Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные моменты времени

В работе изучается задача оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности в круге для случая радиальной симметрии в момент времени t = т по приближенно заданным в метрике L 2 значениям температуры в моменты времени t = 0 и t = T , 0 < т < T . Получен оптимальный метод восстановления и найдена его погрешность.

Рассмотрим задачу о нахождении решения уравнения теплопроводности в единичном круге D = {(х, у) G R2 : х2 + у2 6 1} в случае радиальной симметрии начального условия и нулевого граничного значения ut = Au = urr +—ur,(1)

u(r, 0) = A(r),

u(1,t)=0.

Здесь r = л/x"² + y ² , 0 6 r 6 1, и A(r) G L₂(D), где

Ilf ^{( x,}V)k L 2 (D)

¹ / [ If (х,У) 1 ² dxdy-

D

Начальное условие (2), а, следовательно, и решение задачи (1)–(3) не зависит от полярного угла ϕ. Точное решение задачи (1)–(3) в этом случае имеет вид (см., например, [1]):

∞

u(r, t) = X C k J o (v k r)e ^{- v} k t ,                                (4)

k=1

где V k , k G N , — корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка J o ( • ), расположенные в порядке возрастания, а C k — коэффициенты Фурье функции A( - ) при разложении ее в ряд по системе {J o (v k r) } k eN

∞

A(r) = У? C k J o (v k r), k =1

C k = ¹ I A(r)J o (v k r)rdr, d k = / JJ 2 (v k r)rdr. dk JO                              JO

(c) 2006 Введенская Е. В.

Пусть известны У о (г),У т (r) G L 2 (D) такие, что

IIA(r) - Уо(r) ||l2(d) 6 до, IHr, T) - Ут(г) ||l2(d) 6 5t, т. е. решение задачи (1)–(3) в момент времени T известно с погрешностью, не превосходящей дт, а начальное условие — с погрешностью, не превосходящей до. Требуется оптимально восстановить решение задачи (1)-(3) в момент времени т, 0 < т < T, по функциям уо(•) и ут(•).

В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные отображения £: L 2 (D) х L 2 (D) ^ L 2 (D). Для данного метода £ погрешностью восстановления назовем величину

^е(т,д о ^,д т ,^)=          sup           ||u ^(r,T) ^- €⁽У о ,У т ^)(x,У^)k L ₂ (D) .

А(г),у о (г),у т (r) e L ₂ (D) ||^{а(г) -} У 0 ^(r) k L ₂( D ) 6 ^ 0

И ^{и(г,т) -} У Т ^(r) k L ₂( D ) 6 5 T

Погрешностью оптимального восстановления будем называть величину

Е(т,д о ,д т )—         inf          е(т,д о ,д т ,£).

^ : L ₂ ( D )x L ₂ ( D )^ L ₂ (D)

Метод, погрешность которого равна погрешности оптимального восстановления, называется оптимальным.

Введем следующие обозначения:

am —

e ^2v m ,

^Д m    [a m+1 ,^a m ),

m = 1, 2,...,  Д о = [a T , + ^ ),

_a T_{m a} T_{m +1}

-

a m a m₊i

---ч

bi

---ч b 2

T a _m

-

a m+1

,

a T ,

τ am am

-

-

0,

a m +1

aTmV

д2 iG до д2

#^G д _о

д2 iG до д2

#^G д _о

Д т , m

Д о ^.

Д т , m G N ,

Д о ^,

G N ,

Теорема 1. При всех д о ,д т > 0 имеет место равенство

/---ч                ---ч

E(т, д о , д т ) —   A i d g + A 2 д Т .

При этом метод

^

€⁽У о ,У т ^)(х,У) = ^2 k=i

?     , А т/2

A i У ок ⁺ A 2a_k У тк t/2 , / x

-------------^k------a k J о (v k r),

b i + b 2 a^

где У ок и У тк — коэффициенты Фурье функций У о ( - ) и У т ( • ) , соответственно,

Уок =     / Уо(r)Jо(vkr)rdr, dk Уо является оптимальным.

Утк =     I Ут (r)Jо(vk r)rdr, к — 1, 2,..., dk У о

Для доказательства теоремы 1 будем использовать схему построения оптимальных методов восстановления линейных операторов из работ [2] и [3]. Сначала приведем общую постановку задачи восстановления линейного оператора.

Пусть X — линейное пространство, Y 1 ,... ,Y k — линейные пространства с полуска-лярными произведениями ( • , • ) y-, j = 1,..., k, и соответствующими полунормами || • ||yj., j = 1,..., k, I j : X ^ Y j , j = 1,..., k, — линейные операторы, а Z — линейное нормированное пространство. Рассматривается задача оптимального восстановления оператора Л: X ^ Z на множестве

W = { x Е X : | I j x | _Yj 6 5 j , j = 1,...,l, 0 6 l }

(при l = 0 считаем, что W = X) по значениям операторов I i₊i , ... ,I k , заданным с погрешностью. Предполагается, что для каждого x Е X известен вектор y = (y i+i ,..., У к ) Е У /₊1 х ... х Y k такой, что

«I j x - y j Ik 6 5 j , j = l + 1,...,k.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения £: Y i+i х ... х Y k ^ Z . Погрешностью восстановления данного метода m называется величина

е(Л, ^W,I,d,£) =            sup            ^{|Лх -} £⁽y) « z .

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E(Л,W,I,5)

€:

inf

^Y l +1 X ... X Y k ^ Z

e^WJAC),

а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.

