Обобщенные решения стохастических задач в форме Ито в пространствах Гельфанда-Шилова

Одним из современных направлений исследований в математике является изучение задач с учетом воздействия случайных факторов. Учет случайностей приводит к созданию математических моделей в форме стохастических задач. Среди них важное место занимают модели с дифференциальными уравнениями, содержащими неоднородности типа белого шума в бесконечномерных пространствах.

Отправной точкой в данной тематике стало изучение задачи Коши для абстрактного стохастического уравнения первого порядка в гильбертовых пространствах H , И:

v ‘ ( t ) = Av (t ) + B W( t ), t е [0; т ), т <~ v (0) = Z ,                        (1)

где оператор A порождает полугруппу класса C ₀ в H , W( t ) - И -значный стохастический процесс типа белого шума. Следуя теории стохастических дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах, от дифференциальной задачи (1) c нерегулярным белым шумом, применяя конструкцию интеграла Ито в бесконечномерном случае, осуществляют переход к интегральной задаче:

v ( t ) = v (0) + j ₀ Av ( s ) ds + BW ( t ), t е [0; т ), т <^ ,                       (2)

c непрерывной «первообразной» по t от белого шума - винеровским процессом W ( t ), который определяется аксиоматически. Результаты многочисленных авторов по исследованию интегральной задачи (2) упорядочены и приведены в монографии [1]. В теории стохастических задач уравнение (2) принято кратко записывать в форме дифференциалов:

dv ( t ) = Av ( t ) dt + BdW ( t ), t е [0; т ), т <~ v (0) = Z .                    (3)

Как показано в [1], даже в случае оператора A - генератора полугруппы класса C ₀ для интегральной задачи (3) удается построить только слабое решение:

< v ( t ), У > = < Z , У > + / 0 < v ( s ), A * У > ds + < BW ( t ), y > , t е [0; т ), y е D ( A * ) .            (4)

Однако в современных приложениях возникают стохастические задачи, в которых оператор A не порождает семейство, обладающее свойствами, характерными для полугруппы класса C ₀. Первые шаги в исследовании таких задач были сделаны И.В. Мельниковой, А.И. Филинковым, М.А. Альшанским и У .А. Алексеевой [2-7]. В работе [2] рассматривается слабое проинтегрированное решение задачи Коши с оператором A - генератором интегрированной полугруппы операторов. Кроме того, в данной работе рассматривается построение обобщенных по переменной t решений задачи Коши. В более поздней работе [6] развивается идея построения

Математика обобщенных по переменной t решений исходной дифференциальной задачи в пространствах ультрараспределений, когда оператор A является генератором конволюционной полугруппы, а также вводится принципиально новый подход к построению решения задачи Коши (1) -определение обобщенного по случайной переменной решения.

Настоящая работа посвящена исследованию стохастической задачи Коши для систем дифференциальных уравнений Гельфанда-Шилова порядка m в форме Ито, то есть в интегральной форме с интегралом Ито (2):

t ( д ^

X (t, x) - ^( x )= [A I i— IX (s, x) ds + [ BdW (s, x), t e [0; T ], x e R,(5)

J0 V дxJ где оператор A | i | - линейный дифференциальный оператор-матрица конечного порядка p в V дx J пространстве   Lm(R):= L2(R) х... х L2(R),   ^e Lm,   W (t, x)   - Q -винеровский процесс

W ( t , x ) = W ( t , x, o ), toeQ .

Результаты исследования задачи Коши для детерминированных систем с оператором

A | i — | показывают, что в общем случае оператор A | i — | в пространстве Lm (R) порождает V дx J                                                  V дx J некорректную задачу [8]. Решение задачи для различных классов систем определяется в обобщенном смысле в пространствах обобщенных функций Гельфанда-Шилова. В соответствии с результатами исследования для детерминированных задач в рассматриваемом случае стохастической задачи (5) определению подлежит обобщенный по переменной x случайный процесс {X(t),te [0;T]}, X(t) = (Xi(t),...,Xm(t)), Xi(t) = Xi(t,x,o), xe R,toeQ, принадлежащий пространству обобщенных функций Т‘, определяемому классом системы.

Постановка задачи

Основным объектом исследования в данной работе является стохастическая задача Коши в форме Ито для систем дифференциальных уравнений Гельфанда-Шилова порядка m :

X(t,x)-£(x)= [tA| iI- |X(s,x)ds + ftBdW(s,x), te [0;T],xe R,(6)

J0 V дxJ которую, как правило, будем записывать кратко в форме дифференциалов следующим образом dX(t, x) = A | iX(t,x)dt + BdW(t, x), X(0,x) = ^(x), t e [0; T], x e R.(7)

V дx J

В задачах (6) и (7) оператор A | i — | - линейный дифференциальный оператор-матрица V дx J конечного порядка p в пространстве Lm, ^ e Lm , W(t, x) - Q -винеровский процесс, который определяется аксиоматически [1, 3].

