Об оптимальности квазиособых управлений в одной задаче управления нелинейными разностными уравнениями дробного порядка

Дробное исчисление приобрело важное значение за последние три десятилетия из-за его применимости в различных областях науки и техники. Наличие в уравнениях дробной конечной разности интерпретируется как отражение свойства памяти процесса. В настоящее время большое внимание уделяется разработке и развитию качественной теории дифференциальных уравнений дробного порядка и соответствующих разностных уравнений дробного порядка. Исходя из теоретических и практический приложений, разработка качественной теории задач оптимального управления, объект и динамика которого описываются различными разностными уравнениями дробного порядка, также является актуальной. Отметим, что качественная теория дифференциальных и разностных уравнений дробного порядка, а также теория необходимых условий оптимальности для задач оптимального управления, описываемые разными разностными уравнениями дробного порядка, относительно мало разработана. Обзор соответствующих работ имеется, например, в работах [1-4].

В предлагаемой работе рассматривается терминальная задача оптимального управления процессом, описываемая системой нелинейных разностных уравнений дробного порядка. При предположении выпуклости области управления доказано линеаризованное условие оптимальности. Отдельно рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай). В статье используется представление решения линеаризованной задачи, получено специальное приращение второго порядка критерия качества. С помощью полученной этой формулы приращения исследован ква-зиособый случай и доказано необходимое условие оптимальности квазиособых управлений.

1. Основные понятия и вспомогательные утверждения

Приведем некоторые понятия и определения, которые в дальнейшем будут использованы.

Следующие определения, являясь стандартными [5-10], служат основой для определения разностей дробного порядка.

Пусть N множество натуральных чисел вместе с нулем. Для а Е Z введем следующие обозначения: N a+ = {а, а + 1, а + 2,..., }, a(t) = t + 1, p(t) = t — 1.

Определение 1. Дробная сумма порядка а определяется следующим образом:

n-1

A^uta) = У (

+ a

n-1

1)u(n-j1 = E(n-n+-a

-

j=0                        j=0

а дробный оператор порядка а определяется следующим образом: n-1

1) иЦ),

Z f a— j — a

( a—j

1) иф — (a

—

n

ai 1)u(0).

—1

J=i

Здесь биномиальный коэффициент ( ) определяется по формуле

(a)={

Г (a + 1)

Г(а — a + 1)Г(п + 1) 1, 0,

,a

a

a

_            <                      Г(х+1)       „

Пусть для любого х,у Е R, х^(у) = _г^_х+1 , , где Г —

>0,

= 0,

< 0.

гамма-функция, для которой

выполняется тождество Г(х + 1) = хГ(х).

Заметим, что дробную сумму и дробный оператор порядка а можно определить еще и таким образом:

Пусть а - произвольное действительное и b = к + а, здесь к Е N, к > 2;

Т = {а, а + 1,..., b}, Тк = {а,а + 1,..., b — 1}, а Т - множество функций определенных на Т.

Определение 2. Пусть f Е Т. Для него левые и правые дробные суммы порядка a > 0 определяются соответственно следующим образом:

t-a

a^fW = ^у^ — ^(S^-1 f(s), s=a

1 t^b~af(t1 =

Г(а)

b

^ (s — a(t)(c  f(s).

s=t+a

Определение 3. Пусть 0<а<1ир = 1 — а, тогда для функции f ЕТ левые и правые дробные суммы порядка а определяются следующим образом:

a^ f (t = Д( a^t-f (t)\

^^Пл  —АГ Ab-JU)).

Отметим некоторое известные свойства дробной суммы и дробной разности:

1.    hatff(t)=ba+Pf(ty; 2.    ^-a^af(t)=f(t)-f(0); 3.

Имеет место следующая теорема (см., например, [1]).

Теорема 1. (о дробной суммировании по частям) . Пусть f и g - неотрицательные функции с действительными значениями, определенными на Т^к и Т соответственно.

