Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе

Напомним, что непрерывная на всей действительной оси функция f (x) называется равномерной почти-периодической, если для каждого е >  0 можно указать такое по-ложителыюе число l = 1(е). что в каждом iштервале длины l найдется хотя бы одно число т, для которого выполняется неравенство

|f (x + т ) — f (x)| < е (—то < x < то).

Пространство равномерных почти-периодических функций, его обозначим через В, есть замыкание множества, тригонометрических полиномов

T(x) = XX ake^,    ak e C, Xk,x E R, n E N k=i по норме kf Wb = sup|f(x)|.

x

Основные сведения о функциях из пространства B можно найти в [1] или [2]. Пусть f (x) равномерная почти-периодическая функция с рядом Фурье

A + 55 Ak cos Xkx + Bk sin Xkx. k

Покажем, что существует гармоническая и непрерывная для ст >  0 функция U (x, ст), совпадающая с f (x) щ>и ст = 0 с нормой

||U ( x,ct ) W b = sup |U(x, ст)|.

x

Рассмотрим функцию, представимую интегралом Пуассона

∞

U⁽x ^ = — / ^{f (t)} , 2 ₊ (t - x) 2 ^dt ^ > °)-

-∞

Непосредственно проверяется, что функция

u⁽x-^{<,) =} , 2 + (_t - x )

при фиксированном t и , > ° является гармонической. Действительно,

∂u ∂σ	(t — x)2 — ,2       d2 u 2,3 — 6,(t — x)2 = [,2 + (t — x)2]2 ’      d,2 = [,2 + (t — x)2]3 ’
∂u dx = Отсюда	2,(t — x)         d2u —2,3 + 6,(t — x)2 _ [,2 + (t — x)2]2 ’      dx2 = [,2 + (t — x)2]3 d2u d2u ° d,2 dx2    ,

т. е. функция u(x,,) = o^+p-x^ удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, она является гармонической, поэтому U (x,,) также гармоническая функция.

Теперь покажем, что при a >  ° и U (x,,) по переменной x является почти-периодической функцией и притом равномерно для всех , > °. С помощью подстановки

t — x = ,u получим

1 [ f (x + ,u) , ^U^"^ — J   1+ u 2 du^-

-∞

Если т есть e -почти-период функции U (x, ,), то в силу определения равномерных почти-периодических функций, имеем

|U(x + т, а) — U (x, ,)| =

∞

1 [ If(x + ,u + т ) — f (x + ,u)| du

П             1 + u2

-∞

∞

6πε

-∞

du

1 + и2

ε

= —— = е, π

что и доказывает почти-периодичность функции U(x,,)

Далее, мы должны показать, что U (x,,) ^ f (x) пр и ст ^ °. С этой целью построим ряд Фурье функции U (x,,). Если обозначить через

T

M_x{U(x,,)cos Ax} = Tlim ^ t У U(x,,)cos Axdx

-T

среднее значение функции U (x,,)cos Ax, то имеем

∞

M_x{U(x,,) cos Ax} = — J

-∞

du

----кMx{f (x + ,u) cos Ax} 1 + u²

OO

^{1    cos A,u du}

= -    ———5 —Mx{f (x)cos Ax} = Mx{f (x)cos Ax} exp(—|A|,).

—      1 + u2

-∞

Аналогично

∞

Mx{U (x, ст) sin

Ax} = П J

sin Aстu du

1 + u²

Mx{f (x) sin Ax} = M_x{f (x) sin Ax} exp(—|A|ст).

-∞

Поэтому

U (x, ст) ~ A + ^2(Ak cos Akx + Bk sin Akx) exp(-Akст). k

Из последнего ряда и представления (1) следует, что при ст ^ 0 и U (x, ст) ^ f (x), притом равномерно по x.

Наряду с функцией f (x) рассмотрим функцию

∞

g₍x)=l ( f (x + t) ^- fW dt, πt

-∞ которая [3] при условии j t-1w(f; t) dt < to                                    (2)

будет функцией непрерывной на всей вещественной оси, где w(f; t) — модуль непрерывности функции f (x) в равномерной метрике.

Известно [1], что если равномерно по x

У f (x +1) dt

< M,

g(x)

пня V(x, ст) (ст > 0). сопряженная к rapeюннчеекой функции U(x, ст), при выполнении условия (3) будет также равномерной почти-периодической с рядом Фурье

У^ (Bk cos Akx + Ak sin Akx) exp(-Ak ст). k

Пусть f (x) E B. За меру отклонения функции U(x, ст) от ее грашни ilix значений f (x) примем величину

A(f; ст)в = kU(x,^ - f (x)kB.

Отметим, прежде всего, некоторые свойства величины A(f; ст)в.

Лемма. Если U(x, ст) гармоническая функция и имеет своими граничными значениями функцию f (x) E B. то

A(f; ст1 + ст2 ) b 6 A(f; ст1)в + A(f; ст2)в,

A(f; пст)в 6 nA(f; ст)в, где n — любое натуральное число.

C Неравенство (5) является следствием (4). Для доказательства свойства (4) воспользуемся очевидным тождеством

∞

U (х,СТ1 + СТ2) - U (х,СТ1 ) = -    {U(х + t,CT2) - f (х + t)\ „ ^СТ1 ₉ dt,

—                                   t² + ст2

-∞

справедливым для любой гармонической функции U (х, ст). Применяя обобщенное неравенство Минковского, получим

∞

А(^СТ1 + СТ2 )в - A(f,CT1)в 6- [ kU (х + t,CT2) - f (х + t)kB ~ ^СТ1 ₂ dt п                                     t² + ст 2

-∞

или

∞

A(f,СT1 + СТ2)в 6 А(ДстДв + - [ kU (х + t,CT2) - f (х + t)kB ₂^СТ1 ₂ dt. п                                    t ² + ст ₁ ²

-∞

Из последнего неравенства вытекает (4). в

Теперь приведем ряд утверждений, которые обеспечивают возможность оценивать поведение величины A(f, ст)в в зависимости от свойств их граничных значений f (х) Е B. В качестве характеристики свойств граничных функций рассматриваются модули непрерывности.

