Об устойчивости решений уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной на геометрическом графе

Пусть G = G(9J; £) - конечный связный ориентированный граф, где 93 = {14} - множество вершин, а б = {£j} - множество ребер, причем, каждому ребру Ej сопоставлены два положительных числа lj,dj € R+, которые удобно трактовать как длину и площадь поперечного сечения соответственно. Такой граф G предложено называть геометрическим графом [1]. Пусть на каждом ребре Ei задано уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной

Xujt Ujtxx = OtUjXX Ри,(0-1)

где производные берутся по $ G (o,i,) и t е R. В каждой вершине Уг зададим условия непрерывности ц^(0, t) = ukpl,ip = um^lm,t^ = un^ln,€),/„

Ej,Ek € еШ Ет,Еп € т и условия баланса потоков

У djUjx^OP^ —   ^ ' dj-UkxQ’k'P'i = 0,(0-3)

Е,ее“(га            E_k№4W)

где через С“(И) и бш(К) обозначено множество ребер, «выходящих» из вершины 14, и, соответственно, «входящих» в вершину 14. Физический смысл задачи (0.1) - (0.3) объяснен в [2]. Кстати сказать, термин «отсутствовать» в контексте условий непрерывности не означает «быть равным нулю». Скажем, если из вершины 14 не «выходит» ни одно ребро, то первые два равенства в (0.2) именно «отсутствуют», а не «равны нулю». Более того, если в вершину 14 «входит» (или «выходит» из нее) только одно ребро, то условия (0.2) для этой вершины «отсутствуют».

Впервые уравнения в частных производных на геометрических графах начали изучаться в конце прошлого века в связи с моделированием процессов «реакции-диффузии» в трубчатых реакторах, а также динамики давления и влагопереноса в «тонких» областях. Первая монография [1] по классическим уравнениям на геометрических графах вышла в 2004 г. Первая статья [3], в которой рассмотрены неклассические уравнения - уравнения Соболевского типа, появилась в 2002 г. Первая диссертация [4], в которой описаны фазовые пространства некоторых уравнений Соболевского типа, защищена в 2005 г. В данной статье впервые исследуется устойчивость и неустойчивость (в зависимости от параметров

А, а, (3 Е Ж) решений задачи (0.1) - (0.3). Статья, кроме вводной части и списка литературы, сдержит два параграфа. В первом приводятся вспомогательные сведения о дихотомиях решений уравнений Соболевского типа, почерпнутые из гл.7 [5], куда они попали из [6]. Во втором параграфе описываются дихотомии решений задачи (0.1) - (0.3).

• 1.    Инвариантные пространства и дихотомии решений

Пусть Я и £ - банаховы пространства; операторы L, М Е £(Я,3), причем, оператор М (L, р)-ограничен, р Е {0} UN (т. е. М (L, неограничен, и оо - несущественная особая точка L-резольвенты оператора М; если р Е N, то р - порядок полюса в оо, а если р = 0, то оо -устранимая особая точка).

Рассмотрим уравнение

Lu = Ми.                                 (1.1)

Вектор-функцию и Е С°°(Ж;Я), удовлетворяющую ему (1.1), назовем решением. Решение и = п(£) уравнения (1.1), удовлетворяющее еще и начальному условию Коши

и(0) = по,                                        (1.2)

назовем решением задачи (1.1), (1.2).

Определение 1. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (1.1), если

• (г)    любое решение и = u(t^ уравнения (1.1) лежит в ^ поточечно, т. е. u(t) Е ф, V# Е Ж;

(гг) для любой точки uq € ф существует единственное решение задачи (1.1), (1.2).

Если существует оператор L^-1 Е Я^Я), то фазовым пространством уравнения (1.1) служит пространство Я. Если оператор L необратим, в частности, kerb / {0}, то описание фазового пространства — нетривиальная задача.

