Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные моменты времени
Автор: Введенская Елена Викторовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.8, 2006 года.
Бесплатный доступ
В работе изучается задача оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности в круге для случая радиальной симметрии в момент времени t=\tau по приближенно заданным в метрике L_2 значениям температуры в моменты времени t=0 и t=T, 0
Короткий адрес: https://sciup.org/14318173
IDR: 14318173
Текст научной статьи Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные моменты времени
В работе изучается задача оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности в круге для случая радиальной симметрии в момент времени t = т по приближенно заданным в метрике L 2 значениям температуры в моменты времени t = 0 и t = T , 0 < т < T . Получен оптимальный метод восстановления и найдена его погрешность.
Рассмотрим задачу о нахождении решения уравнения теплопроводности в единичном круге D = {(х, у) G R2 : х2 + у2 6 1} в случае радиальной симметрии начального условия и нулевого граничного значения ut = Au = urr +—ur,(1)
u(r, 0) = A(r),
u(1,t)=0.
Здесь r = л/x"2 + y 2 , 0 6 r 6 1, и A(r) G L2(D), где
Ilf ( x,V)k L 2 (D)
1 / [ If (х,У) 1 2 dxdy-
D
Начальное условие (2), а, следовательно, и решение задачи (1)–(3) не зависит от полярного угла ϕ. Точное решение задачи (1)–(3) в этом случае имеет вид (см., например, [1]):
∞
u(r, t) = X C k J o (v k r)e - v k t , (4)
k=1
где V k , k G N , — корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка J o ( • ), расположенные в порядке возрастания, а C k — коэффициенты Фурье функции A( - ) при разложении ее в ряд по системе {J o (v k r) } k eN
∞
A(r) = У? C k J o (v k r), k =1
C k = 1 I A(r)J o (v k r)rdr, d k = / JJ 2 (v k r)rdr. dk JO JO
(c) 2006 Введенская Е. В.
Пусть известны У о (г),У т (r) G L 2 (D) такие, что
IIA(r) - Уо(r) ||l2(d) 6 до, IHr, T) - Ут(г) ||l2(d) 6 5t, т. е. решение задачи (1)–(3) в момент времени T известно с погрешностью, не превосходящей дт, а начальное условие — с погрешностью, не превосходящей до. Требуется оптимально восстановить решение задачи (1)-(3) в момент времени т, 0 < т < T, по функциям уо(•) и ут(•).
В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные отображения £: L 2 (D) х L 2 (D) ^ L 2 (D). Для данного метода £ погрешностью восстановления назовем величину
е(т,д о ,д т ,^)= sup ||u (r,T) - €(У о ,У т )(x,У)k L 2 (D) .
А(г),у о (г),у т (r) e L 2 (D) ||а(г) - У 0 (r) k L 2( D ) 6 ^ 0
И и(г,т) - У Т (r) k L 2( D ) 6 5 T
Погрешностью оптимального восстановления будем называть величину
Е(т,д о ,д т )— inf е(т,д о ,д т ,£).
^ : L 2 ( D )x L 2 ( D )^ L 2 (D)
Метод, погрешность которого равна погрешности оптимального восстановления, называется оптимальным.
Введем следующие обозначения:
am —
e 2v m ,
Д m [a m+1 ,a m ),
m = 1, 2,..., Д о = [a T , + ^ ),
a Tm a Tm +1
-
a m a m+i
---ч
bi
---ч b 2
T a m
-
a m+1
,
a T ,
τ am am
-
-
0,
a m +1
aTmV
д2 iG до д2
#G д о
д2 iG до д2
#G д о
Д т , m
Д о .
Д т , m G N ,
Д о ,
G N ,
Теорема 1. При всех д о ,д т > 0 имеет место равенство
/---ч ---ч
E(т, д о , д т ) — A i d g + A 2 д Т .
