Обобщенные субдифференциалы и экзостер
Автор: Демьянов Владимир Федорович, Рощина Вера Алексеевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.8, 2006 года.
Бесплатный доступ
В статье рассматриваются соотношения между экзостерами и различными обобщенными субдифференциалами. Для субдифференциалов Кларка, Мишеля - Пено, Гато и Фреше получены формулы в терминах экзостеров.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318194
IDR: 14318194
Текст научной статьи Обобщенные субдифференциалы и экзостер
Негладкий анализ сформировался как самостоятельный раздел и непосредственное продолжение классического («гладкого») анализа в 60–70-х годах XX столетия, хотя впервые негладкие задачи были поставлены и изящно решены еще П. Л. Чебышевым. Негладкие задачи до сих пор привлекают внимание исследователей как ввиду наличия множества нерешенных интересных теоретических задач, так и вследствие возникновения новых практических приложений.
Исторически первыми глубоко изученными классами негладких функций были классы выпуклых функций и функций максимума. Исследование этих функций привело к развитию выпуклого анализа и теории минимакса (см., например, [11, 1]). При этом оказалось, что основным инструментом исследования указанных классов функций является субдифференциал (представляющий собой выпуклое множество в сопряженном пространстве), с помощью которого можно, в частности, вычислить производные по направлениям (и тем самым получить аппроксимацию первого порядка функции в окрестности заданной точки), сформулировать условия минимума, найти направления наискорейшего спуска и построить численные методы.
Упомянутые свойства субдифференциалов выпуклых функций и функций максимума привели к многочисленным попыткам найти подобный выпуклый объект и в невыпуклом случае. Различные обобщения понятия субдифференциала были предложены и исследованы. Среди наиболее удачных и популярных следует отметить, в первую очередь, субдифференциал Кларка (см. [6, 16]). Обзор работ по субдифференциалам имеется, например, в [14]. Общая теория субдифференциалов в абстрактных пространствах построена в [7, 8]. Однако, как отмечается в [8], от субдифференциала «мало прока, если
нет достаточно эффективных средств его вычисления». В настоящей работе для некоторых наиболее распространенных субдифференциалов в конечномерных пространствах строятся правила их вычисления. Это делается с помощью экзостеров.
Идея сведения задачи минимизации произвольной функции к последовательности выпуклых задач была воплощена Б. Н. Пшеничным [10], который ввел понятия верхней выпуклой и нижней вогнутой аппроксимаций. А. М. Рубинов в [3] предложил рассматривать исчерпывающие семейства верхних выпуклых аппроксимаций и нижних вогнутых аппроксимаций. Впоследствии были введены понятия верхнего и нижнего экзостеров, представляющие двойственные объекты и позволяющие свести исходную оптимизационную задачу к последовательности выпуклых задач минимизации.
В настоящей работе изучается связь между экзостерами и некоторыми обобщенными субдифференциалами негладких функций. Понятие экзостера и некоторые его свойства описаны в п. 3. В п. 4 субдифференциалы Гато и Фреше для дифференцируемых по направлениям в смысле, соответственно, Дини и Адамара функций выражены в терминах экзостеров. Эти субдифференциалы были введены в работе [13] и изучены в [25, 27].
Субдифференциалы Мишеля–Пено и Кларка обсуждаются в пп. 5 и 6. Их связь с экзостерами устанавливается в п. 7.
2. Исчерпывающие семейства верхних и нижних аппроксимаций
Б. Н. Пшеничный в [10] ввел понятия верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций. Пусть функция h : R n ^ R — положительно однородна первой степени. Выпуклая положительно однородная функция h : R n ^ R называется верхней выпуклой аппроксимацией функции h , если
h(g) 6 h(g) V g G R n . (1)
Вогнутая положительно однородная функция h : R n ^ R называется нижней вогнутой аппроксимацией функции h , если
W) 6 h ( g ) V g G R n . (2)
Исчерпывающие семейства аппроксимаций были определены А. М. Рубиновым в [3] (см. также [4]).