Теорема 1. Пусть оператор М (L,p)-ограничен, р Е {0}UN. Тогда фазовым пространством уравнения (1.1) является образ 1тР проектора

Здесь RL(M) = ^pL — M)^-1L — правая L-резольвента оператора М, а контур 7 С С ограничивает область, содержащую L-спектр оператора М.

Заметим, что если оператор L : Я —> {0}, то фазовое пространство ф = {0}, поскольку в этом случае оператор М непрерывно обратим.

Определение 2. Множество 3 С ф называется инвариантным пространством уравнения (1.1), если для любого ио Е 3 решение задачи (1.1), (1.2) лежит в 3 поточечно.

В частности, фазовое пространство является инвариантным пространством, однако обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 2. Пусть оператор М (L,p)-ограничен, р Е {0}UN. Пусть L-спектр a^L(M^ оператора М расщепляется на две компоненты a^L(M) = Oq (М) Uerf (М) так, что существует контур 70 С С, ограничивающий область, содержащую CTq(M), причем, 70 Dcrf(M) = 0.

Тогда существует инвариантное пространство Зо уравнения (1.1), совпадающее с образом ImPo проектора

Определение 3. Говорят, что решения уравнения (1.1) имеют экспоненциальную дихотомию, если

• (г)    фазовое пространство ф уравнения (1.1) расщепляется в прямую сумму двух инвариантных пространств, ф = 3^s ф 3“;

• (и)    существуют константы а, С Е R+ такие, что при любом uq Е 3^s (uq Е 3^й) и любом t Е R+ (t Е R-7

1М*Ж < Сс^ЬНя (Ih(/)||u < Ое^П^оllu)-

Термин "«дихотомия» предполагает некоторую «раздвоенность» фазового пространства. Однако в приложениях нередко возникает ситуация, когда либо ф — 3s, либо ф = 3“. Поэтому в таких ситуациях мы будем говорить либо об экспоненциальной устойчивости решений, либо об их экспоненциальной неустойчивости соответственно.

Теорема 3. Пусть оператор М (L,p)-ограничен, и crL(M) ПЖ = 0.                            (1.3)

Тогда если

• (г)    ст^М) С (Rep < 0} = С_, то решения уравнения (1.1) экспоненциально устойчивы.

• (11 ) o^L(M) С (Rep > 0} = С₊, то решения уравнения (1.1) экспоненциально неустойчивы.

• (ii i) (o^L(M) П С_ ^ 0) Л (<т^(М) П С+ ^ 0) Л (^(М) П Ж = 0), то решения уравнения (1.1) имеют экспоненциальную дихотомию.

• 2.    Устойчивость и неустойчивость решений

Здесь мы редуцируем задачу (0.1) - (0.3) к уравнению (1.1), а затем применим результаты из п. 1. Для этого согласно [2], введем в рассмотрение гильбертово пространство La(G) = (g = (91,92, • • • ,9з, • • -V- 9з ^(Ej)} со скалярным произведением

<9,h>= 52 ^ gjhjdx,

Ej^ 0

и банахово пространство 11 = {tz = (ui,U2,... ,uj,...) : и3 Е W^S,) и выполнено (0.2)} с нормой м2 = 52 аз [^х-ч ^w-

Очевидно, вложение 11 С Ег(С) плотно и компактно, поэтому обозначим через 5 сопряженное к И относительно двойственности < •, • > пространство.

Формулой

• < Au, v >= 52 ^d3 / ^x^jxdx, u,v Е Д

зададим оператор А € ^(Я;^), чей спектр <т(А) неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке +оо. Обозначим через {А^} собственные значения оператора А, занумерованные по убыванию с учетом кратности. Заметим, что первое собственное значение Ai = О однократно, причем соответствующий нормированный (в смысле L2(G)) собственный вектор имеет следующий вид:

= (J2 ЗД-^!, б,-ее

Далее построим операторы <  Lu, v >= А <  и, v > + < Аи, и > и <  Ми, и >= —а < Аи, и > —0 <и,и> . По построению операторы L,M € £(Я,5).

