Обратная задача определения коэффициента в эллиптическом уравнении

Обратные задачи для линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа рассмотрены в работах [1-9]. В работах [2, 10] используя метод оценок типа Карлемана [11-12] получена теорема единственности для широкого класса обратных задач. В работе с использованием этой идеи получена теорема единственности для уравнения эллиптического типа.

Рассмотрим задачу об определении {q ( u ), u ( x , у), ф ₂(у )} из следующих условий

-Au + u = h1(x, у)q(u) + h2(x, у), (x, у) e D,(1)

ux(0,у)=ф(уXux(l1,у) = MуX 0< у < 12,

u(x,0) = ^(x),uy(x,12) = p2(x), 0 < x < 11,(3)

u(d0,у) = Х(у),0 < d0 < 11,0 < у < 12,(4)

uy|y=0 = g(xX0 < x < 11, удовлетворяющих условиям ф1 x (0) = ф(0), ^x (11) = Ф2 (0), ^2x (0) = Ф1 у (12 ), ^2x (11) = Ф2у (12 ), Ф1 у (0) = gx (0ХФ у (0) = gx (11), Ф1( d0) = Х(0),^( d 0) = Ху (12). Здесь D = {(x, у )|0 < x < 1X, 0 < у < 12},h(x,у), 9i(x), i = 1,2,ф(у),x(у),g(x) - известные функции, hi(x,у)e C3+a(D),i = 1,2,^(x)e C4+a[0,11],^2(x)e C3+a[0,11],ф(у)e C3+a[0,12], x(у)e C4+“ [0,12], g(x) e C3+a [0,11], ^1 = ^(0), R2 = x( 12), 0 < a < 1.

Определение. Функции { q ( u ), u ( x , у ), ф ₂( у )} назовем решением задачи (1)-(5), если функции q ( u ), ф ₂( у ) принадлежат соответственно классам M [ R 1 , R ₂] и N [0, 1 ₂], в которых 0 < р 1 < < q ( u ) < p ₂ , V 1 < q ‘ ( u ) ₂ < 0, q ( u ) e C ²[ R , , R ₂], ф ₂( у ) > р > 0, ф ₂ у ( у ) > 0, ф ₂( у ) e C ³[0, 1 ₂], u ( x , у ) e C ⁴( D ) и удовлетворяют соотношениям (1)-(5).

Обозначим через а ₀ = ^ 1 (0), а 1 = ^ 1 ( 1 1 ), а ₂ = х ( 1 ₂). Пусть a 1 < a ₂. Для каждого z e [ a 1 , a ₂] через s_z ( x ) обозначим функцию у = s z ( x ), являющуюся решением уравнения u ( x , s z ( x )) = z ,

( x , s z ( x )) e D . Введем обозначение: D_z = {( x , у ) e D , u ( x , у ) < z }. Для каждого z e [ a 1 , a ₂] обозначим u ( x , s_z ( d ₀)) = f_z ( x ). Очевидно, что f_z ( d ₀) = z . Пусть / (у ) >  0 и y (z ) обратная функция Х ( у ), тогда у (z ) = s_z ( d 0 ).

Теорема 1. Пусть aj(x,у)e C2(D), ]2 aij^i^j> A1 :E^i2, A> 0 и функция u(x,у)e C2(D) n i=1

i , j = 1

nC(D) и удовлетворяет в области D условию a11(x, у)uxx + 2«12(x, у)Uxy + a22(x, у)Uyy = b1(x, у)ux + b2(x, у)Uy + Ьз(x, у)u , где bi (x, y), i = 1,2,3 - ограниченные функции на D. Если в области D

I alluxx + 2 a12 uxy + a 22 uyy\ ^ M [I ux\ + |uy| + |u| ] , M > 0, (x, У) е D, u (/1, y) = 0, Ux (/1, y) = 0, y е[0,l2 ], тогда u(x,y) = 0 в D [11, c. 99].

Лемма 1. Пусть решение задачи (1)-(5) существует и выполнены следующие условия h 1 ( x , y ) >  0, h_{i x} ( x , y ) >  0, h_iy ( x , y ) >  0, i = 1,2, ф _x ( x ) >  a ,

Ф 2 ( x ) >  А , Ф ( У ) >  A , g ( x ) >  А , Ф y ( У ) ^ 0.

