Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени

1.    Постановка задачи

Пусть D есть iiii тервал (0 , 1). Q есть прямоугольник D х (0 , T ) конечно!1 высоты T. x есть точка области D, t есть точка интервала (0 , T ). Далее, пусть f ( x,t ), ф о( t ), ф о( t ), u о( x ), u i( x ). у ( t ) есть заданные фупкцпи. определенные при x Е D.t Е [0 , T ].

Обратная задача: найти функции u(x,t), q(t), связаиные в Q уравнением utt - uxx + q(t)ut = f (x, t),(1)

при выполнении для функции u ( x, t ) условий

u(x, 0) = uo(x), ut(x, 0) = ui(x), x Е D,(2)

ux(0,t) = фо(t),ux(1 ,t)= фо(t), t Е (0,T),(3)

u(0,t)= у(t), t Е (0,T).(1)

Задачами в близкой постановке занимались Валитов И.Р. [1 , 2] и Павлов С.С. [3].

В работе [3] рассматривались многомерные обратные задачи с неизвестным коэффициентом q(t), однако условия переопределения были другие, а именно задавалось интегральное условие переопределения f K (x)u (X,.) dx=у (t).

Ω

В работах [1 , 2] рассматривались близкие к рассматриваемой задачи, но с тождественно нулевыми функциями ф о( t ) и ф о( t ).

2.    Разрешимость обратной задачи

При доказательстве теоремы будем пользоваться неравенством

v ² ( x ) <  2 d 0 j vXdx + ^1 + d 2^ j v ² dx,

справедливым для любого x Е D, здесь d 0 - произвольное положительное число. Положим

A ( t ) =

f (0 ,t ) - Д’ ( t )

^ ⁽ t)

, B ( t )

a i( t )

₌ H⁽ t ) Д ( t ) ’

= д^’ ^{B 0} =ms ^{|B (} t ) '■

^ 0 ⁽ t )

^{e 1 (} t ) = для -

a ( x,t ) = x 2[ в 1 ( t ) — a 1( t )] + xa 1( t ) ,

b ( x, t ) = —a ( x, t ) axx (0 , t ) — att ( x, t ) + axx ( x, t ) , w 0( x ) = U0 ( x ) — ^x 2[ в 1(0) — a 1(0)] + xa 1(0)| u0 (0) ,

w 1 ( x ) = u1 ( x ) — u1 (0) { x - [ в 1(0) — a 1(0)]+ xa 1 (0) |

-

^—и0 ⁽⁰⁾ ^~2~^{[ в} 1 1 ^{(0) — a} 1 1 ^{(0)] + xa} 1 1 ⁽⁰⁾^ , д(x, t ) = fxx ( x, t ) — a ( x, t ) fxx (0 , t ) , m 1 = max[ b_x ( x, t ) — a_xt ( x, t ) A ( t )] ² , m = max[ b_t ( x, t ) — a_t ( x, t ) A ( t )] ² ,

n о = 16 max aX +— m 1 + 2 max aX, n 1 = —+ n о , Q ²         Q            ²

11   1              1

n 2 = 2 + 4 n 0 + 2 ¹[0- t A ( t ) , n 3 = n 1 + ^ t A ( t ) ,

n 4 = —+2max a X, n 5 = 1 + 2 m 1 , n 6 = 1+4max a X,

n1 = 1 + 8 max a2(x, t) +—m + max a^x, t), Q          2 Q s 1 = max |at(x,t)|B0, s2 = max IaxtIB0, QQ

k 1 = ^² d 0 + ¹ + d2

k 2 = 8 s 2

⁺³ s 2] ⁺2 (^ d ⁰⁺у i+ d 0} B ⁰ . {⁴ d ^{4 +}( 1 ⁺ d 0 )} •

r =--

n 4 ⁺ 32 ^, r 2 = 2 ⁺

+ ² d 0 ⁽ n 6 + 1) ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Г 4 = П 1 + ( П 6 + 1)