Если 0<а<1ид = 1 — a, то b-1

b-2

t=a

/ b-1

+ rd+T)g(a)\Z(t + ^-

\ t=a

t=a b-1                          \

a^-Vf^t) — ^ (t + g — a(a)( 1) f^)].

t=a(a)                           /

Рассмотрим следующую систему линейных неоднородных разностных уравнений дробного порядка:

Aay(t + 1) = A^y^ + g(t),

te{t0,t0 + 1,-,t1-1},                   (1)

• с    начальными условиями

y⁽t o ) = У о .                                  (2)

Здесь y = (У 1 ,У 2 , - .У п ) — n -мерный вектор столбец, g = (g 1 , g 2 , -, 9пУ заданный n -мерный вектор, y₀ — заданный постоянный n -мерный вектор столбец, t₀, t 1 - заданные числа,

A(t) =

/ aii (t) a12 (t) - a1n (t) \ I a21 (t) a22 (t) - a2n (t) | \an1(t) an2(t) - ann (tn

-

заданная n xn- дискретная матричная функ-

ция.

Задача (1)–(2) является дискретным аналогом задачи Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть 0<а<1ид = а — 1. Решение y(t) системы линейных, неоднородных разностных уравнений дробного порядка (1)–(2) допускает представление t-1                            t-1

ytt) = Уо П[1 + Ra(t — 1'f>A(jy] + ^ Ra(t — 1’])g(S) x j = to                                  j = to t-1

x П [1 + Ra(t — 1,k)A(k)]. k=j+1

Здесь

R.bbb (УуЛ.

Доказательство: Применяя Δ ^-α обеим сторонам уравнения (1) имеем

A^^a(A^ay(t + 1)) = A^-a(A(t)y(t) + gV)             (3)

Теперь рассмотрим левую сторону уравнения (3):

Д^-й(Д “ у(( + 1)).

Учитывая свойства операторов дробной суммы и дробной разности проведем следующие преобразования:

Д " ^й(Д “ у(^ + 1)) = Л^- " (Л^|-'уа + 1)) = Д^-йД -^ (Ду(( + 1)) =

Д^-1(Ду⁽^ + 1)) = E j=t₀ (y(j' + 1) - y(j)) = y⁽t + 1) — У^ о )

Преобразуем теперь правую сторону уравнения (3). Используя определение 1, имеем:

Д^-й(A⁽t⁾y⁽t⁾ + g⁽t)) =

t

^^-^^(A^y^9^

j = t o

t

= ^ Д й (tj^A^y^ + g(j))

j = t o

Таким образом, получили что t

y⁽t + 1) = y⁽t o ) + ^ Д й ⁽t,j)(A⁽j)y⁽j) + д⁽'У)

j = to или t-1

• y⁽t) = y⁽t o ) + ^ Д й ⁽t — 1,j)(A(j)y(j) + g(j)).

• 2.    Постановка задачи оптимального управления

j = t o

Из последней формулы получим что [6], t-1                            t-1

y(t) = Уо П[1 + ^(t — 1,j)A(j)] + ^ Дй(t - tDgW x j = to                                  j = to t-1

x П [1 + Д й (t-1,k)A(k)].         (4)

k=j+1

Теорема доказана.

Рассмотрим задачу о минимуме терминального функционала

S(u) = ^(х^)(5)

при следующих ограничениях:

u(t) EU ^ДГ,1ЕТ,(6)

Дах(1 + 1) = f(t,x(t),u(t)'), tET = {t0,t0 + 1,^,t1-1},(7)

x(to) = x0.(8)

Здесь x(t) — n -мерный вектор фазовых переменных, u(t) — г - мерный дискретный вектор управляющих воздействий, U - заданное непустое ограниченное и выпуклое множество, числа t₀, t₁ и постоянный вектор х₀ — заданы, f(t, х, u) — заданная n -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по х и u, до второго порядка включительно, ^(х) заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция, а Д^йх(с), 0 < а <  1-дробный оператор порядка а [5-10].