При этом метод
^
€(У о ,У т )(х,У) = ^2 k=i
? , А т/2
A i У ок + A 2ak У тк t/2 , / x
-------------k------a k J о (v k r),
b i + b 2 a^
где У ок и У тк — коэффициенты Фурье функций У о ( - ) и У т ( • ) , соответственно,
Уок = / Уо(r)Jо(vkr)rdr, dk Уо является оптимальным.
Утк = I Ут (r)Jо(vk r)rdr, к — 1, 2,..., dk У о
Для доказательства теоремы 1 будем использовать схему построения оптимальных методов восстановления линейных операторов из работ [2] и [3]. Сначала приведем общую постановку задачи восстановления линейного оператора.
Пусть X — линейное пространство, Y 1 ,... ,Y k — линейные пространства с полуска-лярными произведениями ( • , • ) y-, j = 1,..., k, и соответствующими полунормами || • ||yj., j = 1,..., k, I j : X ^ Y j , j = 1,..., k, — линейные операторы, а Z — линейное нормированное пространство. Рассматривается задача оптимального восстановления оператора Л: X ^ Z на множестве
W
=
{
x
Е
X :
|
I
j
x
|
Yj
6
5
j
, j
= 1,...,l, 0
6
l
(при l = 0 считаем, что W = X) по значениям операторов I i+i , ... ,I k , заданным с погрешностью. Предполагается, что для каждого x Е X известен вектор y = (y i+i ,..., У к ) Е У /+1 х ... х Y k такой, что
«I j x - y j Ik 6 5 j , j = l + 1,...,k.
В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения £: Y i+i х ... х Y k ^ Z . Погрешностью восстановления данного метода m называется величина
е(Л, W,I,d,£) = sup |Лх - £(y) « z .
Погрешностью оптимального восстановления называется величина
E(Л,W,I,5)
€:
inf
Y l +1 X ... X Y k ^ Z
e^WJAC),
а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.
С поставленной задачей оптимального восстановления оператора Л тесно связана экстремальная задача
^x | Z ^ max, | I j xk Y j 6 5 2j , j = 1,...,k, x Е X. (9)
Обозначим через L(x, А) функцию Лагранжа экстремальной задачи (9)
k
L(x,А) = —|Лx|Z + X Aj «I,x«Yj, j=1
где А = (A i ,..., А к ). Из работы [4] (см. также [3] и [5]) вытекает следующий результат
Теорема 2. Пусть существуют А = (A i ,..., А к ) , A j > 0 , j = 1,..., к, и допустимый в
-
(9) элемент b такие, что
- (a) minxex L(x, А) = L(x, А), (b) P,k=i bj(«I,b»?j - j)=0.
Тогда значение задачи (9) равно
k
Е а , « 2
j =i
Если при этом для всех y = (yi+i,..., yk) G Yl+i х ... х Yk существует Ху — решение экстремальной задачи lk
X UjWIjxkYj + X UjWIjx - yjkYj ^ min, x G X, j=i j=l+i то ^(y) = Лху — оптимальный метод восстановления и
E (A,W,I,S)
k
XUj ■ j=i
Задача (5) есть частный случай задачи (8). В ней X = Y i = Y = Z = L 2 (D), k = 2, l = 0 (т. е. W = X), I i — тождественный оператор, а Л и I 2 — операторы, ставящие в соответствие начальному условию A(r) G L 2 (D) решение задачи (1)-(3) в моменты времени τ и T соответственно.
C Доказательство теоремы 1. Экстремальная задача (9) в нашем случае имеет вид llU(r,T)WL2(D) ^ max,
IMr, 0)W L 2 (D) 6 ^ 0 , Wu(r,T)W L 2 (D) 6 ^ T , u(r, 0) G L 2 ( D ) .
