Обобщенная модель несжимаемой вязкоупругой жидкости в магнитном поле Земли

Система уравнений

M n_m - 1                  _{1                  1}

(1-κ∇2)vt=ν∇2v-(v⋅∇)v+∑∑Ams∇2wms- ∇p-2Ω×v+   (∇×b)×b, m=1 s=0     ρρμ

∇⋅ v = 0, ∇⋅ b = 0, b _t = δ ∇ ²b + ∇ × (v × b),

^∂ w m ,0

_∂ t  = v + α _m w _{m ,0}, α _m ∈ R _- , m = 1, M ,

∂ w _{m , s}

= s w _{m , s - 1} + α _m w _{m , s} , s = 1, n_m - 1

∂t моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта высшего порядка

K ( K = n 1 + ... + n_M ) [1] в магнитном поле Земли. Вектор функции v = (v 1 ( x,t ) ,v₂(x,t ) ,..., v n ( x,t ) )

и b = (b 1 ( x,t ) , b 2 ( x,t ) ,..., b n ( x,t ) ) характеризуют скорость и магнитную индукцию соответственно, p = p( x , t ) – давление, κ – коэффициент упругости, ν – коэффициент вязкости, Ω – угловая скорость, δ – магнитная вязкость, μ – магнитная проницаемость, ρ – плотность, A m , s – параметры, которые определяют время ретардации (запаздывания) давления.

Прежде всего, надо заметить, что данная система обобщает систему, приведенную в [2, 3] при K = 0 и κ = 0 .

Предполагая, что μ = 1 и ρ = 1, рассмотрим разрешимость задачи Коши–Дирихле

v( x ,0) = v₀( x ), b( x ,0) = b₀( x ), w _{m, s} ( x ,0) = w⁰ _{m, s} ( x ), ∀ x ∈ D ;

v( x , t ) = 0, b( x , t ) = 0, w _{m, s} ( x,t ) = 0, ∀ ( x,t ) ∈ ∂ D × R ₊ , m = 1, M , s = 1, n_m - 1

для системы (1). Здесь D ⊂ Rⁿ , n = 2, 3, 4 – ограниченная область с границей ∂ D класса С ^∞ .

Также надо заметить, что задача (1), (2) входит в круг исследований сред Кельвина–Фойгта, начатых в работах [1, 4], в которых обобщалась система уравнений Навье–Стокса [5, 6] и получены теоремы существования и единственности соответствующих начально-краевых задач.

Случай K = 0 и κ = 0 задачи (1), (2) ранее изучался в [7]. Вырожденная модель магнитогидродинамики при K = 0 и κ ≠ 0 исследовалась в [8]. В данной работе обобщаются результаты, полученные в [9].

Нас будет интересовать разрешимость задачи (1), (2). Рассмотрим эту задачу в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа [10, 11]. Исходя из этого, в первой части статьи изложим абстрактную задачу Коши для полулинейного автономного уравнения соболевского типа (все результаты почерпнуты из монографии [12], поэтому будут приведены без доказательств). Во второй части задачу (1), (2) рассмотрим как конкретную интерпретацию абстрактной задачи.

Математика

В третьей части будет установлено существование квазистационарных полутраекторий указанной задачи и описано ее фазовое пространство. В заключении намечены возможные пути дальнейших исследований. Условимся обозначать конец доказательства значком ■ .

1.    Абстрактная задача

Пусть U и F - банаховы пространства, оператор L е L(U , F ), т.е. линеен и непрерывен, причем ker L ^ { 0 } ; оператор M :dom M ^ F линеен, замкнут и плотно определен в U , т.е. M е Cl(U ; F ). Обозначим через U_M линеал dom M , снабженный нормой графика ||-|| = ||-|| U +1|-| F , т.е. U_M = {u е dom M :|| u || = || Mu||_F + || u|| U }.Пусть оператор F е C ” ( U_M ; F ).