r = З^ ⁽¹¹ “ ² s2)) ,

к о = max { r 2 ,r 3 ,r 4 ,

1                                      3

R 1 = 2 / [ w 2( x ) + w 02( x ) + w 2( x )] dx + 4

t 1

У [ w 12 ( x ) + w 0 ² ( x )] dx +

t 1

+ 2 У [ w "2( x )+ w0 2( x )] dx + 2 У У g 2 dxdT + Д" У У gXdxdT,

00          0

ci = ⁴ ki- 1 ,   i = ¹ , ² , ³ ,   c 0 = ⁴ R 1 ,

A 1 = c 3 ⁺ "2"⁺   4- ,  A 0 = c о ⁺ д ^[ c 2 ^{+ 2]} ,  ^T*

A 0 A 1 ^.

Теорема 1. Пусть для функций f ( x,t ), ф о( t ), ф о( t ), ц ( t ), u o( x ) и u 1( x ) выполняются включения: f ( x,t ) G W3(Q )• ф ₀ ( t ) 6 W ₂ 4([0 , T ]). ф о( t ) € W 24([0 , T ])• u o( x ) 6 W5(D ). u i( x ) 6 W ₂( D ), ц ( t ) G W ₂([0 , T ]). Кроме того, пусть выполняются условия

Ц(0) = u 0(0),   ф0(0) = u1(0), u0(1) = ф 0(0),   ц'(t )=0, 0 < t < T, ф0(t) + A(t)ф0(t) - fx(0,t) = 0,   ф0’(t) + A(t)Ф0(t) - fx(1 ,t) = 0, r 1 > 0, r> 0, T  a 0 > 0, 0 < t < T, A0    ≤         α0

1 ^- A ¹ TA ⁰ - B 0 [ V 2 d 0 + yr+J ] •

Тогда обратная задача (1) - (4) имеет решения {u ( x,t ) ,q ( t ) } такиe, что u ( x,t ) G V, q ( t ) G L^ ([0 ,T ]).

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию w(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wtt - wxx + [A(t) + B(t)w(0, t)]wt = g(x, t) - a(x, t)wxx(0, t)+(7)

+b(x, t)w(0, t) — 2at(x, t)wt(0, t) — at(x, t)[A(t) + B(t)w(0, t)]w(0, t), и удовлетворяющую условиям:

wx (0 ,t )= wx (1 ,t)=0,(8)

w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w 1(x)•(9)

Определим необходимое ниже пространство V:

V = {п ( x,t ) : v ( x,t ) G W2(Q ) ,vxx ( x,t ) G W ^( Q ) ,Vxxxt ( x,t ) G L2 ( Q ) }•

Норму в этом пространстве определим естественным образом llvllv = llvllw,2( Q) + llvxxllw1( Q) + llvxxxtllb 2( Q) •

Положим

Ф = —a ( x, t ) w_xx (0 , t ) — at ( x, t )[ A ( t ) + B ( t ) w (0 , t )] w (0 , t ) —

— [ A ( t ) + B ( t ) w (0 , t )] wt ( x, t ) + b ( x, t ) w (0 , t ) — 2 at ( x, t ) wt (0 , t ) .

Пусть e есть произвольное положительное число. Рассмотрим задачу: найти функцию w(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wtt — wxx — Ewxxt = д(x, t) + Ф

(10 _e )

и удовлетворяющую условиям (8) и (9).

Определим срезывающую функцию G ( £ ) следующим образом:

G ( С ) =

ξ, |ξ| ≤ M 0 , M 0 ,  ξ > M 0 ,

-M0,  ξ < -M0, где Mо = B0.

Пусть W ( x,t ) есть заданная фупктщя из пространства, V. Положим

Ф1 ( x, t, w, W (0 , t )) = —a ( x, t ) w_xx (0 , t ) — at ( x, t )[ A ( t ) + B ( t ) G ( W (0 , t ))] w (0 , t ) —

• — [ A ( t ) + B ( t ) G ( W (0 , t ))] wt ( x, t ) + b ( x, t ) w (0 , t ) — 2 at ( x, t ) wt (0 , t ) .