Определению подлежит обобщенный по переменной x случайный процесс

{X(t), te [0;T]}, X(t) = (X1(t),...,Xm(t)), Xi(t) = Xi(t,x,ю), xe R,^eQ, принадлежащий пространству обобщенных функций Т‘, определяемому классом системы. Построение обобщенного решения {X(t), te [0;T]} объясняется тем, что задача (7) является некорректной. Некорректность в данном случае возникает вследствие свойств оператора A | i — |

V дx J и свойств нерегулярности стохастической неоднородности W(t, x). Оператор A | i — | в V дx J пространстве Lm (R) порождает некорректную однородную (детерминированную) задачу Коши

—u ( x , t ) = A | i — | u ( x , t ),    t e [0; T ], x e R,   u ( x ,0) = f ( x ),

д t           V дx J решение которой с помощью техники обобщенного преобразования Фурье [8] определяется семейством операторов {U(t), tе [0;T]}:

и ( х , t ) = ( U ( t ) f ) ( х ) = ( G ( ■ , t ) * f ( ■ ) ) ( x ),

где равенство понимается в обобщенном смысле, то есть на основных функциях у . Функция G ( х , t ) = (^" ^{- 1} { e tA^{( о} ) })( х ) — является функцией Грина задачи (8), матричная экспонента e tA ^{( о} ) определяется как формальный ряд по степеням матрицы A( о ) — образа Фурье матрицы

, С д )

A I i I .

V дх )

Из вида решения (9) однородной задачи (8) следует, что свойства операторов решения {U(t), tе [0;T]} определяются поведением оператора-матрицы etA(5) на промежутке tе [0;T]. В свою очередь, свойства этого оператора определяются функцией Л( 5) = max Re Aj( 5), 5 = о + iT, jj где Aj(s) — собственные значения матрицы A(s); это следует из оценок [8]:

e t ^Л ( ⁵ ) <| e tA ( ⁵ )| m <  с (1 + | s |) p ( m ^{- 1)} e t ^л ( ^s ) , t е [0; T ].

На основании поведения функции Л ( ^ ) выделяются следующие классы систем [8]:

• •    Системы, корректные по Петровскому: Л ( о ) <  C 1 , C 1 >0. Отсюда для матричного

оператора следует оценка

||e ^{tA ( о} )| m <  с 2 (1 + о ) h ,      t е [0; T ], о е Ж,

где C ₂ = Ce TC ¹ , h <  p ( m - 1) - наименьшее из натуральных чисел l , для которых справедливо неравенство || e ^{tA ( о} )|| <  C 2 (1 + | о |) l •

• •    Условно-корректные системы: Л ( о ) <  C O h + C 1 , h е (0;1), C 1 >0. Тогда для оператора e t^{A ( о} ) справедливо соотношение

I e ^{tA ( о} )|| <  C ₂ e a ° h , t е [0; T ], ое Ж,                              (11)

где a 1 = CT .

• •    Некорректные системы: Л ( о ) <  C Ю ^{Р 0} + C 1 , C 1 > 0. В этом случае справедлива оценка

I e t^{A ( о} )| <  C ₂ e b¹ ° p 0 , t е [0; T ], ое Ж, (12) где b 1 = CT .

Из классификации следует, что даже в случае систем, корректных по Петровскому, оператор e t^{A ( о} ) , t е [0; T ] имеет в общем случае степенной рост по о , что приводит к некорректности однородной детерминированной задачи в пространстве L m и, как следствие, рассматриваемой неоднородной стохастической задачи.

В теории абстрактных стохастических уравнений с оператором A - генератором полугруппы { U ( t ), t >  0} класса C ₀, решение задачи Коши представимо в виде суммы решения однородной задачи и стохастической свертки операторов решения однородной задачи { U ( t ), t >  0} с неоднородностью [1], то есть в виде

X ( t ) = U ( t ) ^ + Ю и ( t - 5 ) BdW ( 5 ), t е [0; T ], T <  t . (13)

Если оператор A не порождает полугруппу класса C ₀ в пространстве L m , а является генератором некоторой регуляризованной полугруппы, то операторы решения однородной задачи { U ( t ), t >  0} неограничены в L m , но, как будет показано далее, могут быть определены в пространстве обобщенных функций Т‘ , которое зависит от поведения оператора A .

