. [1, (3.64)].

Усеченные гиперсингулярные интегралы Daf выражаются через свой предел у = D^af с помощью аппроксимации единицы:

где

(Da f ) (x) = 4 I Ka ( —) ^(y) dy = K^V, ε _Rn           ε

K,a(|x|) =

1 dn,'(a)|x|n

j ^k',a⁽y) dy, |y|<^|x|

k',a(x) = A',a(x,ei), ei = (1, 0,..., 0) (см. [1. (3.63)]). Ядро K ,_a имеет оценку [1, лемма 3.16]

|K ,a (|x|)| 6 c

I

|x|min{a-n,0} ln 2т,

|x| ’

a = n;

a = n,

|K ,a (|x|)| 6 c|x|^a-n-'^-1

при |x| 6 1’ при |x| > 1.

Для ядра K,a(|x|) известна формула [1, (3.66)]

i^yA'

F(Ka)<«) = ДЙЧ№ /        dy’

|y|>1

где (F^)(x) = b(x) — преобразовашк) Фурье (]>упкщш у.

Топология в шварцевом пространстве S задается счетным набором (полу)норм

Vk,j (w)=sup(1 + |x|)^k|(Djw)(x)|, k 6 No, j 6 Nn ш 6 S. xeRn

Сходимость последовательности шт ^ ш в топологии S означает, что lim Vkj(шт — ш) = 0 т^^

для любых фиксированных к и j.

Пространство Лизоркина Ф основных функций и двойственное пространство Ф = F (Ф) являются замкнутыми подпространствами в S относительно указанной топологии, при этом на функциях ш G S эта топология эквивалентна топологии, задаваемой полунормами

Vklj (ш) = sup |x|l(1 + |x|)^k|(Djш)(x) | , k G Ng, l G Z, j G Nn ш G S.

xeRn

Напомним, hto Ф0 = S 0/P , г,те S0/P есть (рактор-прострапство пространства S 0 по множеству P всех многочленов (см. [1, с. 41]).

Лемма 2.1. Пространство Ф инвариантно относительно оператора усеченного гиперсингулярного интегрирования ЮД е > 0, и оператора свертки Kg, е >  0.

C Доказательство леммы см. в работе [5]. B

• 3.    Вспомогательные утверждения

Лемма 3.1. Оператор K'^,a = щ Д1 непрерывен в пространстве Ф.

C Покажем, прежде всего, что оператор K'^,а сохраняет пространство Ф. Достаточно показать, что умножение на преобразование Фурье ядер этих операторов сохраняет двойственное пространство Ф = F (Ф).

Обозначив m(£) := [а(£), переходя в (8) к полярным координатам, после замен подобия и вращения получаем

∞ m«) = / ^НТ dP-

1€1

где E (р) = —1(oj Jsn-1 (1 — e^w1)' ^^а- Легко видеть, что m G C 'Дй" \ {0}), все производные функтщи m стремятся к 0 при |£| ^ то и имеют не более, чем степенной рост

ПРИ |€| ^ 0, что и гарантирует указанное сохранение пространства Ф при умножении на т(Д.

Доказательство непрерывности умножения на т(Д требует более аккуратных рассуждений. Пусть последовательность функций Д(х), s G N, из Ф сходится к 0 в топологии пространства S : lims ,^ Vk,j (ДД = 0 для всех k и j. Нужно проверить, что lims ,^ Vk,j (тДД = 0 для того же множества индексов k и j. Имеем

D^j (т(х)ДДх)) = X ( j ) Dim(x)Dj i^s(x), 06i6j

Dim(x) = ^X ДD^i-k (ЗД) = ^X xk X ( i ^- k ) Dh ⁽|хГ^1-"⁾ D-^t-hE (|x|), ^M । k)=i^|xl Ш¹⁺Л ДНобДД h

D^h (|x|^-1-a) = |x|^-1-a-\^h\p_h(x), где Ph(x) - однородный mi югонлен степени |h|. Так как | Dh ⁽|x|^-1-a) | 6 C |x|^-1-a-|h| 11 |D^jE (|x|)| 6 C |x|'^-|j1, to

|Dⁱm(x)| 6 C |x|^1-a-l^h|+'^-lil+¹+^|h| 6 c |x|^-a+'^-|i|.

