Об угле Уилсона в нормированном пространстве
Автор: Энеева Лиана Магометовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.1, 1999 года.
Бесплатный доступ
Проблема характеризации гильбертова пространства в классе банаховых пространств является довольно интересной и популярной проблемой в функциональном анализе. Известно большое количество критериев гильбертовости банаховых пространств. В этой статье приводится одно из условий, характеризующее гильбертово пространство в классе банаховых пространств.
Короткий адрес: https://sciup.org/14317997
IDR: 14317997
Текст научной статьи Об угле Уилсона в нормированном пространстве
Проблема характеризации гильбертова пространства в классе банаховых пространств является довольно интересной и популярной проблемой в функциональном анализе. Известно большое количество критериев гильбертовости банаховых пространств. В этой статье мы приводим одно из условий, характеризующее гильбертово пространство в классе банаховых пространств.
В работе [1] Уилсон определил угол в произвольном метрическом пространстве X с метрикой d следующим образом: если a, b, с Е X — произвольные точки, то угол (бас) с вершиной в точке а определяется по формуле bac = arccos
d2 (а, б) + d2 (а, с) — d2 (b, с)
2d^a, ЬДД, с)
Покажем, что это определение корректно, т. е.
— 1 < arccos
d2 (а, б) + d2 (а, с) — d2(b, с)
2d^a, ЬДД, с)
< 1.
Действительно, с одной стороны, d^b, с) < d^a, б) + d^a, с);
d2^b, с) < d2^, б) + d2^a, с) + 2d(a, ЬДД, с);
—2d(a, b^a, с) < d2^b, а) + d2^a, с^ — d2^b, с).
С другой стороны, d^b, с) > d^a,^ — d^a,c\, d2(b, с) > d2^, б) + d2^a, с) — 2d(a, ЬДД, с);
2d(a, b^a, с) > d2^b, а) + d2^, с^ — d2^b, с).
Следовательно, (2) выполняется и определение (1) корректно.
Если R, R' — два метрических луча (метрический луч — конгруэнтный образ полупрямой) с общей начальной точкой а такие, что b Е R, с Е R' , то лучи R, R' образуют угол \R, R1], если существует Нт^с-^ Ьас, когда б, с стремятся к а по метрическим лучам R и R' соответственно.
В работе [2] в качестве метрического пространства рассматривалось произвольное нормированное пространство над полем R вещественных чисел и был доказан следующий результат ([2; теорема 6]).
Теорема 1. Линейное нормированное пространство В является пространством со скалярным произведением тогда и толвко тогда, когда существует lim^c-^ bac при b и с стремящихся к а по лучам р и о соответственно для любой тройки точек а, Ь, с и любой пары лучей, проходящих через a, b и а, с соответственно.
Доказательство этой теоремы основывается на пяти утверждениях и теореме из [3]. Мы дадим прямое доказательство приведенного факта.
Заметим, что если a,b G X, то алгебраическая прямая, проходящая через а и Ь, определяемая следующим образом:
L(a, 6) = {ж G X : ж = Aa + (1 - А)6 : A G Щ, является метрической прямой, т. е. отображение
Aa + (1 — А)6 -+ (1 - А)||а - Ь\\
является конгруэнцией между L^a, b) и действительной прямой. Обратно, если а и b две различные точки в X, то а и b определяет единственную метрическую прямую, а именно, алгебраическую прямую.
Действительно, пусть луч берет начало в а и проходит через Ь, тогда ||ж — а|| = || Aa + (1 — А)6 — а|| = ||(1 — А)а +(1 — A)b|| = (1 — А) ||а — 6||; следовательно, отображение (3) ставит в соответствие каждой точке (-)ж G L^a,^ расстояние от начала луча до этой точки, таким образом, L^a,^ — метрическая прямая. А если a,b G X такие, что а ^ Ь, то через них можно провести только одну прямую А с началом в (-)а и А = L^a, b) = {ж = Аж + (1 — А)у, A G [0,1]} — метрическая прямая (если предположить, что можно провести две прямые через а и b (а ^ Ь), то тогда нарушается конгруэнтность отображения (3)).
Приведем доказательство теоремы.
< Пусть В — пространство со скалярным произведением. Покажем, что существует lim^c-m bac, где b и с стремятся к а по полупрямым р и о соответственно. Возьмем произвольные точки Aa + (1 — АД на луче р и ра + (1 — р^Ь на луче о. Тогда,
— a - (1 - АД - Ха 2 + a - (1 - р^с - ра 2
lim bac = arccos пт — ---— — —л—л---—---------— ь,с^а А,м-ы 2 a — (1 — АД — Aa • a — (1 — р)с — ра\\
|| Aa + (1 — АД — ра — (1 — /Дс||2
2||a — (1 — АД — Аа|| • ||а — (1 — р^с — ра\\
= arccos lim А,м->1
" (1 - А)2||а - 6||2 + (1 - ц)2||а - с||2 . 2(1 - А)(1 - ц)||а - Ь\\ • ||а - с||
((1 — А)(6 — а) + (1 — ц)(а — с);(1 — А)(6 — а) + (1 — ц)(а — с))' 2(1 - А)(1 - р)\\а - Ь\\ • ||а - с|| _
[" (1 - А)2||а - 6||2 + (1 - р)2\\а - с||2 - (1 - А)2||а - 6||2
4-62
Лиана М. Энеева
2(1 — А) (1 — /z) (a — с, a — b) (a — c,a — b)
= arccos lim —----—----—---- t— ---— = arccos ----—— ---—.