Математика

Как доказано в [7], в рассматриваемой задаче (7) оператор A = AI i— I в общем случае V дx У порождает R -полугруппу в пространстве L” :

S ( t ) f = ( Г ^{- 1} { e^{t A}( ° ) K ( ° )} ) * f , f е L m , t е [0; T ], где функция К ( • ), определяющая R -полугруппу, выбирается бесконечно дифференцируемой и убывающей, с учетом роста матричной экспоненты e^tA ( ° ) . При этом оператор R определяется следующим образом

( Rf ) ( x ) := ( Г ^{- 1} { К ( ° ) f ( ° )} ) ( x ) = ( Г ^{- 1} { К ( ° )} * f ) ( x ), f е L m .              (14)

В этом случае операторы {U ( t ), t е [0; T ]} определяются в пространстве обобщенных функций Т‘ , соответствующем классу системы, через R -полугруппу { S ( t ), t е [0; T ]} следующим образом:

*

< У , U ( t ) £ = < у , R ^{- 1} S ( t ) £ = < ( R ^{- 1} ) у ,S ( t )£, у еТ , где пространство Т основных функций определяется регуляризующим оператором R . Тогда и обобщенное решение задачи (7) будем искать в форме:

• < У , X ( t ) ) := < ( R ^{- 1} ) * у , S ( t ) £ + < ( R ^{- 1} ) * y , J 0 s ( t - s ) BdW ( s ) ) , у еТ ,           (15)

обобщающей равенство (13). Далее покажем, что процесс { X ( t ), t е [0; T ]}, определяемый формулой (15), дает решение следующей обобщенной задачи

• < У , X ( t ) ) - < у , ^ ) = J 0 <  A * y , X ( s ) ) ds + < у , J t BdW ( s ) ) , t е [0; T ], у еТ .        (16)

Докажем теорему о свертывателе в паре пространств и на основании этой теоремы определим основные пространства Т для каждого класса систем (10)-(12).

Основные результаты

Теорема 1. Пусть оператор A | i — | задает систему, корректную по Петровскому, условно-

• V д x у

• корректную или некорректную. Тогда обобщенное решение задачи Коши (16) существует и представимо в виде

*                         ,\*      tt

< У , X ( t ) ) := < ( R ^{- 1} ) у , S ( t ) £ ) + < ( R ^{- 1} ) y , J S ( t - s ) BdW ( s ) ) , у еТ , где R -полугруппа операторов S ( t ) и пространство Т определяются классом системы.

Доказательство. В качестве пространства Т выберем пространство основных функций у , **

удовлетворяющих условиям: ( R ) у еТ , A ( R ) у еТ . Сначала покажем, что первое слагаемое правой части (15) дает решение однородной задачи (16). В силу выбора основного пространтва Т и ограниченности операторов { S ( t ), t е [0; T ]} справедливо следующее равенство:

J 0 < A * y , R ^{- 1} S ( s ) ^ ) ds = < ( R ^{- 1} ) A * y , J 0 t S ( s ) ^ ds ) .

*

В силу свойств R -полугрупп операторы ( R ¹ ) и A коммутируют на пространстве Т , тогда

*           tt                           ,\*         tt

< ( R ^{- 1} ) A y , J 0 S ( s ) ^ ds ) = < ( R ^{- 1} ) у , A J 0 S ( s ) ^ ds ) =

*                                  .'*

= < ( R ^{- 1} ) y ,( S ( s ) ^ - R ^ ) ) = < ( R ^{- 1} ) y , S ( s ) ^ )-< y , ^ ) .

Далее покажем, что второе слагаемое правой части (15) дает решение неоднородной задачи (16) при ^ = 0. В силу свойств операторов R -полугруппы имеем

J ₀ t < ( R ^{- 1} ) * A *у, J ₀ s S ( s - r ) BdW ( r ) > ds = < ( R ^{- 1} ) * A* у , J 0 J s S ( s - r ) BdW ( r ) ds > .

Учитывая ограниченность операторов { S ( t ), t e [0; T ]}, используя стохастический вариант теоремы Фубини [1], изменим порядок интегрирования в полученном интеграле

< ( R ^{- 1} ) * A * y , Ю J ₀ s S ( s - r ) BdW ( r ) ds >  = <  A * ( R ^{- 1} ) * у , J 0 J r S ( s — r ) BdsdW ( r ) > =

= < ( R ^{- 1} ) * у , J 0 A J 0 — r S ( h ) BdhdW ( r ) > = < ( R ^{- 1} ) * у , J 0 ( S ( t - r ) B - RB ) dW ( r ) > =

*

= < ( R ^{- 1} ) у , J ₀ S ( t - r ) BdW ( r ) > + <у , J ₀ BdW ( r ) > .