Множество Л * верхних выпуклых аппроксимаций функции h называется исчерпывающим семейством верхних выпуклых аппроксимаций функции h , если
4g)=jnf h(g ) V g G R n . (3)
h ∈ Λ ∗
Множество Л * нижних вогнутых аппроксимаций функции h называется исчерпывающим семейством нижних вогнутых аппроксимаций функции h , если
h(g) = sup h ( g ) V g G R n . (4)
h ∈ Λ ∗
Существование исчерпывающих семейств устанавливается в следующей теореме [3].
Теорема 1 (А. М. Рубинов) . Пусть h : R n ^ R — положительно однородная функция. Если h полунепрерывна сверху на R n , то существует исчерпывающее семейство верхней выпуклой аппроксимации функции h .
Если h полунепрерывна снизу на R n , то существует исчерпывающее семейство нижних вогнутых аппроксимаций функции h .
Если h — полунепрерывна сверху и ограничена, то, по теореме 1, существует семейство Л * верхних выпуклых аппроксимаций, удовлетворяющее (3). Если h полунепрерывна снизу и ограничена на B 1 , то существует семейство Л * нижних вогнутых аппроксимаций, удовлетворяющее (4).
Так как (см. [11]) каждая выпуклая положительно однородная функция h(g) может быть представлена в виде
h(g) = max (v,g) V g G R n , v e C ( h )
где C (h) — субдифференциал функции h в нуле (это выпуклый компакт в R n ), то (3) может быть записано как
h ( g ) = inf max(v,g) V g G R n , (5)
C∈E∗ v∈C где E* = {C c Rn | C = C(h), h G Л*}.
Множество E * = E * ( h ) называется верхним экзостером функции h .
Аналогично, так как любая вогнутая положительно однородная функция h может быть представлена в виде
h(g) = mm (v,g) V g G R n , v e C ( h )
где C (h) — супердифференциал функции h в нуле (это тоже выпуклый компакт в R n ), то (4) принимает вид
h(g) = sup min(w,g) V g G R n , (6)
C∈E∗ w∈C где E* = {C c Rn | C = C(h), h G Л*}.
Множество E * = E * (h) называется нижним экзостером функции h .
-
3. Условия экстремума в терминах экзостеров
Пусть f : X ^ R, где X C Rn — открытое множество. Функция f называется дифференцируемой по направлениям в смысле Дини в точке x ∈ X , если для всех g ∈ Rn существует конечный предел fD(x,g)=lim1[f(x + ag) - f (x)]. (7)
a f G a
Функция f называется дифференцируемой по направлениям в смысле Адамара в точке x ∈ X, если для всех g ∈ Rn существует конечный предел fH(x,g)= lim ,“[f(x + ag0) - f (x)]. (8)
[ a,g0M +G ,g ] a
Пусть f : Rn ^ R — заданная дифференцируемая по направлениям (в смысле Дини или Адамара) функция и h(g) = f 0(x, g) — соответствующая производная функции f в точке x по направлению g. Функция h(g) положительно однородна первой степени. Если h — полунепрерывна сверху как функция g, то (см. п. 2) h(g) может быть представлена в виде (5), а если h(g) = f 0(х, д') — полунепрерывная снизу как функция д, то h(g) может быть выписана в форме(6).
Если h непрерывна по g , то оба представления выше (5) и (6) верны. Например, если f — липшицева функция, то ее производные Адамара совпадают с соответствующими производными Дини и непрерывны как функции направления.
В [15] М. Кастеллани показал, что если функция h — липшицева, то она может быть записана в виде
h(g) = mn mtc^ д') v д g R n (9)
и в виде
h ( g ) = max min(w, g) V g G R n , (10)
C∈E∗ w∈C где семейства множеств E∗ и E∗ — ограничены в совокупности. Напомним, что семейство множеств E ограничено в совокупности, если найдется такой шар B в Rn , что C ⊂ B ∀ C∈E.
Пара E = [E * , E * ] семейств выпуклых множеств, где E * — верхний экзостер, и E* — нижний, называется биэкзостером. Экзостеры были введены в [5, 21, 22].
