Обобщенная теорема об обратной функции и экстремальные задачи с ограничениями



Владикавказский математический журнал

Октябрь–декабрь, 2004, Том 6, Выпуск 4

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ И

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ¹

Г. Г. Магарил-Ильяев

Дорогому Владимиру Михайловичу с благодарностью за дружбу

Используя метод Ньютона, доказывается некоторый вариант теоремы об обратной функции для функций, определенных на конусе. В качестве следствия выводится теорема о необходимых условия экстремума в задаче с ограничениями типа равенств, неравенств и включений.

Основная мотивировка получения необходимых условиях экстремума в конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств для функций, определенных на выпуклом конусе, связана с необходимыми условиями экстремума в задаче оптимального управления, доказательство которых сводится именно к такой задаче (см. [1]). Ее бесконечномерный аналог доказан (при схожих предположениях) в работе [2], как следствие других, более общих утверждений. Приводимое здесь доказательство непосредственно и вполне элементарно: оно использует лишь классический метод Ньютона последовательных приближений и стандартную теорему отделимости для выпуклых множеств. Отметим, что доказанное утверждение приспособлено для получения необходимых условий экстремума в задаче оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управлений. Для измеримых управлений требуется аналогичный результат, но при несколько более слабых предположениях. Он доказан, используя теорему Брауэра о неподвижной точке, в работе [3].

Для формулировки результатов и их доказательств необходимы некоторые определения. Мы будем иметь дело с функциями многих переменных, т. е. с функциями, определенными на подмножествах пространства ⁿ , которое рассматриваем как совокупность (x i

. I . Ради экономии места будем писать так: x = (xi,..., xn)T, xn где T означает транспонирование. Наряду с пространством n будем также рассматривать пространство (Rn)0, элементы которого суть вектор-строки (т. е. те же наборы из n действительных чисел, но расположенные в строку). Пусть a = (ai,..., an) G (Rn)0 и x = (xi,..., xn)T G Rn. Обозначим a • x = ^2П=1 aixi, т. е. — это матричное произведение

вектор-строки а на вектор-столбец x. Для каждого a Е (R n ) 0 отображение x ^ a • x, очевидно, есть линейная функция (функционал) на ⁿ .

Пусть x = (x 1 ,...,x n ) ^T Е Rn . Величина | x | = л/ x2 + ... + х П (или короче, | x | = x ^T · x) — это длина (или модуль, или евклидова норма) вектора x. Пусть x b ∈ ⁿ и 6 >  0. Открытый шар и замкнутый шар с центром в точке b радиуса 6 обозначаем соответственно U g ( b ; Rn) = { x Е Rn : | x — b| <6 } и B g (x; Rn) = { x Е Rn : | x — b| 6 6 } . Множество в ⁿ открыто, если с каждой своей точкой оно содержит и некоторый шар с центром в этой точке. Окрестность точки — любое открытое множество, содержащее данную точку.

Пусть Л: Rn ^ Rs — линейный оператор. Мы будем отождествлять его с его матрицей в стандартных базисах Rn и Rs, так что если x Е Rn, то Лx — произведение матрицы Л на вектор x. В частности, если s = 1, т. е. Л = l — линейный функционал, то l(x) = а • x, где а = (l(e i ),..., l(e n )) и e i ,..., e n — стандартный базис в Rn.

Норма оператора Л определяется обычным образом: || Л к = max |x| 6 i | Лx | .

Пусть M — подмножество Rn и b Е M. Будем говорить, что отображение F : M ^ Rs строго дифференцируемо в b относительно M, если найдется такой оператор Л: Rn ^ R s , что для любого е >  0 существует 6 >  0 такое, что всех x ' , x ⁰⁰ Е U g (x; Rn) П M выполняется неравенство

| F(x ⁰ ) — F (x ⁰⁰ ) — Л(x ⁰ — x ⁰⁰ ) | 6 e | x ' — x ⁰⁰ | .                            (1)

Оператор Л будем обозначать F 0 (x) и называть производной отображения F в точке x b относительно множества M. В частности, если s = 1, т. е. если задана функция f : M ^ R , то говорим о строгой дифференцируемости f в x относительно M и соответствующий линейный функционал (элемент (R n ) ' ) обозначаем f 0 ( b ).

