Обобщение теоремы Флоке-Ляпунова

Рассмотрим однородную линейную систему из n уравнений dy = A(x) • y,                                        (1)

dx где У = (У1(x),У2(x),...,Уп(x))T , A(x) = Гaij(x)!   .

• I-    J       _l n X n

Отметим сначала следующие результаты обыкновенных дифференциальных уравнений ([1], [2],[3]).

Теорема 1. Пусть Ф1(x)- некоторая фундаментальная матрица системы (1). Тогда всякое фунда ментальное решение Ф(x) системы (1) имеет вид Ф(x) = Ф1(x) • C, где C - постоянная матрица.

Теорема 2. Матрица-функция A ( x ) непрерывна на интервале I . Тогда существуют фундаментальные матрицы решений системы (1) на I .

Теорема Флоке–Ляпунова. Пусть элементы матрицы-функции A ( x ) вещественные периодические функции с периодом to . Тогда всякая фундаментальная матрица Ф ( x ) системы (1) имеет вид

ф( x) = p (x) ecB где B – постоянная матрица, элементы матрицы P(x) периодичны с периодом ω.

Основная теорема (обобщение теоремы Флоке-Ляпунова). Пусть элементы матрицы-функции A(x) вещественные диагонально-периодические функции с диагональным периодом to = (tt>1,®2,...,tom). Тогда всякая фундаментальная матрица Ф(x) системы (1) имеет вид

Ф( x) = P (x) exB где B – постоянная матрица, элементы матрицы P(x) диагонально-периодичны с диагональным периодом to = (to1,to2,...,tom).

Доказательство . Пусть ω ₁ , ω ₂ ,...,

ω

m

ω

– положительные числа и ^k – иррациональные числа,

ω

s

где k,5 = 1,2,...,m и k ^ 5 . Пусть f y (x1,x2,...,xm) - вещественные функции от m переменных и fy(X',...,Xk,...,xm) = fy(X',...,Xk + to,...,xm), k = 1,2,...,m.                    (2)

Пусть ay(x) = fy(x,x,-,x)                                      (3)

для всех i , j . Тогда a_ij ( x ) есть диагонально-периодическая функция с диагональным периодом to = ( to 1 , to ₂,..., to m ) .

Пусть A(x) = \ ay(x)l и g1(x),g2(x),...,gm(x) - непрерывные вещественные функции опреде-l_ J       _ln X n лены на R. Рассмотрим следующую матрицу:

D ⁽ g 1 ^{( x} ), g 2 ^{( x} ),..., g m ^{( x} )) = Г ^f y ⁽ g 1 ^{( x} )» g 2 ^{( x} ),..., g m ^{( x} )) 1                   ⁽⁴⁾

n X n

Тогда очевидно, что элементы матрицы D ( g ₁( x ), g ₂( x ),..., g_m ( x )) – непрерывные функции. Из условия (2) вытекает

Г fy (gj (x), g2 (x),..., gm (x))!   = Г fy (g 1 (x),..., gk (x) + tok ,..., gm (x))1         или nXn                                                               nXn

D ⁽ g 1 ^{( x} )»..•» g k ^{( x} ) + ^to k ,..., g m ^{( x} )) = D ⁽ g 1 ^{( x} X g 2 ^{( x} ),..., g m ^{( x} )),    ⁽⁵⁾

где k = 1,2,..., m .

Отметим a y ( x ) = D ( x , x ,..., x ) . Теперь рассмотрим систему:

dy = D ( g 1 ( x ), g 2 ( x ),..., g m ( x )) ■ y .                                        (6)

dx

Из теоремы 2 следует, что существует фундаментальная матрица решений системы (6), зависящих от g ₁( x ), g ₂( x ),..., g_m ( x ) .