Управляющую функцию назовем допустимым управлением , если оно удовлетворяет ограничению (6).

Предполагается, что при каждом заданном допустимом управлении дискретный аналог задачи Коши, т. е. задача (7)-(8) имеет единственное решение.

Допустимое управление u(t), доставляющее минимум функционалу (5) при ограничениях (6)-(8), называется оптимальным управлением , а пара (u(t), x(t)) - оптимальным процессом.

В работе [11] для рассматриваемой задаче управления (5)-(8) доказано необходимое условие оптимальности первого порядка типа принципа максимума Понтрягина. В случае открытости области управления в работе [12] получены условия оптимальности первого и второго порядка.

В предлагаемой работе для рассматриваемой задачи в случае выпуклости область управления доказан аналог линеаризованного принципа максимума и исследован случай его вырождения (квазиособый случай [3, 4, 13-16]).

• 3.    Формула приращения критерия качества и необходимое условие оптимальности

Построим формулу приращения критерия качества.

Пусть (u(t),x(t)) фиксированный, а (u(t) = u(t) + Au(t),x(t) = x(t) + Ax(t)) -произвольный допустимые процессы.

Учитывая введенные обозначения получаем что, Ax(t) (приращение траектории x(t)), соответствующее Au(t) (приращению управления u(t)), будет удовлетворять системе уравнений

Aa (Ax(t + 1)) = f (t, x(t), u(t)) - f (t, x(t), u(t)),(9)

с начальными условиями

^x(to) = 0.(10)

С другой стороны, ясно, что, приращение функционала S(u), отвечающее приращению Au(t) управления, имеет следующий вид:

S(u) = S(u) — S(u) =

= p(x(ti) + Ax^S) — p(x(t1)).(11)

Через ф(t') обозначим пока неизвестную n —мерную вектор-столбец и положим H(t,x,upp) = ф ' (1) f(t,x,u).

Здесь и в дальнейшем, штрих для векторов означает операцию скалярного произведения, а для матриц - транспонирование. Функцию H(t,x, u, ф) назовем функцией Гамильтона-Понтрягина для рассматриваемой задачи оптимального управления (5)-(8).

Умножая обе части соотношения (9) слева скалярно на ф(t), а затем, суммируя обе части полученного тождества по t от t0 до t1 — 1 и принимая во внимание выражение функции Гамильтона-Понтрягина, получаем, что t1-1                               ^1-1

^ ф'(t)Aa(Ax(t + 1)) = ^ ф'(1) [f(t,x(t),u(t)) — f(t,x(t),u(t))] = t=to                              t=to t1-1

= ^ [н(t_lx(t)_lй(t)_lф(t)) — H(t,x(t),u(t),ф(t))].

t = t o

С учетом этого тождества приращение (11) функционала получим, что ti-i

AS(u) = ^(x(ti) + Ax(ti)) — ^(x(ti)) + У ^'(t) Aa(Ax(t + 1)) — t=to ti-i

— У [H(t,x(t),u(t),^(t)) — H(t,x(t),u(t),^(t))].             (12)

t = t o

Теперь займемся преобразованием левой части слагаемого этой формулы. С этой целью рассмотрим выражение t1-1

У ^'(t)Aa(Ax(t + 1)) t = to

Сделав в нем замену переменных t + 1 = 5 и учитывая начальное условие, полу- чим ti-i                                    ti

У ^'(t)Aa(Ax(t +1)) = У ^'(t —1)Aa(Ax(t)) = t=t0                            t=t0+i ti-i

= ^'(ti — 1)Aa(Ax(ti)) —Mto — 1)Aa(Ax(t0)) + У ^'(t—1)Aa(Ax(t)) = t=to ti-i

= ^'(ti — 1)Aa(Ax(t1)) + У ^'(t — 1) Aa(Ax(t)).           (13)

t = t o

Далее, с учетом теоремы о дробном суммировании по частям, приведенной выше, имеем

ti-i

У ^'(t — 1) Aa(Ax(t)) = ^'(ti — 1)Ax(ti) — ^'(to — 1)Ax(to) + t=to ti-2

+ У tAap(t1)^(t — 1)Ax(t) + j^Ax(to) x

)=

( t i -i                              t i -i

У(t + д — to)(M-1)^(O — У (t + д — o^to))^ i)Ax(t) t=t0                             t=a(a)

t i -2

= ^'(ti — 1)Ax(ti) + У tAap(ti)^(t — 1)Ax(t).