Тогда верны следующие оценки

Ux (x, y), Uy (x, y) > 2 > 0,(6)

где

A = min {min g(x), min ф x (x), min ф2 (x), min ф (y)}, xx             x

.         Ah y( x , y ) + h y( x , y )    . ^A h i (x^x , ^y ) ⁺ hД^x , ^y X

2 = min {A, min 11 x ---2x      , min----y----------y}

D       1 -V 1 h 1 ( x , y )          D       1 -V 1 h 1 ( x , y )

Доказательство. Задачу (1) - (3) продифференцируем соответственно по x и у, учитывая условия леммы и используя принцип максимума, получим оценки (6). Лемма доказана.

В силу (6) функция s z ( x ) корректно определена для всех x , таких, что u ( x , / ₂) >  z и в частности, для всех x е [ d ₀, / 1 ].

Теорема. Пусть а 1 <  а ₂ и функция q ( z ) известна при z е ( а ₀, а ₁). Тогда найдется не более одной вектор-функции ( u , q , ф ₂ ( у )) е C ⁴ ( D _a 2 ) х M [ a ₀, a ₂ ] x N [0, s _a 2 ( d ₀)] удовлетворяющей (1 )(5), (6) и такой, что u ( x , y ) е C ⁴( D ).

Сначала докажем несколько лемм.

Лемма 2. Пусть числа c е [ a ₁, a ₂], q ( z ) известны при z е [ a ₀, c ]. Тогда функция u ( x , y ) в области D_c определяется единственным образом.

Доказательство. В силу (6) s_c ( d ₀) е (0, / ₂), х ( s_c ( d ₀)) = c и число s_c ( d ₀) известно, так как функция х известна. Обозначим G = (0, d ₀) х (0, s _a 1 ( d ₀)), G_c = (0, d ₀) х ( s _a 1 ( d ₀), s_c ( d ₀)) при c > а 1 и G = (0, d ₀) x (0, s c ( d ₀)). Очевидно, что G = G _a 1 u G_c .

Введем функцию

'q ⁽ ф ⁽ x ^)),( x , y ) ^е G a , _ q( X (y )),( x , y ) е G_c .

L ( x , y )

й(x,0) = 0, U(x, Sc (d0)) = f (x)(13)

Uy\y=0 = 0.(14)

С помощью метода разделения переменных решение задачи (11)-(13) ищем, как обычно, в виде ряда

U(x,у) = Е An {shE(^^:1 п)2 +1]1/2у^os^n1 nx. n=1            2 0

Условие при у = d = s c ( d ₀) дает

ɶ

A =--—Pn, n . r/2n+1 x2 , nl/2 J sh[(—— п) +1] d 2 d 0

где

d

P n = ^ J f ( ^ )cos| n + l П^ d ^ . ^d 0 ₀ ^{c          2 d} 0

Тогда получим

2 n + 1

—    sh ^[(— п ) ^{+ 1]} у

2 n + 1

cos _, k x .

² d o

U( x, у) = Е Pn---7-°-------- n=  shR^ п )2 +1]1/2 d

Отсюда, учитывая условия (14), получим

—

У + п) +U'²

n = 1

ɶ

----——^Pn -----— cos I n ^¹ п x = 0 sh[( 2 n + п )² + 1]¹ ' ² d     ^{2 d} 0

^{2 d} 0

В силу единственности разложения p _n = 0 для любого n , так как система {cos^ ^{n + 1} п x } замк-^{2 d} 0

нута, f_c ( x ) = 0. Значит решение единственно. Лемма доказана.

Сделаем преобразование годографа в области [ d ₀, 7 1 ] х [0, 7 ₂] по формулам u ( ю ( z , у ), у ) = z .

Тогда вместо (1)-(4) получим

1    ю ²          ю _у 1

(— ⁺ — M z - ²— ю ⁺ — Ю уу = q ⁽ z ) h 1 ( ю у ) ⁺ h 2 ( ю у ), ^( ^d ₀) <  z <  х ^{( 7} 2 X⁰ <  у <  / ( ^z X ⁽¹⁵⁾

ю3 ю       ю. у ю ю3 ,Y( 3)) = d 0.                                          (16)

При условии (6) уравнение (15) сохраняет условие равномерной эллиптичности. Обозна чим Dc (d0) = Dc п{у е (0, Yc))}. Рассмотрим теперь область Hc = {(z, у):^,(d0) < z < c,

0 <  у < Y (z )} - образ области D_c ( d ₀) \ G при преобразовании годографа. Отрезок прямой { x = d ₀,

0 < у < Y(z)} перешел при преобразовании годографа в кривую{у = у(z), фх(d0) < z < c}. Предположим, что существуют два решения ю(z,у) и ю2(z,у) задачи (15)-(16). Обозначим ю(z,у) = = ю2(z,у)-ю(z,у). Так как функции й(d0,у),йx(d0,у) известны при уе (0,у(z)), то известны и функции Юz, y(z)), Й) (z,y(z)). Действительно, учитывая что ю(z,Y(z)) =-----"-----, получим z                                                      z              Ux (d 0, y( z))

