Обобщенные тернарные кольца холла с улучшенной смежностью

В статье рассматриваются конгруенции π произвольных обобщенных тернарных колец Холла, со смежностью GHTR [3, определение 6]), которые индуцируются их АН-морфизмами.

Эти конгруенции определяют на множестве T произвольного GHTR отношения эквивалентности ∼ _π , которое является подмножеством отношения смежности ∼ . Следуя [1, 2], такие отношения будем называть улучшенной смежностью.

Понятия обобщенного тернарного кольца Холла со смежностью и АН-морфизма таких колец описаны в статьях [3, 4].

Пусть ^ — невырожденный АН-морфизм GHTR T i = h T ; t, 0,1, ~) в GHTR в T- 0 = h T ⁰ ; t, о, 1, ~) .

Определение 1. Отношение эквивалентности π, заданное условием

( V a, b G T ) anb о ^(a) = ^(b),                            (1)

называется отношением конгруенции GHTR T 1 , индуцированным АН-морфизмом ϕ (в обозначении n(^)).

Укажем некоторые простейшие свойства конгруенций п(^).

Предложение 1. Для произвольного отношения конгруентности п(^) некоторого GHTR T 1 справедливо включение π ⊆∼ .

C Справедливость предложения 1 следует из [4, теорема 1]. B

Учитывая предложение 1, в дальнейшем вместо записи anb будем писать a ~ _n ( ^ ) b.

Теорема 1. Разбиение множества T некоторого GHTR T i , определяемое конгруен-цией п(^) , однозначно задается любым своим элементом.

C Пусть [a] _n ( ^ ) — произвольный класс фактор-множества T/n(^) с представителем a. Как известно [3, теорема 4], алгебры h T ;+ i и h T ⁰ ;+ i являются лупами с нейтралом 0. Рассмотрим эти лупы.

Используя условие (1) из [3] и предложение 1 из [4], имеем, что c = a + b = t(1, a, b), а следовательно, ^(c) = ^(a + b) = ^(t(1,a, b)) = t(^(1),^(a),^(b)) = t(1,^(a),^(b)) = ^^{( a ) +} V^{( b )}.

Таким образом, ^(a + b) = ^(c) = ^(a) + ^(b), а это означает, что АН-морфизм у является гомоморфизмом лупы h T ; + i в лупу h T 0 ; + } .

Зафиксируем элемент a Е T и рассмотрим совокупность уравнений x + a = b для произвольного b из [a] ^{n (} ^ ) . Предположим, что для некоторого элемента b это уравнение имеет корень x g . Тогда ^(x g ) + ^(a) = ^(b), а значит, так как ^(a) = ^(b) получаем, что ^(x g ) = 0. Отсюда, с учетом предложения 1 из [4], имеем, что ^(x g ) = 0 = ^(0), а значит, x _g Е [0] _п ( ^ ) . Обратно, если x _g Е [0] _п ( ^ ) и x _g + a = b, то ^(b) = y(x _a + a) = ^(x g ) + ^(a) = 0 + ^(a) = ^(a). Таким образом, ^(a) = ^(b), а значит, b Е [a] _n ( ^ ) . Поэтому учитывая, что в лупе h T ; + i для любых a и b из T уравнение x + a = b однозначно разрешимо и при фиксированном a , в силу алгебраичности операции «+», различным b соответствуют различные корни этого уравнения получаем, что при каждом фиксированном a между множеством решений уравнения x + a = b, составляющим класс [0] _п ( ^ ) , и элементами произвольного класса [a] _n ( ^ ) существует биективное соответствие. Кроме этого класс [a] _n ( ^ ) однозначно определяется любым своим представителем и классом [0] _п ( ^ ) . B

Из доказанной теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Мощности любых двух классов [a] _n ( ^ ) и [b] _n ( ^ ) фактор-множества T/n(^) одинаковы.

Следствие 2. Элементы a и b из множества T некоторого GHTR в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества T/n(^), когда корень уравнения x + a = b принадлежит классу [0] _п ( ^ ) .

Рассуждениями, аналогичными тем, которые были проведены при доказательстве теоремы 1, можно установить справедливость следующего утверждения.

Следствие 3. Элементы a и b множества T некоторого GHTR в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества T/n(^), когда корень уравнения a + x = b принадлежит классу [0] _п ( ^ ) .

Следствие 4. Элементы a и b множества T некоторого GHTR в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества T/n(^), когда корень уравнения a + x = b принадлежит классу [0] _п ( ^ ) .

Следствие 5. Пусть п(^ ) — произвольная конгруенция некоторого GHTR T i и пусть множество D _n ( ^ ) = [0] _п ( ^ ) . Тогда алгебра h D _n ( ^ ) ; + i — подлупа лупы h D; + i -

C Пусть d _i , d ₂ Е D _n ( ^ ) . Тогда ^(d i ) = ^(d ₂ ) = ^(0) = 0, а, следовательно, y(d _i + d ₂ ) = ^(d i ) + ^(d ₂ ) = 0 = ^(0), откуда (d i + d 2 ) Е D. B

Предложение 2. Рассмотрим некоторое GHTR T i = h T ; t, 0,1, ~) и пусть a,b Е T и a ^ 0 . Тогда элементы a и b в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества T/n(^), когда корень уравнения x • a = b принадлежит классу [1] _п ( ^ ) .