Рассмотрим задачу: найти функцию w(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wtt — wxx — Ewxxt = д(x, t) + Ф1                          (10£)

и удовлетворяющую условиям (8) и (9).

Далее при E фиксированном воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию w(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wtt — wxx — Ewxxt = д(x, t) + АФ1                        (10'е^)

и удовлетворяющую условиям (8) и (9).

Обозначим через Л множество тех чисел А из от резка [0 , 1], для которых краевая задача (10 _еХ ). (8). (9) разрешилза в пространстве V при произвольной функции д(x,t ) из пространства L 2( Q ).

Как известно, если множество Л не пусто, открыто и замкнуто одновременно, то оно совпадает со всем отрезком [0 , 1]. А это и будет означать, что краевая задача (10 _еХ ), (8), (9) имеет решение из пространства V.

Множество Л не пусто, поскольку число А = 0 принадлежит ему [4]. Доказательство открытости и замкнутости Л устанавливается при помощи априорных оценок решений задачи (10 _еХ ). (8). (9) из простраиства V.

Пусть Qt есть прям<эуго.тышк { ( x,T ) : x Е D, 0 < т

Дифференцируя уравнение (10 _еХ ) по переменной x , получаем:

wxtt — wxxx — Ewxxxt = gx ( x, t ) + А Ф1 x ( x, t ) .

Умножая это уравнение на функцию w_xt — ( x — 2) w_xx — Ew_xxxt, уравнение (10 _ex ) ^на функцию wt ( x,t ), интегрируя по Q_t = { ( x,t ) : x Е (0 , 1) , 0 < т < t} , пользуясь леммой Гронуолла, приходим к априорной оценке

I [ w 2( x, t ) + wx ( x, t ) + w ²( x, t ) + wx_t ( x, t ) + wx_x ( x, t )] dx +

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ t1                        1

t

+ е     w Xt dxdT + Еj wXxt ( ^x,t ) dx ⁺ /^[ wxx (1 ^{,T )+} wxx (0 ,T ^)] d^T ₊

00          0

1                                  t 1                               t 1

+ Е ^ Wxxx ( X, t ) dx + Е ^ ^ W xxt dxdT + Е     w_x ² _xxτ dxdτ ≤ N,

0            00           00

где N - постоянная, определяемая лишь входными данными задами и числом е.

Из данной оценки и следует открытость и замкнутость множества Л. Как уже говорилось выше, непустота, открытость и замкнутость множества Л означают [7] его совпадение с отрезком [0 , 1]. Следовательно, краевая задана, (10 _е ). (8). (9) разрешилia в пространстве V.

Далее, оценка. (11) позволяет применить метод неподвижной точки - именно, воспользоваться теоремой Шаудера. Краевая задача (10 _е ), (8), (9) порождает оператор M, переводящий пространство V в себя: M ( W ) = w.

Из оценки (11) с помощью стандартных рассуждений (см., например [5, 6]) заключаем, что оператор M будет переводить некоторое ограниченное множество пространства, V в себя и будет вполне непрерывным на, нем.

Согласно теореме Шаудера, оператор M будет иметь неподвижную точку в пространстве V: M(w) = w. Эта неподвижная точка w(x,t) представляет собой решение уравнения wtt - wxx - Ewxxt = g(x,t) + Ф1(x,t,w,w(0, t)),

удовлетворяющее условиям (8) и (9).

Перейдем теперь к осуществлению процедуры предельного перехода при е ^ 0 и в дальнейшем к построению решения задачи (10о).

