Об устранимости особенностей в одномерных динамических системах

определяться как соображениями чисто математического характера (например, требованиями гладкости, или, как это широко используется в настоящей работе, отсутствием возмущения для части переменных, в нашем случае - параметров), так и условиями содержательного характера. В качестве используемого в этой конструкции отношения эквивалентности применяется, как правило, наиболее слабое из имеющих строгое математическое определение, а именно орбитальная топологическая эквивалентность.

Обозначенное здесь требование устойчивости относится главным образом к открытым системам, в которых отсутствуют те или иные законы сохранения, выполнение которых автоматически относит используемую в этом случае математическую модель в разряд негрубых. Так, например, в моделях биологических сообществ, представляющих в сущности проточные системы (для энергии, материальных составляющих), законы сохранения исключаются, что позволяет применять к ним соображения грубости в их самой широкой трактовке. Заметим, что для этого класса моделей фактор их устойчивости лежит в основе ключевых постулатов дарвиновской теории естественного отбора (см. [3]), поскольку сам факт существования выживших в процессе эволюции видов подразумевает их устойчивость по отношению к внешним воздействиям.

Исследование грубой системы сводится, как правило, к построению схемы взаимосвязей между ее частями, свойства каждой из которых имеют сравнительно простой характер. Так, например, грубые системы на плоскости описываются теоремой Андронова-Понтрягина (см. [4, гл. 7.1]), исключающей наличие гомо- или гетероклинических траекторий, а также расположенных на мнимой оси собственных значений якобиевой матрицы правой части используемой в качестве модели автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленной в положении равновесия, и расположенных на единичной окружности собственных значений главной линейной части отображения последования для циклов.

При наличии параметров картина усложняется по мере увеличения их числа. Тем не менее системы, локализованные около положений равновесия, остаются сравнительно простыми, поскольку вблизи них реальные изменения в структуре системы, связанные с изменением параметров, происходят на фазовом пространстве размерности, равной числу собственных значений якобиевой матрицы, расположенных на мнимой оси. Это свойство моделей описанного выше типа, называемое теоремой сведения (см. [5]), позволяет в большинстве реальных задач ограничиться фазовыми пространствами малой размерности.

Один из наиболее распространенных в связи с теоремой сведения случаев - это тот, при котором фазовое пространство имеет единичную размерность. Для него перестройки, связанные с изменениями возможных параметров, полностью определяются фазовым портретом системы на вещественной прямой, расширенной на пространство этих параметров. При этом картина в расширенном фазовом пространстве оказывается сравнительно простой. В случае конечных вырождений число параметров, учитываемых в расширенном фазовом пространстве, при которых картина сохраняется при малых возмущениях, т.е. имеет место локальная (в смысле выполнения в некоторой окрестности рассматриваемого положения равновесия в этом пространстве) структурная устойчивость по отношению к возмущениям, не затрагивающим параметры, может быть выбрано равным кратности этого вырождения. Проверка минимальности такого числа, т.е. возможности его использования в качестве коразмерности особенности в этом положении равновесия, сводится к демонстрации того, что при любом меньшем наборе параметров картина расширенного фазового портрета может быть разрушена подходящим возмущением сколь угодно малой величины. При этом разрушения условий типа равенства, определяющих особенность заданной коразмерности, на чем основываются широко используемые методы вычисления коразмерности (см., например, [6, гл. 2.2.1]), оказывается недостаточно, поскольку гарантировать отсутствие подходящего гомеоморфизма, устанавливающего эквивалентность исходной и возмущенной систем, может только наличие сохраняемого им инварианта, имеющегося у одной из них и отсутствующего у другой. Построение такого инварианта является одной из основных задач предлагаемой вниманию читателя работы. Ей посвящен четвертый раздел настоящей статьи.

Помимо решения указанной задачи в статье представлены теоремы, гарантирующие устранимость особенностей в моделях с одной фазовой переменной при достаточно большом числе параметров как без учета, так и с учетом соответствия порядка в наборе используемых параметров с характером стратификации особоноостей по их коразмерности (третий раздел статьи).

Во втором разделе приводятся определения и конструкции, необходимые для работы с последующими разделами. При этом значительное внимание уделяется формальным вопросам, сама постановка которых мотивируется соображениями, необходимость учета которых проясняется только при строгой формулировке задач, в этих последующих разделах поставленных.