Отсюда |Dim(x)| 6 C |x|^-1-[a]+'^-"|i|, г,те [а] — целая часть числа а. Следовательно. v_k,j(m^_s ) 6 Po^j C(i, j)v_k,c_-1-[_a]_-|_i|,j_-i(^_s). Отсюда в силу эквивалентности топологий, задаваемых полунормами Vk,j и v^'j , получим lim_s^^ Vk,j (m^_s) = 0, что и требовалось. B

Следствие 3.2. Оператор D^ непрерывен в пространстве Ф для любого е >  0.

C Достаточно заметить, что в образах Фурье имеем Ю^шД) = |£Дт(ЕДШД), где |£|“т(е£) является мультипликатором в Ф, коль скоро m является там мультипликатором в силу леммы 3.1. B

Лемма 3.3. Операторы Ke сходятся при е ^ 0 в пространстве Ф к единичному оператору.

C Нужно доказать, что для произвольной функции ш Е Ф выполняется lino vk,3(К'аш — ш) = 0, k Е No,j Е Non.

(П)

Напомним, что согласно лемме 3.1 операторы Kj’a сохраняют пространство Ф. Так как топология в пространстве F(S), индуцированная из пространства Шварца S, совпадает с топологией пространства S, то (11) равносильно соотношениям limvkj([m(Ex) - 1N(x)) = 0, k Е No, j Е N,                (12)

где m — функция (9) п = = ш Е Ф.

Рассмотрим сначала случай j = 0. Надо показать, что lim_e^o sup_xGRn(1 + |x|)^k |m(Ex)-1||^(x)| = 0. Им сем sup_xGRn(1 + |x|)^k|m(Ex) - 1||^(x)| = max {Si(e), S2 (e)} , где

S1(e) := sup(1 + |x|)^k|m(Ex) — 1||^(x)|, S₂(e) := sup(1 + |x|)^k|m(Ex) — 1||^(x)|.

|x|<1                                                                      |x|>1

Для S1(e) им еем S1(e) 6 v_k^ (^)sup_|x|<1 |m(Ex) — 1|. Так как m(0) = [(0) = 1 и m(x) непрерывна, то lim_J ,_o S1 (e) = 0.

Для S₂(e), учитывая, что для любого числа ц > 0 справсдлнва. опенка |^(x)| 6 C 1х\^-к-ц, где выбором ц распорядимся позже, получим

S₂ (е) 6 C sup |x| фт(Ех) — 1| = Ce ^ sup ^{| m(Ex)} —U.

|x|>1                                        |x|>1      ^{( e | x|}C

Остается показать, что при некотором выборе ц функция |m(y) — 1||y| ^ ограничена. При |y| > 1 эта ограниченность (очевидна для любого ц > 0. Когда |y| < 1 воспользуемся (Ьормулой (9) II том <1>актом. что 1 = K,_a(0), в силу чего

My) ^— 1| Ы^

|y|

₌ 1 Г E (p)

|У ^ J pl+^a

µ >  ` - α.

Перейдем к случаю j = 0. Имеем

D^jQm(ex) — 1]^ф(х)) = [m(ex) — 1]Dj^(x) + ^^ f j )Ai(e,x),        (13)

06i6j, i=0

где Афе,х) := e^|i|(Dⁱm)(ex)D^j-i^(x). Первое слагаемое в (13) уже оценено выше поскольку D^j ^(x) Е Ф, j Е Nn. Д тя Л(е,х) с учетом опенки (10) получим

|Л(е,х)| 6 ^'-“Ci,jlxl'^-a-^ⁱ^lD^j-i^(x)l.

Отсюда приходим к оценке v^,j (Л(е,х)) 6 Се'^-av_fc,£__1—[_a]_—|j|,j_—Д-0), где [а] — целая часть числа а.

Резюмируя, приходим к (12). B

• 4.    Основные утверждения

  • 4.1.    Описание в терминах распределений.

Определение 4.1. Пусть X — линейное подмножество в Ф0 и f Е Ф⁰. Будем говорить, что f Е I^a (X). а > 0, если существует распределение р Е X такое, что

(f,ш) = (p,Ia ш)                                   (14)

для всех ш Е Ф (напомним, что пространство Ф инвариантно относнтелыю оператора I ^a). В последующем усеченные гиперсингулярные интегралы (2) обощенной функции f Е Ф0 определяются равенством

(Da f,ш):=(f, Daш)                              (13)

с учетом инвариантности пространства Ф относительно оператора Da, е > 0, см. лемму 2.1.

