Обобщенные решения задачи Дирихле для уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях

Проблема разрешимости краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях с предписанным поведением решений на «бесконечности» является достаточно актуальной. В частности, особый интерес представляет собой постановка задачи Дирихле на некомпактных римановых многообразиях. Для исследования вопросов о разрешимости задачи Дирихле чрезвычайно существенным оказалось введенное Винером понятие обобщенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в областях R ⁿ , получившее в нашей работе обобщение на случай некомпактных римановых многообразий. Кроме того, в данной работе использован подход к постановке краевых задач, основанный на введении класса [f], эквивалентных на M непрерывных функций (см., напр., [3]–[5]).

Пусть M — гладкое связное некомпактное риманово многообразие без края, {Bk}k=1 — исчерпание многообразия M, то есть последовательность предкомпактных ∞ открытых подмножеств таких, что Bk С Bk+1, M = U Bk.

k=1

Определение 1. Пусть f ₁ (x) и f ₂ (x) — непрерывные ограниченные на M функции. Будем говорить, что f ₁ ( x ) и f ₂ (x) эквивалентны на M, и использовать обозначения f ₁ (x) ~ f ₂ (x) , если для некоторого исчерпания { B k } ^=₁ многообразия M выполнено равенство:

lim ||fi(x) - f2(x)|co(M Bk) =0, k -→∞ гДе Ilf (x)|C0(G) = suP |f (x)|.

G

Введенное определение корректно, поскольку не зависит от выбора исчерпания многообразия (см. [3]). Класс функций, эквивалентных функции f, будем обозначать [f]. Определение 2. Предположим, что f — непрерывная функция на M . Будем говорить, что для уравнения (1) на M разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [f ] , если на M существует решение u(x) уравнения (1) такое, что u G [f ] . Класс [f ] в этом случае будем называть допустимым для уравнения (1) .

Введем понятие обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (1) на многообразии M.

Всюду в дальнейшем будем считать, что { B k } ^=₁ — исчерпание многообразия с гладкими границами ∂B _k .

Рассмотрим последовательность решений задач Дирихле в B _k

Г Lu k,f 0, 1 u k,f | dB k = ^f | dB k

Определение 3. Пусть f — некоторая непрерывная на M функция. Если существует предел uf = lim ukf, k -→∞ в каждой точке x G M, то функция uf называется обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (1) с граничными условиями из класса [f ].

Замечание. Данное определение обобщенного решения задачи Дирихле было впервые введено Винером (см. [1]) для эллиптических дифференциальных уравнений в областях R ⁿ .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть f — некоторая непрерывная на M функция такая, что класс [f] является допустимым для уравнения (1) .

Тогда справедливы следующие утверждения.

• 1.    Последовательность решений u ₁ f ,u ₂ f ,...,u _kf ,... задач (2) сходится равномерно на M к обобщенному решению u f .

• 2.    Предельная функция u f не зависит от выбора исчерпания { B k } многообразия M .

• 3.    Если и — решение краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями из класса [f] , то функция и совпадает с u f .

Необходимо пояснить, что означает равномерная сходимость последовательности решений U k,f задач (2) на многообразии M.

Определение 4. Будем говорить, что последовательность решений u kf задач (2) сходится равномерно на M, если V e > 0 3 N = N (е) : V n > m > N V x G B N выполнено

^{| u} n, f ^{(x) — u} m,f ^{(x) |} < ^e-

• 1.    Доказательство теоремы

Рассмотрим последовательность решений задач (2). Используя принцип максимума для любых k ∈ N , x ∈ B k , имеем

| u k,f (x) | <  sup | u k,f | <  sup | f | . ∂B k          M

Отсюда следует равномерная ограниченность семейства функций { u k,f } _k ^∞ ₌₁ на всем многообразии M и, следовательно, компактность в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций на любом компактном подмножестве G ⊂ M (см., напр., [2]).

Без ограничения общности можем считать, что G ⊂ Bk для всех k ∈ N . Тогда существует последовательность u1n,f, сходящаяся к некоторой функции uf1 в B1 . Выберем из нее подпоследовательность функций u2n,f , сходящуюся в B2 к некоторой функции uf2 , при этом uf2 будет совпадать с uf1 в B1 . Аналогично для каждого k ∈ N найдется подпоследовательность функций ukn,f , сходящаяся в Bk к некоторой функции ufk , причем uf = uf-1 во множестве Bk-1. Таким образом, продолжая процесс бесконечно, можно построить функцию uf, в Bi, uf =    uf, в Bk\Bk-i, •

Выберем теперь диагональную последовательность u ¹ _1,f , u ² _2,f , ..., u ^k _k,f ,   Ясно, что u ^k _k,f сходится к функции u f в каждой точке x ∈ M .

Покажем равномерную сходимость последовательности решений ukf задач (2) на всем многообразии M. Выберем произвольное е > 0. Используя принцип максимума, для достаточно больших n, m ∈ N, n > m получаем sup |un,f (x) - umf (x) | < sup |un,f (x) - umf (x) | < GB

• < sup | u _n f — u(x) | + sup l u m f (x) — u(x) | < e.