Таким образом, обобщенный   Т‘ -значный  процесс   {X(t), tе [0;T]}, определенный соотношением (15), дает решение задачи (16) для соответствующего класса системы. □

Из доказательства данной теоремы следует, что основное пространство Т полностью определяется свойствами регуляризующего оператора R или, в силу конструкции (14), свойствами функции К ; точнее, свойствами оператора R ^{- 1} или функции К ^{- 1} , которая, в свою очередь, определяется ростом оператора e^tA( ° ) . Для того, чтобы определить пространства Т для каждого класса систем, докажем следующий результат.

Теорема 2 Пусть Ф , Т - пространства основных функций с непрерывным сдвигом, а Ф и Т - двойственные к ним пространства. Тогда, если функционал g ( ° ) типа функции является мультипликатором из Ф‘ в Т‘ , то функционал G = У ^{- 1} { g } - свертыватель из Ф‘ в Т‘ , и для любого f еФ‘ справедливо равенство

У { g * f } = у { G } . у { f }.

Доказательство. Для начала поясним, что G - свертыватель из Ф‘ в Т‘ , если для любого f еФ‘ справедливо включение G * f еР‘ .

Далее, пусть у еТ . Рассмотрим функцию У { у ( x - h )}:

^{У {} у ⁽ x ^- h ^)} = J _r e ⁽ x ’ ° ) у ⁽ x ^- h ) dx = J . e ⁽ y ’ ° ) e ⁽ h ’ ° ) у ⁽ y ) dy = e ⁽ h ’ ° ) ^{у {} у ⁽ x ^)}.

Из полученных равенств следует, что e i ⁽ h ’ ° ) является мультипликатором в пространстве Т , поскольку оператор сдвига ограничен в Т .

Теперь для того, чтобы G = У ^{- 1} { g } определял свертыватель из Ф‘ в Т‘ в силу определения свертки двух обобщенных функций

< у , G * f > = < G * у , f > = <<у (x + О ), G О, f ( x ) > необходимо доказать, что G * у := < у ( x + ^ ), G ( ^ ) ) e Ф для любого у е Т .

Действительно, используя определения свертки и преобразования Фурье обобщенных функий, получаем

< У ⁽ x ⁺ ^ ),^G О = —1— <  e - i ⁽ x ’ ° ⁾'^{у (} ° ), g ⁽ ° ) > = -71- 7 L e - i ⁽ x ’ ° ^{) y z (} ° ) g ⁽ ° ) d ⁽ ° ) = ^у - 1 ^{ ^ ^ ^^}. (2- П )                        (2 п ) ^

и поскольку g y е<Ъ‘ , то результат У ^{- 1} { g y } е Ф‘ .

Далее, в силу непрерывности преобразования Фурье, если у _п ^ 0 в Т , то У { у _и } ^ 0 в Т , а так как оператор умножения на g непрерывен в Т , то g\j/_п ^ 0 в Ф , откуда, в силу непрерывности обратного преобразования Фурье, получаем, что У ^{- 1} { g y _n } = G *у _п ^ 0 в Ф .

Таким образом, функционал G - свертыватель из пространства Т в пространство Ф и имеет место формула

У { G * у } = gxn .

Следовательно, для любого f еФ‘ определена свертка G * f .

Теперь найдем выражение для У { G * f }. Имеем

<ху , У { G * f } > = (2 п ) ⁷ <у , G * f >  = (2 п ) ⁷ < G * у , f >  = < У { G * у }, У { f } > = < g^y , У { f } > = <ху , gУ { f } > ,

Математика откуда следует, что

A {G * f } = A { G } ■ А { f }. □

Далее, для каждого класса систем с помощью доказанной теоремы определим пространство Т . На основании теоремы можно утверждать, что пространство Т определяется свойствами матричной экспоненты однородной детерминированной задачи: пространство Т должно содержать такие основные функции у , что оператор e tA ^{( о} ) является мультипликатором из Т в пространство Ф = L m .

Начнем с определения пространства Т для систем, корректных по Петровскому. Поскольку матричная экспонента e^{tA ( о} ) в этом случае удовлетворяет оценке (10), в качестве Kt ( о ), определяющей оператор R , можно взять функцию, удовлетворяющую соотношению

K ( о ) = O

1______ о А

при | о | ^~ , где h 1 >  h + 1/2.

Покажем, что для систем данного класса операторы {U ( t ), t е [0; T ]} могут быть определены в обобщенном смысле над пространством Т = S .