Теорема 4.2. Пусть X — линейное подмножество пространства Ф0. Следующие утверждения равносильны:

ф) f^{Е 1a(X 11}          . „

(P2) существует элемент ф Е X такоеI. что Daf сходится к ф в Ф0 :

lim^(Daf,^ш) = ^(ф,ш), ш ^{Е Ф}, ем0

при этом элемент ф и элемент р из (14) совпадают как 'элементе! пространства Ф0.

C Покажем, что (Pi) ^ (P₂). В силу (3) и следствия 3.2 при любом фиксированном е >  0 имеем (Daf, ш) = (f, Daш) = (f, Dai^aD^aш), где мы воспользовались тем, что ^ш = I^aDaш ™^{ш Е}».

Тогда в силу формулы (5) имеем (Daf, ш) = (f, K^ D^aш). Так как К^’ D^aш Е Ф в силу леммы 2.1 II операторы K₍f’^a 11 D^a коммутирутот iia (функциях из Ф, то по определению образа I^a(X) сутнествует (функция р Е X, такая что

(Daf,ш) = (p,K^ш).                             (16)

В силу леммы 3.3 получаем lim(Daf,ш) = (р,lim_E^a K₍;’^aш) = (р,ш). Следовательно, ем0                       (S)

ф = pi 1 (P2) получено.

Докажем (P2) ^ (Pi). Рассуждая как и в предыдущем пункте, только в обратном направлении, имеем

(ф,w) = lim^f, w) = lim(f, D» = lim(f, DP“В“ш)

= limf M«DM)D i,m К^Д=(,DU e^G        e                    - -о e

(S )

Таким образом, (f, D^aw) = (ф, w). Следов;неявно. (ф, I^a w) = (f, w), w G Ф, что завершает доказательство тооромвв B

• 4.2.    Об априорных предположениях о банаховом пространстве X. В следующем пункте мы изучаем образ I ^a (X) потенциала Висса, трактуемый в смысле распределений. где X — произвольное банахово пространство фупкщш на R”, удовлетворятошее некоторым априорным предположениям.

В различных утверждениях ниже будет использоваться одно или несколько из следующих свойств пространства X:

• (S1)    Прост}:>апство X обладает свойством решетки: если у G X i1 |V(x)| 6 |^(x)|, x ^G R”, to v ^G Xii kvkX 6 M.v.

• (S2)    Пространство X не содержит многочлен.

• (S3)    Максимальный оператор My(x) := | _B ( X,r ) | J_B(_z,r) |y(y)|dy ограничен в X.

• (S4)    Опер;гторы Кд являются анпрокеимапнсй единицы: lim_e ,_G ЦКду - ^kx = 0 для всех у G X.

• (S5)    Прост})апство X0, ассоциированное с X, содерж! it класс Ф.

Напомним, что ассоциированным с X называется пространство X0 функций V нa R” таких, что

У y(x)V(x) dx

Rn

< х. (Vу G X),

IMIx0

sup

IWIx=1

J y(x)V(x) dx

Rn

cm. [6, c. 9].

Замечание 4.3. При наличии свойства (Si) в свойстве (S₂) достаточно потребовать, чтобы константы, отличные от нуля, не принадлежали бы пространству X.

Нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения об ограниченности операторов свертки в пространстве X.

Обозначим через K класс ядер k(x), удовлетворяюших условиям |k(x)| 6 K(|x|), где K (x) G L1(R”), K (r),r G R+, убывает, ii

КеУ :=

1 f k^x_^)

У(У) dy.

En          E

Rn

Хорошо известно (см., например, [7, гл. 5, §2.1] поточечное неравенство |Key(x)| 6 cMy(x), где k G K. Из этого неравенства следует утверждение.

Предложение 4.4. Пусть k G K. Операторы К_е равномерно ограничены в любом пространстве X со свойствамп ( Si ) и ( S3 ) .

Для нас более содержательным является следующее утверждение:

Лемма 4.5. Пусть 0 < а < х и ' > а. Тогда K^ G K.

