Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений

Рассматривается система двух уравнений реакции-диффузии в ограниченной области m-мерного пространства с краевыми условиями Неймана на границе, для которой слагаемые реакции f(u,v) и g(u,v) зависят от двух параметров a и b. Предполагается, что система имеет пространственно-однородное решение (u0,v0), причем fu(u0,v0) > 0, а - gv(u0,v0)=F(Det(J)), где J - матрица Якоби соответствующей линеаризованной системы в бездиффузионном приближении, F- гладкая монотонно возрастающая функция. Предложен способ аналитического описания области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы при фиксированном коэффициенте диффузии d. Показано, что область необходимых условий неустойчивости Тьюринга на плоскости (Det(J),fu) ограничена кривой нулевого следа, дискриминантной кривой и геометрическим местом точек Det(J)=0. Найдены явные выражения кривых достаточных условий и доказано, что дискриминантная кривая является огибающей семейства этих кривых. Показано, что одна из границ области неустойчивости Тьюринга состоит из фрагментов кривых достаточных условий, выражается через функцию F и собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области. Найдены точки пересечения кривых достаточных условий и показано, что их абсциссы не зависят от вида функции F и выражаются через коэффициент диффузии и собственные значения оператора Лапласа. Рассмотрен частный случай F(Det(J))=Det(J). Для этого случая указан диапазон волновых чисел, при которых возникает неустойчивость Тьюринга. Получено разбиение полуоси d > 1 на полуинтервалы, каждому из которых соответствует свое минимальное критическое волновое число. Точки пересечения кривых достаточных условий лежат на прямых, не зависящих от коэффициента диффузии d. В качестве примеров приложений доказанных утверждений рассматриваются система Шнакенберга и уравнения брюсселятора.