• 2.    Особенности конечномерных динамических систем

Под динамической системой (М, g) в фазовом пространстве М С Rⁿ, п >  1, понимается непрерывная функция g(t, ж), ж = (жі,...,ж_п) € М, t Е D_t(ж) С R, со значениями в М, удовлетворяющая соотношениям

g(0,ж) = ж, (начальное условие),                            (1)

и

g(t1 + t₂,ж) = g(t₂, g(t1, ж)), (групповое свойство).                     (2)

При этом область определения D_t(x) по t считается зависящей от ж с тем условием, чтобы все выражения, входящие в (1) и (2), попадали в М. В частности, отсюда следует, что 0 Е D- (ж) для любого ж Е М. Кроме того, предполагается, что если D_t(x) включает в себя некоторый непустой интервал (t — 8, t + 8), 8 >  0, то D_t(x) представляет собой связное подмножество в R, а траектория системы (М, д'), проходящая через точку ж ЕМ (т.е. образ g(D_t(ж),ж), в котором направление шілутщровапо направлением возрастания t у первого аргумента), - это связное подмножество в М. В случае выполнения этого свойства для всех ж Е М дішамичесчсая система (М, д) называется nenpejмявной. а. функция g(t, ж) - се потоком.

Под орбитальной топологической эквивалентностью (см. [1, гл. 3], [2, гл. 3.10]; синоним - топологическая сопряженность) динамических систем (М, g) и (М‘,g‘) понимается существование такого гомеоморфизма (взаимно однозначное непрерывное вместе со своим обратным отображение) Һ : М ^ М ‘, для которого направленные траектории одной системы переходят в направленные траектории другой. Другими словами, это означает выполнение соотношения

Kg^t, ^ж)) = g‘^(t‘^(t,^ж), ^^(ж)),                                        (3)

где t‘(t,ж) - некоторая непрерывная монотонно возрастающая по t функция, такая что t‘(0,ж) = 0.                                                (4)

Заметим, что из (3), (4) и группового свойства (2) функций g и g‘, следует равенство t‘(ti + t2,ж) = t‘(t2, g(t1,ж)) + t‘(t1,ж).

Действительно, в силу (3) и (2) имеет место цепочка равенств:

g‘(t‘(ti +12, ж), ^(ж)) = K(g(ti +12, ж)) =

= Hg^g^i, ^ж))) = g^,(t(t2^,g^(t1^,жУ)^, h⁽g^(ti, ^ж))) =

= g‘(t‘(t2,g(t1,ж)),g‘(t‘(t1,ж),^(ж))) =

= g‘(t‘(t2,go(t1,ж)) + t‘(t1,ж), Дж)).

Условие (4) снимает вопросы о возможной неоднозначности выбора первого аргумента в крайних звенвях цепочки.

В случае непрерывности в М функции f(х) = ^(Д)   , называемой полем динами- dt t=o ческой системы (М , д'), сама функция g(t, х) представляет собой одно из решений задачи Коши для системы

= f (х)                                     О)

at с начальным условием (1), так что динамическую систему можно задавать как решение такой задачи при условии ее корректной разрешимости. Для выполнения последнего достаточно, например, локальной непрерывной дифференцируемости в М функции f (х).

Точку Х € М называют регулярной точкой системы (5), если найдется окрестность О(х) С М такая, что система (5) орбитально топологически эквивалентна в О(х) системе at = f (х) + е(х)

для любых е(х) = (е ₁ (х), ... , Е„(х)), с достаточно малой нормой пространства С ¹(О(х))

вида HeHi = sup max < max |Ej(x)|, max |^Дг^| l. Все точки системы (5), не являю-хЕО(х)       l^1,..,™          i,j=1„..,n №з J щиеся ее положениями равновесия, а также положения равновесия системы (5), для которых ее якобиан не имеет собственных значений, расположенных на мнимой оси, являются регулярными. В первом случае доказательство основывается на теореме о выпрямлении векторного поля вблизи такой точки (см. [7, гл. 2.7]), во втором - на теореме Гробмана-Хартмана [8, гл. 9.7].

