Об управляемости одной неклассической модели математической физики

Пусть X , Y - банаховы пространства, операторы L е L ( X ; Y ) (т. е. линеен и непрерывен), M е Cl ( X ; Y ) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен), функции управления u_t ( t ) : [ 0, T ] ^ R , вектор-функции b i ( t ), c ( t ) е C^{p + 1} ([0, T ]; Y ), 1 <  i <  m . Рассмотрим задачу Коши

x(0) = x0 е domM для уравнения

LX(t ) = MX ( t ) + f b i ( t ) u i ( t ) + c ( t ), 0 <  t <  T .                            (1)

i = 1

Нас будет интересовать вопрос управляемости [1] (точнее, s -управляемости [2]) уравнения соболевского типа [3] в случае, когда существует сильно-непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения (1) [4]. При изучении управляемости уравнения (1) будем использовать результаты, полученные в работе [5] для уравнения

5 с = Ax + b ( t ) и + c ( t )

с замкнутым линейным оператором A , непрерывными вектор-функциями b , c со значениями в банаховом пространстве, функцией управления и е L 1 ((0, T ); R ). Заметим, что вопросы управляемости являются предшествующими для теории оптимального управления, которая активно развивается в последнее время для уравнений соболевского типа и даже нашла свое применение в задачах оптимального измерения динамически искаженных сигналов [6], а также их численного решения [7]. Автором данной работы ранее исследовалась s -управляемость и управляемость уравнения соболевского типа [8-11]. Цель данной работы - обобщить эти результаты и результаты работы [5]. Полученные абстрактные результаты используются при исследовании s -управляемости начально-краевых задач для неклассических уравнений математической физики.

Сильно ( L , p ) -радиальный оператор

Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты, доказательства которых можно найти в [3].

Пусть X, Y - банаховы пространства. Обозначим pL (M) = {Ае C: (цL -M) 1 е L(Y;X)}, pp

RA (M) = (AL - M)-1 L, LA (M) = L (AL - M)-1, Rap) (M) = ПRA (M), LL^,p) (M) = ПLA. (M), k=0                          k=0

N ₀ = N и {0}, R ₊ = { a е R : a >  0}, R ₊ = R . и {0}.

Математика

Определение 1. Оператор M называется сильно ( L , р ) - радиальным , р e N ₀, если

• (i)    3 a e R  Vp > а pe pL (M);

• (ii)    3 K >  0 V p_k >  a k = 0, p, V n e N,

max {Ik Ru )⁽ M ) ) - IL X, I L ь,) ⁽ M» - IL _n } <  _n p K

^{1                 (} )                  ⁽ )^J    П к = 0 ^{( Ц} к ^{- a} )

• (iii)    существует плотный в Y линеал Y такой, что

  ^M ( ^{Я L} - ^M ) ^{- 1 L} ц _Р ) ( ^M ) У

  
  

  <       const( y )

  " ( Я - a ) П к = о ( Ц к - a ) ’

  
  

  V y e Y ,

  
  

  { X t e L ( X ) : t e R + } ,

  
  

  ^Rt _M ,p ) ( ^M )( ^Я - ^M ) ^{- 1}

  
  

  K

  
  

  <-----------------

  ^L( X ^{; Y} )   ( Я - а ) П к = ₀( Ц к — a )

  
  

при любых Я , ц ₀, Ц 1 , ^ , ц _р >  a .

Теорема 1. Пусть оператор M сильно ( L , р ) -радиален. Тогда

• (i)    X = X ⁰ © X 1 , Y = Y ⁰ © Y 1 ;

• (ii)    L k = L\ X k e L ( X^k ; Y^k ) , M k = L doM e Cl ( X^k ; Y^k ) , domM k = domM n X^k , k = 0,1;

• (iii)    существуют операторы M ₀ 1 e L ( Y ⁰ ; X ⁰ ) и L - ¹ e L ( Y 1 ; X ¹ ) ;

• (iv)    существует сильно непрерывная полугруппа, разрешающая уравнение Lx ( t ) = Mx ( t ) ;

• (v)    инфинитезимальным генератором        C ₀ -непрерывной      полугруп

пы { X t = X t |e L ( X ¹ ) : t e R ₊ } является оператор 5 1 = L - ¹ M 1 e Cl ( X ¹ ) ;

• (vi)    оператор H = M ₀ ¹ L ₀ нильпотентен степени не больше р .