Теорема 1. Пусть f (х) равномерная почти-периодическая функция. Тогда справедлива оценка.

^U',°b 6

Сп< 1 + j

“f dt .,

где Шк(f ; t) — модуль пепрерыыюстп порядка k. а константа C не зависит от ст.

C В работе [4] установлено, что в сякая гармоническая функция U (ст, х) представима интегралом Пуассона

∞

U(х,ст) = — j f (х + t) t2+—2 dt (ст >  0).

-∞

Поэтому, как показано в [5] (см. [5, с. 97]), имеем

∞

A(f; ст)в =

k-r (k )f (х + rt)^

σ t2 + ст2 dt

B

гт- f(х) Е S.

Применяя неравенство Минковского и разбивая правую часть полученного неравенства на три слагаемых, находим

∞                       σ1∞

A(f; ст)в 6 — У Шк (f; t)B^^+^-2 dt = — I у + У + у I Шк (f; t)B ₁2₊^_СТ2 dt

0                                     0 σ 1

1∞

6 Шк(f ; ст)в + — j ^Шк(1^ dt + — j ^{Ш к (} f 2 ^{t ) B} dt = Ii + I2 + I3.

σ 1

Так как функция f (x) G B почти всюду на [0, ст] совпадает с некоторой функцией ограниченной вариации, то (например, см. [3, с. 140])

Wk(f ; ст)в = О(ст).

Третье слагаемое I3 ^ 0 пр и ст ^ 0, кроме того, интеграл в третьем слагаемом сходится, т. е. является конечным числом. Из оценок для величин I1, I2, I3 получаем утверждения теоремы 1.

При f (x) G Lp (1 6 p <  то) результаты аналогичного характера получены в работе [5]. В качестве характеристики свойств граничных функций рассмотрены наилучшие приближения целыми функциями экспоненциального типа.

Теорема 2. Пусть f (x) равномерная почти-периодическая функция и для нее выполнены условия (2) и (3). Тогда

' СУ                                 1

м з                /^k(f;t)/^k(f;t)

A(g, ст)в 6 C ст +   --- 1---dt + ст —— dt

<         0                                 ст

Доказательство этой теоремы основывается на том же приеме, что и в доказательстве теоремы 1, нужно лишь в место функции f (x) взять g(x) = П J—R ^f ( x + t) ^f(x) dt, _a u (x, ст) Зсгмепить па V(x, ст).

Теорема 3. Если гармоническая в верхней полуплоскости функция U(x, ст) равномерно по ст (ст > 0) удовлетворяет условию

|U(x,^ 6 K а почти-периодическая функция f (x) (|f (x) | 6 K) — ее граничные значения в равномерной метрике, то

W2(f; ст)в 6 C A(f; ст)в.                                    (G)

C В силу теоремы Ла,гранжа для любого ст > 0 имеем

U(x, ст) — U(x, 2ст) = oU(x, ст + 6ст)     (0 <6 = 6(x, ст) < 1).

Поскольку функция UZ (x, z) в верхней полуплоскости также будет гармонической и ограниченной в полуплоскости z > ст, то применяя к ней принцип максимума для гармонических и ограниченных функций получим

A(f; ст)в + A(f ;2ст)в sup |UZ(x, z)| 6--------------------------- (z > 2ст).

xσ

Поэтому в силу неравенства, для производных от гармонических функций [1], имеем

\т тП ( 9 к vA(f; ст) B + A(f; 2ст)В      / q \                  { sup U„„ (x, 3ст)| 6 K------------2----------- (z > 2ст),                О)

xσ где K — константа. не зависящая от функции f (x) G B 11 ст > 0. Оценим вторую разность функции f (x) с инмом ст:

|f (x) — 2f (x + ст) + f (x + 2ст)| 6 |f (x) — U(x, 3ст) | + 2|f (x + ст) — U(x + ст, 3ст) | +|f (x + 2ст) — U(x + 2ст, 3ст)| + |U(x, 3ст) + U(x + 2ст, 3ст) — 2U(x + ст, 3ст)|

СУ           СУ

6 4A(f ;3ст)в +

d61

UX0x(x + 61 + 62, 3ст) d62

B

Выше было доказано, что функция U (x,a) удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является гармонической. Следовательно, в силу (7) получим

^2 (f; а)в 6 C1A(f ; 3а)в + a² sup |U"_CT(x, 3a)| 6 C₂A(f ; 3а)в + A(f; a^ + A(f; 2a) в. x

Отсюда, если в последнем неравенстве использовать свойство (7), получаем

^2(f; a) в 6 C?A(f ; a) в . ▻

В работе [3, с. 275] установлена оценка снизу величины wk(f(r); h)Lp, имеющая при любом 1 6 p 6 ТО вил

^k ff (r);¹)    > Car A.(f )Lp,                                (8)

σ Lp               p где A„(f )lp — наилучшее приближение функции f (x) посредством целых функций степени нс выше a в заданной метрике Lp(—to, то).

Из (6) с помощью оценки (8) при r = 0, к = 2 для функции f (x) Е B и a > 0 легко можно установить, что

A'(f)в 6 C A(f; а)в .

В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 ранее приведены автором без доказательства в работе [6].