Про точку Х, не являющуюся регулярной точкой системы (5), говорят, что она является особой точкой этой системы, или, что то же самое, что система (5) имеет особенность в этой точке.

Особая точка характеризуется числом определяющих ее равенств, превышающим число фазовых переменных, так что в естественных условиях она может встретиться только в системах, наделенных параметрами, число которых должно быть не меньше, чем величина указанного превышения. При изучении особенностей в таких расширенных системах зачастую удается выловить их своеобразную «регулярность», называемую далее неустра-нимостъю. При этом приходится учитывать специфику таких систем, заключающуюся не только в отсутствии возмущений правых частей уравнений, определяющих динамику параметров, но и возможное усиление требований к свойствам гладкости как самих правых частей, так и их возмущений для уравнений, задающих изменение фазовых переменных. Далее везде правая часть системы (5) считается бесконечно дифференцируемой.

Система

^ = f т(х,А),

dA — п at 0

с набором параметров А = (Аі,..., А_т) € R^m, т >  0 (верхний индекс т у функции f указывает на число параметров, так что при т = 0 параметры отсутствуют), рассматриваемая в некоторой окрестности точки (х.А) € R™^+m такая, что в этой окрестности f ^т(х, А) = f (х), называется т-параметрическим расширением системы (5) в точке х. При этом функция f^т(х,А) с областью значений в R™ считается гладкой, т.е. бесконечно непрерывно дифференцируемой по своим аргументам.

Для исследования особенностей в системе (3) зададимся некоторым набором допустимых возмущений Е = {Ет}, т = 0,1,..., состоящим из т-параметрических нормированных пространств функций £ = £(х, А) € Ет от переменных (х, А) € R™ х Rm со значениями в R™. При этом считается, что для всех т > 1, j = 1,...,т, и каждого фиксированного Xj = Xj из вклточения £(т, X1,..., Xm) G Em следует включение ^(х, X1,..., Aj-i, Xj, Xj+1. . .,Xm) G Em-1 как функции от переменных (х, X1,... , X3-1,X3+1 ...,Xm) G R

В качестве подходящих на роль E^m можно рассматривать банаховы пространства беско-онечно дифференцируемых вектор-функций. Ниже (см. раздел 3) приведен пример такой интерпретации для E^m.

Особенность в точке (х, X) системы (3) будем называть неустранимой (по отношению к Em), если найдутся 5 > 0 и окрестность O(x,X) С Rn+m такие, что система (3) орбитально топологически эквивалентна в О(х, X) системе at = / m(x,X) + e(x,X)

ax — n at о для любых е G Em с ||е^=т < 5. При этом предполагается также, что в указанном требовании эквивалентности от семейства гомеоморфизмов he окрестности О(х, X) в себя требуется их непрерывность по ей тождественность при е = 0. Набор параметров X, фигурирующий в системе (3) в качестве расширения до нее системы (5), при котором особенность в точке (х, X) оказывается неустранимой, мы будем называть неустраняюш.им расширением системы (3) в этой точке.

Отсутствие неустранимости особенности (по отношению к E^m) называется ее устранимостью (по отношению к E^m).

При увеличении числа параметров неустранимость особенности сохраняется. Действительно, предположим, что таковая имеет место для X G R^m, так что для любого достаточно малого е G E^m, е = e(x,X), существует не прерывный по е и тождественный при е = 0 гомеоморфизм h_e, осуществляющий орбитальную топологическую эквивалентность систем (3) и (4). Добавим новый параметр Xi и положим Е1(х, X,X1) = /^m+1(x,X,Xi) -f^m+1(x,X, 0), где /^m+1(x,X, 0) = /^m(x,X), так что функция /^m(x,X) оказывается вложенной в семейство /^m+1(x,X, Xi). С учетом непрерывности /^m+1 (х, X, X1) по своим параметрам в норме S^m+1 и соотношения между S^m+1 и E^m можно считать ||еД> •, X1) | Тт ^ 0 при X1 ^ 0 (точка стоит на месте свободной переменной при рассмотрении функции как элемента функционального пространства).

Система (4) в случае (т + 1) параметров с малым возмущением Е2 G -m+1 правой части имеет вид at = у m+1(x,X,X1) + E2(x,X,X1), ax = о

at     0, axt1=0.