Через P ( Q ) обозначим проектор вдоль X ⁰ ( Y ⁰ ) на X 1 ( Y 1 ).

Основной результат

Предположим, что оператор M сильно ( L , р ) -радиален, р e N ₀, тогда согласно теореме 1 уравнение (1) редуцируется к системе двух уравнений m

.x ¹ = L ^{- 1} x ¹ ( t ) + L ¹ У Ь ¹ ( t ) u ( t ) + L ^{- 1} c ¹ ( t ) ,                               (2)

1                          1 i i                  1

i = 1

m

HX ⁰ = x ⁰ ( t ) + M 0¹ £ b ? ( t ) U i ( t ) + M 0¹ c ⁰ ( t ) .

i = 1

Здесь b i ( t ) = Qb i ( t ), c ¹ ( t ) = Qc ( t ), b f ( t ) = ( I - Q ) b ( t ), c ⁰ ( t ) = ( I - Q ) c ( t ), 1 <  i <  m .

Решение задачи Коши для уравнения (1) имеет вид t,         mL

x (t) = Xx0 (t) + JXt-TL-1 I ybbi ( 5 ) Ui ( 5 ) + c1

0            V i = 1

p

m

( 5 ) ds - ^ H^kM - ¹ 1 ^ b ° ( t ) U i ( t ) + M 0¹ c ⁰ ( t )

J       k = 0          V i = 1

k

^

При этом первые два слагаемых дают решение уравнения (2), а последняя сумма - решение (3).

Будем использовать вектор-функции управления u i ( t ) e V ( T ) = С^{р + 1} ( [ 0, T ] ; R^m ) , а через V x₀ (T )

обозначим множество вектор-функций, удовлетворяющих условию

p

( I - P ) x 0 =- Z H^kM 0 ^{- 1}

k = 0

( m

| Z b i ⁰ ( t ) u i ( t ) + M 0¹ c ⁰ ( t )

V ^V i = 1

Л ^k ^

J

/ 1 = 0

mpp                p

= -ZZZckHkM0-^k-1) (0)ui (0) - ZHkM01 c0(k) (0), i=11=0 k=l                                       k=0

которое необходимо для разрешимости задачи Коши.

Определение 1 . Система (1) называется £ -управляемой из любой точки в любую за время T , если для любых точек х ₀ е domM , X 1 е X и для любого £ >  0 существуют управления u_t ( t ) е V (T ) такие, что || x(T ; x ₀, u - ( t )) - X 1 11 < £ .

Лемма 1. Пусть оператор M сильно ( L, p )-радиален, вектор-функции b(t ), с 1 ( t ) е C ([0, T ]; Y 1 ), 1 <  z <  m. Система (2) £ -управляема в том и только в том случае, когда для любых точек х ₀ е domM , X 1 е X

T

X T x ₀ ( t ) + J X T ^- s L ^{- 1} с ¹ ( s ) ds - 55 1 е span{X T ^- s L - b ( s ) : s е [0, T ], z = 1, m }. 0

Доказательство . При m = 1 утверждение доказано в работе [5] на классе функций управления L 1 ( ( 0, T ) ; Y ) . Сначала докажем необходимость. Обозначим

T r = XTx0 (t)+ JXT-sL-1 с1 (s) ds - X1.

По условию существует u ( t ), такое, что

Tm

< £

.

r ⁺ J X T ^- s L ^{- 1} E b ¹ ( ^s ) u ( ^s ) ^ds

0              z = 1

Каждому разбиению 0 = s ₀ <  s 1 < ... <  s_N = T отрезка [0, T ], сопоставим такой набор чисел

N - 1

{ Q j } N =o , sj- <  0 j _Z <  s j _{+ 1}, чтобы суммы E I u_z Q j ) I A s j являлись нижними суммами Дарбу инте- j = 1

T гралов J | u z (s) | ds для всех z = 1,

...