ю(z, y(z)) = юz (z,y(z)) = 0. Кроме того, функция q(z) также известна в Dc. Тогда ю(z,у) в Dc определяется единственным образом. Действительно, для ю(z, у) получим следующую задачу k\«z,_z + 2kг(О^у + k3ft)уу + k4ft)z + k5ft)у + k6ft) = 0, фх(d0) < z < c,0 < у < Y(zX           (17)

ю ( z , y ( z )) = 6 ) z ( z , y ( z )) = 0,

где k1(z, у) = 4" (1 + 622у )’ k2(z, у) =--4 ю2у, k3(z, у) = ~, k4(z, у) = -k^ [-Юуу - (1 + «^у )(k32 + — k3 +

Ю 2 z                      юЮ z                Ю 2 z             Ю z ^{уу у} Ю z

• 1.1

⁺ —) ® 1 zz ⁺ 2 ® 1y ⁽ k 1 ⁺---) 6 zy ^] , k 5 ⁽ z , У ) = k 3 ^[ k 3 ( 6 y ^{+ 6} y ⁶ zz - ² 6 zy 1» k 6 ⁽ z , У ) = ^- < ⁽ z ) h 1 _№ ^- h 2_Ю-

6 z

Из (17)-(18) получим

|k^zz + 2k6zy + k36)yy|

6z, Y( z)) = 6z(z, Y( z)) = 0.

Отсюда по теореме 1 нетрудно вывести, что 66z, y) = 0,(z, y) e Hc. В силу взаимной однозначности преобразования функции u (x, у) определяется единственным образом в D_c. Лемма доказана. Из леммы 2 очевидно вытекает

Лемма 3. Функция u (x, у) в области D_a1 определяется единственным образом. В частности, функция u(x,у) определяется единственным образом в области {(x,y):|x-d₀|< <г, y^{e (0,}s«,^(x))} для некоторого малого ст>0.

Пусть £ > 0 - достаточно малое число. Обозначим

G_£= {(z,У)|ze («1 - £,01),]y- /(z)| < £}, S£ = {(z,y)|ze (a_x,a_x + £,),|У - Yz)| < £}.

6 (z, Yz)) = 0,(22)

6(«1,y) = 6z(«1,y) = 0,(z,y)e S£.(23)

Заменим переменные в (21) - (23), положив z' = z - a, y' = y .

Для краткости записи сохраним прежние обозначения для новых переменных и функций. При замене функция /(z) перейдет в функцию вида в(z) = Y(a₁+ z), |в'(z)| < K 1, K1 > 0.

Обозначим S£ = {(z,y)|ze (0,£),|y- в(z)| < £}. Тогда получим

• k16zz + 2kг6)zy + k367yy + k46)z + k56)y + kб67 = hM,у)<7(z),(z,у)e S£ ,

• 6)    (z, в( z)) = 0,(25)

• 6)    (0, y) = 6)z (0, y) = 0.(26)

Для <7(z) из (24) получим

q(z) = Q(z,У)(<Уzz + 2k2<Уzy + k!<Уyy ) + а1<»z + a2<Уy + a367 ,

• 6)    (0, y) = 6»z (0, y) = 0,(28)

где

1           k,          k^            1               1

Q(z, y) = -—, k2(z, y) = —, k3(z, y) = —, a1(z, y) = -—k4, a₂(z, y) = -—k5, a3(z, y) = ^- /^^

h1               kx               k1                 /1                    /1

Продифференцируем равенство (27) по y. Слева получим нуль. Введем обозначения

P (z, У ) = (6у + [ (ln Q| )]₍у .

Jd

Тогда получим

Pzz⁺⁺²k2 Pyz⁺k, Pyy = Z^⁽z, y ) Pz^{( z} , У ) ⁺Ч⁽z, y ) Py^{( z} , У ) ⁺73^{( z}, У ) P^{( z}, У ) ⁺

+Z4(z, У )<Уz(z, y)+15(z, У Ж z, y), (z, y)e S£,

P (0, y) = Pz (0, y) = 0,(30)

где

^(z, y) = Qy / Q, k t(z, y) = k4, k;(z, y) = k5, /,(z, y) = -2k, y - k4, k1

l2^{( z}, У ) = ^-2k3 y

• - k,, L(x,y) = 2k₂A + 2kA

5 3^*^*       2 z 3 y

a

-1₂ A —2y

²Q

aa l4(x,y) = 2AZ -(l- -2k2A-QI, l5(x,y) = Azz + 2k2Azy + k3A- A -12Ay -Q.