Это возмущение мы можем рассматривать как семейство малых возмущений системы (3), зависящее от параметра X1. Искомый гомеоморфизм между системой (8) с Е2(х, X, X1) = 0 и ею же в случае Е2(х, X, X1) = 0 может быть построен как семейство по параметру X1 гомеоморфизмов, являющихся суперпозициями h_e2+_£1 ^—1 (здесь Е1,2 = Ец2(^-, •,X1)). При этом непрерывность по X1 и Е2 G S^m+1, а также его тождественность при Е2 = 0 обеспечиваются непрерывностью по ей тождественностью при е = 0 гомеоморфизма h_e.

Установленное таким образом свойство делает корректным понятие коразмерности (относительно набора Е), особенности системы (5), под которым понимается минимальное значение числа параметров т 6 +то (равенство соответствует отсутствию такого числа) в системе (3), являющейся расширением системы (5), при котором особенность с заданными свойствами оказывается неустранимой.

• 3.    Неустранимость особенностей в одномерных динамических системах

Пусть ж Е R, А = (А1,...,Аm) Е Rm, т = 0,1,..., и функция f (ж, Л) с областью значений в R является гладкой, т.е. бесконечно непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам (пишем f Е Cm = Сm(R, Rm) - нормированное пространство функций f = f (ж, Л) с непрерывными производными с нормой |f |m = sup {|f(xfeді)(ж, Л)|}). Здесь и k,l,x,X далее I = (li,... ,lm)-k,lj = 0,1,.... j = 1,..., m. f(xk ,д<) (ж, Л) = d ^ө^' Л1 = ЛІ^2 ... Л].. дЛ1 = дЛ^ дЛ122 ... дЛ1^, fxk (ж, Л) = f(xk,Л0) (ж, Л) = д gF^). Далее мы по умолчанию будем считать Sm = Cm и говорить о (не)устранимости по отношению к этому Sm в случае, если т определено из контекста.

Пусть функция f : R ^ R такова, что для некоторой точки ж = ж Е R выполнены равенства

^f(^=^fx ^(ж) = ... = ^fxN ^(ж)=⁰                            (9)

и неравенство

fx^ +1 (ж) = 0, так что f (ж) = (ж — ж)^+1а(ж) с а(ж) = 0. В этом случае нуль ж функции f (ж) называется пулом (N + 1)-й кратности.

Будем называть набор параметров Л = (Лl,...,Л_m) Е R ^m подходящим для функции

—

—

f Е Cm, удовлетворяющей при Л = Л условиям (1) и (2), если векторы V \f_xj ((ж, Л)),

j = 0, ...,т — 1. линейно неза, висимы. Здесь Vx = (дІГ, Л = (Л1,...,Лm).

...

, дхщ^ - градиент по набору

Теорема 1. Пусть функция f Е Cm удовлетворяет условиям (1) и (2). Тогда осо-< / ri A л г rm / Т A Р / А / — Т A v бенность системы (3) с т = N, fm(ж,Л) = f (ж), в точке (ж, Л) является неустранимой по отношению к Cm- При этом в качестве неустраняющего расширения в этой точке моэюно выбрать любой подходящий для функции f набор параметров.

Доказательство разбивается на две части. В первой из них проверяется, что в случае подходящего набора параметров выполнение условий (1) и (2) сохраняется при малых возмущениях. Во второй части устанавливается эквивалентность системы (3), удовлетворяющей условиям (1) и (2), некоторой канонической системе. С учетом непрерывности этой эквивалентности по входным параметрам отсюда будет следовать утверждение тео ремы для суперпозиции эквивалентности системы (3) с канонической и эквивалентности канонической с системой (4).

В нетривиальном случае N > 1. Без ограничения общности считаем (ж, Л) = (0, 0).

Первая часть доказательства. Очевидно, что произвольный набор параметров

Л’ = (Л1,..., Лm)- выражающийся через некоторый подходящий набор Л = (Лі,..., Аm) так.