Рассмотрим задачу Коши u (0) = u о                                             (3)

для полулинейного автономного уравнения соболевского типа

Lu i = Mu + F ( u ).                                     (4)

Назовем локальным решением (далее просто решением ) задачи (3), (4) вектор-функцию u е C ” ((0, T ); U M ), которая удовлетворяет уравнению (4) и такая, что u ( t ) ^ u ₀ при t ^ 0 + .

Пусть оператор M сильно ( L , p )-секториален (терминологию и результаты см. п. 1.2. [12]). Из [13] известно, что если выполняется это условие, то решение задачи (3), (4) может быть неединственным. Поэтому в дальнейшем мы будем искать только такие решения задачи (3), (4), которые являются квазистационарными полутраекториями . Из [12, с. 32] также известно, что решения задачи (3), (4) существуют не для всех u ₀ е U_M . Поэтому введем еще два определения.

Определение 1. Пусть пространство U расщепляется в прямую сумму U = U ₀ © U 1 так, что ker L с U ₀. Решение u = v + w , где v ( t ) е U ₀, а w ( t ) е U 1 при всех t е (0, T ), уравнения (4) назовем квазистационарной полутраекторией, если Lv = 0 .

Определение 2. Множество B с U M назовем фазовым пространством уравнения (4), если для любой точки u ₀ е B существует единственное решение задачи (3), (4), причем u ( t ) е B .

Исходя из условия сильной ( L , p ) -секториальности оператора M , пространства U и F будут расщепляться в прямые суммы U = U ⁰ © U 1 , F = F ⁰ © F ¹. Здесь U ⁰ и F ⁰ - ядра, а U ¹ и F ¹ - образы аналитических разрешающих полугрупп U t и F t линейного однородного уравнения Lu i = Mu .

Указанные полугруппы имеют следующий вид:

Ut = — f RU (M)e^u, Ft = — \ul„ (M)6й du, 2ni Г u                2ni Г u где Г с p (M) - контур такой, что arg и ^±0 при |и| ^+^, причем pL (M) - L -резольвентное множество оператора M , R^L (M) = (uL - M)-1 L (LLL (M) = L(uL - M)-1) - правая (левая) L-резольвента оператора M.

В силу результатов работы [12, с. 33] приведем задачу (3), (4) к эквивалентной системе: Ru i ⁰ = u ⁰ + G ( u ), u ⁰(0) = u 0 , u¹ = Su ¹ + H ( u ), u 1 (0) = u 0 .                     (5)

Здесь u k е U k , k = 0,1, u = u ⁰ + u 1 , операторы R = M 0 ¹ L ₀, S = L ^{- 1} M 1 , G = M ₀ ^{- 1}( I - Q ) F ,

H = L - ¹ QF ; ( Q е L ( F )( = L ( F , F )) - проектор, который расщепляет пространство F требуемым образом). Систему (5) назовем нормальной формой задачи (3), (4).

В дальнейшем будем изучать такие квазистационарные полутраектории уравнения (4), для которых Ru i ⁰ = 0. Для этого будем предполагать, что оператор R является бирасщепляющим [12, с. 34] (его ядро ker R и образ im R дополняемы в пространстве U ). Положим U ⁰⁰ = ker R , обозначив через U ⁰¹ = U ⁰ - U ⁰⁰ некоторое дополнение к подпространству U ⁰⁰. Тогда первое уравнение системы (5) примет вид

Ru ⁰¹ = u ⁰⁰ + u ⁰¹ + G ( u ),                                    (6)

где u = u ⁰⁰ + u ⁰¹ + u 1 .

В работе [12, с. 34] доказана теорема, дающая необходимые условия существования решения уравнения (4).

