Обратная задача для уравнения Хоффа

Уравнение Хоффа

Xu_t + u_txx = аи + Ри?                             (1)

моделирует выпучивание двутавровой балки при постоянной нагрузке. Уравнение (1) изучалось на разных множествах и в различных аспектах (см. [1 - 5] и библиографию там). Однако, несмотря на различие аспектов во всех цитированных работах, подход к исследованию уравнения (1) одинаков. Уравнение (1) редуцируется к абстрактному полулинейному уравнению Соболевского типа

Lu = Ми + N(u),                            (2)

где L и М - линейные, a N - ,вообще говоря, нелинейный операторы, действующие из пространства Я в пространство 5- Пространства 11 и 5 обычно банаховы и подбираются таким образом, чтобы купировать те или иные краевые [1 - 4] или какие-нибудь другие [5] условия. Причем, параметры а, Р Е R, характеризующие свойства материала балки, и А Е R, характеризующий нагрузку, предполагаются известными.

Между тем, физически осмысленной является задача нахождения не только решения уравнения (1), но и параметров а, Р для того, чтобы узнать различия между имеющимся материалом балки и предполагаемым. Такие задачи относятся к обратным или некорректным задачам, теория и приложения которых в настоящее время достаточно полно разработаны (см. [6 - 8] и библиографию там). Однако исследование обратных задач для уравнений Соболевского типа находится сейчас в начальной стадии [9], [10], причем по традиции первыми изучаются линейные задачи. Статья содержит первое исследование коэффициентной обратной задачи для полулинейного уравнения Соболевского типа. Основное содержание статьи состоит из двух частей, в первой находится постановка прямой задачи и относящиеся к ней результаты, почерпнутые из [2]; а во второй - постановка и рассмотрение обратной задачи.

• 1.    Прямая задача

В полосе (0, Z) х R ищется решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым

u(0, Z) = и(1, 2) = 0, ZeR                             (3)

и начальному

и(ж,0) = uq(x), ж Е (0,Z)                                 (4)

условиям. Сначала необходимо задачу (1), (3) редуцировать к уравнению (2). Для этого, О следуя [2], введем в рассмотрение пространства Я =W^ и S = Wy1 (здесь и далее все функциональные пространства определены на интервале (О, Z)) и зададим операторы

< Lu,v >= J(Xuv — UxVx^dx, < Mu,v >= a J uvdx, о                                            0

I

< N(u), v >= 31 u3vdx Vu,veW2, о где < •, • > - скалярное произведение в смысле L^. Операторы L, М Е £(Я;5), а А Е С00(Я;S'). По построению оператор L фредгольмов (т.е. ind L = 0), а оператор М (Ь,ОУ ограничен. Кроме того, спектр o^L^ = {А^ : А^ = А — (^р)2, к = 1,2,...} оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке — оо. Таким образом, редукция задачи (1), (3) - (4) к задаче

«(0) = «о                                        (5)

для уравнения (2) закончена. Вектор-функцию u Е С'1((—т,т);Я), удовлетворяющую уравнению (2) при некотором т Е R+ назовем решением этого уравнения, а если решение вдобавок удовлетворяет условию (5), то будем называть его решением задачи (2), (5). Если ker L = {0}, то уравнение (2) тривиально редуцируется к эквивалентному ему уравнению й = F(uy                                 (6)

где оператор F = L^-1(M + N) Е С⁰⁰ (Я) по построению. Существование единственного локального решения u Е С°°^—т,тУ,УЗ задачи (2), (5) при любом uq Е Я - результат классической теоремы Коши. Другое дело, если ker L У {0}. В этом случае полезным оказывается следующее понятие.

Определение 1. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (2), если

• (г) любое решение и = u(i) уравнения (2) лежит в ф как траектория, т.е. u(t) Е ф при всех t Е (—т,тУ

(И) при любом од Е ф существует единственное решение задачи (2), (5).