(Ш=0

чтобы Л‘(0) = 0. будет также подходящим тогда и только тогда, когда det

Для подходящего набора набор соотношении (1), (2), имеющий место для fm(;—, Л) при (ж, Л) = (0, 0), будет сохраняться в силу теоремы о неявной функции (имеется в виду ее вариант для случая функциональных пространств, см., например, [9, гл. 3.8]) также и для F(ж, Л) = fm(ж,Л) + е(ж, Л) при достаточно малых е(ж,Л) в точке (ж, Л) = (ж(е),Л(е)) с (ж(0),Л(0)) = (0, 0). Здесь теорема применяется к отображению

F : Rm+1 х Cm ^ Rm+1, в котором Ғ(ж, Л, е) =

F (ж,Л) Fx(ж,Л)

fm(ж,Л) + е(ж,Л) f —x (ж, Л) + Ex(ж,Л)

, е = е(ж,Л)

∞

^Е m

\ Fxm (ж, Л) /     \ fx^ (ж,Л)+ E, (ж, Л) /

Частная производная Фреше этого отображения

жх |(0,0) по паРе (ж,Л),

вычисленная

при (ж, А) = (0, 0), имеет вид (т + 1) х (т + 1) матрицы

/  0    д^ 0         дАт      . •                               •                      .	дfт   \ .     дАт    ' 1
•                               • •                               • 0         дАт      . (  г- т        дf^т \ 1жт+1      дА1     .	• ^-1 .    дАт дгтт .    дАт /

Она является невырожденной в силу неравенства (2) и линейной независимости градиентов. Эти условия сохраняются при возмущениях е(ж,А), достаточно малых в норме С^-

Утверждение теоремы о неявной функции позволяет также сделатв вывод о гладкой зависимости пары (ж(е),А(е)) о те G С^ в некоторой окрестности нуля, что обеспечивает гладкость правой части возмущенной системы (4) в переменных ж’ = ж — ж(е), А’ = А — А(е), относительно которых она имеет вид системы (3) с правой часстью, удовлетворяющей при ж’ = 0, А’ = 0 соотношениям (1), (2).

Вторая часть доказательства. Проверка неустранимости особенности в случае выполнения соотношений (1), (2) для подходящего набора следует из эквивалентности как невозмущенной, так и возмущенной систем канонической системе вида:

(t’ = W (у, у),

(И)

^ - О dt' = 0, с многочленом

W (у, у) = 771 + /у.у + . . . + '/тУ^ ' ± ж^т+1,

Q^+lfт(x,X)

где знак ± совпадает со знаком signа(0) = sign —д^т+т^|щ,А)=(а,а)- Выражение (12) называется канонической формой Уитни для функции f т(ж, А) с f(ж) = /т(ж, 0), удовлетворяющей условиям (1), (2). Возможность ее использования для доказательства эквивалентности систем (3) и (11) основывается на подготовительной теореме Мальгранжа (см. [10, гл. 4]), из которой следует допустимость представления fm(ж,А) = 9(ж,А)Р (ж,/(А))

C Q^{(0, 0)} = 0, Ц = ^/(А) = ^(/а, . . . , ^/т+1⁾ Мт+Г = 1; ^з = ^3 ^(А), ^3 ⁽⁰⁾ = ⁰, ^j = ⁰, ¹, - - ^. , ^т, т+1

Р(ж,/) = 52 /зж3• Многочлен W(у, у) получается из Р(ж,/) выделением полной (т + 1)-й з=а степени посредством зависящего от параметров сдвига фазовой переменной у = ж — ж(/), на величину ж(/), подбираемую с тем расчетом, чтобы убить член степени т по ж. В частности, для нее должно быть выполнено равенство ж(0,..., 0,1) = 0. В качестве знака ± при старшей степени у W выбирается signQ(0, 0) = sign а(0), а остальные коэффициенты пересчитываются в соответствии с проделанными процедурами, что дает в конце концов замену у = у(А) с у(0) = 0 и у = у(ж, А) с у(ж, 0) = ж.

Построенный посредством отображений у и у гомеоморфизм сохраняет параметры, поскольку у не зависит от фазовой переменной. Это означает выполнение второго (т.е. относящегося к у) уравнения в (11). Первое уравнение в (11) получается делением первого уравнения в (3) на величину |У(ж, А) |, положительную в некоторой окрестности точки (0, 0). При этом время t может быть локально перемасштабировано t ^ t‘(t, ж, А) в соответствии с соотношением (dt = |9(ж,А)|. Поскольку signQ(0, 0) = signa(0), то знак перед членом старшей степени у W при малых возмущениях сохраняется, так что каноническая форма для системы (4) будет снова иметь вид (11), что позволяет построить сквозной гомеоморфизм, устанавливающий эквивлентность систем (3) и (4).