Теорема 1 . Пусть оператор M сильно ( L , p ) -секториален, оператор R бирасщепляющий и существует квазистационарная полутраектория уравнения (4). Тогда она удовлетворяет соотношениям

0 = u ⁰⁰ + u ⁰¹ + G ( u ), u ⁰¹ = const.                                     (7)

Перейдем теперь к рассмотрению достаточных условий. Из [12, с. 35] известно, что если оператор M сильно ( L , p ) -секториален, то оператор S секториален. Это означает, что оператор M порождает на U ¹ аналитическую полугруппу. Обозначим ее через { U t : t >  0}, так как оператор U t является сужением оператора U t на U ¹. Из расщепления U = U ⁰ © U ¹ вытекает, что существует проектор P е L(U ). Этот проектор соответствует данному расщеплению. Но P е L(U_M ) и, следовательно, U_M расщепляется в прямую сумму U = U M © U M так, что вложение U M с U^k , k = 0,1, плотно и непрерывно.

В работе [12, с. 35] также доказана теорема , которая дает достаточные условия существования решения уравнения (4).

Теорема 2. Пусть оператор M сильно ( L , p ) -секториален, оператор R бирасщепляющий, а оператор F принадлежит C ” (U_M ; F ). Пусть, кроме того,

А 1 ) в некоторой окрестности O_{u 0} с U M точки u ₀ выполнено соотношение

0 = u 0 ¹ + ( I - P R )( G ( u ⁰⁰ + u 0 ¹ + u 1 ));                               (8)

А ₂) проектор P R принадлежит L(U M) и оператор I + P R G' ₀ : U M ^ U M - топлинейный ^u 0

изоморфизм (U M = U_M n U ⁰⁰) ;

А ₃) для аналитических полугрупп { U t : t >  0} выполнено соотношение

Т

0 U ' !( U - U M ) dt <” ^{Т е R}-                              ⁽⁹⁾

Тогда существует единственное решение задачи (3), (4) являющееся квазистационарной полутраекторией уравнения (4).

Замечание 1. Соотношение u ⁰¹ = const из (7) поясняет смысл термина «квазистационарные полутраектории», т.е. это такие полутраектории, которые «стационарны по некоторым переменным». Понятие квазистационарной полутраектории в динамическом случае совпадает с понятием квазистационарной траектории [13].

Замечание 2. Из условия А 1 ) теоремы 2 следует, что окрестность O_{u 0} является частью фазового пространства уравнения (4).

Замечание 3. Для обычных аналитических полугрупп, которые имеют оценку

U t        <  const/ 1 , условие (9) не выполняется. Так как в дальнейшем мы собираемся исполь-

'll L ( U ‘; U M )

зовать теорему 2 именно в таком случае, сделаем некоторые необходимые пояснения. Обозначим через U^x _a = [ U 1 ; U M ] _а , а е [0,1], некоторое интерполяционное пространство, построенное по оператору S . Условие F е C ^м ( U_M ; F ) в теореме 2 дополним условием H е C ” ( U M ; U ^ ), а условие (9) заменим на

Т

И U t l ( „ 1 U 1 , ^dt <“ - ^{т е R} + .                                ⁽¹⁰⁾

0            “

Тогда утверждение теоремы 2 не изменится (обсуждение круга этих вопросов см. в [12, с.38]).

Математика

Теперь пусть U_k и F_k – банаховы пространства, операторы A_k линейны и непрерывны (т.е. принадлежат L ( U_k , F_k )), а операторы B_k :dom B_k → F линейны и замкнуты с областями определений dom B_k плотными в U_k , k = 1,2. Построим пространства U = U ₁ × U ₂, F = F ₁ × F ₂ и операторы L = A ₁ ⊗ A ₂, M = B ₁ ⊗ B ₂. По построению оператор L принадлежит L ∈ L ( U , F ), а оператор M :dom M → F линеен, замкнут и плотно определен, dom M = dom B ₁ × dom B ₂.