Там было показано, что если функция f достигает минимума на R n в точке x ∗ и если известен верхний экзостер E ∗ функции f в точке x ∗ , то выполнено следующее необходимое условие безусловного минимума:
0 n G C V C G E * . (11)
Пусть h — непрерывна. Если найдется такое 6 > 0 , что
B 5 С C V C G E * , (12)
где B 5 = { х G R n | || x || < 6 } , то х * — точка строгого локального минимума функции f . Условие (12) является достаточным условием строгого локального минимума функции f .
Если x ∗∗ — точка максимума функции f на R n и известен нижний экзостер E ∗ функции f в точке x ∗∗ , то необходимое условие максимума в случае отсутствия ограничений принимает вид
0 n G C V C G E * . (13)
Пусть h непрерывна. Если найдется такое 6 > 0 , что
B S С C V C G E * , (14)
то x ∗∗ — точка строгого локального максимума f . Условие (14) является достаточным условием строгого локального максимума функции f .
В [17] был представлен обзор некоторых результатов, относящихся к этим новым объектам. Некоторые свойства и приложения экзостеров также обсуждались в [19, 20, 29, 30].
4. Соотношение между субдифференциалами Фреше и Гато и верхними и нижними экзостерами 4.1. Субдифференциал Фреше и экзостеры. Пусть X — открытое множество в Rn. Нижний субдифференциал Фреше функции f : X ^ R в точке хо G X можно определить следующим образом (см. [25, 28]):
d - f(х о ) := ( v G R n I liminf f (x) - f < x o ) - ( v'x - x o ) > 0 ) .
F x → x 0 || x - x 0 ||
Симметрично нижнему субдифференциалу Фреше также можно определить соответствующий верхний субдифференциал Фреше:
\ f(x) - f(xo) - (v,x - xo) / nl д +j (xo) := s v G R limsup---------n-------n--------- 6 0 > .
F I 1 x ^ x o || x - x o II J
Первую из этих конструкций принято называть субдифференциалом Фреше, опуская слово «нижний». Элементы нижнего (верхнего) субдифференциала Фреше называются нижними ( верхними ) субградиентами Фреше. Насколько нам известно (см. [25]), субградиенты Фреше были впервые введены в [13] для конечномерных пространств и были названы > - и 6 -градиентами.
Нижние и верхние субдифференциалы Фреше также могут быть определены через понятие дифференцируемости по Фреше (см. [14, 25]). А именно, v ∈ R n является нижним (верхним) субградиентом Фреше функции f в точке x o , если найдется такая дифференцируемая по Фреше в точке x o функция g , что g(x) 6 f (x) ( g(x) > f (x) ) для всех x G X , g(x o ) = f(x o ) и V = g 0 (x o ) .
Функция f : X ^ R называется субдифференцируемой (супердифференцируемой) по Фреше, если множество д - f (x o ) ( d + f(x o )) — непусто. Заметим, что оба (верхний и нижний) субдифференциала Фреше функции f непусты в точке x o G X тогда и только тогда, когда f дифференцируема по Фреше в точке x o (см. [25]). В этом случае д — f (x o ) = d + f (x o ) = { f 0 (x o ) } .
Следующее соотношение верно для дифференцируемой по Адамару функции.
Лемма 1. Пусть функция f : X ^ R дифференцируема по направлениям в смысле Адамара в точке xo G X. Положим h(g) = f 0 (xo; g) для всех g G Rn. Тогда d-f (xo) = dFh(0n); d+f (xo) = d+h(0n).
C Из (8) следует, что f (x) - f (xo) - (v, x - xo) = f 0(x; x - xo) - (v,x - xo) + o(x - xo) ||x - xo|| ||x - xo|| ||x - xo|| ‘
Принимая во внимание, что последнее слагаемое стремится к нулю, когда x ^ xo, и что h(x - xo) - h(0n) = f0(xo; x - xo), подставляя y = x - xo в правую часть, мы сразу же получаем liminf f (x) - f (xo) - (v,x - xo) = Uminf h(y) - h(0n) - (v,y) x^xo I|x - xo|| y^on ||y||
и
lim sup x→x0
f (x) - f (x o ) - (v,x - x o ) || x - x o ||
h(y) - h(0 n ) - (v,y)
= lim sup--------и-и--------,
y^on НуН
что влечет (15). B
Следующая теорема о представлении субдифференциала Фреше положительно однородной функции была доказана в [29].