Рассмотрим продифференцированное по x уравнение (12), записанное в переменных x, т. Вновь умножим его на функцию w_xT — ( x — 2) w_xx — Ew_xxxT и проинтегрируем по области Q_t. После интегрирования по частям, применения неравенства Юнга, с учетом введенных обозначений и с использованием неравенства A ( t ) + B ( t ) G ( Z ) >  0, приходим к соотношению:

1 t

4 jvwxt ^{( x,}t ^{) +} wxx ^{( x,}t ^)] dx + 4 у ^[ wXx ^{(1 ,T ) +} wXx ^{(0 ,T )]} d^T + 00

t 1

+ ^ У wx _xt ( x,t ) dx + 2 У wx _xx ( x,t ) dx + е j j wx _xT dxdT +

t 1

ε ²      w_x ² _xxτ dxdτ ≤

t 1

t 1

< ^n 3 + 2) У У wx _t dxdT + ^ n ₂ + 2^ У У wx_xdx^T +

t 1                                 t                                  t

+ 32 е ² У У wx_xxTdxdT + n4 j wx_x (0 , t ) dT + n 5 j w ² (0 , t ) dT +

00              0               0

t

t 1

+ n 6 У wT (0 ,t ) dT + У У B ( т ) G ( w (0 ,t )) w xt |( x — 2) wxx j> dxdT—

t 1

— S 1 axT ( x’ т ) B ( т ) G ( w (0 , т )) w (0 , т ) | w xt — ( x — 2) wxx

-

ew xxxt I dxdT + K 1 ,

где K 1 - постоянная, определяемая лишь входными данными задачи.

Умножим равенство (12) на функцию w_t ( x,t ) и проинтегрируем по цилиндру Q_t. грируя по частям, применяя неравенство Юнга, приходим к соотношению:

Инте-

t 1

2 j [ w ² ( x,t ) + wX ( x,t ) + w ² ( x,t )] dx + e j j wX_TdxdT

t 1

< f j j wTdxdT +

⁺ 2

t 1

t

t

t

У У w ² dxdT + 32 У wX_X (° , t ) dT + | У w ²(0 , t ) dT + У wT (0 , t ) dT—

t 1

— У У a_T ( x,T ) B ( t ) G ( w (0 , t )) w (0 , t ) w_TdxdT + K ₂ ,

где K 2 - постоянная, определяемая лишь входными данными задачи. Сложим неравенства (13) и (14). Получим:

2 j [ w ² ( x,t )+ wX ( x, t )+ w ² ( x, t )] dx + 4 j [ wXt ( x,t )+ wX_X ( x,t )] dx +

⁺ 4

t                                                      t 1

/[ wx , (1 ,^{T ) +} wx X (0 ,^{T )] dT +} 'fjw.T d^ ⁺

0                     00

⁺ 2 у ^[ wxXt ^{( x,}t )+

t 1                               t 1

wX_XX ( x,t )] dx + e j j wX_XTdxdT + e ² У У wX_XXTdxdT <

00         00

t 1

t 1

t

≤

ri-1 j j wT dxdT + 2 У У w ² dxdT + ^ n 4 + —^ I wxx ⁽ 0 ^,T ) d^T +

+ П3 3 +

t 1

t 1

1                              5

2 I      w_XTdxdT + n 2 + 2 I      wxxdxdT +

21 E^

t 1

wx ² xxτdxdτ-

t 1

- 11 a_T ( x,T ) B ( t ) G ( w (0 ,t )) w (0 , t ) w_T ( x,T ) dxdT +

t 1

+ У j B ( T ) G ( w (0 ,t )) w xt ( x —

2) wxxdxdT—

-

t 1

11 aXT ( x,T ) B ( t ) G ( w (0 ,t )) w (0 ,t ) ^ w xt

-

( x — 2) wxx

-

εwxxxτ

t

t

+ ( n ⁵ + 2) J™ ² (0 , t ) dT + ( n 6 + 1) / wT (° , t ) dT + R 1 •

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рассмотрим по отдельности последние пять интегральных слагаемых неравенства (15). Обозначим

t 1

J 1 = — j j a_T ( x,т ) B ( т ) G ( w (0 , т )) w (0 , т ) w_T ( x,т ) dxdт.

Поскольку |G(£)| < |£|. TO t1

|J 1 1< max |a_t ( x,t ) |B о w 2(0 ,т )    |w_T |dxdт.

