Об уточнении приближенного решения одномерной сингулярно возмущенной модельной задачи с разрывной нелинейностью
Автор: В.Н. Павленко, Е.А. Деркунова
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 2 т.18, 2025 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение с малым параметром при производной, разрывной по фазовой переменной нелинейностью и двусторонними начальными условиями, которое моделирует движение материальной точки со скачком ускорения. К особенностям исследуемой задачи можно отнести то обстоятельство, что решение вырожденного уравнения не существует, а также что начальные условия зависят от малого параметра и определяют негладкую функцию. Задача в такой постановке уже решалась авторами ранее, когда, во-первых, было записано точное ее решение, во-вторых, приведена приближенная модель, построено для нее достаточно гладкое решение и проведен его анализ. Однако прежнее приближенное решение имело тот недостаток, что, хотя его поведение имело регулярный характер при удалении от начальной точки, но в малой окрестности вблизи нее оставалось неудовлетворительным, исходя из требований наличия причинно-следственных ограничений. В данной статье производится аппроксимация уравнения для гладкого приближенного решения с целью устранить указанную проблему. Построенное гладкое решение будет подчиняться левому начальному условию в точке перехода.
Разрывные нелинейности, сингулярные возмущения, вырожденное уравнение, асимптотическое разложение, пограничные функции
Короткий адрес: https://sciup.org/147250682
IDR: 147250682 | УДК: 517.928 | DOI: 10.14529/mmp250203
On The Refinement of an Approximate Solution of a One-Dimensional Singularly Perturbed Model Problem with Discontinuous Nonlinearity
An ordinary differential equation with a small parameter with a derivative, discontinuous phase variable nonlinearity and two-sided initial conditions is considered, which simulates the motion of a material point with an acceleration jump. The features of the problem under study include the fact that there is no solution to the degenerate equation, and that the initial conditions depend on a small parameter and determine a non-smooth function. The problem in this formulation has already been solved by the authors earlier, when, firstly, its exact solution was written down, and secondly, an approximate model was given, a fairly smooth solution was constructed for it, and its analysis was carried out. However, the previous approximate solution had the disadvantage that, although its behavior was regular when moving away from the starting point, it remained unsatisfactory in a small neighborhood near it, based on the requirements of causal constraints. In this paper, an approximation of the equation for a smooth approximate solution is performed in order to eliminate this problem. The constructed smooth solution will obey the left initial condition at the transition point.