Теорема 2. Пусть E — верхний (нижний) экзостер положительно однородной функции h : R n ^ R . Тогда
\ C = d - h, (16)
C∈E где д- h — нижний (верхний) субдифференциал Фреше функции h в нуле.
Следствие 1. Пусть E i и E 2 — различные верхние (нижние) экзостеры одной и той же функции h : R n ^ R . Тогда
\ C = \ C.
C ∈ E 1 C ∈ E 2
Из леммы 1 и теоремы 2 можно сделать вывод, что если функция f : X ^ R дифференцируема по направлениям в смысле Адамара в точке xo G X и f 0(xo; g) — полунепрерывна сверху (снизу) как функция g, то d- f (xo) = \ C,
C ∈ E f ( x 0 )
где d - f (x o ) — нижний (верхний) субдифференциал Фреше функции f в точке x o , а E f (x o ) — верхний (нижний) экзостер f в точке x o .
Лемма 2. Пусть функции f i , / 2 : X ^ R — дифференцируемы по направлениям в смысле Адамара в точке x o G X и пусть f (x) = f i (x) + f 2 ( x ) для всех x G X . Следующее равенство:
d - f i (x o ) + d - f 2 ( xo) = d - f (x o ) (17)
имеет место тогда и только тогда, когда существуют такие верхние экзостеры E 1 и E 2 функций f 1 и f 2 соответственно, что
\ + \ = \ C, C1∈E1 C2∈E2 C∈E где E = {C G Rn |3Ci G Ei,C2 G E2 : C = Ci + C2}.
C Следует из представления верхнего экзостера суммы функций (см. [17]) и теоремы 2. B
Аналогичный результат имеет место и для верхнего субдифференциала Фреше. Хорошо известно (см. [11, 25]), что если одна из функций дифференцируема по Фреше в точке x 0 или обе функции f 1 и f 2 — выпуклые, то имеет место равенство (17). Несложно убедиться, что эти результаты также следуют из леммы 2.
Известно, что необходимые и достаточные условия минимума могут быть выражены через нижний субдифференциал Фреше (см. [9]). Для того, чтобы точка x ∗ ∈ X была точкой локального минимума функции f : X ^ R , необходимо, чтобы
O n G d - f (x * );
условие
O n G int d - f (x * )
— достаточное для того, чтобы точка x∗ была точкой локального минимума функции f . Пусть f дифференцируема по направлениям по Адамару. Принимая во внимание представление (16) субдифференциала Фреше, получаем условия (13) и (14). Таким образом, выражения для необходимых и достаточных условий минимальности через верхние экзо-стеры и нижний субдифференциал Фреше совпадают для функций, дифференцируемых по направлениям в смысле Адамара. Однако, в случае, когда необходимые условия минимума не выполнены, верхние экзостеры могут предоставить информацию о направлениях спуска (см. [17]), в то время как нижний субдифференциал Фреше - нет, и может даже оказаться пустым. Подобный результат имеет место для условий максимума в терминах нижнего экзостера и верхнего субдифференциала Фреше.
-
4.2. Субдифференциал Гато и экзостеры. Пусть f : X ^ R , где X — открытое множество в R n . Нижний субдифференциал Гато функции f в точке x g G X можно определить следующим образом (см. [23]):
d - f (x g ) = n v G R n | liminf f (X 0 + tg ) f ( x 0 ) > (v,g) V g G R n O -
Верхний субдифференциал Гато может быть определен аналогично:
d + f (x g ) = n v G R n | limsup f (X 0 + tg ) f ( x 0 ) 6 (v, g) V g G R n O -
1 tl 0 t 1
Заметим, что, вообще говоря, д - f (Х 0 ) С d G f (x 0 ) и d + f(x 0 ) C d + f(x 0 ) (см. [23]).
Лемма 3. Нижний (верхний) субдифференциал Фреше положительно однородной функции в нуле совпадает с нижним (верхним) субдифференциалом Гато.
