Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе
Автор: Хасанов Юсуфали Хасанович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.17, 2015 года.
Бесплатный доступ
В работе установлен ряд утверждений, которые позволяют оценить меру отклонений гармонической почти-периодической функции от их граничных значений. В качестве граничных значений рассматриваются равномерные почти-периодические функции, а как характеристики свойств граничных функций - модули непрерывности.
Почти-периодическая функция, гармоническая функция, граничные значения, модуль непрерывности
Короткий адрес: https://sciup.org/14318523
IDR: 14318523
Текст научной статьи Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе
Напомним, что непрерывная на всей действительной оси функция f (x) называется равномерной почти-периодической, если для каждого е > 0 можно указать такое по-ложителыюе число l = 1(е). что в каждом iштервале длины l найдется хотя бы одно число т, для которого выполняется неравенство
|f (x + т ) — f (x)| < е (—то < x < то).
Пространство равномерных почти-периодических функций, его обозначим через В, есть замыкание множества, тригонометрических полиномов
T(x) = XX ake^, ak e C, Xk,x E R, n E N k=i по норме kf Wb = sup|f(x)|.
x
Основные сведения о функциях из пространства B можно найти в [1] или [2]. Пусть f (x) равномерная почти-периодическая функция с рядом Фурье
A + 55 Ak cos Xkx + Bk sin Xkx. k
Покажем, что существует гармоническая и непрерывная для ст > 0 функция U (x, ст), совпадающая с f (x) щ>и ст = 0 с нормой
||U ( x,ct ) W b = sup |U(x, ст)|.
x
Рассмотрим функцию, представимую интегралом Пуассона
∞
U(x ^ = — / f (t) , 2 + (t - x) 2 dt ^ > °)-
-∞
Непосредственно проверяется, что функция
u(x-<,) = , 2 + (t - x )
при фиксированном t и , > ° является гармонической. Действительно,
∂u ∂σ |
(t — x)2 — ,2 d2 u 2,3 — 6,(t — x)2 = [,2 + (t — x)2]2 ’ d,2 = [,2 + (t — x)2]3 ’ |
∂u dx = Отсюда |
2,(t — x) d2u —2,3 + 6,(t — x)2 _ [,2 + (t — x)2]2 ’ dx2 = [,2 + (t — x)2]3 d2u d2u ° d,2 dx2 , |
т. е. функция u(x,,) = o^+p-x^ удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, она является гармонической, поэтому U (x,,) также гармоническая функция.
Теперь покажем, что при a > ° и U (x,,) по переменной x является почти-периодической функцией и притом равномерно для всех , > °. С помощью подстановки
t — x = ,u получим
1 [ f (x + ,u) , U^"^ — J 1+ u 2 du-
-∞
Если т есть e -почти-период функции U (x, ,), то в силу определения равномерных почти-периодических функций, имеем
|U(x + т, а) — U (x, ,)| =
∞
1 [ If(x + ,u + т ) — f (x + ,u)| du
П 1 + u2
-∞
∞
6πε
-∞
du
1 + и2
ε
= —— = е, π
что и доказывает почти-периодичность функции U(x,,)
Далее, мы должны показать, что U (x,,) ^ f (x) пр и ст ^ °. С этой целью построим ряд Фурье функции U (x,,). Если обозначить через
T
Mx{U(x,,)cos Ax} = Tlim ^ t У U(x,,)cos Axdx
-T
среднее значение функции U (x,,)cos Ax, то имеем
∞
Mx{U(x,,) cos Ax} = — J
-∞
du
----кMx{f (x + ,u) cos Ax} 1 + u2
OO
1 cos A,u du
= - ———5 —Mx{f (x)cos Ax} = Mx{f (x)cos Ax} exp(—|A|,).
— 1 + u2
-∞
Аналогично
∞
Mx{U (x, ст) sin
Ax} = П J
sin Aстu du
1 + u2
Mx{f (x) sin Ax} = Mx{f (x) sin Ax} exp(—|A|ст).
-∞
Поэтому
U (x, ст) ~ A + ^2(Ak cos Akx + Bk sin Akx) exp(-Akст). k
Из последнего ряда и представления (1) следует, что при ст ^ 0 и U (x, ст) ^ f (x), притом равномерно по x.