A,M^1 2(1 - A)(l - /z) a - c • a - b\\ a - c • a - b\\
Таким образом, lim^c-^ bac не зависит от того, как точки по полупрямым рис стремятся к а. Следовательно, 1ппь|С_>о bac существует и lim bac = arccos Ь^с—Уа
||a-6||2 + ||a-C||2-||6-C||2 2||a - b\\ • ||a - c||
Обратно, пусть В — линейное нормированное пространство, в котором существует lim^-^ bac, b и с стремятся к а по полупрямым ри а соответственно, имеющим общую начальную точку (•)«. Тогда предел не зависит от пути по которому b и с стремятся к а по полупрямым р и а соответственно. Действительно, lim bac = arccos lim
Ь^с—Уа
A—^ 1
||a — (1 — A)6 — Aa||2 + ||a — (1 — A)c — Aa||2 2||a — (1 — A)6 — Aa|| • ||a — (1 — A)c — Aa||
||Aa + (1 — A)6 — Aa — (1 — A)c||2
2||a — (1 — A)6 — Aa|| • ||a — (1 — A)c — Aa||
= arccos lim
A—1
(1 - A) = Un - b||= + (1 - Л)= ||a - cF - (1 - A)2!!» - e|| =

С другой стороны, lim bac = b,c—¥a
_ (1 - A)2||a - < + (1 - /z)> - c||2 - ||(1 - p> " c) - (1 - A)(a - 6)||2
2(1 — A)(l —/z)||a — 6|| ■ ||a-c|| '
Положим 1 — A = a; 1 — /z = /3. Следовательно, a, p —> 0 и пусть a, p связаны соотношением p = у. Тогда, продолжая предыдущее, получим:
lim bac = arccos lim
Ь^с—Уа
a,3^^
a2||a — 6||2 + /l2||a — c||2 — ||/3(a — c) — a(a — 6)||2 2a/3||a — 6|| • ||a — c||
= arccos lim a,/?— >0
a2||a — b||2 + ^||a — c||2 — ||^(a — c) — a(a — b)||2 a21|a — 5|| . ||a — c||
= arccos
lla - ^||2 + |||a - c||2 - |||(a - c) - a(a - 6)||2 IIй - b\\ ' IIй - cll
Из (4) и (5) получаем
arccos
2||fl - c|| • ||a - c||
IIй - ^112 + IIIй - с112 - Н(° -с) - а(а - ^)||2 = arccos----------------——-----------------;
IIй "b\\ • ||а-с||
||а - 6||2 + ||а - с||2 - \\Ь - с||2 _ ||а - 6||2 + |||а - с||2 - Ц(а - с) - а(а - Ь)||2 2||а-с||.||а-с|| " ||а_Ь||.||а_с|| ;
11|« - 6||2 + 11|« - с||2 - jut - =||2 = II» - »||2 + |||<1 - =||2 - 11^(0 -=)-(«- <:
1||а - < - 1||а - с||2 = |||(а - с)2 -(a-b^-^b- с||2:
2||й _ Ь||2 _ ца _ Сц2 = 4ц 1 (а _ с) _ (а _ Ь)||2 _ 2ць _ С||2.
21| а — Ь||2 + 21| b — с||2 = ||а-с||2 + ||(а-с) -2(а-6)||2:
21| а — Ь||2 + 21| b — с||2 = ||а — с||2 + || — а — с + 26||2:
2||а - 6||2 + 2||6 - с||2 = ||а - с||2 + ||(6 - с) - (а - Ь)||2.
Положим X = a — b, Y = b — с, так как а, Ь, с произвольны, следовательно, мы ничего не нарушаем; тогда последнее выражение примет вид
2||Х||2 + 21| У ||2 = ||У + У||2 + ||У - У||2,
-
т. е. для любых двух элементов X и У из В выполнено тождество параллелограмма. Следовательно, В — пространство со скалярным произведением.
Список литературы Об угле Уилсона в нормированном пространстве
- Wilson W. A. On certain types of continuons transformations of metric spaces//Amer. J. Math.-1935.-V. 57.-P. 62-68.
- Valentine J. E., Wayment S. G. Wilson angeles in linear normed spaces//Pacific J. Math.-1971.-V. 36, № 1.-P. 239-243.
- Blumental L. M. Theory and Application of distance geometry.-Oxford: Clarendon, 1953.