C Пусть h : R n ^ R — положительно однородная функция. Несложно заметить, что для любых g G R n и t > 0
h(0 n — tg ) — h(0 n ) t
th^ h ( g ) .
Таким образом, нижний и верхний субдифференциалы Гато функции h в нуле принимают вид dGh(0n) = {v G Rn | h(g) > (v,g) Vg G Rn}, d+h(0n) = {v G Rn | h(g) 6 (v,g) Vg G Rn}, что совпадает с представлениями для нижнего и верхнего субдифференциалов Фреше положительно однородной функции (см. [25], Предложение 1.9). B
Из леммы 3 немедленно следует, что утверждение, аналогичное утверждению теоремы 2, выполняется для нижних и верхних субдифференциалов Гато.
Следующая лемма может быть доказана аналогично лемме 1.
Лемма 4. Пусть фукция f : X ^ R дифференцируема по направлениям в смысле Дини в точке Х0 G Rn. Положим h(g) = f0(x0; g) для всех g G Rn. Тогда dGf (x0) = dGh(0n); dGf (x0) = d^h(0n).
Из вышеизложенного результата очевидно, что нижние и верхние субдифференциалы Гато дифференцируемой по направлениям в смысле Дини функции могут быть выражены и изучены посредством верхних и нижних экзостеров. Результат, подобный результату леммы 2, может быть также получен для дифференцируемой по направлениям в смысле Дини функции и субдифференциалов Гато.
5. Субдифференциал Кларка
В 1973г. Ф.Кларк ввел понятие обобщенного градиента (см. [16, 6]).
Пусть X — открытое множество в Rn и пусть f : X ^ R, x G X, g G Rn. Положим fa(x;g) =, liminf ^[f(x0 + ag) - f(x0)]- (20)
[ a,x 0 ] ^ [+0 ,x ] a
Величина f . (x; g ) называется верхней производной Кларка функции f по направлению g , а величина f -i ( x ; g ) называется нижней производной Кларка функции f по направлению g . Отметим, что пределы в (19) и (20) существуют всегда (хотя могут принимать бесконечные значения). Функции f- . ( x ; g' ) и f — (x; g) положительно однородны по g . Если f локально липшицева, то эти значения конечны. Рассмотрим этот случай более подробно.
Итак, пусть функция f локально липшицева на X . Тогда f почти везде дифферен-цирема. Через T (f) обозначим множество точек дифференцируемости функции f. Множество T(f) является множеством полной меры. Положим dshf (x) = {v G Rn | 3{xk} : xk G T(f), Xk ^ x, f0(xk) ^ v}. (21)
Это множество было введено Н. З. Шором в 1972 г. (см. [12]) и названо им множеством почти-градиентов. Это множество не обязательно выпукло. Множество delf (x) = co{v G Rn | 3{xk} : xk G T(f), xk ^ x, f0(xk) ^ v} (22)
называется субдифференциалом Кларка. Очевидно, delf (x) = co dshf (x).
Это множество выпукло и компактно (в липшицевом случае). Любое v G d ei f (x) называется обобщенным градиентом. Ф. Кларк доказал, что (см. [6])
f c (x; g) = max (v,g), f i (x; g) = min (w^). (23)
v e d ci f ( x ) w e d ci f ( x )
Нетрудно видеть, что условие
O n G d el f (x o ) (24)
является необходимым для того, чтобы точка x o G X была точкой локального или глобального минимума. Это же условие является необходимым для того, чтобы точка x 0 была точкой локального или глобального максимума. Точка x o G X , удовлетворяющая (24), называется стационарной (в смысле Кларка) точкой . Таким образом, условие (24) не различает точки минимума и максимума.