, m . В силу непрерывности подынтегральной функции можно

Tm понимать интеграл JXT- L Eb1 (s) uz (s) ds в смысле Римана и подобрать такие точки разбие-0             z=1

ния { s j _z } N ^- отрезка [0, T ], чтобы было

< £

2 m

E X T ^{- 9 /i}L ^ ¹ b ¹ Q j_t ) u Q ) A s jz - J X T ^- s L - b ( s ) u ( s ) ds j = 0                                     0

для всех i = 1,

m . Тогда

m N - 1

r + EE ^X - “ ' L f' b.^ j ) “ < ( Q «)A s j

= 1 j = 0

<

Tm r + JXT-sL-1 Ebi (s)uz (s) ds +

0              i = 1

m ( N - 1

+ E E x^:

T

^T " j L - b ( Q ) U ( Q ) A s jz - J X T ^{- s}L - ¹ b ¹ ( s ) U z ( s ) ds

0                          J

_ £ £m

< - +   = £.

2 2 m

Получили m N -1

r - EE X T ^{-9 jl}

= 1 j = 0

L i' b^» !.^ [- U z ( ^Q « ) ^A s j ]

< £,

поэтому r е span { X^T s L-^b ¹ ( s ) : s е [0, T ],1 < i < m } .

Докажем в обратную сторону. Пусть rе span{XT sL-^b1 (s):sе [0,T],1

Математика m Ni r - ZZ/^X - t-iL-'b1 (tni)

i = 1 - = 1

<£

—— .

He умаляя общности, будем считать далее N i >  2, ^ _-i Ф 0. Введем функцию ^ ( s, а , в) , s >  0, 0 <  а <  в ,

Г 1

^( s ,а, в) = s в - а,

0,

s е [ а ; в ], s ё [ а ; в ].

Положим а _-i = t_-i при - = 1,2,..., N i - 1 и P _N1 = t_N ^ . Можно подобрать в _-i , - = 1,2,..., N i - 1 и

а _м ^ , чтобы выполнялись неравенства

,     в

;------ J X T ^- ^b ( s ) ds - X T ^- t -i^ b ¹ ( t_m )

' • — ex ■ *

ni ni ат

<____ г____

²1 Ц -i I ^N i m

и [ а _-i ; в т ] ^c [0, Т ] для всех i = 1,..., m . Эти неравенства можно переписать в виде

J X ^{- s}L - ¹ b ¹ ( s ) ^ ( s а , в™ ) ds - X T ^{- t-i}L T ¹ b 1 ( - ) 0

N i

Пусть u i ( s ) = - Z A _-i ^ ( s, а _-i , в _-i ) для всех i = 1,..., m . Тогда

- = 1

mNi

i = 1 - = 1

T-t • tni

<

г

.

²1 Ц -i I N i m

m N i                       T         m

ZZ - X^{T -} ‘ "Lb ( t -i ) + J X T ^- L^ Z b ( s ) u , ( s ) ds i = 1 - = 1                                 0              i = 1

<

t                            A tfbi (t-i) - X-sL-1b1 (s)^(s,ат,в-i)ds

0                                  J

mNi zziгм

- = 1   ^^-Nm

< г,

Вместе с (4) получаем

Tm r + X-'Ll’ Zb1 ( s ) ui ( s) ds

< г ,

0              i = 1

то есть || x ( Т ; x ₀, u i ( t )) - X 1 || < г .

Построенное при доказательстве достаточности управление разрывно. Учитывая, однако, что C^{p + 1} [0, Т ] = L 1 [0, Т ], можно установить существование вектор-функций управления ^v i ( t ) ^е V x ₀ ( ^Т ) ^таких,^что ^x^(Т ; x 0 , v i ⁽t )) ^- ^^ 1 ^|| < ^г .

Следствие 1. Пусть оператор M сильно ( L , p ) -радиален, вектор-функции b i ( t ) , с 1 ( t ) е C ([0, Т ]; Y 1 ), 1 <  i <  m . Система (2) г -управляема за время Т в том и только в том случае, когда spa- { X^{T - s}L^-Xb } ( s ) : s е [ 0, Т ] , i = 1, m } = X 1 .