Пусть Ф ( g 1 ( x ), g ₂( x ),..., g_m ( x ) ) - некоторая фундаментальная матрица системы (6). Из теоремы

• 1    следует, что существуют такие матрицы C_k :

^Ф ( g 1^{( x} Х-, g k ^{( x} ) ^{+ to} k ,..., g m ^{( x} ) ) = ^Ф ( g 1^{( x} ),..., g k ^{( x} ),..., g m ^{( x} ) ) ■ ^Ck , ^k = ^1,2, ... ^, m .       ⁽⁷⁾

-f g ^l x ) in C 1 + g 2 ( x ) in C 2 + ... + smix! in Cm )

Пусть P ( g 1 ^{( x} ), g 2 ^{( x ),} ... ^, g m ^{( x} ) ) = ^Ф( g 1 ^{( x} ), g 2 ^{( x ),} ... ^, g m ^{( x} ) ) ■ e ^{1 to} '         ^to 2            ^ ”      ^

или f «.(x) in c1 + g2(x) in c2 +...+gmgx) in cm A

^Ф( g 1 ^{( x} ), g 2 ^{( x ),} ... ^, g m ^{( x} ) ) = ^P ( g 1 ^{( x} ), g 2 ^{( x ),} ... ^, g m ^{( x} ) ) ■ e ¹ ^        ^to 2           ^ m      ^ ^{. (8)}

Tогда из формулы (7) следует:

^P ( g 1^{( x} ), g 2^{( x} X-, g m ^{( x} ) ) = ^P ( g 1^{( x} ) ^{+ to} 1 , g 2^{( x} X-, g m ^{( x} ) )

^P ( g 1 ^{( x} ), g 2^{( x} ),..., g m ^{( x} ) ) = ^P ( g 1^{( x} ), g 2^{( x} ) ^{+ to} 2 ,-, g m ^{( x} ) )                z_Qx

^P ( g 1^{( x} ), g 2^{( x} ),-, g m ^{( x} ) ) = ^P ( g 1^{( x} ), g 2^{( x} ),..., g m ^{( x} ) ^{+ to} m )

Теперь рассмотрим случай         g 1 ( x ) = x , g 1 ( x ) = x ,..., g_m ( x ) = x . Тогда

Ф ( g 1 (x), g2(xX-, gm (x) ) = Ф (x,x,...,x). Очевидно, что Ф(x,x,...,x) является фундаментальной матрицей системы

dy

— = A ( x ) ■ y , где dx

^{A ( x} ) = ^Г a_y ^{( x} ) 1 ^y        n X n

и

Т. Батзул, Д. Ганхуяг, Б. Очирбат, И.-Х.Д. Хишектуева. Обобщение теоремы Флоке–Ляпунова

( x .        x .             x - ]

• —I   In C + In C 2 + ... + In C m I

P ( x , x ,..., x ) = Ф ( x , x ,..., x ) • e ^^      ^       ™ ^m    ^ .           (10)

Tогда из формулы (9) вытекает, что

P ( x , x ,..., x ) = P ( x + to_v x ,..., x )

P ( x , x ,..., x ) = P ( x , x + to ₂,..., x ) '

P ( x , x ,..., x ) = P ( x , x ,..., x + to m ) .

Следовательно, все элементы матрицы P ( x , x ,..., x ) являются диагонально-периодичными функциями с диагональным периодом to = ( to 1 , to ₂,..., to m ) . Пусть Ф ₀( x ) = Ф ( x , x ,..., x ) , P ₀( x ) = P ( x , x ,..., x ) и B = — In C 1 + — In C ₂ + ... + — In C_m .

ω ₁       ω ₂          ω _m

Тогда из формулы (10) следует, что Ф ( x , x ,..., x ) = P ( x , x ,..., x ) e^xB или Ф ₀( x ) = P₀(x ) • e^x . Теорема доказана

Замечание 1. Из теоремы возникает следующий вопрос: «Пусть элементы матрицы-функции A ( x ) вещественные, почти периодические функции. Тогда всякая фундаментальная матрица Ф ( x ) системы (1) имеет ли вид

Ф( x ) = P ( x ) exB где B – постоянная матрица и элементы матрицы P(x) почти – периодичны».