Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений
Автор: Ревина Светлана Васильевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается система двух уравнений реакции-диффузии в ограниченной области m-мерного пространства с краевыми условиями Неймана на границе, для которой слагаемые реакции f(u,v) и g(u,v) зависят от двух параметров a и b. Предполагается, что система имеет пространственно-однородное решение (u0,v0), причем fu(u0,v0) > 0, а - gv(u0,v0)=F(Det(J)), где J - матрица Якоби соответствующей линеаризованной системы в бездиффузионном приближении, F- гладкая монотонно возрастающая функция. Предложен способ аналитического описания области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы при фиксированном коэффициенте диффузии d. Показано, что область необходимых условий неустойчивости Тьюринга на плоскости (Det(J),fu) ограничена кривой нулевого следа, дискриминантной кривой и геометрическим местом точек Det(J)=0. Найдены явные выражения кривых достаточных условий и доказано, что дискриминантная кривая является огибающей семейства этих кривых. Показано, что одна из границ области неустойчивости Тьюринга состоит из фрагментов кривых достаточных условий, выражается через функцию F и собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области. Найдены точки пересечения кривых достаточных условий и показано, что их абсциссы не зависят от вида функции F и выражаются через коэффициент диффузии и собственные значения оператора Лапласа. Рассмотрен частный случай F(Det(J))=Det(J). Для этого случая указан диапазон волновых чисел, при которых возникает неустойчивость Тьюринга. Получено разбиение полуоси d > 1 на полуинтервалы, каждому из которых соответствует свое минимальное критическое волновое число. Точки пересечения кривых достаточных условий лежат на прямых, не зависящих от коэффициента диффузии d. В качестве примеров приложений доказанных утверждений рассматриваются система Шнакенберга и уравнения брюсселятора.
Системы реакции-диффузии, система шнакенберга, область неустойчивости тьюринга, критическое волновое число
Короткий адрес: https://sciup.org/143179159
IDR: 143179159 | УДК: 517.957 | DOI: 10.46698/d6373-9335-7338-n
Diffusion instability region for systems of parabolic equations
We consider a system of two reaction-diffusion equations in a bounded region of m-dimensional space with Neumann boundary conditions on the boundary, for which the reaction terms f(u,v) and g(u,v) depend on two parameters a and b. It is assumed that the system has a spatially homogeneous solution (u0,v0), moreover, fu(u0,v0)>0, and -gv(u 0,v0)=F(Det(J)), where J is the Jacobi matrix of the corresponding linearized system in the diffusionless approximation, F is a smooth, monotonically increasing function. A method is proposed for the analytical description of the region of necessary and sufficient conditions for Turing instability on the plane of the parameters of the system at a fixed diffusion coefficient d. It is shown that the region of necessary conditions for Turing instability on the plane (Det(J),fu) is bounded by the zero trace curve, the discriminant curve and the points Det(J)=0. Explicit expressions for the curves of sufficient conditions are found and it is proved that the discriminant curve is the envelope of the family of these curves. It is shown that one of the boundaries of the Turing instability region, which consists of fragments of curves of sufficient conditions, is expressed in terms of the function F and the eigenvalues of the Laplace operator in the considered region. The points of intersection of the curves of the sufficient conditions are found and it is shown that their abscissas do not depend on the form of the function F and are expressed in terms of the diffusion coefficient and the eigenvalues of the Laplace operator. The particular case F(Det(J))=Det(J) is considered. For this case, the range of wave numbers at which the Turing instability occurs is indicated. A partition of the semiaxis d > 1 into half-intervals is obtained, each of which has its own minimum critical wave number. The intersection points of the curves of the sufficient conditions lie on straight lines independent of the diffusion coefficient d. The Schnackenberg system and the Brusselator equations are considered as examples of applications of the proved statements.
Список литературы Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений
- Murray J. D. Mathematical biology II: Spatial Models and Biomedical Applications. N.Y.: Springer, 2003.
- Li P., Shi J., Wang Y., Feng X. Bifurcation analysis of reaction-diffusion Schnakenberg model // J. Math. Chemistry. 2013. Vol. 51, № 8. P. 2001-2019.
- Jiang W., Wang H., Cao X. Turing instability and Turing-Hopf bifurcation in diffusive Schnakenberg systems with gene expression time delay // J. Dyn. Differ. Equ. 2019. Vol. 31, № 4. P. 2223-2247.
- Revina S. V., Lysenko S. A. Sufficient Turing instability conditions for the Schnakenberg system // Вестн. Удмурт. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2021. Т. 31, № 3. С. 424-442.