В [12, с. 38] приведена

Теорема 3. Пусть операторы B_k сильно ( A_k , p_k ) -секториальны k = 1,2 . Тогда оператор M сильно ( L , p ) -секториален, p = max( p ₁, p ₂) .

2.    Конкретная интерпретация

Редуцируем задачу (1), (2) к задаче (3), (4). Во многих задачах гидродинамики использование градиента давления предпочтительнее рассмотрения давления, поэтому перейдем от системы (1) к системе

Mn_m - 1

(1 - xV2)vt = vV2v-(v-V)v + J J Am,,V2wm, , -p-2Qxv + (Vxb)Xb, m=1 s=0

∇ ( ∇ ⋅ v ) = 0, ∇ ( ∇ ⋅ b ) = 0, b_t = δ ∇ ² b + ∇ × ( v × b ),

^∂ w m ,0

α _m ∈ R _- , m = 1, M ,

= v + α _mw_{m ,0} ∂ t

^∂ w m , s

_∂ t = sw_{m , s - 1} + α _mw_{m , s} , s = 1, n_m - 1.

Подробное обоснование такого перехода см., например, в [12]. Теперь нас будет интересовать разрешимость задачи (11), (2). Следуя работе [12], введем пространства H _σ ², H _π ², H _σ и H _π .

О

H 2 2 - подпространство соленоидальных функций в пространстве (W^(D )) n П (W 2 (D )) n • H ₂ -подпространство соленоидальных функций в пространстве ( L ₂ ( D )) ⁿ . H _π ² и H _π - ортогональные в смысле ( L ₂ ( D )) ⁿ дополнения H _σ ² и H _σ соответственно. Ортопроектор на H _σ будем обозначать через Σ . Причем, этим же символом будет обозначаться его сужение на пространство

О

(W22 (D)) n П (W2 (D))n. Положим П = I - X . Формулой A = V2En (En - единичная матрица порядка n) зададим линейный непрерывный оператор А : Hσ2⊕Hπ2→Hσ⊕Hπ с дискретным конеч- нократным спектром σ(A)⊂ R, который сгущается лишь на -∞ . Формулой Bv :v→∇(∇⋅v) (Bb :b→∇(∇⋅b)) зададим линейный непрерывный сюрьективный оператор Bv(Bb):Hσ2⊕Hπ2→Hπ с ядром kerBv=Bb=Hσ2 . Положим U10 =Hσ2×Hπ2×Hp,

F io = H _a x H n x H_p, где H n = H p ; U _u= H ² П H ¹ = H ² x Н П , и F 1 , = L 2 = H _CT x H n , i = 1, K . Тогда пространства U ₁ = ⊕ _l ^K _{= 0} U _{1 l} , F ₁ = ⊕ _l ^K _{= 0} F _{1 l} . Оператор A ₁: U ₁ → F ₁ определим формулой A i = diag[ A i , E_K ], где

^    A 1 о -

A i =           , A i =

' ~          ^Л X ( I- A A ) X X A ( I- A A ) П^

_v П ( 1- A A ) X П A ( I- A A ) П _v .

Положим оператор B ₁: U ₁ → F ₁ равным оператору M ₁ (см. [12, с. 49]).

Замечание 4. Пространства U ₁ и F ₁ определяются в точности так же, как пространства U и F п. 2.2. [9]. Оператор A ₁ определяется точно так же, как оператор L в п. 2.2. [12].

Теорема 4. (i) Операторы A 1 ,B 1 е L(U 1 , F 1 ), и, если к ' й с т( A ) , то оператор A 1 - бирасщепляющий ker A 1 = {0} х {0} х H p х {0} х...х {0}, im A 1 = H ₂ х H _n х {0} х F 11 х F ₁₂ х...х F 1 K .

⁴------------V------------ '

K

• (ii)    Если к - й 2 ( A ) U (A A ₂ ), то оператор B 1 ( A 1 ,1) -ограничен, причем порядок несущественной особой точки в бесконечности равен единице.