-
6. Субдифференциал Мишеля–Пено
Ф. Мишель и Ж.–П. Пено в [26] предложили следующее обобщение производной по направлению:
fmp(x;g) = sup jlimsup^f(x + a(g + q)) - f (x + aq)] L(25)
qeRn I a^o aJ
Будем называть эту величину верхней производной Мишеля–Пено функции f в точке x по направлению g. Величина fmp (x; g)
= inf J liminf — [f (x + a(g + q)) — f (x + aq)] I qeRn ( a^o a называется нижней производной Мишеля–Пено функции f в точке x по направлению g . Если f локально липшицева, то существует выпуклое компактное множество dmpf (x) С Rn , такое, что fmp(x; 9) = max (v,g), fmp(x; g) = min (w,g). (27)
v E d mp f ( x ) w e d mp f ( x )
Напомним, что если функция f является дифференцируемой по направлениям, то dmpf (x) есть субдифференциал Кларка функции h(g) = f0(x,g) в точке g = On. Множество dmpf (x) часто называют [24] малым субдифференциалом. Вообще говоря, dmpf (x) С delf(x), а в некоторых случаях dmpf (x)= delf (x).
В то же время множество d mp f (x) сохраняет ряд свойств множества d ci f (x) . Например, условие
On G dmpf (xo)(30)
является необходимым условием и минимума, и максимума. Условие (30), вообще говоря, сильнее условия (24).
В [18] было показано, что если функция f квазидифференцируемая (в смысле [3, 4]), то можно построить исчисление субдифференциалов Мишеля–Пено в терминах квазидифференциалов. В следующем пункте выводится формула для вычисления субдифференциала Мишеля–Пено в терминах экзостеров.
-
7. Субдифференциалы Кларка и Мишеля–Пено в терминах экзостеров
-
7.1. Полиэдральный случай. Пусть функция h положительно однородная и лип-шицевая. Как отмечалось выше, h может быть представлена в формах (9) и (10). Вначале рассмотрим представление (9). Положим
-
Q(g) = {C G E* I h(g) = maxC^g)} he (g) = max(v,g),
Vg(C) = {w G C | (w,g) = he(g) = max(v,g)}.
Тогда
h(g) = min max(v, g) C E ∗ v C
min max (w, g) = min (w, g) V g G Rn, eeQ(g) we Vg(eу we Egv где
E g = cl co { V g (C) | C G Q(g) } . (35)
Теперь рассмотрим полиэдральный случай: предположим, что семейство E∗ содержит конечное количество множеств и каждое множество C G E* является многогранником. Тогда функция h дифференцируема по направлениям в каждой точке g G R*, причем
h 0 (g, q)
= min max (w, q). e e Q ( g ) w e V g ( e )
Более того, для почти всех g множества Q(g) и V g (C) являются одноточечными, поэтому множество E g тоже одноточечное: E g = { w g } . Это означает, что функция h почти везде дифференцируема (ее дифференцируемость вытекает из липшицевости h ) и потому для почти каждого g существует градиент h' ( g ) функции h и h' ( g ) = W g . Обозначим через T (h) множество точек дифференцируемости функции h . Множество T (h) является множеством полной меры.
-
7.2. Общий случай. Снова положим
Q(g) = { C Е E * 1 h ( g ) = max( v,g ) } , (37)
v ∈ C
h e (g) = max(v,g), (38)
v ∈ C
V g (C) = { w Е C 1 (w,g) = h e (g) = imax(v,g) } - (39)
Тогда
h(g) = min max(v,g) 6 max(v,g) = h e (g) V g Е R n , V C Е E * . (40)
C ∈ E ∗ v ∈ C v ∈ C
Для любого фиксированного C Е E * функция he (g), как функция максимума, является дифференцируемой по направлениям, при этом hc(g,q) = max (v,q) vq е Rn. (41)
v G V g ( C )
Функция h e (g) почти везде дифференцируема, т. е. множество V e (g) для почти всех д является одноточечным: V e (g) = { v e (g) } , где v e (g) Е R n .
Поскольку h — липшицевая функция, то она почти везде дифференцируема и поэтому для почти каждого g существует градиент функции h : h' ( g ) = W g . Через T (h) обозначим множество точек дифференцируемости функции h . Множество T (h) является множеством полной меры.
Зафиксируем go Е T(h). Возьмем произвольное C(go) Е Q(go), т. е. h(go) = he(go) (go). Так как h дифференцируема в точке go, то она дифференцируема по направлениям в этой точке go и h'(go,q) = (wgo,q) Vq Е Rn.