C Пусть a ^ 0 и x g • a = b — верное равенство. Тогда, учитывая (3) из [3], имеем b = x g • a = t(x g ,a, 0). Отсюда ^(b) = ^(x g • a) = ^(t(x g ,a, 0)) = t(^(x g ), ^(a), ^(0)) = t(^(x g ), ^(a), 0) = ^(x g ) • ^(a). Итак, ^(x g ) • ^(a) = ^(b) и, в силу теоремы 1 из [4], ^(a) * ^(0), следовательно, ^(a) ^ 0. Отсюда, если x g Е [1] _п ( ^ ) , то ^(x g ) = 1 и, следовательно, ^(a) = ^(b). С другой стороны, если ^(a) = ^(b), то ^(x g ) • ^(a) = ^(a) = 1 • ^(a), следовательно, из теоремы 4 статьи [3] вытекает, что ^(x g ) = 1. Последнее означает, что x g ^{Е [1]} п ( ^ ) . B

Аналогично устанавливается справедливость следующего утверждения.

Предложение 3. Пусть a ^ 0 . Элементы а и b тогда и только тогда принадлежат одному классу фактор-множества T/n(y), когда корень уравнения а • x = b принадлежит классу [1] п ( ^ ) -

Теорема 2. Множество { n i (^) } отношений конгруентности п(у) GHTR T i , тогда и только тогда линейно упорядочено по включению, когда для любых i и j (i = j ) ^[0] n i ( ^ ) — ^[0] n j ( ^ ) ^{или [0]} n j ( ^ ) — ^[0] n j ( ^ ) •

C Предположим, что множество { n i (у) } — представляет собой некоторую совокупность отношений конгруентности GHTR T i и для любых i и j (i = j ) имеем, что [0] _n i ( ^ ) — [0] _{n j} ( ^ ) . Тогда для любого b Е [а] _п^ ) , используя следствие 2, имеем, что корень уравнения x + а = b принадлежит [0] _n i ( ^ ) , а значит,— и [0] _n j. ( ^ ) . Откуда в силу того же следствия b Е [a] _n j. ( ^ ) , а поэтому [а] _п^ ) — [a] _n j. ( ^ ) . Справедливость обратного утверждения очевидна. B

Из предложения 1 следует, что любые два элемента принадлежащие одному классу фактор-множества Т/п(у) смежны и поэтому элементы любых двух различных классов либо смежны, либо попарно несмежны друг другу. Учитывая это, дадим следующее определение.

Определение 2. Пусть [а] _п ( ^ ) и [b] _n ( ^ ) элементы фактор-множества Т/п(у). Тогда [а] _п ( ^ ) будем называть смежным [b] _n ( ^ ) (и обозначать [а] _п ( ^ ) ~ [b] _n ( ^ ) ), если найдутся такие элементы а ⁰ Е [а] _п ( ^ ) и b ⁰ Е [b] _n ( ^ ) , что а ⁰ ~ b ⁰ .

Очевидно, что таким образом определенное на элементах фактор-множества Т/п(у) отношение смежности является отношением эквивалентности.

Рассмотрим теперь отношение эквивалентности π определенное на множестве T произвольного GHTR T i = h T ; t, 0,1, ~) , удовлетворяющее условию

( V а, b Е T ) aпb ^ а ~ b.

Примерами таких отношений являются конгруенции п(у) заданные в (1).

Учитывая, что из условия c 1 ~ _п с ₂ следует, что c 1 ~ c ₂ , а обратное, вообще говоря, неверно, введем следующее определение.

Определение 3. Всякое отношение ∼ _π отличное от отношения смежности ∼ будем называть отношением улучшенной смежности на множестве-носителе T произвольного GHTR T i .

Замечание 1. Если элементы a, b ∈ T таковы, что a ∼ b , но a ¿ _π b , то в дальнейшем будем писать a ∼ b .

Пусть T /π — фактор-множество множества T по отношению π , а t _π — тернарная операция, определенная на этом множестве условием

^{t ( a, b,c )} — d ^ t n ^{([ а ]} п , ^{[ b ]} n , ^{[ c ]} n )   ^{[ d ]} n •

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 4. Тернарная алгебра h T/п; t + п, [0] _п , [1] _п i , определенная на структуре некоторого GHTR в том и только том случае является TR [3 , определения 1 - 3] с нулем [0] _п и единицей [1] _п , когда отношение улучшенной смежности ~ _п будет конгруен-цией операций t и t r (а, b, c) [3 , замечание 1] .