t=t o

С учетом тождества (14) из (12) получим

AS(u) = ^(x(ti) + Ax(ti)) — ^(x(ti)) + ti-2

+^'(ti — 1)Ax(ti) + У tAap(ti)^(t — 1)Ax(t) — t = to ti-i

— У [H(t,x(t),u(t),^(t)) — H(t,x(t),u(t),^(t))].           (15)

t=t o

В дальнейшем будут использованы обозначения типа

H x ^[t^] = H x (t,x⁽t),y⁽t),u(t),V(t)), H xx ^[t^] = H xx (t,x⁽t),y⁽t),u⁽t),$(ty), H_u^[t] = H_u(t,x⁽t),y⁽t),u(t),V(t)), f x ^[t] = f x (t,x⁽t⁾,y⁽t⁾,u⁽t⁾), f y ^[t\ = f y (t,x⁽t⁾,y⁽t⁾,u⁽t⁾}, f_u^[t\ = f_u(t,x⁽t⁾,y⁽t⁾,u⁽t⁾).

При сделанных предположениях формулу приращения из (15), используя формулу Тейлора и функционала S(u), соответствующих допустимым управлениям u(t) и u(t) можно представить в виде:

AS(u) = Vx(x(ti))Ax(ti) +-Ax\ti)pxx(x(ti))Ax(ti) + ti-1

t i ~2

+ ^'(t1 — 1)Ax(t1) + У ^'(t — -)Ax(t) — t=to ti-1

У :A'p -i^'t — 1)Ax(t) — У \H^\t]Лx(t) + H^]Au(t)-\ — t=t0

t = t o

^ 1 ^-1

— 2^ ^[Ax ' (t⁾H xx ^[t\Ax⁽t⁾ + Ax’⁽t⁾H x _U^[t\Au⁽t⁾ + t=t o

+2Au'(t)Hux[t]Ax(t) + Au'(t)Huu[t]Au(t)'] + ti-1 +01(||Д*О|2) - У o2[|Ax(t)| + Hu(t)|\2. t = to

Теперь предположим, что ^(t) является решением следующей системы линейных однородных дробного порядка разностных уравнений:

( t i —2

У t ^Aa p(t !)^'^{(t -1)} = ^H x ^[t], ^t = ^t 1 ^{— -,t} 1 ^— 2,  , ^t 0 ,

t=t0 №i

-

1) = -^ x (x⁽t i )).

Эту систему уравнений с заданным начальным условием назовем сопряженной системой в рассматриваемой задаче (5)-(8).

При выполнении соотношений (17) формула приращения (16) примет следующий вид:

1                                    t i -1

1 ^ 1 ^-1

— у У ^[Ax ' (t⁾H xx ^[t\Ax⁽t⁾ + Ax ' ⁽t⁾H x _U^[t\Au⁽t) + t=t o

+2Au'(t)Hux[t]Ax(t) + Au'(t)Huu[t]Au(t)] + ti-1

+O i (|Ax(t i )|²) - У o₂[|Ax(t)| + |Au(t)|\² . t=t o

В силу выпуклости множество U специальное прирашение оптимального управления u(t) определим следующим образом:

Au(t; е) = E[v(t) — u(t)].                         (18)

Здесь е Е [0,1] —произвольное число, а v(t) Е U,t Е Т.

Через Ax(t; е) обозначим специальное приращение оптимальной траектории x(t), отвечающей специальному приращению управления u(t), определяемое формулой (18).

