Обобщение как путь формирования теоретического мышления учащихся

L.V. Antonova, V.I. Antonov, T.V. Burzalova

Generalization as the way of forming of theoretical thinking of students’

This article deals with the one of the main components of mathematical faculties – the ability to generalization. Key words: mathematical faculties, generalization.

В информационно-развивающем обучении отдается предпочтение той концепции, в рамках которой хранение информации рассматривается как средство, обеспечивающее возможность реализации основной функции памяти – использования необходимой информации с целью более эффективного приспособления человека к условиям окружающей среды. Преобразование знаний становится возможным только тогда, когда информационный материал воспринимается на уровне понимания . Понимание является непременным условием продуктивного мышления. Информационноразвивающее обучение, направленное на понимание, строится на поиске общих связей, отношений , а поиск этих связей проходит на основе анализа материала, сравнения отдельных его частей, синтеза, выделения существенных признаков, абстрагирования, конкретизации и обобщения . Обобщение с философской точки зрения это мысленное выделение каких-нибудь свойств, принадлежащих некоторому классу предметов, и формулирование такого вывода, который распространяется на каждый отдельный предмет данного класса: переход от единичного к общему, от менее общего к более общему. Поэтому кантовское открытие способности человека обобщать на уровне философствования было важным достижением в понимании мышления. В результате информационно-развивающего обучения учащийся получает в свое распоряжение целостную осмысленную картину рассматриваемого явления. Большинство ученых, занимающиеся исследованием способностей, выделяют компоненты математических способностей, которые, на их взгляд, являются наиболее важными [1,2,3]. Хотя по содержанию все структуры разные, но во многих из них часто встречаются такие компоненты как способность к абстракции и способность к обобщению материала. Можем сделать вывод, что главным моментом в развитии у ребенка творческих способностей является развитие способности к обобщению. При обучении ребенка обобщать материал, параллельно идет тренировка памяти, развиваются творческие способности, способности к умозаключению, к логическому рассуждению, к пониманию формул, и т.д. Творческие способности развиваются и проявляются в процессе творческой деятельности. Для того чтобы учебная деятельность была творческой, необходимо, чтобы учитель был творческой личностью, деятельность должна быть связана с открытием нового и решением творческих задач. Рассмотрение условий развития творческих способностей подростков позволяет нам выделит пути реализации их развития в процессе изучения математики в школе. Первый – научить учащихся обобщать материал. Второй – организация учебного процесса путем постановки творческих учебных задач и путем создания педагогических ситуаций творческого характера.

При обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино. Например, при изучении формулы включений и исключений в комбинаторике в девятом классе сначала предлагаются конкретные примеры на нахождение числа элементов объединения конечных двух множеств A и B, потом выдвигается гипотеза о структуре формулы перекрытий. Это обобщение является только гипотезой, поэтому обязательно проводится доказательство полученной формулы n(A B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) методом математической индукции. Затем учащиеся в одиннадцатом классе обобщают эту формулу для произвольного числа конечных множеств.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий имеет своей целью выработать у школьника умение сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые отношения, прослеживать развитие понятий. Например, при прохождении в восьмом классе теоремы Пифагора x² + y²=z² учащиеся выясняют, что это уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах (пифагоровы тройки). Эта задача, как выясняют учащиеся, связана с существованием параметризации окружности при помощи рациональных функций. При обобщении уравнения учащиеся приходят к вопросу, имеет ли целочисленные решения уравнение xn + yn = zn для любого n f 2. Затем учитель сообщает, что получили знаменитую Большую теорему П.Ферма, которая утверждает, что это уравнение не имеет решений, которую пытались доказать на протяжении 350 лет и была доказана только в 1993 году анг- лийским математиком Э.Вайлсом. Уже в одиннадцатом классе к аналогичной задаче сводится проблема выражения интегралов от квадратичных иррациональностей через элементарные функции.

Обобщение через анализ В.В. Давыдов [2] рассматривает как путь формирования теоретического мышления учащихся, тогда как обобщение, происходящее в результате сравнения, рассматривается им как путь формирования эмпирического мышления. Формирование этого мышления можно проиллюстрировать на вышеуказанном примере формулы перекрытий. Анализируя количество элементов данных конечных множеств, их взаимное расположение, сравнивая, школьник выявляет общие свойства и выводит вытекающее отсюда обобщение формулы перекрытий.

Большое значение обобщению через анализ придается В.В. Давыдовым в процессе обучения школьников решению задач. Согласно исследованиям В.В. Давыдова и его учеников тщательно выполненный анализ достаточно содержательной задачи дает учащимся возможность сразу овладеть общим методом решения целого класса задач. В традиционной методике овладение общим методом решения задач происходит обычно путем анализа и сравнения большого числа частных задач, т. е. обобщение проводится на эмпирической (опытной) основе. Таким образом, обобщение через анализ является мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи (вопроса) свойств путем формирования теоретического мышления.

Чтобы учащиеся овладели общими приемами деятельности, в каждой теме должны быть:

• •    выделены опорные (базовые) задачи;

• •    проведена классификация математических объектов по основным свойствам;

• •    проведены уроки обобщения и систематизации знаний о формируемых понятиях.

Естественным способом формирования и закрепления общей структуры изучаемого материала является обобщающее повторение. Необходимость введения целенаправленного обобщающего повторения в систему подготовки учащихся связано с решением проблемы формирования глубокой системы знаний по математике.

При прохождении темы «Прямоугольный треугольник» учащиеся выделяют опорные (базовые) задачи, проводят классификацию математических объектов по основным свойствам. На этих уроках учащиеся учатся обобщать, преодолевать трудности, искать разные способы решения задач, опираясь на опорные задачи. Чтобы учащиеся в конечном итоге моделировали творчество и тренировали мышление, после таких уроков обобщения необходимо проводить практикумы, на которых предлагаются настоящие задачи, требующие, чтобы ученик сам нашел решение поставленной проблемы. Важно научить ребенка анализировать и сравнивать, так как овладение общим методом решения задач происходит обычно путем анализа и сравнения большого числа частных задач.

При решении задач раскрываются возможности различных способов рассуждений, вскрываются общие методы и происходят обобщения . Рассмотрим ряд геометрических задач:

• 1)    Доказать, что если на отрезке длины m расположено несколько отрезков с суммой длин больше m, то по крайней мере два из них имеют общую точку.

• 2)    Доказать, что если на окружности радиуса m расположено несколько дуг с суммой длин больше 2πm, то по крайней мере две из них имеют общую длину.

• 3)    Доказать, что если внутри фигуры площадью m расположено несколько фигур с суммой площадей больше m, то по крайней мере две из них имеют общую точку.

Обобщая указанные задачи, приходим к известному принципу Дирихле.

При решении задачи разными способами ученик учится подходить к одной проблеме с разных сторон, находить оптимальное ее решение, в результате он овладевает общими методами решения.

В рамках нашего эксперимента, который длился в течение 15 лет в средней школе №2, гимназии №59, лицее №9, был осуществлен поиск эффективных методов и активных форм обучения в математических классах, способствующих развитию математических способностей старшеклассников. Благодаря выбранной технологии обучения учащихся экспериментальных классов нам удалось добиться развития способности к обобщению и решения проблемы формирования глубокой системы знаний по математике: 52% общего числа учащихся имели четвертый (высокий) уровень обобщения, 43,5% – третий (хороший) уровень обобщения, лишь 4,5% – средний уровень. В контрольных классах эти показатели были: четвертый уровень – 13%, третий уровень – 39%, второй уровень (средний) – 35%, первый уровень (низкий) – 13%.