Об устойчивости линейных стационарных динамических систем относительно части переменных

Предложен подход к исследованию частичной устойчивости линейных стационарных систем относительно части переменных.

Пусть поведение объекта описывается линейной стационарной динамической системой вида:

х = Л . з ,               (1)

где х е Rⁿ, А . — постоянная действительная матрица размера n х и. Исследуется устойчивость системы (1) относительно заданной части координат фазового вектора х. Для определенности пусть требуется исследовать устойчивость относительно первых т координат. Таким образом, 1 <  _т <  _n . С учетом этого фазовый вектор х представим в виде:

х = (у, z )Г, где у е Rm, z е Rp, р > 0, т + р = и, Т — знак транспонирования. Тогда система (1) принимает вид:

у = Ау + Bz, Z = Су + Dz,

где А, B, С, D — матрицы соответствующих размеров.

Как известно, устойчивость системы (1) относительно всех координат фазового вектора х зависит от собственных значений матрицы А и их кратностей.

Определение 1. Многочлен ф(Х) = X +

5 — 1

+ у ^ Х + • • + у₅ будем называть правым

(левым) минимальным аннулирующим многочленом вектор-строки (вектор-столбца) х относительно линейного оператора D, если вектор-строки (вектор-столбцы) х, хD, ..., х/Х' ¹ (х, Dх, ..., D^s L t ) линейно независимы и выполняется условие:

хD⁵ + y^D^{5 — 1} + — + у ₅х =

= 0(Dsх + y1Ds—1х + — + у 5х = 0), которое может быть записано в виде хф(D) = 0(ф(D)х = 0).

Лемма. Пусть

Ф^Х) = X " ¹ + _а1х " ^{1 — 1} + — + а₅₁

и

Ф2(Х) = X 2 + PtX 2 + • + Р.д взаимно простые левые минимальные аннулирующие многочлены векторов b| и b относительно оператора D, s — степень минимального многочлена оператора D и S} + S2 < s, тогда векторы bp b^D, ..., b^D 1 , b2, b^D, ..., ,,,, b2D 2 линейно независимы.

Теорема 1. Пусть s — наименьшее положительное целое число, такое, что rang(K _s_\ ) = = rang(K , ), тогда линейная система (2) у-устойчива тогда и только тогда, когда

устойчиво матричное линейное дифференциальное уравнение v 5У5+1) + (v S-1 - v л V5) +

+ (v .2 -V ^A -v , BC)y ⁽^° +

+ (V s - з - V₅ _ ₂ А - V , - 1 BC -V , BDC) X х#^{(s - 2)} + ••■ + (V_o -V₁A -V₂BC-----

-v₅BD^{5 - 2}C)y - (v₀ A + v ^ BC +

+ v₂BDC + - + v HD' (x = 0, где v = (v o v_t — v . ) — фундаментальная матрица решений линейной системы ^ K_s = 0.

Замечание. Если s = р, то исследование ^-устойчивости системы (2) сводится к исследованию устойчивости матричного линейного дифференциального уравнения вида:

v_ру⁽ Р ^{+ 1)} + (v р - ! -v p A)y⁽ P ⁾ +

+ (v p - 2 -v p - _tA -v p BC)y^{(p - 1)} +

+ (v„,-v„_ ₂A -v BC -v„ BDC) X p       p “       p           p

X y^{(p - 2)} + — + (v₀ - v_tA - v₂BC-----

- v_pBD^{p - 2}C)y - (v₀ A + v_tBC +

+ v₂BDC + — + v _pBD^{p - 1}C)y = 0,

Так, например, если s = р = 3, уравнение (4) запишется в виде:

^ 3^ + (^ 2 - ^ з Л)У³⁾ +

+ (T_t - Т₂ А - ^₃BC)y +

+ (Y₀ - ^А - ^₂BC - ^₃BDC)y -

- (Y₀ А + Y_tBC + ^₂BDC + ^₃BD ² C)y = 0.

Рассмотрим несколько частных случаев.