Теорема 1. ([2]). Пусть

• (г) А 7^ (^р)²- Тогда фазовым пространством уравнения (1) служит все пространство Я.

• 2.    Обратная задача

(И) А = (^р)², ненулевые коэффициенты а, 3 удовлетворяют соотношению аЗ G R+- Тогда фазовым пространством уравнения (1) служит простое многообразие 9Л = {u Е Я : <  аи + З^Хк >= 0}, где через {%&} обозначены ортонормированные собственные функции, соответствующие собственным значениям {А^} оператора L.

Для уравнений (1) рассмотрим обратную задачу (3) — (4) с дополнительными условиями

(А + Д)щ(т1,0) = у, Ж1 € (0, /)(7)

(А + Д)щ(т2,0) = Ф, х2 € (0,1).(8)

Здесь р, ф показывают изменение скорости в точках Ж1 и $2 балки в начальный промежуток времени. Подставляя правую часть уравнения (1) при t = 0 в (7), (8), получаем системы уравнений относительно а, Р aU0($l) + ^(Ж1) = р/д'

««0(^2) + ^(тг) = Ф-

Для систем уравнений (9) воспользуемся правилом Крамера

• (i)    Если Д = Мо(ж1)ио(ж2) — ио(т2До(т1) ^ 0, то существует единственное решение а, Р каждой из систем уравнений (9), причем

_ ут^) - ^(жт) о _ ^о(ж1) - ^0(ж2), .

Д      Р-     д ,W

• (ii)    Если Д = 0, р = ^ = 0, то существует бесконечно много пар решений а, Р; если же р или ф ^ 0, то решения не существует.

Нас интересует случай, когда а, Р G R\{0}, поэтому дополнительно предполагаем ^(т₂) / ^о(^ж1) ^и 7™о($2) + ^о(Ж1).

Лемма 1. Пусть А / (^у)²- Тогда при любых uq € Д р, ф G R таких, что иДхф) ^ о, «0(^2) / о, К_О(Ж1) / ±«о(®2), ^О^з) + ^о(^ж1) ⁴ Ч^Ф^ъ) + ^0(^1) существует единственное решение обратной задачи (1), (3) - (4), (7) - (8).

Доказательство. В силу условий «о(®1) 7^ 0, «0(^2) ^ 0и Щ)(ж1) / ±^0(^2) определитель системы Д = uo(xi)uq(x2)(uo(x2) — Щ>(т1))(щ)(ж2) + Ko(^i)) не равен нулю, а при риу($2) / ^Uq(ti) и рио(х2) ^ фиДхр) коэффициенты а, Р € R\{0}, поэтому в силу теоремы 1 решение обратной задачи существует и единственно для любых ио € Д                       □

Рассмотрим теперь случай нетривиального ядра ker L. Для выполнения условий теоремы 1 необходимо, чтобы решения систем (9) были все одного знака. Из (10) следует, что для того, чтобы а, р > 0, должно быть выполнено

' ^(х₂) --фи^Ху) > 0

< 4>uq(xi) - ¥ШО(Ж2) > о(11)

. «о(Ж1)По(ж2) - «о(»2)«о(ж1) > 0

или фи^(х2) -фи^Ху) < 0

V’Ho(ti) - ^«ofe) < о(12)

ио(Ж1)Мо(ж2) - иО(ж2)ио(Ж1) < °’ а для того, чтобы а, р < 0

' ри^(х₂) - ^о(ж1) > о

< ^о(®1) - ^0(^2) > 0(13)

, «о(ж1)ио(^ж2) - uo(t₂)^(ti) < 0

или

' ^(ж2) - ^о(^1) < О

< ^(жД - ^О(Ж2) < О

. ир(Ж1)^(ж2) - Мо(ж2)ио(ж1) > °-

Обозначим через 5)⁺ область допустимых значений tp, -ф, при которых а > О, 3 > О (т.е. всегда верна одна из систем неравенств (11) или (12)), а через Э~ область допустимых значений у>, ф, при которых а < 0, 3 < 0 (т.е. всегда верна одна из систем неравенств (13) или (14)). Введем множества

S11

О < Мр(Ж1) < ир(ж2)

О < -По(ж2) < НО(Ж1)

Н0(Ж1) < 14о(ж2) < О

О < —Но(Ж1) < По(®2)

и

212 =

О < и0(ж2) < -uo(^i) ПО(Ж2) < «р(Ж1) < О О < К0(Ж2) < «о(Ж1) О < 140(Ж1) < ~Вр(ж2).