Отсюда получаем

|Pz + 2k2Pyz + k3Pyy| < M[Pzl + |Py| + |P| + |б„| + ^б],M > 0,(31)

P (0, y) = Pz (0, y) = 0.(32)

Здесь и всюду через M и C будем обозначать, вообще говоря, различные константы.

Лемма 4. Справедливо следующее интегральное представление бz,y) = р1(z,y) J р2(z,т)P(z,т)dT, pi(z,y)e C 1(S£),i = 1,2,(33)

в ( z )

и неравенство
y	+ yPy (z,t) dT + J P dT + P],M > 0.             (34) в( z)                     в ( z)
бz (z, y) < M [ J Pz dT в( z )

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу

б)y + Q б) = P (z, y),(35)

б( z, в( z)) = 0.(36)

Решая задачу (35)-(36), получим (33). Дифференцируя (33) по z и учитывая, что y ∂P

P(z,в(z)) = P(z,y) - J —(z,t)dT. в( z ) ^dy

Тогда получим

⁶z^(z,У) = Piz^(z,У) J P2^(z,T)^P(z,T)^{dT +}Pi^(z,y)H^P(z,y)⁺J ^Py^(z,T)d^X^z)⁺ в( z )                                                             в ( z )

yy

+ J p₂z(z,t)P(z,t)dT + J p₂(z,t)Pz(z,t)dT}. в( z)                                в ( z)

Учитывая это, получим (34). Лемма доказана.

Пусть X,v = const > 0, £e (0<2-),Se (0,£²). Введем обозначения:

Ф(z,y) = z + (у - в(z))²+ 4,ф(z,у) = exp(2Яф"^v),

Hs = {(z, У)

ф(z, У) < S + 4 z > 0} ^ Hs С S£, As = {(z, y) e

Hδ

Ф( z, y) = S + 4}.

Пусть dHS - граница области HS. Очевидно, что dHs = AsU{ |(z,y) e Hs : z = 0}.

Лемма 5. Для любой функции H(z, y) e C(H_S) справедливо неравенство

y

J ^v J H(z,t)dT]²dzdy< (- + £)^v+1(4Xv)^-1{ J H²qxlzdy + exp[2^(- + S)^-v ] J H²dzdy}. (39)

Hs в( z)               4            HS

Доказательство. Введем обозначения:

Hs-+ = Hs ^ {У > в(z)},Hs = Hs ^ {У< в(z)},d(z) = в(z) + (S- z)^1/2 .

Применяя неравенство Коши-Буняковского, теорему Фубини и учитывая (38)-(39), получим y                                    S      d (z)                   d (z)

J ^[ J H(z,t)dT]²dzdy< Jdz J H²(z,t)dT J ф\_y- в(z)]dy< (- + £)^v+1(42v)^-1x

HS+ в (z)                         0 в( z)               T

8     d (z)                   d (z)1

xJdz[ J H²(z,t)dT J (-)dy] = (- + £)^v+1(4Av)^-1{ [ H²pdzdy + exp[2A(- + 8) ^v] f H²dzdy}.

0   в (z)            T    dy        4                HL                    4

δ+

Поступая аналогично в случае H, приходим к утверждению леммы.

Лемма 6. Найдутся достаточно большие положительные числа A, v , зависящие от коэффициентов k₂, кз, и константа C , такие, что справедлива следующая оценка типа Карлемана [11, с. 93].

AvpVP\² + Av^p^2v-2pP²< CAvp(P_zz + 2k,Pyz + k_;Pyy)P +

+Cф^v+2p(Pzz + 2к2Pyz + к3Pyy)²+ divU, (z,y)e H8, A>Ao,v > vo,              (40)

где

| U| < Cv³A³ф^_2v-2p[ Pz + Py + P²].                              (41)

Доказательство теоремы (подробности [11, с. 93-99]). Из неравенства (40), учитывая (33) и (34) , получим

AvpVP|²+ A³vф ^v-2pP²<MCA(vpP\\P_z\ + vpP||P_y| + vpP²) +

,                 „ Г y . . I²

+C (MAv + Mф⁺²)p{ J |Pz|dT + L в (z)         .

’JPyldT . в( z )

2 y , , + J |P|dT } + L в( z )         .

+CM ²фР⁺²p( P²+ V P²) + div U.

Отсюда имеем

AvpVP\² + AvV^2v-2pP²< L(M + M²)CAp](v^1/2VP² + v^3/2P²) +

y

+C(MAv + M²ф^v+2)p{ J |Pz|dT

L в( z)        .