Наряду с функцией f (x) рассмотрим функцию
∞
g(x)=l ( f (x + t) - fW dt, πt
-∞ которая [3] при условии j t-1w(f; t) dt < to (2)
будет функцией непрерывной на всей вещественной оси, где w(f; t) — модуль непрерывности функции f (x) в равномерной метрике.
Известно [1], что если равномерно по x
У f (x +1) dt
< M,
g(x)
пня V(x, ст) (ст > 0). сопряженная к rapeюннчеекой функции U(x, ст), при выполнении условия (3) будет также равномерной почти-периодической с рядом Фурье
У^ (Bk cos Akx + Ak sin Akx) exp(-Ak ст). k
Пусть f (x) E B. За меру отклонения функции U(x, ст) от ее грашни ilix значений f (x) примем величину
A(f; ст)в = kU(x,^ - f (x)kB.
Отметим, прежде всего, некоторые свойства величины A(f; ст)в.
Лемма. Если U(x, ст) гармоническая функция и имеет своими граничными значениями функцию f (x) E B. то
A(f; ст1 + ст2 ) b 6 A(f; ст1)в + A(f; ст2)в,
A(f; пст)в 6 nA(f; ст)в, где n — любое натуральное число.
C Неравенство (5) является следствием (4). Для доказательства свойства (4) воспользуемся очевидным тождеством
∞
U (х,СТ1 + СТ2) - U (х,СТ1 ) = - {U(х + t,CT2) - f (х + t)\ „ СТ1 9 dt,
— t2 + ст2
-∞
справедливым для любой гармонической функции U (х, ст). Применяя обобщенное неравенство Минковского, получим
∞
А(^СТ1 + СТ2 )в - A(f,CT1)в 6- [ kU (х + t,CT2) - f (х + t)kB ~ СТ1 2 dt п t2 + ст 2
-∞
или
∞
A(f,СT1 + СТ2)в 6 А(ДстДв + - [ kU (х + t,CT2) - f (х + t)kB 2СТ1 2 dt. п t 2 + ст 1 2
-∞
Из последнего неравенства вытекает (4). в
Теперь приведем ряд утверждений, которые обеспечивают возможность оценивать поведение величины A(f, ст)в в зависимости от свойств их граничных значений f (х) Е B. В качестве характеристики свойств граничных функций рассматриваются модули непрерывности.
Теорема 1. Пусть f (х) равномерная почти-периодическая функция. Тогда справедлива оценка.
^U',°b 6
Сп< 1 + j
“f dt .,
где Шк(f ; t) — модуль пепрерыыюстп порядка k. а константа C не зависит от ст.
C В работе [4] установлено, что в сякая гармоническая функция U (ст, х) представима интегралом Пуассона
∞
U(х,ст) = — j f (х + t) t2+—2 dt (ст > 0).
-∞
Поэтому, как показано в [5] (см. [5, с. 97]), имеем
∞
A(f; ст)в =
k-r (k )f (х + rt)^
σ t2 + ст2 dt
B
гт- f(х) Е S.
Применяя неравенство Минковского и разбивая правую часть полученного неравенства на три слагаемых, находим
∞ σ1∞
A(f; ст)в 6 — У Шк (f; t)B^^+^-2 dt = — I у + У + у I Шк (f; t)B 12+^СТ2 dt
0 0 σ 1
1∞
6 Шк(f ; ст)в + — j Шк(1^ dt + — j Ш к ( f 2 t ) B dt = Ii + I2 + I3.
σ 1
Так как функция f (x) G B почти всюду на [0, ст] совпадает с некоторой функцией ограниченной вариации, то (например, см. [3, с. 140])
Wk(f ; ст)в = О(ст).
Третье слагаемое I3 ^ 0 пр и ст ^ 0, кроме того, интеграл в третьем слагаемом сходится, т. е. является конечным числом. Из оценок для величин I1, I2, I3 получаем утверждения теоремы 1.
При f (x) G Lp (1 6 p < то) результаты аналогичного характера получены в работе [5]. В качестве характеристики свойств граничных функций рассмотрены наилучшие приближения целыми функциями экспоненциального типа.