Если M — окрестность точки x b , то (1) — стандартное определение строгой дифференцируемости отображения F в точке x b (см. [1], стр. 139). В этом случае, как легко видеть, F дифференцируемо в x b и Л = F ⁰ (x b ) — производная F в точке x b . В частности, если s = 1 (т. е. имеем дело с функцией f ), то ее производную обозначаем f 0 ( b ). Из дифференцируемости отображения F в точке x b не следует, вообще говоря, его строгая дифференцируемость в этой точке, но если F непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности x b , то оно строго дифференцируемо в x b (см. там же).

Покажем, что если отображение F : M ^ Rs строго дифференцируемо в b относительно M , то существует такая окрестность U 0 точки x b , что F непрерывно на U 0 ∩ M . Действительно, пусть 6 >  0 такое, что (1) выполняется с е = 1. Положим U o = U g/ 2 (x; Rn) и пусть x Е U o П M . Для е > 0 возьмем 6 o = min { 6/2, е/2, e/2 | F ⁰ ( b ) |} . Тогда, если x Е U g ₀ ( b ; Rn) П M, то

| F (x) — F (x) | = | F (x) — F (x) — F' ( b )(x — x) + F 0 ( b )(x — x) |

6 | x — x| + k F^{? 0} ( b ) k| x — x| < е/2 + е/2 = е,

• т. е. F непрерывно в x и тем самым на U 0 ∩ M .

Пусть C — выпуклый конус в Rn. Множество C * = { у Е (R n ) ' | у • x > 0, V x Е C } называется сопряженным конусом к C . Легко видеть, что C ^∗ — выпуклый замкнутый конус.

Формулировка основных результатов

Мы начинаем с формулировки обобщенной теоремы об обратной функции

Теорема 1. Пусть C — выпуклый замкнутый конус в ⁿ , U — окрестность точки b E Rn , отображение F : U П ( b + C ) ^ Rs строго дифференцируемо в b относительно U П ( b + C) и F 0 ( b )(C) = Rs . Тогда существуют окрестность V точки F( b ) , отображение ^: V ^ U П (x + C ) и константа K > 0 такие, что F (^(y)) = y и | ^(y) - b| 6 K | y - F ( b ) | для всех y E V .

Эту теоремы мы применяем для получения необходимых условий локального экстремума (т. е. минимума или максимума) в следующей экстремальной задаче fо(x) ^extr, fi (x) 6 0, i = 1,...,m', fi(x) = 0, i = m' + 1,...,m, x E b+C. (2)

Здесь функции f i , i = 0, 1,... ,m, определены на множестве U П ( b + C ), где U — окрестность точки b E Rn и C — выпуклый замкнутый конус в Rn.

Свяжем с задачей (2) функцию Лагранжа L (x, А) = m L^ f А _i f _i (x), где А = (А о , А 1 ,..., А_т) — вектор множителей Лагранжа.

Теорема 2. Пусть в задаче (2) функции f i , 0 6 i 6 m, строго дифференцируемы в точке b относительно множества U П ( b + C ) . Тогда, если b — локальный экстремум в этой задаче, то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа А = (А о , А 1 ,..., А _т ) такой, что А о > 0 (А о 6 0) , если задача на минимум (максимум) и при этом

• (a)    А _i > 0, i = 1,..., m ' ;

• (b)    А i f ( b ) = 0, i = 1,... ,m ' ;

• (c)    L x (x,А) E C * . ■ p m =0 А i f i ( b ) E C ♦ .