+

2 y , . J P,|dT + _ в( z)         _

y

J P|dT }

. в( z)           .

+ div U,

с некоторой новой постоянной C . Из последнего неравенства имеем

AvL1 -(M + M²)v¹²C]pVP|²+ A³v⁴ф^_2v-2L1 -(M + M²)v^-5/2C]pP²<

, Г y         1²

<(M + M²)CAvp{ J |Pz|dT

_Lв( z)         _

y , .

+ J P,|dr +

_Lв( z)         _

Г"12

y

J |P|dT } + divU, L в( z)

с некоторой новой постоянной C. Интегрируя получающееся при этом неравенство по области

H8 и учитывая (37)-(39) и (41), имеем

AvГ1 -(M + M²)v¹²C1 J pVP|²dzdy + A³v⁴ L1 -(M + M²)v^-5/2C1 x

Hδ x J f2v-2pP2 dzdy < (M + M 2) C (1 + £ )v+1{ J (ф_2v-2 P2 +|VP|2 )pdzdy +

H8                                  ⁴H<5

+exp ^2A(|+^8)-v

J (P²+|VP|²)dzdy}+ Cexp 2A(¹+ 8)

] H8                          L 4

-ν

A³v⁴(| + 8)

^2v-2J (P²+VP\²)ds.

A_δ

Отсюда получаем

Av 1 - (M + M²)v

^1/2C - (M + M²)v^-1C (4 + £)^v+1

J p VP|²dzdy + ^]H8

+A³v⁴[1 - (M + M²)v

^5/2C (¹+ £ )^v+1- (M + M²) Cv⁴(' + £ )^v+1] J f^2v-2pP²dzdy<

4                       4       H8

<Cexp 2A(1 + 5)^-v j (P²+|VP|²)dzdy} + Cexp 2A(1 + 5)

L 4 J H5                          L 4

Если ν достаточно велико, то можно считать

-ν

λ³ν⁴(1 + δ)^-2ν-2 (P²+ ∇P²)ds.

4         A_δ

(M +M²)Cν^-

(M +M²)Cν^-

^1/2+(M+M²)Cν^-1(14+ε)

^5/2+(M +M²)Cν^-4(14+ε)

ν+1

ν+1

1 ≤2,

.

.

Учитывая, что ν выбрано таким образом, получим

Av j ф|VP|2 dzdy + Av4 j ф

Hδ

Hδ

-2ν-2

фР²dzdy <C exp 2A(4 + 5) ^v

×

x j (P²+ |VP|²)dzdy + Cexp 2A(1 + 5)

H5                        ^L4

Отсюда получим, что при достаточно большом λ

-ν

λ³ν⁴(1+ δ)^-2ν-2 (P²+ ∇P²)ds.

4         Aδ

A³v⁴ j ф^{2v 2}фP²dzdy< CA³v⁴(1 + 5) ^{2v 2}

Hδ                      4

exp 2A(4 + 5yv

Пусть δ₁∈(0,δ) – произвольное число. Из (37) следует, что φ(z, y) < ¹₄+δ₁,(z, y)∈H_δ1 .

Тогда получим

Av⁴ j ф^2v-²фP²dzdy< CA³v⁴(1 + 5)^-2v-²

^Hδ1                       ⁴

exp M(4 + 6Г

.

.

Отсюда имеем

3 4 1      -2ν-2

λν (4 +δ₁)

exp 2A(1 + 5_xy^v J P²dzdy< CAV⁴(1 + 5) 4 J                 4

-2ν-2

exp^2A(4 + 8V

.

^Hδ1

Отсюда разделим обе части неравенства на выражения exp 2A(4 + 5vVv

.

Тогда получим j P2 dzdy < C exp2A (4 + 5)

Hδ₁

-ν -(14+δ1)-ν

.

Устремив λ→ ∞ , получим, что

j P²dzdy = 0.

^Hδ₁

Отсюда получаем, что P(z, y) = 0 на H_δ1 . Следовательно, в силу произвольности δ₁∈(0,δ) получаем P(z, y) = 0,(z,y)∈H_δ. Тогда из (33) получаем ωɶ(z, y) ≡ 0, (z, y)∈H_δ, а из (27) получим q(z) ≡ 0, z∈(0,δ). Пусть β= α₁+ δ. Согласно лемме 2 функция u(x, y) в области D_β определяется единственным образом. Всю область D_α2можно исчерпать после конечного числа вышеописанных шагов. Таким образом, теорема доказана.