Используя схему работы [15] по аналогии, доказывается оценка t-i l|x(t + 1)п < Li ^(1 + ^(tjOHAuQOID, j=t0

здесь L 1 = const > 0,t Е Т U t_i .

Из этого неравенства получаем, что t-i                                 t-i

|Ax(t;_E)|i n^^^Au^Ell’ - H^W—uWID- (19)

j = t o                                             j = t o

С учетом оценки (19) получаем, что llAx^E)!! < еПv(t) — u(t)n.

Можно показать, что

Ax(t: e) = El(t) + o(e; t),(20)

где I (t) — n-мерная вектор-функция является решением системы уравнений

с начальным условием

i(to) = 0.

Принимая во внимание формулы (18)–(22) из формулы приращения (16) получим

S(u(t) + Au(t: e)) — S(u(t)) = ti-i

= —е£н;и(р(о t=to

—u(t))+E-A^ti^^ta^ife)—

"y£ [f(t)H=[t]i(t) + T(t)/A:UИ(1ЧО

— u(t)) +

+(r(t) — u^'H^Xt) +

+ (r(0 — uCOyCOHuJtX^t) — u(t))] + o(E-).      (23)

Разделяя обе части разложения (23) на е и переходя пределу при е ^ 0 получаем, что ti-i

^ A^oHuM^t) — u(t)) < 0.

t = t o

Таким образом доказано следующее утверждение.

Теорема 3. (линеаризованный принцип максимума). Для оптимальности допустимого управления u(t) необходимо, чтобы неравенство (24) выполнялось для всех v(t) Е U, tET.

Соотношение (24) представляет собой аналог линеаризованного (дифференциального) условия максимума и является необходимым условием оптимальности первого порядка.

Изучим случай его вырождения.

Определение 4. Допустимое управление u(t) назовем квазиособым управлением , если для всех v(t) Е U,t Е T :

t i -i

^ H‘[t](v(t) - u(t)) = 0.                    (25)

t = t o

Из разложения (23) с учетом (25) сразу следует, что для оптимальности квазиосо-бого управления u(t) необходимо, чтобы неравенство t i -i

l'Cti)^xx(x(ti))lCti) - ^ [l'(t)Hxx[t]l(t) + 2V(t}Hxv[t](v(t) - u(t)) + t=to

+ (v(t) - u(t))'(t)Hllu[t](v(t) - u(t))] > 0 .            (26)

выполнялось для всех v(t) E U, t E T.

Неравенство (26) является неявным необходимым условием оптимальности ква-зиособых управлений. Но используя его можно получить необходимое условие оптимальности, выраженное непосредственно через параметры рассматриваемой задачи.

Уравнение (21) является линейным неоднородным разностным уравнением дробного порядка относительно l(t) с начальным условием (22). Поэтому решение задачи (21)–(22) на основе результата теоремы 2 допускает представление t-i

Kt) = ^ Ra(t - I'DfuVKvQ) - u^')) X j=to t-1

X П [1 + Ra(t-1,k)fx[k]] .           (27)

k=j+i

Используя представления (27), займемся преобразованием отдельных слагаемых в неравенстве (26).

Ясно, что l'(t1)^xx(x(t1))l(t1) = ti-i ti-i

= ^ ^ Ra(t - 1,T)fu[T](v(T) - u(T)) X

^= ^t 0 ^s = ^t 0 t i -i

X П^1+^Rat-^r'^k)f^^k]№x^^^^ k=r+i t i -i

XRa(t-1,S)fu[S](v(s)-u(s)) П [1 +Ra(t- 1,k)fx[k]].

k=s+i

Неравенство (26) можно преобразовать к виду

£ 1 -1 t j -1

ss R_a(t - 1,t)/_u[i^](v(i) - u(t)) x

T=t o S = £ o

£1-1

X П [1 + Ra(t — 1'k)^%[k]]^%%(%(t1))x к=т+1

£ 1 -1

X Ra(t- ^ХАМ^Ф -U(5)) П I1 +Ra(t-1J<)/yl^l| fc=s+1

-

£ 1 — 1 £ 1 -1

- S S Ra(t - 1't)A[t](v(t) - u(t)) X

T= ^£ o S = ^£ 0

£ 1 -1

X    П    |1 + Ra(t - L^/Jt1] Я^

fc=max (t+1,s+1)