Сформулируем теперь наиболее важные следствия этого результата.

• 1.    Пусть U — окрестность точки b E R и функции f i , i = 0,1..., m, определены на U . Рассмотрим задачу

• 2.    Пусть снова U — окрестность точки b E R и функции f i , i = 0,1..., m, определены на U . Рассмотрим задачу

f o (x) ^ extr, f i (x) = 0, i = 1,...,m.                         (3)

Следствие 1. Пусть в задаче (3) функции fi, 0 6 i 6 m строго дифференцируемы в точке xb. Тогда, если xb — локальный экстремум в этой задаче, то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа А = (Ао, А1,..., Ат) такой, что Ао > 0 (Ао 6 0), если задача на минимум (максимум) и m

L x ( b , А) = 0 . . X А i f ' ( b ) = 0.

i =0

Это классическое правило множителей Лагранжа, явно сформулированное Лагранжем в 1797 году, но которым он пользовался, начиная с середины XVIII века.

f о (x) ^ extr, f i (x) 6 0, i = 1,...,m', f i (x) = 0, B = m ' + 1,...,m.      (4)

Следствие 2. Пусть в задаче (4) функции f i , 0 6 i 6 m, строго дифференцируемы в точке x b . Тогда, если x b — локальный экстремум в этой задаче, то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа А = (А о , А 1 ,..., А _т ) такой, что А о > 0 (А о 6 0) , если задача на минимум ( максимум ) и при этом

• (a)    A i > 0, i = 1,..., m ⁰ ;

• (b)    A i f ( b ) = 0, i = 1,... ,m ⁰ ;

• (c)    L x ( b , A) = 0 .

• 3.    Отметим, наконец, еще одну ситуацию. Пусть U — окрестность точки x b ∈ ⁿ и функции f i , i = 0,1,..., m, определены на множестве U П ( b + R+), где R+ = { x = (x i ,..., x n ) T E Rn : x i >  0, 1 6 i 6 n } . Рассмотрим задачу

Эта теорема была доказана в [4].

fo(x) ^ extr, fi(x) 6 0, i = 1,...,m', fi(x) = 0, i = m0 + 1,...,m, x E U П (x + R^). (5)

Следствие 3. Пусть в задаче (5) функции f i , 0 6 i 6 m , строго дифференцируемы в x относительно множества U П (x + R+) . Тогда, если x — локальный экстремум в этой задаче, то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа A = (A o , A i ,..., A m ) такой, что A o > 0 (A o 6 0) , если задача на минимум (максимум) и

• (a)    A i > 0, i = 1,..., m ⁰ ;

• (b)    A i f( b ) = 0, i = 1,... ,m ⁰ ;

• (c)    L x ( b + 0, A) > 0 . . P i =o A i f⁰ ( b + 0) > 0 ,

где f i⁰ ( b + 0) — производная справа функции f i в точке b, 0 6 i 6 m , и неравенство между векторами понимается покоординатно.

Именно к такого сорта задаче сводится доказательство необходимых условий экстремума в задаче оптимального управления (в классе кусочно-непрерывных управлений), стандартные требования к которой гарантируют выполнение условий следствия.

Доказательства

• <1 [Доказательство теоремы 1] Как уже было сказано, доказательство основано на методе Ньютона, где роль обратного оператора к F 0 ( b ) играет правый обратный к F 0 ( b ), существование и нужные свойства которого вытекают из следующей леммы.

Лемма . Пусть C — выпуклый конус в Rn и Л: Rn ^ Rs — линейный оператор такой, что Л(С) = Rs . Тогда существуют отображение R: Rs ^ C и константа y > 0 такие, что Л(R(y)) = у и | R(y) | 6 y | y | для всех y E Rs .