Определение 4. Пусть ∼π — отношение улучшенной смежности на множестве-носителе T произвольного GHTR Ti. Тогда отношение ~п, которое является конгру-енцией операций t, tr(а, b, c), tl(а, b; c, d) и пары операций {tmS, trS} [3, (5, 10, 11)], будем называть улучшенной смежностью кольца T1 , если выполняются следующие условия (аксиомы улучшенной смежности GHTR):

TU1. a i ~ n b i , a 2 ~ b 2 , t(a i ,a 2 ,a 3 ) ~ n t(b i , b 2 , b a ) ^ ( 3 a i ,b i ) (i G { 1, 2, 3 } ): a i ~ a ⁰ 1 , a i ~ n b i , a i ~ n a ' , b i ~ n b i , (i G { 2, 3 } ), (a^a^^) ~ n t(b i ,b 2 , b 3 ).

TU2. a i ~ b i , a i ~ n b i , (i G { 2,3 } ), t(a i ,0 2 ,0 3 ) = a 4 &t(b i , b 2 , Ь з ) = b 4 ^ ( 3 a' _i ,b' _i ) (i G { 1, 2, 3, 4 } ) a 2 ~ a' 2 , a i ~ n a i , b j ~ n b j , a' k ~ n b ' k , t(a ⁰ i , a' 2 , a 3 ) = a' 4 &t(b _i ,V ₂ , b ⁰ 3 ) = b ' 4 .

Понятно, что аксиомы ТU1 и ТU2 для ∼ π , совпадающих с отношением равенства на множестве T , выполняются в любом GHTR , и поэтому они играют существенную роль лишь в случае, когда ∼ _π ⊂∼ . Справедливо утверждение.

Теорема 3. Пусть дано некоторое GHTR T i = h T ; t, 0,1, ~i . Тогда фактор-алгебра T i /п = h T/п; t n , [0] n , [1] n , ~i в том и только том случае является некоторым GHTR , если отношение ∼ _π является улучшенной смежностью кольца T 1 .

C Пусть отношение ∼ _π удовлетворяет ТU1, ТU2 и (13–16) из [3], а тернарная операция t _π определена условием (3). Тогда согласно предложению 4 тернарная алгебра h T/п; t _n , [0] _п , [1] _п i является некоторым тернарным кольцом TR с нулем [0] _п и единицей [1] _п , и поэтому для доказательства теоремы остается установить справедливость аксиом ТН1 и ТН2 из [3].

Рассмотрим уравнение t _n (x, [a] _n , [b] _n ) = t _n (x, [x] _n , [d] _n ) и предположим, что [a] _n ^ [c] _n . Тогда для любых элементов a ' G [a] _n и C G [c] _n имеем, что a ' ^ C. Отсюда следует, что уравнение t(x, a', b ' ) = t(x, C, d ' ) однозначно разрешимо в GHTR T i , а значит, учитывая (3) и соотношение (15) из [3], получаем, что уравнение t _n (x, [a] _n , [b] _n ) = t _n (x, [c] _n , [d] _n ) однозначно разрешимо в алгебре h T/п; t _n i .

Пусть теперь уравнение t _n (x, [a] _n , [b] _n ) = t _n (x, [c] _n , [d] _n ) имеет единственное решение [x o ] _n . Докажем, что тогда [a] _n ^ [с] _п . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что [x o ] _n — единственное решение данного уравнения и [a] _n ~ [с _п ]. Тогда, если [a] _n = [с] _п , то в силу Т1 из [3] имеем, что [b] _n = [d] _n , а значит, рассматриваемое уравнение удовлетворяется на множестве T/п тождественно. Если же [a] _n ~ [с] _п , но [a] _n = [с] _п , то для любых a ' G [a] _n и C G [с] _п имеем, что a ' ~ C. Поэтому с учетом TU1 имеем, что исходное уравнение имеет, по крайней мере, еще одно решение [x i ] _n = [x o ] _n . Таким образом, в алгебре T 1 /π выполняется ТН1 .

Аналогичными рассуждениями, с учетом ТU2 , можно проверить, что в T 1 /π справедлива аксиома ТН2 . Следовательно, алгебра T 1 /π будет некоторым GHTR . Нетрудно установить справедливость и обратного утверждения теоремы. B

Замечание 2. Из вышеизложенного очевидно следует, что исходное GHTR T 1 и GHTR T 1 /π, полученное при факторизации по отношению ∼ _π , будут иметь один и тот же канонический гомоморфный образ [3, определение 7].

Теорема 4. Пусть у — невырожденный АН-морфизм GHTR T i = h T; t, 0,1, ~i в GHTR T i = h T ' ; t, 0,1, ~i . Тогда образ y(T i ) кольца T i в том и только том случае является некоторым GHTR , если конгруенция п(у) , GHTR T i индуцированная АН - морфизмом ϕ , является улучшенной смежностью кольца T 1 .

C Справедливость данного утверждения вытекает из того, что гомоморфный образ y(T i ) GHTR T i = h T; t, 0,1, ~i , в случае произвольного невырожденного АН-морфизма у, изоморфен фактор-алгебре Г г /п(у) = h T/п(у); t /n ( ^ ) , [0] /п ( ^ ) , [1] /п ( ^ ) , ~i - B