Лемма 1. Пустъ а,0, у Е R, и выполнено одно из следующих условий:

• (i)    при всех к G N А ф — А^,

(Д) существует к Е N, что А = А^, но 0 / аХ.

Тогда оператор М (L,0)-ограничен.

Доказательство леммы 1 принципиально не отличается от доказательства леммы (3.1) [2]. Заметим лишь, что в данном случае L-спектр оператора М состоит из объединения точек вида

W =               Е N\{/ : А = -А_г}.                     (2.1)

Обозначим через {^д,} множество ортонормированных (в смысле L2(G)) собственных векторов оператора А.Тогда в силу теоремы 1 справедлива

Теорема 4. Если выполнено условие (i) леммы 1, то фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит все пространство Я. Если выполнено условие (й) леммы 1, то фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит образ проектора

Р = 1- ^ < >Тк > Тк-х=-хк

Перейдем к изучению устойчивости решений задачи (0.1) - (0.3). Для этого потребуем, чтобы параметры а и 0 были положительны, это хорошо согласуется с физическим смыслом задачи. Кроме того, положительность этих параметров обеспечивает выполнение условия ст^ь(М) П Ж = 0. Теперь применим теорему 3, разбив ее на четыре части для того, чтобы снабдить каждую часть некоторыми комментариями.

Теорема 5. Пустъ a,0,^,X Е R+, тогда фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит пространство Я, причем, решения этой задачи экспоненциально устойчивы.

Действительно, при любом ио = («10, «20, ..., ^jo, • • •) € Я существует единственное решение задачи (0.1) - (0.3) с начальными данными Коши, которые здесь имеют вид

Uj(x, 0) = Ujo(x), х Е (0,l₃Y                            (2.2)

Решение к тому же имеет вид u(x,t) = 53^j е^* <  ио,рк > <Рк(х). Экспоненциальная устойчивость таких решений в силу теоремы 5 очевидна.

Теорема 6. Пустъ а,0,^ Е R+ и А = 0. Тогда фазовым пространством задачи (0.1) -(0.3) служит множество ф = {it Е Я :< и,<р\ >= 0}, причем, решения этой задачи экспоненциально устойчивы.

Фазовое пространство находим из теоремы 4. Ввиду однократности первого собственного значения оператора А оно действительно ортогонально вектору фу. Аналогично предыдущему, решение задачи (0.1) - (0.3) при любом uq £ ф имеет вид

ОО

Цх,!) = ^е^⁴<  и₀,Фк > №(ж), к=2

и оно, очевидно, экспоненциально устойчиво.

Теорема 7. Пусть а,0 £ R+ u А € R_\{—А^}. Тогда фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) является Я, причем, решения этой задачи имеют экспоненциальную дихотомию.

Пусть «о € В, тогда единственное решение задачи (0.1) - (0.3), удовлетворяющее 5, имеет вид

^ж,^ = ( 52 ⁺    )exp(-^-^t) < и°,^ ^> ^^            (2.3)

хк>—х хк<—х A + Afc

Устойчивые 3^s и неустойчивые 3^й инвариантные пространства ортогональны в смысле L₂(G), причем, 3“ = зрап{фк ^: Хк < ^— А}, т. е. конечномерно.

Теорема 8. Пусть а,Р € R+ и существует натуральное число I > 1 такое, что А = —Ар Тогда фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит множество ф = {к € Я :< и, фк >⁼ 0, Хк = —А}, причем, решения имеют экспоненциальную дихотомию.

Этот, на вид самый трудный, случай исследуется аналогично предыдущему. Инвариантные пространства здесь имеют следующий вид: 3^s = {и £ Я :< и, фк >= 0, Хк < —А}, 3“ = зрап^фк ^: Afc < —А}. Они, очевидно, ортогональны, причем, 3^s ф 3“ = ф. Любое решение задачи (0.1) - (0.3) имеет вид б, где uq € ф.