• < Пусть S — s-мерный симплекс в Rs, т. е. S — выпуклая оболочка некоторого набора аффинно независимых векторов e i ,..., e s +i . Тогда любой вектор у E S однозначно представляется в виде у = P s ^ ate i , где a i > 0, 1 6 i 6 s + 1 и P s +i a i = 1 (числа a i называют барицентрическими координатами y) и внутренность S не пуста (см. [5, стр. 27–29]). Можно считать, что нуль принадлежит внутренности S. Тогда для некоторого r > 0 шар B _r (0; Rs) также принадлежит внутренности S. Так как Л(С) = Rs, то найдутся такие f i E C, 1 6 i 6 s + 1, что Лf _i = e i , 1 6 i 6 s + 1. Для каждого у E Rs, у = 0, положим R(y) = ( | у | /r) P s +i a i_; (r | у | ^-i у)^, где a i (r | y | ^-1 y), 1 6 i 6 s + 1, — барицентрические координаты вектора г | у | ^{- 1} у , и пусть R(0) = 0. Ясно, что R(y) E C для любого y ∈ ^s . Далее имеем:

s +i

Л(R(y)) = ( | у | /г) X a i (r | y | ^-i y)e i = ( | у | /г)г | у | ^-1 у = у i =i

и

s +1

s +1

\ R(y) \ 6 ( | y | /r)

max 1 6 i 6 s +1

^a i ^{(r |} y | 1 y) 52 f ^{6 ( |} y ^{| /r)} 52 f = Y | y | ,

i =1

i =1

где y = r ¹ P s +i ¹ | f i | . B

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы. Оператор F 0 (b) удовлетворяет условиям леммы. Возьмем соответствующие ему отображение R и число γ из этой леммы. Для Е = 1 / 2 y найдется (согласно определению строгой дифференцируемости F в b относительно множества U П (x + C ) и непрерывности F в некоторой окрестности b , пересеченной с b + C ) такое 6 >  0, что U g ( b ; Rn) С U , отображение F непрерывно на B g/ ₂ ( b ; Rn) П (x + C ) и если x ⁰ , x ⁰ E U g ( b ; Rn) П (x + C ), то

\ F(x ⁰ ) - F (x ⁰⁰ ) - F 0 (x)(x 0 - x ⁰⁰ ) \ 6 — | x ⁰ - x^,0\.

Положим V = U g/ 4 Y (F ( b ); Rs) и пусть y E V. Рассмотрим последовательность (итеративный процесс Ньютона)

x i = x i - 1 + R(y - F (x i- 1 )),   i E N,  x o = b .

Покажем, что x i E B g/ 2 ( b ; Rn ) П ( b + C ) (i = 0,1, 2,...). Доказываем по индукции. Ясно, что x o E B g/ ₂ ( b ; Rn) П ( b + C ) и допустим x i E B g/ ₂ ( b ; Rn) П ( b + C ), i = 0,1,..., m. Из (7) следует, что

Л(x i - x i- 1 ) = У - F (x i- 1 ), i = 0, 1,...,m. (8)

Воспользовавшись последовательно (7) с оценкой для отображения R, (8), (6) и затем итерируя процедуру, будем иметь

\x m +1 - x m \ 6 Y \y - F(x m ) | = y \ F (x m- 1 ) - F(x m ) + Л(X m - x m- 1 ) |

• ⁶ ^ \ ^x m ^x m - 1 \ 6 4 \ ^x m- 1 ^x m - 2 \ 6 • • • 6 ^ m \ ^x 1 ^x \ " ⁽⁹⁾

Теперь по неравенству треугольника, (9) и (7)

\ ^x m +1 ^x \ 6 \ ^x m +1 ^x m \ ⁺ \ ^x m ^x m - 1 \ ⁺ ... ⁺ \ ^x 1 ^x \

• ⁶ ( 2 m ⁺ 2 m- r ⁺...⁺ 1 ) \ x 1 ^{- b} \ ^{6 2} y \ у ^{- F ( b )} \ <  ² y 4 y = ⁶,

т. е. x m +1 E B g/ 2 ( b ; Rn).