С поставленной задачей оптимального восстановления оператора Л тесно связана экстремальная задача

^x | Z ^ max, | I j xk Y j 6 5 ²j , j = 1,...,k, x Е X.                (9)

Обозначим через L(x, А) функцию Лагранжа экстремальной задачи (9)

k

L(x,А) = —|Лx|Z + X Aj «I,x«Yj, j=1

где А = (A i ,..., А к ). Из работы [4] (см. также [3] и [5]) вытекает следующий результат

Теорема 2. Пусть существуют А = (A i ,..., А к ) , A j >  0 , j = 1,..., к, и допустимый в

• (9)    элемент b такие, что

• (a)    minxex L(x, А) = L(x, А), (b)    P,k=i bj(«I,b»?j - j)=0.

Тогда значение задачи (9) равно

k

Е а , « 2

j =i

Если при этом для всех y = (yi+i,..., yk) G Yl+i х ... х Yk существует Ху — решение экстремальной задачи lk

X UjWIjxkYj + X UjWIjx - yjkYj ^ min, x G X, j=i              j=l+i то ^(y) = Лху — оптимальный метод восстановления и

E (A,W,I,S)

k

XUj ■ j=i

Задача (5) есть частный случай задачи (8). В ней X = Y i = Y = Z = L 2 (D), k = 2, l = 0 (т. е. W = X), I i — тождественный оператор, а Л и I ₂ — операторы, ставящие в соответствие начальному условию A(r) G L 2 (D) решение задачи (1)-(3) в моменты времени τ и T соответственно.

C Доказательство теоремы 1. Экстремальная задача (9) в нашем случае имеет вид llU(r,T)WL2(D) ^ max,

IMr, ^0)W L 2 (D) ⁶ ^ 0 , ^Wu^(r,^T)W L 2 (D) ⁶ ^ T , ^u(r, ^{0) G} L 2 ^{( D )} .

Cогласно теореме Планшереля

∞

^Wu(r,t)W L 2 (D) = X c k ^WJ 0 ^(v k r lllL cD) ⁶ -²^ • k=i

Положим U k = ck||J o (v k r) W L ₂ (D) . Тогда задача (10) примет вид

∞

2 Uke k ^ max, k=i

X U k 6 < 0 , X U k e ^ T 6 " 7 ■ U k >  0. k G N .

k=i           k=i

Рассмотрим функцию Лагранжа задачи (11)

∞

L(U, A i , A 2 ) = X (-e ^{- 2v} k ^T + A i + A₂e ^{- 2v} k T) U k k=i

∞

= X e-2vkT (-1 + Aie2vkT + A2e-2vk(T-T) k=i где u = {Uk}kGN.

Пусть A i и A 2 определены равенствами (6). Предъявим такую допустимую в (11) последовательность u = { b k } k_G N (см. теорему 2), что выполнены условия

(c)

---- ---- ---- ---- minuk>0, kGN L(U, Ai, A2) = L(U, Ai, A2),

(d) A i (P£ i 6 k - » o² ) + A 2 (P£ i U k _e ^{- 2v k} T - »T) = 0.

Пусть

-T G A m , m G N .

⁵ Q

Тогда из равенств (6) вытекает, что bi e2vmT + A2e-2vm(T-T) = 1,

U i e ^2v m +i ^T + b 2 e ^{- 2v} m +i ^{(T - T} ) = 1.

Эти равенства означают, что у функции

g(z) = -1 + Aie2zT + A2e-2z(T-T > имеется два нуля vm и v2+i. Поскольку эта функция выпукла при z G R+, то других нулей у нее нет. Следовательно, g(v2) > 0 при всех к > 1. Тем самым для любой допустимой в (11) последовательности u = {uk}keN

L(u, b i , b 2 ) >  0.

Положим U k = 0 при k = m, m + 1, а U m и u m+i выберем из условий

---ч um

⁺ um+i = А) ,

U m e ^{- 2 v} m ^T + b m+i e ^{- 2v} m +i ^T = 5 T •

Имеем

_ _ §T - 6Qam+i        _ oQam - st um — ji T , um+i — p p ‘ am - am+i          am - am+i

Из (12) вытекает, что U m >  0 и u m+i >  0. Следовательно, последовательность и = {U k } k e N — допустимая в (11). Кроме того, для нее выполнено условие (d). Условие (c) также выполнено, так как L( U , A i , А 2 ) = 0. Если § T /5 Q G A q , то, положив U i = 5 2 и u U 2 = 0, нетрудно убедиться, что условия (c) и (d) снова выполнены.

Построим теперь оптимальный метод восстановления u(-, т). Для этого, согласно теореме 2, надо сначала решить экстремальную задачу bikA(r) - yQ(r)kL2(D) + U2ku(r,T) - Ут(r)kL2(D) ^ min •              (13)

Пусть ∞

"b(r) = Xb k ^J o (v k r).                               (14)

k=i

Представляя по теореме Планшереля квадраты норм в (13), учитывая (14) и (4), приведем эту экстремальную задачу к виду

∞

Xpi ( c k - y ok ) ² + b 2 (c k e~^vk^T - У тк ) ²) kJ o (v k r) k ² ^ min .           (15)

k =i

Коэффициент при ||Jo(vkr) k2 в (15) представляет собой квадратичную параболу от- носительно cUk , минимум которой достигается при

---- ck =

? I t „T/2„, Ai yQk + A2ak yTk bi + b2aT

По теореме 2 метод (7) является оптимальным. B