Об описании пространства риссовых потенциалов функций из банаховых пространств с некоторыми априорными свойствами

Рассматривается задача описания пространства Iα(X)функций, представимых риссовым потенциалом Iαφ с плотностью φ из заданного пространства X. Предполагается, что X⊂Φ′, где Φ′ - пространство распределений над основным классом Φ Лизоркина, инвариантным относительно риссова интегрирования, и образ Iα(X) понимается в смысле распределений. В такой общей постановке поясняется вопрос, при каких предположениях о пространстве X принадлежность элемента f из образа Iα(X) эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов Dαεf в пространстве X. Для этой цели вначале указанный вопрос исследуется в контексте топологии пространства Φ. Именно, показывается, что для любого линейного подмножества X в Φ′ принадлежность элемента f образу Iα(X) эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов на множестве X в топологии пространства Φ′. Если X - банахово пространство, то переход от принадлежности образу к сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов по норме доказывается с точностью до аддитивного многочлена в предположении, что некоторая специальная конволюция является аппроксимацией единицы в пространстве X. Известно, что последнее выполняется для многих банаховых функциональных пространств и справедливо для всех тех функциональных пространств X, в которых ограничен максимальный оператор. Обратный переход доказывается для функционального пространства Банаха X, обладающего тем свойством, что ассоциированное с ним пространство X′ содержит основной класс Лизоркина.