По предположению x m E b + C . Отсюда и из (7): x m +1 E x m + C С b + C + C = b + C (в силу выпуклости C ). Таким образом, x m +1 E B g/ 2 ( b , Rn ) П ( b + C ) и тем самым это включение выполняется для всех i = 0,1, 2,...

Так как для любых i и j (по неравенству треугольника и (9))

\ ^x i + j ^{- x} i \ 6 \ ^x i + j ^{- x} i + j - 1 \ ⁺ ... ⁺ \ x i +1 ^{- x} i \

• ⁶ ^2 i + j- 1 ⁺ ... ⁺ 2 i) \ ^x 1 x \

  ⁶ 2 \ x 1 ^{- x} \ ^ ⁰

  
  

при i → ∞ , то последовательность { x i } фундаментальна и значит, сходится.

Обозначим ^(y) = lim i^^ x i . Ясно, что ^(y) E B ^/ 2 ( b ; Rn) П (x + C ). Далее в силу непрерывности F на В ^/ 2 ( ж ; Rn ) П (x + C ) и (8) имеем

|FМу)) - y| = lim |F(xi) - y| = lim |F0(b)(xi+1 - bi) | = 0 i→∞           i→∞ и, следовательно, F(^(y)) = y.

Поскольку (по неравенству треугольника и (7))

|xi - b| 6 |xi - xi-1| + ... + |xi - b| 6 2Y|y - F(b)|, то переходя здесь к пределу при i ^ го и обозначая К = 2y, получаем, что |^(y) - b| 6 K|y - F(b)|. B

Заметим, что если в теореме C = Rn, s = n, то F 0 ( b ) — обратимый оператор и в этом случае у: V ^ F ^-1 (V) — обратное отображение к F . Действительно, обозначим Л = F 0 (x), тогда R = Л ^-1 . Пусть y E V и F (x) = y. Имеем

^{| x -} ^М = ^{| Л 1 л(x -} ^М ) 6 Y |N ^{x -} V ⁽ У ^{)) |}

= Y ^{| F (x) - F} Му)) ^{- Л(ж -} ^y)) 6 Y2Y ^{| x -} УМ = 2 ^{| x -} ^Mh ⁽¹⁰⁾

• т. е. x = ^(y).

C [Доказательство теоремы 2] Пусть x b — локальный экстремум в задаче (2). Можно считать, что f i ( b ) = 0, 1 6 i 6 m ⁰ + 1 (и тем самым утверждение (b) теоремы выполнено). Действительно, отбросим те ограничения, для которых f i ( b ) < 0. Легко понять, что x b — локальный экстремум и в новой задаче. Если для нее будут доказаны условия (а) и (с), то (b) будет выполняется автоматически. Дополнив найденный набор множителей Лагранжа нулевыми компонентами (соответствующие тем номерам, где f ( b ) < 0), получим утверждения (a), (b), (с) для исходной задачи.

Пусть, для определенности, x b — локальный минимум. Рассмотрим отображение F : (U П ( ь + C )) х Rm^{4 1} ^ R^{m +1} , определенное по правилу: F (x, u) = (f o (x) + u o , f ₁ (x) + U 1 ,..., f m 0 (x) + U m O , f m +1 (x),..., f m (x)) T . Ясно, что F( b , 0) = (f o (b), 0). Из строгой дифференцируемости функций f i , 0 6 i 6 m, в точке b относительно множества U П ( ь + C) следует строгая дифференцируемость отображения F в точке ( ь , 0) относительно множества (U П ( ь + C)) х Rm ⁺¹ , где F 0 ( b , 0) — матрица, строки которой суть (f 0 ( b ), 1, 0,..., 0), (f 1 ( b ), 0, 1, 0,..., 0),..., (fm, ( b ), 0      0, 1), (f m 0 +1 ( b ), 0,..., 0),..., (f m ( b ), 0, . . . , 0).