Доказательство . Пусть система (2) г -управляема из нуля. Для любого JC1 е X возьмем

T ix2 = x1 - JxT-sL-1 с1 (s) ds.

Тогда t,      Xm_                  .A

||x ( ^Т ;^0, u i ( t ) ) ^-^ x 1| |= J X L 1¹ 1 Z ^b 1 ( ^s ) u i ( ^s ) ^{+ с 1} ( ^s ) ^{ds -} ^^ 1 <

0           V i = 1                         J

tm

Л

J X t ^{- s}L 11 l Z b 1 ( s ) u , ( s ) ds 0           V i = 1               J

-

** ~ ^x 2

< г.

Откуда получаем требуемое в силу произвольности х 1 , а значит, и i x ₂ е X . Обратное утверждение сразу следует из леммы 1.

Теорема 2. Пусть оператор M сильно ( L , p )-радиален, вектор-функции b i ( t ), c ⁰ ( t ) е С^{p + 1} ([0, T ]; Y ⁰ ), 1 <  i <  m . Система (3) г -управляема за время T в том и только в том случае, когда пространство X ⁰ не более чем ( p + 1 ) -мерно, а система векторов

< Z cH k M ₀ 1 ь 0^{( k -1}) ( T ) , 0 <  I <  p , 1 <  i <  m >  является в нем базисом.

_ k = 1

Доказательство . Решение уравнения (3) имеет вид

p

k

m

5 (t) = - ZHkM011 Zb0 (t) Ui (t) + M01 c0 (t)

k=0          V i=1

mp    pp

= ^Z^ ( t ) Z c k H k M 0¹ b ^{0( k -}') ( t ) - Z H^kM 0¹ c ^{0( k} ) ( t ) .

i=11=0       k=1k

Обозначим соответствующие г _n = — функции управления через u n ( t ), значения n

U n ( T ) = a n , 0 <  1 <  p , 1 <  i <  m , n е N .

Из г -управляемости системы следует, что при всех 51 е X0 и любых n е N mp p                 p

ZZ^ n Z c k H k M 0¹ b ^{0( k - 1} ) ( T ) - Z H^kM 01 c ^{0( k} ) ( T ) - 5

i = 1 1 = 0

k =

k = 0

< —.

n

p

Возьмем 51 = Z H^kM ₀ ¹ c ^{0( k} ) ( t ) - 5 2 при некотором 5 2 е X ⁰ и получим k = 0

mp p

ZZ a in Z c k H k M 0¹ b ⁰⁽ k ^{- 1} ) ( T ) - 4 i = 1 = 0     k =

< —.

n

Поэтому mpp

^lim ZZZ °№^kM 0   k ^- ) ( T )

ⁿ '" i = 1 1 = 0 k = 1

~

= ⁵ 2

и в силу произвольности 5 ₂ е X имеем

p

X ⁰ = span \ Z d_kH^kM ₀ ¹ b_i ^{0( k - 1} ) ( T ) ,0 <  1 < p ,1 <  i <  m > =

, k = 1

= span <

p

Z c k H k M ₀ ¹ b 0^{( k - 1} ) ( T ) ,0 <  1

< p , 1 <  i <  m > ,

I k = 1

поскольку система векторов конечна.

Пусть для любого 5 е domM0 существуют ci1 е R, 0 < 1 < p,1 < i < m, что mp p

ZZ c i Z^c‘H^kM 0 ^{- 1} b"^{,k - 1} ) ( T ) ■ i = 1 1 = 0 k =

Взяв функции управления ui (t )=Zc1 (t, T), 1 < i

Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, p )-радиален, вектор-функции b1( t), c1( t) е C ([0, T ]; Y 1), b_;⁰( t), c⁰( t) е С^p+1([0, T ]; Y⁰), 1 < i< m. Если система (1) г -управляема за время T, тогда span{X^T-sl^b¹ (s): sе [0,T],i = 1,m} = X 1, пространствоX⁰не более чем

Математика

(p +1) -мерно, а система векторов

- EC'.H'M01 b0(k-1) (T), 0 < l < p, 1 < i < m • является в нем

_ k=1

базисом.

Замечание 1. Обратное утверждение к теореме 2 не имеет места, поскольку в данной постановке задачи одни и те же функции одновременно управляют решениями систем (2) и (3).

