Об устойчивости квазиравновесий систем типа Келлера-Сегеля в сильно неоднородной среде
Бесплатный доступ
Хорошо известно, что локальная бифуркация равновесия системы типа Патлака-Келлера-Сегеля (ПКС) часто оказывается первым звеном в цепи динамических переходов, приводящих к весьма сложным режимам движения. Однако, насколько нам известно, первые переходы исследованы лишь для однородных равновесий однородных (т.е. трансляционно инвариантных) систем. В настоящей статье рассмотрено влияние неоднородности. С этой целью введена система ПКС, моделирующая два вида, один из которых (хищник) способен искать другой (жертву). При этом помимо таксиса к жертве хищник наделён таксисом к некоторым характеристикам окружающей среды, например таким, как температура, солёность, рельеф местности и т. д., то есть хищник способен воспринимать внешний сигнал. Отключение последнего приводит к очень простой однородной системе типа ПКС, которая тем не менее может перейти от однородного равновесия к автоколебательным волновым движениям через локальную бифуркацию. Примечательно, что этот переход происходит безотносительно кинетики хищников, а лишь только благодаря таксису. Для исследования эффекта коротковолнового внешнего сигнала применена гомогенизация и на этой основе установлено, что коротковолновый сигнал обычно вызывает экспоненциальное снижение подвижности хищников по сравнению с однородной системой в ответ на увеличение уровня внешнего сигнала. Потеря подвижности в значительной степени предотвращает возникновение волн и резко стабилизирует примитивные квазиравновесия, полностью навязанные внешним сигналом. Можно сказать, что интенсивные мелкомасштабные колебания окружающей среды дезориентируют и отвлекают хищников и мешают им эффективно преследовать добычу.
Системы келлера-сегеля, таксис к жертве, косвенныйтаксис, внешний сигнал, устойчивость, неустойчивость, бифуркация пуанкаре-андронова-хопфа, усреднение, гомогенизация
Короткий адрес: https://sciup.org/147232820
IDR: 147232820 | УДК: 51-73/76 | DOI: 10.14529/mmph190304
Stability of the quasi-equilibria of Keller-Segel systems in strictly inhomogeneous environment
It is well known that a local bifurcation of the equilibrium of a system of Patlak-Keller-Segels’ type (PKS) often turns out to be the first link in the chain of dynamical transitions leading to rather complex regimes of motion. However, as far as we are aware, the studies of the first transition cover only the homogeneous equilibria of homogeneous (i.e. translationally invariant) systems. In this article, we consider the effect of inhomogeneity. For this purpose, we have been introducing a PKS system, modeling two species, one of which (predator) is capable of searching the other one (prey). In addition to the prey-taxis, the predator has been endowed with taxis driven by environmental characteristics, such as temperature, salinity, terrain relief, etc. In other words, the predator can perceive an external signal. When the external signal is off, then we get a very simple homogeneous PKS-type system, which is, nevertheless, capable of transiting from the homogeneous equilibrium to self-oscillatory wave motions via a local bifurcation. Notably, this transition does not involve the predator's kinetics, but the taxis only. We have been examining the short wavelength signals using the homogenization technique. It turns out that a short wavelength signal typically causes an exponential reduction of the predators' motility in comparison with the homogeneous system in response to the increase in the external signal level. The loss of motility to a great extent prevents the occurrence of the waves and dramatically stabilizes the primitive quasi-equilibria fully imposed by the external signal. It can be said that intense small-scale environmental fluctuations disorient and distract predators, and prevent them from effectively pursuing their prey.
Список литературы Об устойчивости квазиравновесий систем типа Келлера-Сегеля в сильно неоднородной среде
- Иваницкий, Г.Р. От динамики популяционных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике / Г.Р. Иваницкий, А.Б. Медвинский, М.А. Цыганов // Успехи физических наук. - 1994. - Т. 164, № 10. - С. 1041-1072.
- Quasisoliton interaction of pursuit-evasion waves in a predator-prey system / M.A. Tsyganov, J. Brindley, A.V. Holden, V.N. Biktashev // Physical review letters. - 2003. - Vol. 91, Iss. 21. - P. 218102.
- Soliton-like phenomena in one-dimensional cross-diffusion systems: a predator-prey pursuit and evasion example / M.A. Tsyganov, J. Brindley, A.V. Holden, V.N. Biktashev // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2004. - Vol. 197, Iss. 1-2. - P. 18-33.
- Tsyganov, M.A. Half-soliton interaction of population taxis waves in predator-prey systems with pursuit and evasion / M.A. Tsyganov, V.N. Biktashev // Physical Review E. - 2004. - Vol. 70, Iss. 3. - p. 031901.
