Обращение оператора свертки, ассоциированного со сферическими средними

Очевидным свойством произвольной ненулевой гладкой антипериодической функции является отсутствие соответствующего периода у ее производной. Другими словами, если r - фиксированное положительное число и на вещественной оси f(x+r)+f(x-r)=0 и f′(x+r)-f′(x-r)=0, то f=0. Этот факт допускает нетривиальные обобщения на многомерные пространства. Одним из общих методов для таких обобщений является следующая теорема Брауна - Шрейбера - Тейлора о спектральном анализе: любое ненулевое подпространство U в C(Rn), инвариантное относительно всех движений Rn, содержит радиальную функцию вида (λ|x|)1-n2Jn2-1(λ|x|), где λ - некоторое комплексное число, Jν - функция Бесселя первого рода порядка ν. В частности, если функция f∈C1(Rn) и ее нормальная производная имеют нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса r в Rn, то f=0. В терминах сверток это означает инъективность оператора Pf=(f∗Δχr,f∗σr), f∈C(Rn), где Δ - оператор Лапласа, χr - индикатор шара Br={x∈Rn:|x|