Покажем, что F 0 ( b , 0)(C х Rm ⁺¹ ) = R^{m +1} . Если это не так, то по теореме 1 (условия которой, очевидно, выполнены) найдутся окрестность V точки (f o ( b ), 0), отображение у: V ^ (U П ( ь + С)) хR m ⁺¹ и константа K > 0 такие, что | ^(y) - (x, 0) | 6 K | y - (f o (x), 0) | для всех y E V .В частности, для всех достаточно малых е > 0 вектор y _e = (f o ( b ) - е, 0) принадлежит V и | ^(y _e ) - (x, 0) | 6 Ке. Отсюда следует, что какова бы ни была окрестность U o точки ь найдутся такие x . E U o П (x + C) и u _e = (u o _e ,..., u _m'_e ) T E Rm ⁺¹ , что f o (x _e )+ U o _e = f o ( b ) - e, f 1 (b e )+ U 1 e = 0, . . . , f m ⁰ (b _e )+ Um^. =0,f m 0 +1 (b _e ) = 0, . . . , f m (b _e ) = 0. Таким образом, точка x _e допустима в задаче (2), но f o (x _e ) 6 f o (x _e ) + u o _e = f o ( b ) - e < f o ( b ) в противоречии с тем, что ь — локальный минимум. Итак, F 0 ( b , 0)(C х Rm ⁺¹ ) = m +1 _{.                                      0}

Множество Q = F ⁰ (x, 0)(C х Rm ⁺¹ ) есть выпуклый конус в R^{m +1} как образ выпуклого конуса при линейном отображении. Множество Q \ { 0 } также выпуклый конус. По теореме отделимости (см., например, [5, стр. 37]) его можно отделить от точки 0, т. е.

существует такой ненулевой вектор А = (Aq, Ai,..., Am), что для всех y Е Q \ {0} справедливо неравенство А • у > 0, которое, очевидно, справедливо и для всех у Е Q. Но У = (fQ (b) • x + UQ,fi (b) • x + Ui, . . • ,fm 0 (b) • x + UmO ,fm>+1(X) • x, . . . , fm (b) • X)T и поэтому мы имеем mm

X Aif^i(cc) • X + X AiUi > 0 V (x,u) Е C x Rm0^, i=Q где u = (uq,Ui,... ,um0).

Полагая x = 0, получаем утверждение (a) теоремы, а полагая u = 0, получаем утверждение (с). Если b — локальный максимум, то в качестве первой компоненты F (x,u) надо взять f o (x) — u q . Все рассуждения остаются прежними, но и из (11) будет следовать, что A q 6 0. B

C [Доказательство следствия 1] В силу предположений f i (x) = f i⁰ ( b ), 0 6 i 6 m. Отсутствие ограничения типа включения можно трактовать так: C = Rn. Тогда утверждение (с) теоремы означает, что линейный функционал неотрицателен на всем Rn и, следовательно, он равен нулю. B

Отметим, что если не заботиться о знаке A q , то следствие 1 сразу вытекает из теоремы 1. Действительно, рассмотрим отображение F : U ^ R^{m +i} , F (x) = (f o (x),f i (x),..., f _m (x)) ^T . Также как при доказательстве теоремы 2 проверяется, что F ⁰ ( b )(R n ) = R^{m +i} , т. е. строки матрицы F 0 ( b ) линейно зависимы, а это и есть утверждение следствия 1.

C [Доказательство следствия 2] Поскольку здесь также f i⁰ ( b ) = f i⁰ ( b ), 0 6 i 6 m, и C = Rn, то те же аргументы, что и выше приводят к требуемому утверждению. B

C [Доказательство следствия 3] Легко видеть, что f i ( b ) = f i⁰ ( b + 0), 0 6 i 6 m, и ясно, что сопряженный конус к R^ совпадает с R+. B