Q

Воспользуемся неравенством, приведенным перед формулировкой теоремы. Имеем w2(0, т) < 2d0

j wX ( x,т ) dx

+

1 + I    w 2( х,т ) dx.

d ₀

Отсюда

|J 1 | ≤ s 1

t 1 / ^{2 d 0} у

wX ( x,т ) dx +

1 + ~д     w 2( x,т) dx d0

( |w_T|dx ) dт.

Применяя неравенство Гельдера, получим

|J 1 | ≤ s 1

t 1 / ^{2 d 0} у 00

wX ( x, т ) dx +

1 + 4 ) [ w2(x,т)dx •   / d0

2 w_τ ² dx   dτ.

Обозначим

y ( t ) = j [ w ² ( x, t ) + w 2( x, t ) + wX ( x, t ) + wX_x ( x, t ) + wX_t ( x, t )] dx.

Тогда

t

)    У ² ( т ) dт.

t

|J 1 | ≤ s 1

• ^{2 d} 0 ^{+ 1 +} d 2 ^ j y ^{( т} ) y ^{2 ( т} ) ^dт = s 1 ^^{2 d} 0 ^{+ 1 +} d 2 0₀                                              0

Аналогичным образом можно оценить слагаемые J 2 и J 3:

t 1

J 2 = - j j aXT ( x,т ) B ( т ) G ( w (0 ,т )) w (0 ,т ) ^ w xt

-

( x - 2) w xx

-

εwxxxτ

t

. .     3 , .о 2 . fa,..

J 2 ^|<  2 s 2 ^{(2 d} 0 ^{+ 1 +} d 2 ) J У ^{2 ( т} ) ^{dт +}

t

+16 s 2 4 d 0 +

( 1 ⁺) 1 у y ^{2 ( т} ) ^d

t 1

^{1 т +} 32 ^{е 2} / / wx xxt

dxdτ.

t 1

¹J 3 ' =//

B ( т ) G ( w (0 ,t )) W xt ( x

-

) w _XXdxdT

≤B

_ 2 0

V2 d о +

1^ i

y ³ 2 dτ.

Последние два слагаемых неравенства (15) оцениваются следующим образом

t

t 1

j w 2(0 , т ) dT <  2 d 0 j j

t

t 1

j wT (0 ,t ) dT <  2 d 0 j j

wX dxdT +

t 1

('+Я/1

wX _TdxdT +

w ² dxdτ,

t 1

( “ЭД

w_τ ² dxdτ.

С учетом проделанных выкладок от (15) нетрудно перейти к неравенству

¹ j ^{[ w}2 ^{( x,}t ) о

+ w_X ² ( x, t ) + w ²

( x, t )] dx + 4 У

^{[ w}X t ^{( x,t} ) ^{+ w}Xx ^{( x,t )] dx +}

t                                 tt

+4 У wXx (1, т) dT + r 1 У wXx (0, т) dT + 1 У У wXT dxdT+ о              000

^{+ |} j ^{[ w}Xxt ^{( x,t} ) ⁺ 0

t1

wX2XX (x, t)]dx + |     wX2XT dxdT + |2r     wX2XXT dxdT < t1                          t1

< r4 У У wT dxdT + r2У У w2 dxdT + r3 J j w2TdxdT+ 00        0000

t1

+ V 2 + 2/      w^^xxdd^T + 2 d 0 ( ^ 5 + 2/      w_xdxdT +

+ k 1

t j у 2 ( t ) dT + k 0

t j у 0( т) dT + R1.

В силу условий теоремы следствием этого неравенства может служить следующее соот

ношение

tt  t

У ( t ) < c 1 У У ( т ) dT + c 0 У у ² ( т ) dT + c 3 j y ⁰ ( т ) dT + c 0 .

00  0

Оценивая первое и второе слагаемые соотношения (18) с помощью неравенства Юнга,

получаем

У ( t ) < A 1

t j У 2( т) dT + A о.