X [1 + Ra(t - WxMjRaCt - 1,s)/u[s](v(S) - u(s)) +

£ 1 -1 Г £-1

+2SIS Ra(t - 1«T)/u[T](v(T) - Mfr)) X

T=£o |r=£o

£-1

X П [1 + Ra(t"1>fc)/x[fe]]Hxu[t](r(t)-u(t))

fc=T+1

+(v(0 - и(О)'(ОЯииИ(г(О - и(0)] > 0 .

Пусть Ф (t, s) - (n x n) матричная функция, определяемая формулой

£ 1 -1

$(T,s) = -Ra(t"1,T) П [1 + Ra(t - 1, ШД^Ы/хС^)) X fc=T+1 £1-1

XRa(t-1, t) П [1 + RaG - ^^АИ] + k=s+1

+^R a ^{(t - 1,t)}

£ 1 -1

П    [1 +Ra(t- 1,T)/i[l]]Wxx[t][1 +Ra(t- ^АМ].

fc=max(r+1,s+1)

Учитывая формулу (29), неравенство (28) записывается в виде

£ 1 -1 £ 1 -1

SS (vCO - u⁽t⁾)/ ' _u^[t^]0(t,s)/ „ ^[s^](v(s) - u(s)) + r=£ o 5=£ o

+2

£ 1 -1 Г £-1 SIS T=£o |r=£o

Ra(t - ^тУиИ^Ст) - Mfr)) X

£-1

X П [1 + RaCt - 1,к)А[Л]]ЯхиМ(^(0 - и(О) + fc=T+1

t- 1 -1

+ ^ (v⁽t) — u⁽t⁾) ' H_uu[t](v⁽t⁾ - u⁽t⁾) <  0.             (30)

t=t o

Теорема 4. Для оптимальности квазиособого управления u(t) в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы неравенство (30) выполнялось для всех u(t) Е U,t Е Т.

Приведем одно следствие, вытекающее из теоремы 3.

Следствие. Если u(t) квазиособое управление, то для его оптимальности необходимо, чтобы неравенство

(v - u(e)) ' f_l ; [e]Ф(e, e)f_u[e](v - u(e)) +

+(v - u(e))'H_uu[e](v - u(e)) <  0                   (31)

выполнялось для всех e Е Т и v Е U.

Доказательство: Используя произвольность v(t), определим его следующим образом:

f v,t = e ЕТ,

v(t)   {u(t), t^e ЕТ,                          (32)

где e Е Т и v Е U произвольный вектор.

Учитывая формулы (32) в неравенстве (30), приходим к неравенству (31). Этим следствие доказано.

Заключение

В рассматриваемой терминальной задаче оптимального управления, при предположении о выпуклости области допустимых управлений, получен аналог линеаризованного условия оптимальности, представляющего собой дискретный аналог принципа максимума Понтрягина. Особое внимание уделено случаю, когда линеаризованное условие максимума вырождается, то есть становится тривиальным. Такие управления называются квазиособыми и требуют отдельного анализа. Для квазиособых управлений получены квадратичные необходимые условия оптимальности, которые являются более информативными, чем линеаризованные условия.

Полученные результаты могут быть использованы для решения практических задач управления системами с дробной динамикой, в частности, в экономике, в биологии и технике. В качестве перспективных направлений дальнейших исследований можно отметить разработку численных методов для решения задач оптимального управления с ква-зиособыми управлениями на основе полученных условий, расширение результатов на случай невыпуклых областей управления, исследование влияния параметров дробного порядка на свойства оптимальных управлений. Таким образом, данная работа внесла вклад в теорию оптимального управления разностными системами дробного порядка и открывает перспективы для дальнейших исследований в этой области.