Если точка go — точка дифференцируемости функции he(go)(g), то производная по направлениям функции he(go) в точке go равна he(g0)(go,q) = (veыЫ^) Vq Е Rn-
Так как h(g) 6 he(go)(g) Vg Е Rn и h(go) = he^go), то h0(go, q) 6 he(g0) (go, q) V q Е Rn.
Из (44), (42) и (43) вытекает
Wgo = v(go), где v(go) = ve(go)(go). В силу произвольности go заключаем, что wg = v(g). Это соотношение имеет место только в случае, когда g — точка дифференцируемости обеих функций, h и he (g).
Множество T (h)) точек дифференцируемости функции h является множеством полной меры. Для любого C Е E * множество T ( h e ) точек дифференцируемости функции h C тоже является множеством полной меры. Теперь предположим, что множество
T * = \ T ( h e ) (46)
C∈E∗ является множеством полной меры (это предположение выполняется, например, если множество E* счетное). Тогда T(К) ПT* — множество полной меры. Из (45) следует, что
W g = v e ( g ) (g) = v ( g ) для почти всех g. (47)
Замечание 1. Вместо множества E ∗ в (46) можно взять множество
[ Q ( g ) с E * .
д е т ( h )
Замечание 2. Из определения h ясно, что
C (Ag) = C (g), V Xg ( C ) = V g ( C ), Q(Ag) = Q(A), h e (Ag) = Ah e ( g ) w \g = v e ( Xg ) ( Ag ) V A > 0.
Поэтому можно рассматривать только g из единичной сферы.
-
7.3. Субдифференциалы Кларка и Мишеля–Пено. Известно (см. [6]), что множество
d el h (0 n ) = cl co { w g | g Е T ( h )} (48)
является субдифференциалом Кларка функции h в точке 0 n . Используя соотношение (47), можно выразить субдифференциал Кларка функции h в 0 n конструктивно в терминах точек v g .
Если функция f : R n ^ R липшицева и дифференцируема по направлениям в точке х Е R n , а h ( g ) — ее производная по направлениям в точке х , то d ci h (0 n ) является субдифференциалом Мишеля–Пено (см. [26]) функции f в точке x :
d mp f (х) = d el h (0 n ) = cl co { w g | g Е T (h) } C ddf ( x ) . (49)
Итак, субдифференциал Мишеля–Пено функции f в точке x может быть построен с помощью верхнего экзостера производной по направлениям h ( g ) = f 0 ( x,g ) . В некоторых случаях (см. [4]) субдифференциал Мишеля–Пено совпадает с субдифференциалом Кларка.
Замечание 3. Аналогичные результаты (с необходимыми изменениями) можно получить, если использовать представление (10) вместо (9). В этом случае используется нижний экзостер E ∗ .
Замечание 4. Выше в пунктах 4 и 7 было показано, что экзостеры тесно связаны с другими негладкими инструментами, такими как субдифференциалы Мишеля–Пено, Кларка, Гато и Фреше. Отметим, что выведенные отношения имеют вид равенств, т. е. получено исчисление упомянутых субдифференциалов.
Замечание 5. Для квазидифференцируемых функций формула для субдифференциала Мишеля–Пено была получена (см. [18]) с помощью - -разности, введенной в [2]. Формула (49) является обобщением этой формулы на случай произвольной дифференцируемой по направлениям функции.
Список литературы Обобщенные субдифференциалы и экзостер
- Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс.-М.: Наука, 1972.-368 с.
- Демьянов В. Ф. О связи между субдифференциалом Кларка и квазидифференциалом//Вестник Ленингр. ун-та.-1980.-Т. 13.-C. 18-24.
- Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Элементы квазидифференциального исчисления//Негладкие задачи теории оптимизации и управления.-Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.-1982.-C. 5-127.
- Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление.-М.: Наука, 1990.-432 с.
- Демьянов В. Ф. Условные производные и экзостеры в негладком анализе//Докл. РАН.-1999.-Т. 338, № 6.-С. 730-733.
- Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ.-М.: Наука, 1988.-288 с.