Действительно, так как Ке L m , то согласно определению мультипликатора в паре пространств

*

,etA(о^) = <(etA(о)) у,^

и оценке (10), оператор e ^{tA ( о} ) определяет мультипликатор из пространства Т = S в пространство Ф = L m и, следовательно, из Ф‘ = L m в Т‘ = S' . Соответствующая этому случаю функция Грина G ( x , t ) = (А ^{- 1} { e ^{tA ( о} ) })( x ) определяет свертыватель из Ф‘ = L m в Т‘ = S '. Таким образом, для систем, корректных по Петровскому, Т = S и решение X ( t ) стохастической задачи (16) является S ‘ -значным процессом при п.в. го .

Теперь рассмотрим условно-корректные системы. В данном случае матричная экспонента удовлетворяет оценке (11). Следовательно, в качестве K ( о ), определяющей оператор R , можно взять функцию, удовлетворяющую соотношению

Kt ( о ) = O | e a ²' ° | при Ю ^^м , где a ₂ >  a 1 .

w

w

В силу связи убывания функции K ( о ) и функций пространства Т возьмем пространство Т = S _{a А} , бесконечно дифференцируемых на Ж функций / ( ■ ), которые при любом Е >0 удовлетворяют неравенствам

I ^у^{( q} ) ( о )| <  C_q , _Е (А + Е ) ^к к ^{к а}, ое Ж, q , к е N₀,

α

а 1

где а = 1/ h с соответствующим h из неравенства (11), А = --- I и C_{q Е} = C_{q Е} ( у ) - константа k ea 2 ) q ^, q ^,

Действительно, в силу оценки (11) получим, что оператор etA(о) определяет мультипликатор из пространства Т = Sa а в пространство Ф = Lm и, следовательно, из Ф‘ = Lm в Т‘ = (Sa а ) . Тогда по теоремам двойственности для пространств обобщенных функций получим, что функция Грина G(x, t) определяет свертыватель из Ф‘ = Lm в Т‘ = (Sa,А) . Таким образом, для условно- корректных систем Т = Sа,А и решение X(t) стохастической задачи (16) является (Sа,А) - значным процессом при п.в. го.

Наконец, рассмотрим некорректные системы. В силу оценки (12) в качестве K(^) можно взять функцию, удовлетворяющую соотношению

K ( ^ ) = O ^ е - ² ^ 0 | при | ^ ^~ , где b ₂ > b 1 .

Покажем, что в качестве пространства Р можно взять пространство Ф = WM в бесконечно дифференцируемых на R функций (/(•), которые при любом 5 >0 удовлетворяют неравенствам ^(q)(а)| < Cq5-M((в-5)°), ^е R, qе Nо, p0

где M ( σ )=| ^σ |, β =( p 0 b 2 ) ^{1/ p 0} , C q δ = C q δ ( ψ )[9].

p ₀

Действительно, в силу оценки (12) получим, что оператор e ^{tA ( σ )} определяет мультипликатор из пространства Р = W M р в пространство Ф = L m и, следовательно, из Ф‘ = L m в Р‘ = ( W M в ) . Двойственным по Фурье к пространству W_{M , β} является проcтранство W ^{Ω ,1/ β} , где функция Ω ( x ) —двойственная по Юнгу к M ( σ ). Тогда соответствующая данному классу функция Грина

Ψ′ = ( W ^{Ω ,1/ β} ) ^′ , где

G ( x , t ) определяет свертыватель из Φ′ = L ^m ₂ в

Ω ( x )= ^{x q} , ^q

11 + =1.

p 0 q

^{Ω ,1/ β} и решение X ( t ) стохастической задачи (16)

Таким образом, для некорректных систем Ψ = W является (WΩ,1/β)-значным процессом при п.в. ω.

Подводя итог проведенным исследованиям о выборе пространства Ψ для каждого класса систем, сформулируем полученные результаты.

Теорема 3. Пусть оператор A(i ) определяет систему из классов (10)–(12). Тогда ∂x случайный процесс, определяемый равенством (15), является решением задачи Коши (16) для систем:

• •    корректных по Петровскому в пространстве S ';

  •

  
  

< „             Г а Т

;

условно-корректных в пространстве ( S ^а , ^А ) ', а = 1/ h, А = --- I ^Х                      I ea 2 )

′ ^{x q} 1 1

• •    некорректных в пространстве ( W ^{Ω ,1/ β} ) , где Ω ( x ) =    , + =1, β =( p ₀ b ₂) ^{1/ p 0} .

qp ₀ q

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 13-01-00090 и программы государственной поддержки ведущих университетов РФ (соглашение 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).