Воспользуемся обобщенной леммой Гронуолла, или леммой Бихари [8], согласно которой (функция у ( t ) и:з соотношения (19) будет ограшнгеиа сверху некоторой (функцией z ( t ). являющейся решением дифференциального уравнения z ( t ) = A 1 zz^ и удовлетворяющей начальному условию z (0) = A о .

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Решением данного дифференциального уравнения является функция z ( t ) = A 0 ■ (1 ^— A 1 tA о) ~ ¹ •

При T имеем z (t) < A о • (1 — A 1 TA о)^{_ 1} = A. и далее y (t) < z (T) •

Вспоминая (17), получим окончательную оценку

t

y ( t) + У

w2 x ^{(1 ,T} ) d^{T + 4} r 1

t

У wxx (° ^,t ) d^T 0

+ 4 E

t 1

Ц wx t dxdT + 00

^{+2 E} /[ wxxt ⁽ x’t ^{) +}

t 1                                t 1

wX_xx ( x,t )] dx + 4 e j j wX_xTdxdT + 4 rE ² У У wx_xxTdxdT <

00           00

< c 1 Tz ( T ) + c 2 Tz 2 ( T ) + c 3 Tz ²( T ) + c о = R.

Из оценки (20), свойства рефлексивности гильбертова пространства [7], теорем вложения и теоремы о возможности выбора из последовательности, сходящейся сильно, подпоследовательности, сходящейся почти всюду [9], следует, что при выполнении условий теоремы существуют числовая последовательность {Em} , функциональная последовательность {wm ( x,t ) } решений задачи (10 _em ), (8), (9) и функция w ( x,t ) такие, что при m ^ то имеют место сходимости Em ^ 0. wm ( x,t ) ^ w ( x,t ) слабо в пр<ммраистве WHQ )• wm (0 , t ) ^ w (0 , t ) почти всюду на отрезке [0 ,T ], Emw_mxxt ( x,t ) ^ 0 слабо в пространстве L 2( Q ) • Очевидно, что для функции w ( x, t ) будут выполняться уравнение (10о) и условия (8) и (9).

Имеет место неравенство

^{|w (0} ,t ) | <

{ ⁷⁵ d о + R }

z ( T ) •

Из этого неравенства и из условия (6) теоремы следует, что для функции w ( x, t ) выполняется уравнение (10q).

С учетом вида z ( T ). условия (б) теоремы. получим, что G ( w (0 , t )) = w (0 , t ). в силу чего придем к решению задачи (7) - (9).

Определим функцию v ( x,t ): v ( x,t ) = w ( x,t ) + a ( x,t ) w (0 , t ). Очевидно, что для функции v ( x,t ) выполняется уравнение

Vtt — Vxx + [A(t) + B(t)v(0, t)]vt = f xx, а также условия vx (0, t) = a 1( t) v (0, t), vx (1, t) = в 1 (t) v (0, t),

v ( x, 0) = n ₀ ( x ) , vt ( x, 0) = u1(x ) •

Определим функцию u ( x, t ) как решение задачи Коши

Uxx ( x, t ) = v ( x, t ) , U (0 , t ) = Ц ( t ) , Ux (0 , t ) = ф о( t ) •

Обозначим w 1(x,t) = utt(x,t) — uxx(x,t) + [A(t) + B(t)uxx(0, t)]ut(x,t) — f (x,t) • Для этой функции имеют место равенства w 1 xx (x,t )=0, w 1(0, t )= w 1 x (0 ,t)=0 •

Следовательно, w 1( x,t ) есть тождественно нулевая функция.

Положим q ( t ) = A ( t ) + B ( t ) uxx (0 , t ) . Очевидно, что функции u ( x,t ) 11 q ( t ) связаны в прямоугольнике Q уравнением (1). Выполнение условий (2) для функции u ( x,t ) очевидно. Покажем, что выполняется условие u_x (1 , t ) = ф о( t ).

Положим Ф( t ) = ux (1 , t ) — ф о( t ). Имеет место равенство

Ф " ( t )+ q ( t )Ф ‘ ( t ) = 0 .