Доказательство. Утверждение теоремы есть прямое следствие результатов [12, с. 73].■

Далее положим U ₂ = F₂ = L ₂( D ) и равенством B ₂ = <5V²:dom B ₂ ^ F₂ определим линейный

О замкнутый и плотно определенный оператор B2 , dom B2 = W2(D) n W21(D). Положим A2 = I.

Теорема 5. Оператор B ₂ сильно A ₂ -секториален.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из секториальности оператора B ₂ [2, гл.1] ■

Положим U = U 1 х U ₂, F = F 1 х F ₂. Вектор и пространства U имеет вид и = col( u _a , U n , U p , W 1 , _ , Wk , U b ), где col( u _a , U „ , U p , W i,^, Wk ) е U 1 , а U_b е U 2 , b _a е H ² , b n е Н П -

Здесь U _a = 2 v ,    U n = ( 1-2 ) v = П v ,    U p = p . Элемент f е F , где f = col( f _a , f n ,0, ^ ,0 ),

"------V------ '

K + 1

f2 = 2f, fn = Пf. Операторы L и M определены формулами L = A1 ® A2 , M = B1 ® B2. Оператор L е L(U, F), а оператор M :dom M ^ F линеен, замкнут и плотно определен, dom M = U1 х dom B2 .

Теорема 6. Пусть к ^{- 1} й 2 ( А ) , тогда оператор M сильно ( L , 1) -секториален.

Доказательство. Из теоремы 4 и п. 3.2. [12, с. 74] вытекает, что оператор B 1 сильно A 1

секториален. В силу этого и теорем 3 и 5 справедливо утверждение теоремы 6. ■

Построим нелинейный оператор F . В нашем случае его можно представить в виде F = F 1 ® F 2 , где F 1 = F 1 ( U _a , U n , b ) = Col( -2 ((( U _a + U n )* V )( U _a + U n ) - 2 ^х ( U _a + U n ) + ( Ух b ) х b ),

^{-n ((( U} a ^{+ U} n ) " ^{V )( U} a ^{+ U} n ) ^{- 2} ^ ^{х ( U} a ^{+ U} n ) ^{+ ( Ух b} ) ^{х b} ), 0 , ™ ,0), F 2 = F 2 ^{( U} 2 - ^U n , ^b ) = ^{Ух (( U} a ^{+ U} n ) ^{х b ).} В

K + 1

данном случае U_M = U 1 х dom B ₂

Теорема 7. Оператор F принадлежит C ” ( U M ; F ).

Доказательство. Утверждение теоремы 7 вытекает из того, что при любых u е U M оператор F U принадлежит L(U_M ; F ), вторая производная Фреше F" оператора F - непрерывный билинейный оператор из U_M х U_M в F , а F_U "= O (аналогично [12, с. 74]) ■

Итак, редукция задачи (1), (2) к задаче (3), (4) завершена.

3.    Фазовое пространство и квазистационарные полутраектории

Далее будем отождествлять задачи (1), (2) и (3), (4). Перейдем теперь к проверке условий теорем 1, 2.

Лемма 1. Пусть к - й 2 ( A ) U 2 ( A ₂ ). Тогда оператор R бирасщепляющий, причем P_R е L ( U M ).

Доказательство. В силу теоремы 4 и результатов пункта 3.2. из [12] существует аналитическая полугруппа {U¹ : t е R ₊ } разрешающих операторов уравнения (4). В нашем случае естественно представить ее в виде U t = V¹ х W t , где V¹ (W¹ ) - сужение оператора U t на U 1 ( U ₂). Исходя из того, что оператор B ₂ секториален, W t =exp( 1B ₂), откуда следует, что ядро этой полугруппы W ^О = {0}, а образ W ¹ = U ₂. Рассмотрим полугруппу { V¹ : 1 е R ₊ }. В силу теорем 4 и 6