Непрерывность построенного гомеоморфизма по функции fт(ж,А), обеспечивающая структурную устойчивость системы (3), является следствием непрерывности отображений у и у, вытекающей в свою очередь из построений, используемых при доказательстве подготовительной теоремы Мальгранжа. Теорема доказана.

Требования к подходящему набору А=(Аі,... ,Ат) можно усилить, потребовав чтобы для любого к = 1,... ,т были линейно независимы градиенты Ух|к/т(0, 0), у =0,.. .,т — 1. Здесь

Vxk = (әХт'

...

, эд;) - градиент по набору А|к = (Аі,..., Ак), А|т = А. Такой подходящий набор мы будем называть упорядоченно подходящим. Замена набора А = (А1,...,Ат) на к-1

набор А’ = (А1,..., А'т) с Ак = СкАк +    с^Ар к = 1,..., т, при Ск = 0 и произвольных з=1

вещественных с^ не меняет, как нетрудно проверить, свойство набора должно быть упорядоченно подходящим. В качестве направлений осей Ак для упорядоченно подходящего набора можно выбрать направления градиентов Vxf^-i (0, 0) по произвольному подходя щему набору А.

Замечание. Набор у = (щ, ...,у_т) фигурирующий в системе (11), в условиях теоремы 1 является подходящим и даже упорядоченно подходящим, так что множество таких наборов не пусто.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 для упорядоченно подходящего набора имеет место неустранимость особенности в любом полоэюении равновесия из некоторой окрестности точки (ж, А). При этом в указанной окрестност и для особенностей коразмерности 6к в качестве подходящего набора момсно использовать укороченный набор А|к = (А₁,..., Ак).

Доказательство сводится к выбору такой окрестности, в которой выполняются все неравенства, задаваемые в точке (ж, А) (далее как и раньше мы считаем, что это (0,0)). К числу таких неравенств относятся, в частности, и свойства ли нейной независимости, определяемые неравенством нулю соответствующих детерминантов. Для Ғ(ж, А) = /т(ж,А) + е(ж, А) независимость градиентов производных

VxiJp (0,0), у = 0,...,т рует невырожденность к х

— 1. для некоторого натурального к 6 т

гаранти

gym

1 ӘХ1

dj ^m ӘХк

/   0 •	ӘҒ	ӘҒ
	ӘХ1      . •                           .	.      ӘХк *
• 0	Әғ.к-1	•                           . ӘҒ.к-1
	ӘХі       .	.      ӘХк
\ Ғ.С	ӘҒ.к ӘХі      .	^к .      ӘХк

/

к матрицы вина.

⎞

• д/Д-1 \ -Дхг

*

S/Д-і

ЭДк

/

Для

матрицы

невырожденность в силу этого имеет

место в тех точках

(1 + т)-мерной подходяще малой (с тем, чтобы выполнялись все неравенства, накладыва

емые на /^т в начале координат) окрестности начала, в которых выполняются равенства Ғ(ж, А, е) = Ғ_ж(ж, А, е) = ... = Ғ_жк (ж, А, е) = 0 и неравенство Ғ_жк+і (ж, А, е) = 0. т.е. имеющих коразмерность 6 к ■

Замечание. Поскольку остальные т — к параметров упорядоченно подходящего на бора Ак+і,..., Ат остаются свободными, т.е. в теореме о неявной функции фигурируют в качестве аргументов последней, то при фиксированном возмущении е(ж, А) множество особенностей коразмерности 6к имеет локальнуго размерность >т — к. Это означает, что все особенности в рассматриваемой окрестности индуктивно стратифицированы по размерности, так что границами поверхностей в пространстве параметров, отвечающих особенно стям коразмерности 6к, являются поверхности, отвечающие особенностям коразмерности 6к + 1.

• 4.    Инварианты, обеспечивающие устранимость особенностей

В этом разделе указываются некоторые из инвариантов гомеоморфизмов системы (3) в случае числа параметров, меньшего, чем коразмерность особенности. На их наличии основывается доказательство ее устранимости при таких наборах параметров.