Из этого равенства и из условий Ф(0) = Ф (0) = 0 (следующих из условий согласования) вытекает, что функция Ф( t ) есть тождественно нулевая функция. А это и означает, что выполняется условие u_x (1 , t ) = ф о( t ) .

Принадлежность функций u ( x,t ) и q ( t ) требуемым классам очевидна. Таким образом, найденные функции u ( x, t ) и q ( t ) дают требуемое решение искомой обратной задачи. Теорема доказана. □

Определим класс W у

W 1 = {{u ( x,t ) , q ( t ) } : u ( x,t ) G V,ux ( x,t ) G V,uxx ( x,t ) 6 V, q ( t ) 6 L^ ([0 ,T ]) , q ( t ) >  0 } .

Теорема 2. Пусть для функций f ( x,t ), ф о( t ), ф о( t ), Ц ( t ), u o( x ) и u i( x ) выполняются все условия теоремы 1. Тогда в мномсестве W 1 обратная задача (1) - (4) ^не мооюет иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что обратная задача (1) - (4) имеет в множестве W 1 два решения {u i( x,t ) , q i( t ) } ii {u 2( x,t ) , q 2( t ) }.

Положим u(x, t) = ui(x, t) —u2(x, t), q(t) = qi(t) —q2(t). Для функции u(x, t) выполняются равенства

utt — uxx + q i( t ) ut +

1 ^‘ ⁽ t )

uxx (0 , t ) u 2 t = 0 ,

u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 , ux (0 , t ) = ux (1 , t ) = 0 .

Дифференцируя уравнение (21) по переменной x, полагая в полученном равенстве сначала x = 0, за тем x = 1, получаем условия uxxx (0 ,t) = a 1( t) uxx (0 ,t), uxxx (1 ,t) = в i( t) uxx (0 ,t).

Произведем повторное дифференцирование по переменной x. Положим v (x,t) = uxx (x,t), ф (t) = a 1( t) uxx (0 ,t),   ф (t) = в 1( t) uxx (0 ,t).

Придем к функции v(x,t), для которой будут выполняться следующие равенства vtt — vxx + q i( t) v* = — ^‘(t) v (0 ,t) v 21,   vx (0 ,t ) = ф (t), vx (1 ,t ) = ф (t),   v (x, 0) = vt (x, 0) = 0.

Положим v о( x,t ) = -2 [ ф ( t ) — ф ( t )] + xф ( t ) .

w(x, t) = v(x, t) — vо(x, t), b (x-t) = —a (x-t) axx (0 ,t) + a (x’t) ^ (t)

v 2 1 (0 ,t ) — att ( x,t ) +

^‘ (Д ^{v 2} * ⁽ x't ) .

+ axx ( x, t ) — q i ( t ) at ( x, t ) —

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Имеют место равенства wtt — wxx + q1(t)wt = —a(x, t)wxx (0, t) — 2at(x, t)wt(0, t) + b(x, t)w(0, t),

wx (1 ,t ) = w x (0 ,t ) = 0 , w ( x, 0) = wt ( x, 0) = 0 .

Дифференцируя равенство (22) по переменной x , умножая на функцию w_xt — ( x — 2) w_xx, интегрируя по Qt, используя условия (23), (24), применяя неравенство Юнга, получим

1 t

4 У ^[ wxt ⁽ x, t ) + wxx ⁽ x, t ^)] dx + 4 У ^{[ w}Xx ^{(1 ,T} ) ^{+ w}Xx ⁽⁰ ,^{T )] dT}<  00

t 1

< p i У У wX_Tdxdr + p 2

t 1

t

t

j J wXxdxd'T +—41 J wX_x (0 ,^T ) 'т +

t

+| j wT (0 ,T ) 'т + 4 У w ²(0 ,т ) 'т,

где 5 1 >  0.

p 1 = 1 + 3 max q ₁( t ) + ^12 max a 2 ( x, t ) + max a 2. ( x, t ) + 1 max b 2 ( x, t ).