Cогласно теореме Планшереля
∞
Wu(r,t)W L 2 (D) = X c k WJ 0 (v k r lllL cD) 6 -2^ • k=i
Положим U k = ck||J o (v k r) W L 2 (D) . Тогда задача (10) примет вид
∞
2 Uke k ^ max, k=i
X U k 6 < 0 , X U k e ^ T 6 " 7 ■ U k > 0. k G N .
k=i k=i
Рассмотрим функцию Лагранжа задачи (11)
∞
L(U, A i , A 2 ) = X (-e - 2v k T + A i + A2e - 2v k T) U k k=i
∞
= X e-2vkT (-1 + Aie2vkT + A2e-2vk(T-T) k=i где u = {Uk}kGN.
Пусть A i и A 2 определены равенствами (6). Предъявим такую допустимую в (11) последовательность u = { b k } kG N (см. теорему 2), что выполнены условия
(c)
---- ---- ---- ---- minuk>0, kGN L(U, Ai, A2) = L(U, Ai, A2),
(d) A i (P£ i 6 k - » o2 ) + A 2 (P£ i U k e - 2v k T - »T) = 0.
Пусть
-T G A m , m G N .
5 Q
Тогда из равенств (6) вытекает, что bi e2vmT + A2e-2vm(T-T) = 1,
U i e 2v m +i T + b 2 e - 2v m +i (T - T ) = 1.
Эти равенства означают, что у функции
g(z) = -1 + Aie2zT + A2e-2z(T-T > имеется два нуля vm и v2+i. Поскольку эта функция выпукла при z G R+, то других нулей у нее нет. Следовательно, g(v2) > 0 при всех к > 1. Тем самым для любой допустимой в (11) последовательности u = {uk}keN
L(u, b i , b 2 ) > 0.
Положим U k = 0 при k = m, m + 1, а U m и u m+i выберем из условий
---ч um
+ um+i = А) ,
U m e - 2 v m T + b m+i e - 2v m +i T = 5 T •
Имеем
_ _ §T - 6Qam+i _ oQam - st um — ji T , um+i — p p ‘ am - am+i am - am+i
Из (12) вытекает, что U m > 0 и u m+i > 0. Следовательно, последовательность и = {U k } k e N — допустимая в (11). Кроме того, для нее выполнено условие (d). Условие (c) также выполнено, так как L( U , A i , А 2 ) = 0. Если § T /5 Q G A q , то, положив U i = 5 2 и u U 2 = 0, нетрудно убедиться, что условия (c) и (d) снова выполнены.
Построим теперь оптимальный метод восстановления u(-, т). Для этого, согласно теореме 2, надо сначала решить экстремальную задачу bikA(r) - yQ(r)kL2(D) + U2ku(r,T) - Ут(r)kL2(D) ^ min • (13)
Пусть ∞
"b(r) = Xb k J o (v k r). (14)
k=i
Представляя по теореме Планшереля квадраты норм в (13), учитывая (14) и (4), приведем эту экстремальную задачу к виду
∞
Xpi ( c k - y ok ) 2 + b 2 (c k e~vkT - У тк ) 2) kJ o (v k r) k 2 ^ min . (15)
k =i
Коэффициент при ||Jo(vkr) k2 в (15) представляет собой квадратичную параболу от- носительно cUk , минимум которой достигается при
---- ck =
? I t „T/2„, Ai yQk + A2ak yTk bi + b2aT
По теореме 2 метод (7) является оптимальным. B
Список литературы Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные моменты времени
- Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике.-М.: МГУ, 1998.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью//Мат. сб.-2002.-Т. 193.-С. 79-100.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных//Функцион. анализ и его прил.-2003.-T. 37.-С. 51-64.
- Осипенко К. Ю. Неравенство Харди -Литтлвуда -Полиа для аналитических функций из пространств Харди -Соболева//Мат. сб.-2006.-Т. 197.-С. 15-34.
- Осипенко К. Ю. Optimal recovery of linear operators//Abstracts of International Conference "Extremal Problems and Approximation".-M.: MSU, 2004.-P. 11-12.