- Кусраев А. Г., Кутутеладзе С. С. Субдифференциальное исчисление.-Новосибирск: Наука, 1987.-224 с.
- Кусраев А. Г., Кутутеладзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения.-Новосибирск: Наука, 1992.-270 с.
- Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления.-М.: Наука, 1988.-360 с.
- Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.-М.: Наука, 1980.-320 с.
- Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.-М.: Мир, 1973.-472 с.
- Шор Н. З. О классе почти-дифференцируемых функций и одном методе минимизации функций этого класса//Кибернетика.-1972.-№ 4.-С. 65-70.
- Bazaraa M. S., Goode J. J., Nashed M. Z. On the Cones of Tangents with Applications to Mathematical Programming//J. of Optimization Theory and Applications.-1974.-V. 13, № 4.-P. 389-426.
- Borwein J. M., Zhu Q. J. A survey of subdifferential calculus with applications//Nonlinear Anal. Ser. A: Theory and Methods.-1999.-V. 38, № 6.-P. 687-773.
- Castellani M. A dual characterization for proper positively homogeneous functions//J. of Global Optimization.-2000.-V. 16.-P. 393-400.
- Clarke F. Generalized gradients and applications//Trans. Amer. Math. Soc.-1975.-V. 205, № 2.-P. 247-262.
- Demyanov V. F. Exhausters and Convexificators -New Tools in Nonsmooth Analysis//In: Quasidifferentiability and related topics/Eds. V. Demyanov and A. Rubinov.-Dordrecht: Kluwer, 2000.-P. 85-137.
- Demyanov V. F., Jeyakumar V. Hunting for a smaller convex subdifferential//J. of Global Optimization.-1997.-V. 10, № 3.-P. 305-326.
- Demyanov V. F., Roshchina V. A. Constrained optimality conditions in terms of proper and adjoint exhausters//Applied and Computational Mathematics (Azerbaijan National Academy of Sciences).-Baku, 2005.-V. 4, № 2.-P. 25-35.
- Demyanov V. F., Roshchina V. A. Optimality conditions in terms of upper and lower exhausters//Optimization.-2006.-V. 55, № 5/6.-P. 525-540.
- Demyanov V. F. Exhausters of a positively homogeneous function//Optimization.-1999.-V. 45.-P. 13-29.
- Demyanov V. F., Rubinov A. M. Exhaustive families of approximations revisited//In: From Convexity to Nonconvexity. Nonconvex Optimization and Its Applications/Eds. R. P. Gilbert, P. D. Panagiotopoulos, P. M. Pardalos.-Dordrecht: Kluwer, 2001.-V. 55.-P. 43-50.
- Guo X. Characteristics of subdifferentials of functions//Appl. Math. Mech.-1996.-V. 17, № 5.-P. 445-450.
- Ioffe A. D. A Lagrange multiplier rule with small convex-valued subdifferentials for nonsmooth problems of mathematical programming involving equality and nonfunctional constraints//Math. Programming.-1993.-V. 58.-P. 137-145.
- Kruger A. Ya. On Frechet subdifferentials//J. of Math. Sciences. N. Y.-2003.-V. 116, № 3.-P. 3325-3358.
- Michel P., Penot J.-P. Calcus sous-differential pour les fonctions lipschitzienness et non-lipschitziennes//C. R. Acad. Sc. Paris. Ser. I.-1984.-V. 298.-P. 269-272.
- Mordukhovich B. S. Necessary conditions in nonsmooth minimization via lower and upper subgradients//Set-Valued Anal.-2004.-V. 12, № 1/2.-P. 163-193.
- Mordukhovich B. S. Variational analysis and generalized differentiation I. Basic theory.-Berlin: Springer-Verlag, 2006.-xxii+579 p.
- Roshchina V. On the relationship between the Frechet subdifferential and upper exhausters//International Workshop on Optimization: Theory and Algorithms. 19-22 August 2006, Zhangjiajie, Hunan, China.
- Uderzo A. Convex approximators, convexificators and exhausters: applications to constrained extremum problems//In: Quasidifferentiability and related topics/Eds. V. Demyanov and A. Rubinov.-Dordrecht: Kluwer, 2000.-P. 297-327.