Теорема 3. Особенность системы (3) в точке (х, А) с функцией / ^т Е Ст такой, что функция /(х) = /^т(х,А) удовлетворяет условиям (1) и (2), в случае т < N является устранимой (относительно С^).

Доказательство. Считаем (х, А) = (0,0). В силу (1) и (2) / ^т(х, 0) = a(x)x^N +¹ с а(0) = 0. Последовательное выделение сомножителей (имеется в виду многократное повторение очевидного представления для непрерывно дифференцируемой функции в 1

Приложение 2]), приводит к выражению

N

/ ^т(х,А) = ^ а_г(А)х^г + a(x,X)x^{N +1}                        (13)

г=0

с Oj(0) = 0 и а(х, 0) = а(х). Возможны только следующие два варианта.

Первый. В пространстве параметров найдется такая окрестность нуля Од С R^m, что для всех А Е О\ уравнение ф^т(х, А) = 0 имеет не более N различных вещественных корней (отпосптелыю хй

Второй. Найдется последовательность А_у ^ 0 такая, что уравнение ф^т(х,Ад ) = 0 имеет (N + 1) различных вещественных корней.

В первом случае зададимся произвольными хг Е R, г = 1,..., N + 1, хг = Xj при г = фи N       .         N +1

положим Ғ(х, А) = ^ a_г(X)х^г + а(х,А) ф[ (х — дх_г ). е§ (х,А) = Ғд(х, А) —/^т(х, А), так что г=0                      г=1

£о(х, А) = 0. Поскольку Ғ5 (х, 0) имеет (N + 1) рсгзличыьіх корней {йх^}. г = 1,..., N + 1. то допускается применение теоремы о неявной функции к уравнению Ғ§ (х, А) = 0, рассматриваемому в окрестности каждого из корней {йхг}, г = 1,...,N + 1. Такая возможность основывается на различии этих корней и гладкости функции а(х,А), принимающей в нуле отличное от нуля значение. В предположении наличия гомеоморфизма h : V ^ V (здесь V = I х Од. I = (—г, г) - одномерный интервал с г > 0. вклточатопщй в себя все {5х_г}. г = 1,..., N + 1). устанавливающего экви валентность систем (4) с е(х, А) = е§ (х, А) и (3). множество һ(х, 0). х Е I. в силу предположения не может содержать более N различных положений равновесия системы (3), в то время как для его прообраза таковых имеется N + 1.

Во втором случае имеется инвариант, сохраняющийся при гомеоморфизмах h : V ^ V некоторой окрестности начала V С R х R ^m в себя, устанавливающих орбитальную топологическую эквивалентность систем (3) и (4). Другими словами, этот инвариант сохраняется в предположении неустранимости особенности. Его можно представить как «существование сходящейся последовательности в пространстве параметров, для элементов которой первое уравнение системы (3) имеет (N + 1) различных полоэюений равновесия, а для ее предела такое полоэюение равновесия единственно».

То, что этот инвариант сохраняется при таких гомеоморфизмах h, следует из сохранения неподвижности параметров (правые части в указанных системах для них нулевые, так что А-компопопты в һ(х, А) = (һ_х(х, А), һд(х, А)) нс зависят от х. т.е. һд(х,А) = Н(А)) и сохранения числа положений равновесия на фазовых портретах одномерных систем (т.е. по х) в случае их орбитальной топологической эквивалентности. При этом свойство некоторой точки в пространстве параметров быть пределом для некоторой последовательности сохраняется в силу непрерывности (из А_ч ^ Ао следует Н(А_ц) ^ Н(Ао)).

То, что построенный таким образом инвариант может исчезать, т.е. отсутствовать для возмущенных систем с некоторой убывающей последовательностью возмущений {ер(х, А)}, вытекает из теоремы Сарда (см., например, [10, гл. 2.1]). Приводимая ниже конструкция позволяет воспользоваться этой теоремой. Поскольку, как это будет видно ниже из построения, возмущения можно выбрать в виде полиномов от х, то для них будут выполняться требуемые в определении устранимости условия гладкости.