Bn

Действительно, так как класс [f] является допустимым для уравнения (1), то существует функция u G [f] такая, что Lu = 0. Тогда, по принципу максимума, имеем sup |un, f (x) — u(x) | = sup |f — u| < e, sup lum, f (x) — u(x) | = sup |f — u| < Bn                   dBn          2 Bm                   dBm

В силу равномерной сходимости последовательности {uk f}k∞=1 на M существует функция uf = lim ukf, и, следовательно, uf является обобщенным решением уравне-k-→∞ ния (1) на M (по определению).

Покажем, что предельная функция u f не зависит от выбора исчерпания { B k } k=₁ на M .

Предположим противное: пусть { B k } k=₁ и { D k } k=₁ — два произвольных исчерпания многообразия M , { u kf } k=₁ и { u k f } k=i — соответствующие им последовательности решений задач (2), сходящиеся к различным предельным функциям u f и u f . Построим новое исчерпание { C k } £= многообразия M . Пусть C ₁ = B ₁ . В качестве множества C ₂ возьмем множество D k , где к — наименьший номер, начиная с которого множество B ₁ С D k . Множество C ₃ будем искать в { B k } k=₁ так, чтобы C ₂ С B k , где к — наименьший номер. Аналогично найдем все остальные множества C k , к = 4, 5,..., где ∞

C k С C _k+1 , M = U C k для любого к. Тогда соответствующая последовательность ре- k=1

шений задач (2) для нового исчерпания { C k } ^=₁ : u _k 1 ,f ,u k 2 f ,... является расходящейся, что противоречит доказанному выше утверждению. Следовательно, предельная функция U f не зависит от выбора исчерпания { B k } ^=₁ на многообразии M.

Покажем, что построенное обобщенное решение u f задачи Дирихле для уравнения (1) не зависит от выбора представителя из класса [f ].

Предположим противное, возьмем f1 G [f], f2 G [f], f1 = f2, тогда для них соответствующие задачи (2) во множестве Bk перепишутся в виде f Luk,fl    О,

1 ^u k ,f l | dB k = ^f 1 | dB k

f ^Lu k ,f 2     0,

1 ^u k ,/ 2 | dB k = ^f 2 | dB k

Согласно доказанному выше, на M существуют обобщенные решения u f ₁ и u f ₂ .

Тогда для любых e > 0, x G M имеем

⁰ < ^{| u} f 1 ^{(x) - U} f 2 ^{(x) |}< ^{| u} f 1 ^{(x) - U} k,f 1 ^{(x) |} + ^{| u} f 2 ^{(x) - U} k,f 2 ^{(x) |} + ^{| u} k,f 1 ^{(x) - U} k,f 2 ^{(x) |} <  ^e, для достаточно больших k.

Первые две оценки: | u f (x) — U f (x) | <  3 , | u f ₂ (x) — u _k,f ₂ (x) | <  3 имеют место в силу равномерной сходимости последовательностей функций { u _k,f 1 } k=₁ и { u _kf ₂ } k=₁ соответственно к функциям u f ₁ и u f ₂ , доказанной выше.

Покажем, что | u _k,f 1 (x) — u _kf 2 (x) | <  3 . Функция u _kf 1 — u _kf ₂ является решением следующей задачи:

f ^{L ( u} k,f i ^{— u} k,f 2 ) = ⁰,

[ ^(u k,f 1 ^{— u} k,f 2 ) | dB k = ^(f 1 ^{— f} 2 ^{) |} dB k .

Следовательно, для любого x ∈ B k выполнено

^{| u} k,f 1 ^(x) - ^U k,f 2 ^{(x) |}<  ^SUP ^{| u} k, f l ^(x) - ^U k,f 2 ^{(x) |} = ^SUP ^{| f} 1 - ^f 2 | < ^{1 e}, dB k                         dB k             ³

для достаточно больших к (так как f ₁ G [f], f ₂ G [f]). В силу произвольности e > О следует u f ₁ ≡ u f ₂ . Таким образом, предельная функция u f не зависит от выбора представителя из класса [f].

Так как класс [f] является допустимым для уравнения (1), то на M существует решение и краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями из класса [f], то есть Lu = 0, и G [f]. Покажем, что данное решение и совпадает с функцией U f .

Действительно, так как и G [f], то в качестве граничного значения f для задач (2) в Bk выберем функцию u, то есть f Luk,f   0,

• 1    ^u k,f | dB k = ^{u |} dB k .

Но, с другой стороны, и является решением уравнения (1) в B k для любого к. Таким образом, имеем

Lu k,f = Lu в B k , U k,f I dB k = u | dB _k •

Тогда, в силу теоремы единственности решения задачи Дирихле в области Bk , получаем ukf(x) = u(x) для любого x G Bk. По доказанному выше uf = lim ukf(x), ,                                                                           k-→∞ , следовательно, uf (x) = u(x) в каждой точке x G M.

Теорема полностью доказана.