Теорема 2. Пусть f (x) равномерная почти-периодическая функция и для нее выполнены условия (2) и (3). Тогда
' СУ 1
м з /^k(f;t)/^k(f;t)
A(g, ст)в 6 C ст + --- 1---dt + ст —— dt
< 0 ст
Доказательство этой теоремы основывается на том же приеме, что и в доказательстве теоремы 1, нужно лишь в место функции f (x) взять g(x) = П J—R f ( x + t) f(x) dt, a u (x, ст) Зсгмепить па V(x, ст).
Теорема 3. Если гармоническая в верхней полуплоскости функция U(x, ст) равномерно по ст (ст > 0) удовлетворяет условию
|U(x,^ 6 K а почти-периодическая функция f (x) (|f (x) | 6 K) — ее граничные значения в равномерной метрике, то
W2(f; ст)в 6 C A(f; ст)в. (G)
C В силу теоремы Ла,гранжа для любого ст > 0 имеем
U(x, ст) — U(x, 2ст) = oU(x, ст + 6ст) (0 <6 = 6(x, ст) < 1).
Поскольку функция UZ (x, z) в верхней полуплоскости также будет гармонической и ограниченной в полуплоскости z > ст, то применяя к ней принцип максимума для гармонических и ограниченных функций получим
A(f; ст)в + A(f ;2ст)в sup |UZ(x, z)| 6--------------------------- (z > 2ст).
xσ
Поэтому в силу неравенства, для производных от гармонических функций [1], имеем
\т тП ( 9 к vA(f; ст) B + A(f; 2ст)В / q \ { sup U„„ (x, 3ст)| 6 K------------2----------- (z > 2ст), О)
xσ где K — константа. не зависящая от функции f (x) G B 11 ст > 0. Оценим вторую разность функции f (x) с инмом ст:
|f (x) — 2f (x + ст) + f (x + 2ст)| 6 |f (x) — U(x, 3ст) | + 2|f (x + ст) — U(x + ст, 3ст) | +|f (x + 2ст) — U(x + 2ст, 3ст)| + |U(x, 3ст) + U(x + 2ст, 3ст) — 2U(x + ст, 3ст)|
СУ СУ
6 4A(f ;3ст)в +
d61
UX0x(x + 61 + 62, 3ст) d62
B
Выше было доказано, что функция U (x,a) удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является гармонической. Следовательно, в силу (7) получим
^2 (f; а)в 6 C1A(f ; 3а)в + a2 sup |U"CT(x, 3a)| 6 C2A(f ; 3а)в + A(f; a^ + A(f; 2a) в. x
Отсюда, если в последнем неравенстве использовать свойство (7), получаем
^2(f; a) в 6 C?A(f ; a) в . ▻
В работе [3, с. 275] установлена оценка снизу величины wk(f(r); h)Lp, имеющая при любом 1 6 p 6 ТО вил
^k ff (r);1) > Car A.(f )Lp, (8)
σ Lp p где A„(f )lp — наилучшее приближение функции f (x) посредством целых функций степени нс выше a в заданной метрике Lp(—to, то).
Из (6) с помощью оценки (8) при r = 0, к = 2 для функции f (x) Е B и a > 0 легко можно установить, что
A'(f)в 6 C A(f; а)в .
В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 ранее приведены автором без доказательства в работе [6].
Список литературы Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе
- Левитан Б. М. Почти-периодические функции.-М.-Л.: Гостехиздат, 1947.
- Бор Г. Почти периодические функции.-М.: Книжный дом "Либроком", 2009.
- Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного.-М.: Физматгиз, 1960.
- Hill E., Tamarkin I. On the absolute integrability of Fourier transforms//Fundam. Math.-1935.-Vol. 25.-P. 329-352.
- Тиман М. Ф. Приближение функций, заданных на всей вещественной оси, целыми функциями экспоненциального типа//Изв. вузов. Математика.-1969.-№ 2.-C. 89-101.
- Хасанов Ю. Х. Об отклонении гармонических почти-периодических функций от их значений на границе//Матер. 17-й междунар. Саратовской зимней школы, посвящ. 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова "Современные проблемы теории функций и их приложений".-Саратов, 2014.-C. 282-285.