Оказывается, что

5)+ = <

S)*’ < ^ < (5®)3^если мо(ж1),но(ж2) Е 211

. (^У^ <^< SS^’60™ ио(ж1),но(ж2) Е 212,

( (^ДД^ <Ч,)< ^fe^’eCJIH М*1),Мж2) Е 211

£Т = г                                                          (16)

I ^®v <^< (^ё))^3¥,’^{если м}о(ж1),иоЫ Е 21².

Для примера найдем области допустимых значений tp и ф, при которых решения а, 3 > О в случае Д > 0, то есть разрешим систему (11). В зависимости от знаков но(ж1) и г4о(жг)

возможны четыре случая:

(i) Пусть ио(ж1) > 0, но(ж2) > 0. Тогда но(ж1)+но(ж2) > 0 и, для того, чтобы выполнялось Д > 0 необходимо «0(^2) — ^о(жх) > 0, то есть получился случай 0 < нр(ж1) < г*о(ж2). В этом случае система (11) эквивалентна неравенству

Цр(ж2) «р(жД

^ < ^

«0(^2)

^(Ж1)^'

• (ii)    Пусть гдДжД > 0, ио(ж₂) < 0. Тогда ио(ж₂)~uo(^i) < 0 и, для того, чтобы выполнялось Д > 0 необходимо «0(^2) + ^о(жх) > 0, то есть получился случай 0 < —«0(^2) < ^o(^i). В этом случае система (11) эквивалентна неравенству

  «О(Ж2)  _<

  Up^i)⁹?

  
  

  ф <

  
  

  Мр(ж₂) ^(Ж1)^'

  
  

• (iii)    Пусть но(ж1) < 0, «0(^2) > 0. Тогда up($2) — uq($i) > 0 и, для того, чтобы выполнялось Д > 0, необходимо tio(®2)+^o($i) < 0, то есть получился случай 0 < пр(ж2) < —ир(ж1). В этом случае система (11) эквивалентна неравенству

  Цр(жг)

  ^(жД

  
  

  Цр(жг) ^(Ж!)^'

  
  

• (iv)    Пусть ufa) < 0, ufa) < 0. Тогда u(ti) + и(жз) < 0 и для того, чтобы выполнялось △ > 0, необходимо и(т2) — ufa) < 0, то есть получился случай 0 < — u($i) < —11(^2). В этом случае система (11) эквивалентна неравенству

  «о fa) «о fa)

  
  

  < Ф <

  
  

  uofa)

  Uofa)^'

  
  

Аналогично разрешаются системы (12) — (14).

Пусть 2) = 3)+иЭ_.Из всего вышесказанного следует

Теорема 2.

• (i)    Пусть А / (^)². Тогда при любых uq Е Я, у), ф Е К таких, что ко(О) + 0, uq(0 / 0, ио(О) / ±«о(О> yiм ^0(0 / ^^ыо(О) существует единственное решение обратной задачи (1), (3) - (4), (6) - (7).

(И) Пусть А = (^р)². Тогда при любых uq Е Я, р, ф ЕТ) таких, что uq(0) / 0, ио^ / 0, u₀(0) ^ ±и₀(Г) и < (фи^(Т) - ^(0))н₀ + (^о(О) - ¥>uo(O)^uo,Xfc >= 0 существует единственное решение и Е Я, а, (3 Е R\{0}, аР Е R+ обратной задачи (1),(3) - (4), (7) (8).