!. т = !, rang(K _s_\ ) = rang(K , ) = s.B данном случае s — степень левого минимального аннулирующего многочлена вектора b относительно матрицы D. Исследуемая система (2) имеет вид:

y = ay + bz,

2 = cy + Dz, где y e R, z e R^p, a, b, c, D — матрицы соответствующих размеров.

При этом уравнение (3) принимает вид:

v₅y^{(5 + 1)} + (v^ - v₅a)y^W +

+ (v_{s - 2} - v _sAa - v₅bc)y^(5-0 +

+ (v . ₃ - v_{5 -} 2 a - v _{s -}) bc - v _sbDc) x

X y ^(s-2 + — + (v₀ - v_ta - v₂bc-----

- v _sbD^s~²c)y - (v₀a + v_tbc + v₂bDc + — + + v ₅bD^{5 - 1}c)y = 0.

( b А

Матрица Ks имеет вид Ks = bD

мат-

l bDs J рица размера (s + !) x р. Так как по условию rang(Ks) = s, фундаментальная матрица линейной системы vKs = 0             (5)

содержит всего одно ненулевое решение. Так, если ф(Х) = X^s + yX^{s 1} + ... + y_s — левый минимальный аннулирующий многочлен вектора b, то очевидно, что вектор v= (y_s у _t ... ... У ) !) является решением системы (5). Таким образом, задача y-устойчивости системы дифференциальных уравнений сводится к исследованию устойчиво стилинейного дифференциального уравнения

y^{(s + 1)} + ^ - a)y^(s) + (у 2 - у y a - bc)y^{(s - 1)} +

+ (У з - 7 2 a - Y i bc - bDc)y^{(s-2 )} + —

+ (У_s - У _{s - 1}a - 7_s-₂bc - — - y₁bD^{s -1} c -

• - bD^{s -2} c)-y - (у _sa + у _s _\ bc + y_s _j bDc + — +

• 2.    р = !. B этом случае система (2) имеет вид:

+ y₁bD^{s - 2}c + bD^{s - 1}c)y = 0.

ij = Ay + bz, z = cy + dz, где y e R^m, z e R, A, b, c, d — матрицы соответствующих размеров. Очевидно, что в данном случае s = !, так как матрицы K 0 и K ) имеют следующий вид:

( b

K = ( b ) - т х 1, K = I I - 2m х 1, l ^bd )

rang(K o ) = rang(K₁) = 1.

Таким образом, уравнение (4) запишется в виде:

V₂y + (V - V₂А)у - (V₁А + V₂bc)y = 0, где V = (V_t ^ 2 ) — матрица размера m x x (2m - 1).

• 3.    Если V = ( V q V j ... V_s) — фундаментальная матрица решений линейной системы

VK_S = Q, rang(K_s-{) = rang(K_s), причем V_s — неособая матрица размера m x m, то для асимптотической у-устойчивости системы (2) необходимо и достаточно, чтобы был устойчивым матричный многочлен

V₅Л⁵ + (V_{5 - 1} - V,.1)V ' +

+ (V_{5 - 2} - V _{5 - 1}А - V₅BC)Л⁵² +

+ (V5-3 - V5-2А - V5-1BC - V5BDC) x хЛ5-3 + - + (V1 -V2А - V3BC - - -

- V₅BD^{5 - 3}C)Л - (V₁А + V₂BC +

+ V₃BDC + - +V ₅ BD^{5 - 2}C) = 0.

Линейная система VK ^ = Q имеет вид:

W 1 ^- V 2 = ^0,

-2^ 1 + 2^ 2 = 0, фундаментальная матрица решений которой есть V = (1 1), следовательно, V_t = 1, V 2 = 1, тогда уравнение V 2 / + (V 1 - V 2 a)y -- (V 1 a + V 2 bc)y = 0 имеет вид у + 2у + у = 0. Так как многочлен %(X) = X² + 2X +1 является гурвицевым, делаем вывод, что система является асимптотически у -устойчивой.