C Утверждение леммы следует из опенки (7). B

• 4.3.    Описание в терминах сходимости по норме пространства X. В дальнейшем считаем, что X — банахово пространство функции на R” с ио}эмой Ц • ||x•

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.6. Будем говорить, что значение параметра a >  0 является естественно соответствующим пространству X, если функционал f G I^a(X ) является регулярным и с точностью до многочлена совпадает со сходящимся интегралом (1) для всех y G X таких, что f (x) = jRn k_a (x — y)y(y) dy + P (x), y G X. В этом случае первое слагаемое в правой части будем называть интегральным представителем функционала ^{f G 1 a(X} '•

Например, в случае X = Lp(Rn), 1 < p < то, значениями а, естественно соответствующими пространству L^p(Rn), являются a G (0, n ). В случае весового пространства

Lp(Rn) := *

т7

Rn

Mx)|^p(1 + |x|)^Y dx

<∞ ,

γ > -n,

указанный интервал заменяется интервалом a G (0, n+p2). В случае когда X есть пространство Орлича интервал для естественно соответствующих значений а может быть получен в терминах индексов Матушевской — Орлича и условия сходимости интеграла в формуле (27) следующего параграфа, на чем мы не останавливаемся. Пусть теперь X — так называемое гранд-пространство Лебега Lp)(Rn) с грандизатором a(x) (см. определение в (22)). Такие пространства исследовались в работах [5, 8, 9, 10]. В этом случае интервал естественно соответствующих значений а тот же, что и для обычных пространств Лебега при условиях a G L1(Rn) ii a5 G A^ (17)

при некотором 5 > 0, где A^ известный класс Макенхаупта.

Теорема 4.7 (Необходимые условия). Пусть X удовлетворяет предположению (S4) и f G I^a(X ) в смысле определения 4.1. Тогда Daf есть регулярный функционал, совпадающий с некоторой функцией из X с точностью до многочлена:

Df = w(x)+ P_e(x), Те G X,                       (18)

и существует (фикция y G X такая, что lim ||те — ykx = 0                              (Ю)

е >0

Если пространство X обладает свойством (S2) и f означает интегральный представитель функционала f G I^a(X ), то

lim |Daf — Tlx = 0. ем0

C Воспользуемся представлением (16). Условие (S4) подразумевает ограниченность оператора Ку* в пространстве X (по крайней мере для малых е). Поэтому из (1G) имеем (Daf, ш) = (Kg у, ш). Так как Ку¹ у является регулярным функционалом. то Daf также регулярный функционал. Тогда функции Daf и К^у, совпадающие как элементы пространства Ф0, различаются разве лишь многочленом:

Daf = К^Т + Pe(x).

Отсюда следует утверждение (18) с у_е = Kg у, а также в силу свойства (S4) и утверждение (19).

Пусть теперь a — значение. естественно соотвотствутотпее пространству X. Так как оператор Ку сохраняет прострапетво X, то в силу свойства, (S2) фуикттопал Кур не может содержать полиномиального слагаемого. Покажем, что левая часть также не содержит полиномиального слагаемого, что будет означать P_e(x) = 0. Так как в левой пасти f есть интегральный представитель функционала f G I^a(X ), то f представима, обычным интегралом, т. е. как свертка функции р G X с ядром k_a (x). Тогда ни при каких a функция f (x) не может вести себя на бесконечности как многочлен. Следовательно, равенство (21) возможно только когда, P_e(x) = 0, ii мы полу паем (20). B

Рассмотрим отдельно случай когда пространство X инвариантно относительно сдвига: kTh^kx 6 C (h)k^kx, где T_hp = p(x — h), h G Rn, ii C (h) локально ограничена: sup_|h| C (h) =: C_N < то. В этом случае для функций f G I^a(X ) можно дать дополнительную информацию о поведении их конечных разностей. Конечные разности обобщенных функций f G Ф0 определяются обычным образом: (А^Дш) := (f, А-^ш).

Теорема 4.8. Пусть пространство X инвариантно относительно сдвига и обладает свойствами (Si) и (S3). Ес ли f G I “(X ), то конечньie разности A^f порядка ' > a являются регулярными функционалами и существует многочлен Py(x) такой, что A^f — Ph(x) G X при любом h G Rn.

C Стандартными перебросами на основные функции с учетом формулы (4), инвариантности класса Ф относительно потенциала Висса и свертки с ядром АцаД h), получаем

(А^,ш) = (f, А-^ш) = (р, Iа (А-^ш))

= (У, А-Д ^аш) = (р, А',а(•, —h) * ш)) = (А_€,а(^, h) * У, ш).

Следовательно, А^/ и А£,а(-, h) * у совпадают как обобтценные функции из Ф0, что и доказывает регулярность функционала А^.

