Об определении функции источника в квазилинейных параболических задачах с точечными условиями переопределения
Бесплатный доступ
Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи об определении функции источников в квазилинейной параболической системе второго порядка. Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях. Главная часть оператора линейна. Неизвестные функции, зависящие от времени, входят в нелинейную правую часть. В том числе в этот класс задач входят и коэффициентные обратные задачи об определении младших коэффициентов в параболическом уравнении или системе. В качестве условий переопределения рассматриваются значения решения в некотором наборе внутренних точек. В качестве краевых условий берутся условия Дирихле или условия задачи с косой производной. Задача рассматривается в ограниченной области с гладкой границей. Однако результаты допускают обобщения и на случай неограниченных областей таких, в которых соответствующие теоремы о разрешимости прямой задачи имеют место. Приведены условия, гарантирующие локальную по времени корректность задачи в классах Соболева. Условия на данные задачи минимальны. Полученные результаты являются точными. Задача сводится к операторному уравнению, существование решения которого доказывается при помощи априорных оценок и теоремы о неподвижной точке. Полученное решение обладает всеми обобщенными производными, входящими в уравнение, принадлежащими пространству Lp с p > n + 2 и обладает необходимой дополнительной гладкостью в некоторой окрестности точек переопределения.
Параболическое уравнение, обратная задача, тепломассоперенос, краевая задача, функция источников
Короткий адрес: https://sciup.org/147158953
IDR: 147158953 | УДК: 517.956 | DOI: 10.14529/mmph170403
On the source function recovering in quazilinear parabolic problems with pointwise overdetermination conditions
In the article we examine the question of well-posedness in the Sobolev spaces of the inverse source problem in the case of a quasilinear parabolic system of the second order. These problems arise when describing heat and mass transfer, diffusion, filtration, and in many other fields. The main part of the operator is linear. The unknown functions depending on time occur in the nonlinear right-hand side. In particular, this class of problems includes the coefficient inverse problems on determination of the lower order coefficients in a parabolic equation or a system. The overdetermination conditions are the values of the solution at some collection of points lying inside the spacial domain. The Dirichlet and oblique derivative problems are taken as boundary conditions. The problems are studied in a bounded domain with a smooth boundary. However, the results can be generalized to the case of unbounded domains as well for which the corresponding solvability theorems hold. The conditions ensuring local in time well-posedness of the problem in the Sobolev classes are exposed. The conditions on the data are minimal. The results are sharp. The problem is reduced to an operator equation whose solvability is proven with the use of a priori bounds and the fixed point theorem. The solution possesses all generalized derivatives occurring in the system which belong to the space Lp with p > n + 2 and some additional necessary smoothness in some neighborhood about the overdetermination points.
Список литературы Об определении функции источника в квазилинейных параболических задачах с точечными условиями переопределения
- Marchuk, G.I. Mathematical Models in Environmental Problems/G.I. Marchuk//Studies in Mathematics and its Applications. -1986. -Vol. 16. -P. 5-6.
- Прилепко, А.И. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнения параболического типа. I/А.И. Прилепко, В.В. Соловьев//Дифференциальные уравнения. -1987. -Т. 23, № 10. -C. 1791-1799.
- Afinogenova, O.A. Stabilization of the solution to the identification problem of the source function for a one-dimensional parabolic equation/O.A. Afinogenova, Yu.Ya. Belov, I.V. Frolenkov//Doklady Mathematics. -2009. -Vol. 79, Issue 1. -P. 70-72.
- Белов, Ю.Я. О задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса/Ю.Я. Белов, К.В. Коршун//Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». -2012. -Т. 5, № 4. -С. 497-506.
- Кулиев, М.А. Многомерная обратная задача для параболического уравнения в ограниченной области/М.А. Кулиев//Нелинейные граничные задачи. -2004. -В. 14. -C. 138-145.
- Прилепко, А.И. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении/А.И. Прилепко, В.В. Соловьев//Дифференц. уравнения. -1987. -Т. 23, № 1. -С. 136-143.
- Guidetti, D. Asymptotic expansion of solutions to an inverse problem of parabolic type/D. Guidetti//Advances in Difference Equations. -2008. -Vol. 13, № 5-6. -P. 399-426.
- Guidetti, D. Convergence to a stationary state of solutions to inverse problems of parabolic type/D. Guidetti//Discrete and continuous dynamical systems. Series S. -2013. -Vol. 6, Issue 3. -P. 711-722.
- Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics/A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. -New-York: Marcel Dekker, Inc, 1999. -709 с.
- Пятков, С. Г. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений/С.Г. Пятков, М.Л. Самков//Математические труды. -2012. -Т. 15, № 1. -C. 155-177.
- Ozisik, M.N. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications/M.N. Ozisik, H.R.B. Orlande. -New York: Taylor & Francis. -2000. -314 p.
- Mamonov, A. V. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems/A.V. Mamonov, Y-H. R. Tsai//Inverse Problems. -2013. -Vol. 29, no. 3. -р. 035009.
- Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы/Х. Трибель. -М.: Мир, 1980. -664 с.
- Denk, R. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data/R. Denk, M. Hieber, J. Prüss//Math. Z. -2007. -Vol. 257, Issue 1. -P. 193-224.
- Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа/О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. -М.: Наука. -1967. -736 с.
- Amann, H. Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces/H. Amann//Glasnik matematicki. -2000. -III. Ser. 35, no.1. -P. 161-177.