Далее без ограничения общности считаем Ад = 0, так что (ж, А) = (0, 0) - положение равновесия, соответствующее предельной точке, фигурирующей в конструкции инварианта. Пусть последовательность А_ч ^ 0 такова, что для любого сколь угодно малого г > 0, начиная с некоторого номера q, уравнение f^т(ж,А_ц) = 0 имеет (N + 1) различных корней из интервала I = (-г, г). При этом в I уравнение f^т(ж, 0) = 0 имеет единственный нулевой корень кратности (N + 1), так что для f (ж) = f^т(ж, 0) выполнены соотношения (1) с ж = 0. Используя коэффициенты разложения (6), положим

N

F⁵ (ж, А) = ^ (а_г(А) — 5_г)ж^г + а(ж, А)ж^N+1.                      (14)

г=0

Здесь 5 = (5д,..., 5n ) - (N + 1)-мерный вектор, так что отображение уз (А), уз : Од ^ R ^N+1 (Од С R ^m - окрестность нуля в пространстве параметров), у5(А) = F^(0, А), г = 0,..., N, имеет при 5 = 0 критическое значение уо(0) = 0. соответствующее аг(0) = 0. г = 0,..., N. По теореме Сарда при ^ ^ то найдется такая последовательность 5^ ^ +0, что уз^ (А) = 0 для всех А € Од. В предположении сущеетвования гомеоморфизма /У : V ^ V, V = I х Од, ҺУ (ж, А) = (у, ст) = (^(ж, А),# ^v (А)), устанавливающего эквивалентность систем (3) и (4) с е(ж, А) = e^v (ж, А) = F⁵ (ж, А) — f ^т(ж,А) (полином по ж), для (у, ст) = ҺУ (0, 0) получим F5 (у, СТ) = 0 для некоторого г = 0,..., N. В силу непрерывности это же неравенство верно и для некоторой окрестности точки (у, ст). Возможность существования последовательности ст_ц ^ СТ, для которой в любой наперед заданной окрестности точки у, начиная с некоторого номера q, сущеетвуют (N + 1) различивix корней у_гя, г = 1,...,N + 1, уравнения F⁵" (у, ст_ц) = 0, при этом исключается. Действительно, поскольку в противном случае было _v                N +1

бы F ⁵" (у, ст,,) = 7(у, ст_ч ) П (у - Уг,9) ^с некоторой непрерывной функцией 7(у, ст), то в силу г=1

непрерывности функции (7) вместе со своими производными по ж до (N + 1)-го порядка включительно при q ^ то был о бы у_г,_ч ^ у и F5_-1 (у, ст) = 0 для всех г = 1,..., N + 1, что противоречит предыдущему неравенству.

Итак, в обоих альтернативных друг другу случаях удалось построить убывающую последовательность возмущений, исключающих эквивалентность систем (3) и (4), что влечет утверждение теоремы.

Следствие. Пусть функция f € Cq” удовлетворяет условиям (1) и (2). Тогда особенность системы (5) в точке ж имеет по отношению к набору Е = {E^m}, m, = 0.1,... с E^m = C”( R , R ^m) коразмерность, равную N.

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что указанная коразмерность 6 N. Теорема 3 влечет для нее неравенство > N.

Замечание. Традиционные подходы (см., например, [10]) при доказательстве устранимости особенностей не углубляются, как правило, до конструирования инвариантов, с необходимостью сохраняемых предполагаемыми гомеоморфизмами и различающих невозмущенные и возмущенные системы в малых окрестностях этих особенностей. Вместо этого дается ссылка на теорему Сарда, обеспечивающую невыполнимость требуемого набора равенств для подходящих возмущений.

их неустранимости при подходяще большом числе параметров, в то время как для получения нижних оценок строятся убывающие последовательности возмущений, исключающих возможность установления эквивалентности невозмущенной и возмущенной систем, т.е. демонстрируется устранимость особенностей. Наиболее существенным здесь оказывается построение для гомеоморфизмов, фигурирующих в определении структурной устойчивости, инвариантов, исключающих возможность наличия грубости в случае расширения исходной одномерной системы на пространство параметров, размерность которого меньше коразмерности особенности. Этот подход устраняет пробелы, возникающие при традиционной трактовке коразмерности как числа условий типа равенства, фигурирующих в определении особенности.