Остается доказать, что А',аД h)*p G X. Основываемся для этого на предложении 4.4, применимом при условиях теоремы. Заметим, что ядро Ац^Д, h) при больших значениях |x| имеет оценку ([1, (3.51)]) |A',a(x, h)| 6 c|h|'(|x| + |h|)a-n-', |x| > (' + 1)|h|. Поэтому ядро А',а(х, h) можно представить в виде

А^Д, h) = У^(—1)i ( . ) k_a (x — ih)x_BM p \(x — ih) + J(x), x G Rn, i=o      V ^г                 v²1

гДе XB(o,r)(x) — характеристическая функция шара B (0, r), а ядро J(x) имеет оценку | J(x) | 6 (i+ixynr-n+7, и> следовательно, принадлежит классу K. Принадлежность функции ka(x)xRc pi \(x) клаccy K очевидна. Остается сослаться на инвариантность простран-B ства X отноентелг>по сдвига. B

Теорема 4.9 (Достаточные условия). Пусть a > 0 и f G Ф0 и Df £ > 0, — обобщенные функции, определенные равенством (15). Если пространство X обладает свойством (S5), Df G X 11 существует lim- .0 Df = у, то f G I^a(X) в смысле определения 4.1 и (X)

f = I ар.

C Им сем |(Da f — р,ш)| 6 |Df — pkx кшкХо ^ 0 nj:>11 £ ^ 0в силу свойства, (S5). Таким образом. lime^o(Daf, ш) = (у, ш) для всех ш G Фи т<:>гда, f G I a(X) в силу эквивалентности утверждений (P1) и (P2) теоремы 4.2. B

Следствие 4.10. Пусть пространство X обладает свойствами (S₂), (S₄) и (S5). Для того, чтобы f G I^a(X), необходимо ii достаточпо. чтобы Df G X 11 D^f имело вид (18). где р_е сходится в прострапстве X при £ ^ 0.

Подчеркнем, что в этом параграфе мы фактически полностью исследовали вопрос об опис ании образа I^a(X ), a >  0, для произвольного пространства, X фупкттин на Rn при выполнении некоторых априорных предположений о пространстве X. Однако, это сделано при условии, что оператор I^a понимается в смысле распределений. Существенный интерес представляет описание абсолютно сходящихся интегралов I^a^, ^ Е X. Это, однако, требует работы в конкретном пространстве: допустимые значения а зависят тогда от пространства X. В следующем параграфе мы касаемся этого вопроса для некоторых классических и нестандартных функциональных пространств. Кроме того, в следующем параграфе рассматривается вопрос о выполнимости для них свойств (Si)—(S5).

• 5.    О выполнимости свойств (Si)—(S5) и о пространстве Ia(X) со значениями а, естественно соответствующими пространству X

В приведенной ниже теореме показано, что все свойства (Si)~(Ss) выполняются для пространств Xi из следующего списка при соответствующих предположениях о парамет рах пространств:

• •    классические' простраиства Лебега X ₁ = L p(Rn) , 1 < p <  то ;

• •    весовые простраиства X ₂ = L p(Rn ,w ) , 1 < p <  то, где w — вес Макенхаупта:

• •    гранд-пространства Лебега X3 = La^),8(Rn), 1 < p <  то , 9 >  0, функций f, удовлетворяющих условиям

  ^kf k LP ^{) ,e} (Rn)

  
  

  := sup E⁶

  0

  
  
  
  

  j If ( x ) l p ^ea ( x )^p dx

  
  
  
  

  Rⁿ

  
  

  1 p - ε

  
  

  <∞

  
  
  
  

и lim_e^oE^p6 J |f(x)|^{p e}a(x) pdx = 0, где a Е L¹(Rn) и a удовлетворяет условию (17).

Rn

• •    прострапотва Леоега X₄ = L^p( )(Rn) с переменным показателем p(x) (см. [11, 12, 13]), где 1 < inf_xeRn p(x) 6 sup_xGRn p(x) < то, определяемые нормой

  kf ^k LP0(Rⁿ) =

  
  

  inf 0: У

  
  

  Rⁿ

  
  

  f ( x ) p^(x)

  A

  
  

  dx 6 1 ,

  
  

где p(x) удовлетворяет стандартным для таких пространств условиям:

|p^{(x) -} p ( y ) l 6 , C , ln ¹ |x-y|

|x - y| < 2 11

|p(x) - р(то)| 6

C ln 11 I , e+|x|

x,y Е Rn;

• •    пространенва Орлнна X5 = L^M (Rn), где M — функция Юнга. функция M 11 дополнительная к ней удовлетворяют условию удвоения.