- Li, C. Steady states of a predator-prey model with prey-taxis / C. Li, X. Wang, Y. Shao // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 2014. - Vol. 97. - P. 155-168.
- Tello, J.I. Predator-prey model with diffusion and indirect prey-taxis / J.I. Tello, D. Wrzosek // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2016. - Vol. 26, no. 11. - С. 2129-2162.
- Tyutyunov, Y.V. Prey-taxis destabilizes homogeneous stationary state in spatial Gause-Kolmogorov-type model for predator-prey system / Y.V. Tyutyunov, L.I. Titova, I.N. Senina // Ecological complexity. - 2017. - Vol. 31. - P. 170-180.
- Li, H. Boundedness in a chemotaxis system with indirect signal production and generalized logistic source / H. Li, Y. Tao // Applied Mathematics Letters. - 2018. - Vol. 77. - P. 108-113.
- Toward a mathematical theory of Keller-Segel models of pattern formation in biological tissues / N. Bellomo, A. Bellouquid, Y. Tao, M. Winkler // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2015. - Vol. 25, no. 9. - P. 1663-1763.
- Говорухин, В.Н. Медленный таксис в модели хищник-жертва / В.Н. Говорухин, А.Б. Моргулис, Ю.В. Тютюнов // Доклады академии наук. - 2000. - Т. 372, № 6. - С. 730-732.
- Directed movement of predators and the emergence of density-dependence in predator-prey models / R. Arditi, Y. Tyutyunov, A. Morgulis et al. // Theoretical Population Biology. - 2001. - Vol. 59, no. 3. - P. 207-221.
- Chemotaxis-induced spatio-temporal heterogeneity in multi-species host-parasitoid systems / I.G. Pearce, M.A. Chaplain, P.G. Schofield et al. //Journal of mathematical biology. - 2007. - Vol. 55, Iss. 3. - P. 365-388.
- Wang, Q. Time-periodic and stable patterns of a two-competing-species Keller-Segel chemotaxis model: Effect of cellular growth / Q. Wang, J. Yang, L. Zhang // Discrete & Continuous Dynamical Systems - B. - 2017. - Vol. 22, no. 9. - P. 3547-3574.
- Black, T. Boundedness in a Keller-Segel system with external signal production / T. Black // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2017. - Vol. 446, Iss. 1. - P. 436-455.
- Yurk, B.P. Homogenization techniques for population dynamics in strongly heterogeneous landscapes / B.P. Yurk, C.A. Cobbold // Journal of biological dynamics. - 2018. - Vol. 12, Iss. 1. - P. 171-193.
- Issa, T. Persistence, coexistence and extinction in two species chemotaxis models on bounded heterogeneous environments / T. Issa, W. Shen // 2018. - arXiv preprint arXiv:1709.10040v4
- Юдович, В.И. Вибродинамика систем со связями / В.И. Юдович // Докл. РАН. - 1997. - Т. 354, № 5. - С. 622-624.
- Vladimirov, V.A. On vibrodynamics of pendulum and submerged solid / V.A. Vladimirov // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. - 2005. - Vol. 7, Supplement 3. - P. S397-S412.
- Allaire, G. A brief introduction to homogenization and miscellaneous applications / G. Allaire // ESAIM: Proc. - 2012. - Vol. 37. - P. 1-49.
- Allaire, G. Homogenization and two-scale convergence / G. Allaire // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1992. - Vol. 23, Iss. 6. - P. 1482-1518.
- Allaire, G. Shape optimization by the homogenization method / G. Allaire // Applied Mathematical Sciences. - Vol. 146. - New York, NY: Springer, 2002. - 456 p.
- Йосс, Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф. - Мир, 1983. - 300 с.
- Теория бифуркаций / В.И. Арнольд, В.С. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников // Динамические системы - 5. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления: сб. науч. тр. - М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 5 - C. 5-218.
- Haragus, M. Local bifurcations, center manifolds, and normal forms in infinite-dimensional dynamical systems / M. Haragus, G. Iooss. - Universitext. London: Springer; Les Ulis: EDP Sciences, 2011. - 329 p.
- Nirenberg, L. A strong maximum principle for parabolic equations / L. Nirenberg // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1953. - Vol. 6, Iss. 2. - P. 167-177.
- Landis, E.M. Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type / E.M. Landis. - American Mathematical Society, Providence, RI, USA, 1998. - Translations of Mathematical Monographs, Vol. 171. - 203 p.
- Vladimirov, V.A. Two-Timing Hypothesis, Distinguished Limits, Drifts, and Pseudo-Diffusion for Oscillating Flows / V.A. Vladimirov // Studies in Applied Mathematics. - 2017. - Vol. 138, Iss. 3. - P. 269-293.