Пример 2. Пусть исследуется у-устойчи-вость системы:

^у 1 = ^{- у} 1 ^{+ у} 2 ^{+ 2 г} 1 ^{+ 2} 2 ^{+ 2} 3 , ^у 2 = У 1 ^{- 3} У 2 ^{+ 2} 1 ^{+ 2} 3^

2 1 = У1 + 32 1 - "3z₂ + 22 3 ,

• ² 2    = У 1 ⁺ У 2 ^{- 2} 1 ^{+ 5 2} 2 ^{- 2 2} 3^,

• ² 3    = ³ У 2 ^{- 2} 1 ^{+ 3 2} 2 .

  Но, как известно [2], всякое решение матричного уравнения (6) является решением скалярного уравнения

  | V₅X⁵ + (V_{5 - 1} - V₅А)x^{5 - 1} +

  + (V_{5 - 2} - V _{5 - 1}А - V₅BC)X^{5 - 2} +

  + (V_{5 - 3} - V , ₂ А - V_{5 - 1}BC - V . BDC X

  xX^{5 - 3} + - + (V₁ -V₂ А - V₃BC- - -

  - V₅BD^{5 - 3}C)X - (V₁А + V₂BC +

  + V₃BDC + - +V ₅BD^{5 - 2}C)|= 0,

  
  

  Таким образом, исходные матрицы имеют

  
  

  вид:

  
  

  А =

  
  

  C =

  
  

  _-

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  -3

  
  
  
  
  
  
  
  

  ,

  
  

  ,

  
  

  B =

  
  

  D =

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  Г ³

  
  

  -3

  
  

  -1

  
  
  
  

  -2

  
  

  V

  
  

  -1

  
  
  
  
  
  
  
  

  Матрицы K ^ имеют вид:

  
  

  которое представляет собой многочлен m x s-го порядка.

  Проиллюстрируем все вышесказанное на числовых примерах.

  Пример 1 [1]. Пусть уравнение возмущенного движения имеет вид:

  ^у = - у + ₂₁ ^- 2²₂, 2 = 4 у + 2 _t, X = 2 у + 2 ^- z ₂.

  В данном случае m = 1, р = 2,

  
  

  	( 2	1	1)
  К о = В, К 1 =	1	0	1
  	4	2	2
  	к 2	2	2 J

  гапд^К о ) = гапд(К₁) = 2.

  
  

  Фундаментальная матрица решений линейной системы VK 1 = Q имеет вид:

  
  

  Г 44 а = -1, b = ( 1 -2 ) , с = I 2 I,

  
  

  (1 0

  D =       ,

  И -1) ^,

  
  

  / X         Г-2 0

  V = ( ^ 0 Y_t ) ^, ^ 0 = ^ _{0 - 2}J ^,

  
  

  ^ 1 =

  
  

  ( 1 0 )

  10 1J'

  
  

  матрицы К ^ и K₂ имеют вид:

  
  

  1 -2)

  К о = ( 1 -2 ) , К 1 =^_{- 1 2} J,

  
  

  Таким образом, анализ у-устойчивости исходной системы сводится к исследованию устойчивости линейного матричного дифференциального уравнения

  
  

  гапд(К о ) = гапд^К ^ ) = 1, 5 = 1.

  
  

  V₂y + (V₁ - V₂А)у - (V₁А + V₂BC)y = 0, которое в данном случае принимает вид:

  
  

  (1 О -1 -1       5 2

  w +          w - w = О,

  (О 1 у (-1 1 f (-1 9 J

  
  

  1 О

  
  

  О

  
  
  
  

  X²

  
  

  +

  
  

  ^^^^^е

  
  

  ^^^^^ш

  
  
  
  

  -1

  
  

  X -

  
  
  
  

  -1

  
  
  
  
  
  

  = О,

  
  

которое, очевидно, эквивалентно линейной системе дифференциальных уравнений четвертого порядка, что полностью согласуется с результатами [3]. Далее составим характеристическое уравнение которое имеет вид:

X4 - 16X2

+ 3X + 47 = 0.

Его корни: Х₁ » 3,2684, Х₂ и 2,1834, Х₃ и и 3,6449, X 4 и -1,8069, откуда следует заключение об ^-неустойчивости системы.