Теорема 5.1. Каждое из пространств X₁-X5 при указанных выше предположениях обладает всеми свойствами (S₁ )—(S5).

C Выполнимое"ть свойства, (S1) очевидна.

Свойство (S₂) для простраиства X₁ также очевидно. Для пространства X₂ с учетом замечания 4.3 оно следует из свойства RRn w(x) dx = то весов Макенхаупта; см., например, [14, лемму 7.5], откуда вытекает указанное свойство. Для пространства X3 свойство (S₂) следует из вложения

L^’⁸ (Rn) С L^p-e(Rⁿ,a^p), 0 - 1,                   (23)

с учетом свойства (17); доказательство этого вложения можно найти в [8]. Свойство (S2) для пространств X4 11 X5 очевидно.

Свойство (S3) для пространств Xi и X2 хорошо известно, см., например, [14, теорему 7.3]. Для гранд-пространства X3 свойство (S3) доказано в [9], а для пространства X4 — в работе [15]. Для пространства X5 свойство (S3) доказано в [16], см. также [17, теорему 2.1.1].

Свойство (S4) для пространств Xi и X2 является следствием известных теорем об аппроксимации единицы в весовых пространствах, см. [1, теорему 7.31]. Свойство (S4) для пространства X3 доказано в [9]. Для пространства, X4 свойство (S4) следует с учетом леммы 4.5 из общей теоремы об аппроксимации единицы в пространствах Лебега, с переменным показателем, см. [П , теорему 5.11]. а для пространства, X5 установлено в [18].

Свойство (S5) для протранств X1. X2. X4 11 X5 очевидно. Для пространства, X3 в силу вложения (23) имеем

L(p-e)0 ^Rn,a-р р) = [р- ^Rn,ap^0 c [Lp)’6(Rn)]0.(24)

Ввиду (17) имеем ap E A_p-e при некотором e и тогда a ^р(р-Е-1) e A(_p-ey . Вложение Ф c L^(,p^-eY (Rn, a рСр—e—i) ) очевидно, что в силу вложен ня в (24) доказывает свойство (S5). B

Дадим также информацию об импликациях f E Ia(X) ^ f E Xa 11 Daf сходятся в X,(25)

f E Xa 11 Df сходятся в X ^ f E Ia(X),(26)

где X^a — некоторое пространство, опрсде.тясмое исходным пространством X и параметром а, для пространств X из того же списка. Для них известно следующее:

• 1.    Пуств 0 < а < n. Импликации (25) и (26) с X^a = Lq(Rn), ^ = p-^a, известны давно, см. [1, с. 532-538], [19], [20, с. 179-184]. Отметим также работу [21], где описание пространства I^a (Lp) получено в терминах сходимости гиперсингулярных интегралов малого порядка от старших производных, т. е. конструкций вида D^{a [a]}Djf, |j| = [а]; в случае целых а пространство I^a(Lp) совпадает с пространством типа Соболева

• 2.    Аналогичные результаты для пространств Лебега, с весами Макенхаупта получены в [22].

• 3.    Для гранд-пространств Лебега L^p)’⁶(Rn), 0 < а < n, импликации (25) и (26) с X^a = La)’⁶(Rn) доказаны в [9] и [5] соответственно в предположении, что а удовлетворяет условию (17).

• 4.    Для пространств Лебега L^p(2(Rn) с переменным показателем p(x) импликации (25) я (26) с X^a = L^q»(Rn), q(Xy = p(X - n, получены в [23] и [24] соответственно. Эти результаты можно найти также в книге [13].

• 5.    Пусть M ^-1(u) обозначает функцию. 061:>атиуто к функции Юнга M (u), 11 а таково, что интеграл J_ou t^-а-1M ^-1(t) dt сходится и функция M_a(u) определяется своей обратной:

W ^p’q(Rn) = f E Lq(Rn), Djf E L^p(Rn) для всех j таких. что |j| = а} .

u

M-¹(u) = j M+nt) dt.                         (27)

o

Следующие утверждения равносильны см. [1, с. 220-223], [18]:

• 1)    f E I^a(L^M );

• 2)    f E LMa (Rn) 11 D^af E L^M(Rn).