[0,T]           2δ1 Q                 Q                    Q p2 = 1 + 1 max q 1(t) + ^^з max aX(x, t) + 1 max aXt(x, t) + 1 max bX(x, t) - некоторые ограничен-[0,T]          4δ1 Q                   Q                    Q ные величины.

Умножим равенство (22) на wt , проинтегрируем по Qt.

Используя условия (24), получим

2 У [ w ²( x, t ) + wX ( x, t ) + w ²( x, t )] dx < p з 0

t 1

t 1

fl ^wTdxdT Д/ J» ² dldT ⁺

t

t

t

⁺ 1 1 / ^wX x ^{(0 ,T} ) ^{dT +} 2 / ^{w 2 (0 ,T} ) ^{dT +} / ^wT ^{(0 ,T} ) ^dT,

где p 3 = ¹ +max q ₁( t ) + .,(2 max a ²( x, t )+max a 2( x, t ) + 1 max b ²( x, t ) - некоторая ограниченная

2 [0,T]          2δ1 Q                Q              2 Q величина.

Сложим соотношения (25) и (26). Применяя неравенство (16), взяв 5 1 = — 10, имеем

2 j [ w 2( x,t )+ wX ( x,t )+ w ²( x,t )] dx + 4 J [ wXt ( x,t )+ wX_x ( x,t )] dx +

t

t

t 1

⁺ | У ^[ wX x ⁽⁰ ,^{т )]} '^т + 4 У ^wX x ^{(1 ,т )] dT}< s j jv^{w 2 + w}X ^{+ w}T ⁺ wX t ⁺ wX x ^] d^xdT,

где p 4 = 94 + 250, p 5 = 22' 2 , p 6 = p 3 + 2 + ^0, p 7 = p i + 5 d 2, s = max {p 2 ,p 4 ,p 5 ,p 6 ,p 7 } - некоторые ограниченные величины.

Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует оценка

j [ w 2( x, t ) + wX ( x, t ) + w ²( x, t ) + wX_x ( x, t ) + wX_t ( x, t )] dx <  0 .

Отсюда w ( x, t ) = 0 b Q. Следовательно, e учетом вида функции w ( x, t ). w ( x, t ) = v ( x, t ) — v o( x, t ) = 0. t. e. v ( x, t ) = v o( x, t ).

При x = 0 имеем v o(O , t ) = 0. а зпапит ii v (0 , t ) = 0.

Таким образом, получаем, что функция v(x,t) является решением уравнения vtt — vxx + q 1( t) vt = 0, и для нее выполняются условия vx (0 ,t )= vx (1 ,t) = 0, v (x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0.

Решением этой задачи является тождественно нулевая функция: v ( x, t ) = 0. Это равносильно тому, что u_xx ( x,t ) = 0. Граничные условия (21) дают тождество u ( x,t ) = 0. Таким образом u i( x,t ) = u ₂( x,t ). При этом q 1 ( t ) = q ₂( t ). Теорема доказана.                      □

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Точное значение чисел r i, r и т.д. во многом определяется тем, как автор подбирает коэффициенты в неравенстве Юнга. При ином, нежели у автора, выборе эти числа изменятся.

Замечание 2. Условия Ф0 ( t ) + A ( t ) ф 0( t ) — fx (0 , t ) = 0, ф0 ( t ) + A ( t ) ф0 ( t ) — fx (1 , t ) = 0 не являются принципиальными; если эти функции не тождественно нулевые, то лишь незначительно изменятся выкладки.

Замечание 3. Переход от неравенства (18) к неравенству (19) выполнен лишь для удобства (именно, для точного определения числа T* ). На самом деле вполне возможно сразу к неравенству (18) применить обобщенную лемму Гронуолла.

Замечание 4. Выбор параметра M о при построении функции G ( е ) определяется желанием получить неизвестный коэффициент q ( t ) неотрицательным (что соответствует свойству неотрицательности диссипации). От условия неотрицательности q ( t ) можно отказаться, параметр M о можно считать произвольным, при получении неравенства (18) нужно будет учитывать большее число слагаемых в правой части, и число T* , вообще говоря, увеличится.