Пример 1. Рассмотрим алгебро-дифференциальную систему уравнений с частными производными

V1, = v + Eb (X, t)Ui (t) + c(X, t), (X, t)e Q X R+, i=1

v2t = v2 + £#(X,t)Ui(t) + c(X,t), (x,t)e QXR +,                          (5)

i=1

V3t = V3 + E# (X, t)Ui (t) + c(X, t), (X, t)e Q X R+, i =1

bi (x, t)e L2 (Q), j = 1,2,3 и начально-краевую задачу для них pvi +—vi = 0, ( х , t )ed Q X R +, i = 1,2,3,                         (6)

dn

• Vi( X ,0) = Vi0 (X), x e Q, i = 1,2,3.                                  (7)

Пространство X⁰={0}xL₂(Q)xL₂(Q) бесконечномерно. Поэтому необходимое условие теоремы 3 не выполняется, значит, система (5)-(7) не управляема.

Пример 2.

nm

Пусть P(X) = ЕХ, Q(X) = EdjX, n< m, ci, dj e R , cn ^ 0, dm ^ 0, Rn - ограниченная i=0                  j=0

область с границей dQ классаC“ , набор операторов A,B1,...,Br - регулярно эллиптический, где

(Av)( x )= £ a_a ( x ) D^av ( x ), a_a e C ~(Q),

|a|<2 r

( B1^V)( ^X )= E bla ( ^X) D“^v(X X ^b1a^{e C} ”(^dQ ), ¹ = ¹r.

I a|< r

Определим замкнутый оператор A1 : W^B}(Q)^ L₂(Q), A1 v = Av, v e domA1 и потребуем его самосопряженности и ограниченности справа спектра ^(A1). Через {^_k : k e N} обозначим орто-нормированные в смысле скалярного произведения в L₂ (Q) собственные функции оператора A1, занумерованные по невозрастанию собственных значений {^_k : k e N} с учетом их кратности.

Положим X = {v e W₂^2rn (Q): BlA^kv (x) = 0, k = 0, n -1,1 = 1, r, x e dQ},     Y = L₂(Q),     L = P (A),

M = Q(A), domM = {ve W₂^2rm (Q): BlAkv(x) = 0,k = 0,m -1, 1 = 1,r,xedQ}.

Рассмотрим начально-краевую задачу

• P(A)v, (X,t) = Q(A)v(X,t) + :Eb, (X,t)u(t) + c(X,t), (X,t)e Qx[0,T],(8)

i=1

B1Akv ( x , t ) = 0, k = 0, n -1, 1 = 1,7, x edQ x[0, T ],(9)

v(x,0) = v0 (x), xe Q.(10)

В работе [12] показано, что если числа A_k не являются одновременно корнями многочленов P(X) и Q(X), то оператор M сильно (L, 0) -радиален. При этом система (8) имеет вид

Рузакова О.А.

m'

о = Q (Ak) Vk (t) + Z^k (t) Ui (t) + Ck (t), P (Ak ) = 0,                      (11)

i=1

где нижний индекс k означает коэффициент Фурье соответствующей функции при разложении по базису {^_k : k е N}.

Теорема 4. Пусть числа Ak не являются одновременно корнями многочленов P(A) и Q(A). Тогда система (11) £ -управляема за время T в том и только в том случае, когда сумма кратностей собственных значений оператора A1, являющихся корнями многочлена P(A), не превосходит числа m' и при этом нет собственных функций, соответствующих этим собственным значениям, ортогональных сразу всем функциям bi ,1 < i< m' в смысле L2 (Q).

Доказательство. Учитывая сильную (L,0)-радиальность оператора M достаточно сослаться на теорему 2.

Следствие 2. Пусть числа Ak не являются одновременно корнями многочленов P(A) и Q(A). Если система (8)-(10) £ -управляема за время T, то сумма кратностей собственных значений оператора A1, являющихся корнями многочлена P(A), не превосходит числа m' и при этом нет собственных функций, соответствующих этим собственным значениям, ортогональных сразу всем функциям bi ,1 < i< m' в смысле L₂(Q).