Обратная задача реконструкции расслоений в функционально-градиентной полосе

Современные конструкции в процессе эксплуатации подвергаются значительным механическим, термическим и динамическим нагрузкам, что способствует образованию новых или развитию имеющихся дефектов в структурах, таких как трещины, поры, включения и другие локализованные неоднородности. Эти дефекты, представляя собой концентраторы напряжений, способные инициировать катастрофическое разрушение даже при допустимых эксплуатационных нагрузках. В связи с этим актуальность задач

(О 2026 Явруян О. В.

механики разрушения и дефектоскопии возрастает, поскольку они лежат в основе обеспечения надежности, долговечности и безопасности критически важных объектов.

К основным задачам теории трещин, как к разделу механики деформируемого твердого тела, относят такие фундаментальные проблемы, как определение критериев разрушения с учетом анизотропии и неоднородности материала, моделирование процессов роста трещин под действием динамических и статических нагрузок, учет влияния агрессивных сред и температурных факторов на процесс разрушения. Параллельно с теоретическими исследованиями особую значимость приобретают методы неразрушающего контроля, позволяющие обнаруживать дефекты на ранних стадиях их развития. Современная дефектоскопия базируется на физических принципах акустической, оптической, электромагнитной и других видах диагностики, обеспечивая высокую точность и достоверность результатов.

В настоящей работе проведено исследование задачи теории трещин в протяженных телах, к которым относятся плоские и цилиндрические волноводы — структуры, которые встречаются во многих практических областях. Среди множества возможных постановок задач теории разрушения выделим следующие основные направления исследования.

Первое и основное направление связано с исследованием напряженно-деформированного состояния в вершинах трещин, которые являются концентраторами напряжений, провоцируя дальнейший рост дефекта и выход из строя исходного объекта. Уточненные значения в окрестности вершин позволят определить и спрогнозировать дальнейшее поведение дефекта.

В этом направлении развиваются, так называемые, неклассические теории, к которым можно отнести градиентную теорию, нелинейную теорию, обобщенную теорию и т. д., в которых определяющие соотношения носят нелинейный характер связи между механическими полями, а более сложный. Так, например, в градиентной теории упругости в соотношения связи между механическими полями напряжений и деформаций входят также частные производные, которые пропорциональны градиентным параметрам, характеризующим размерные параметры исследуемой области и позволяют учитывать масштабные микроэффекты, уточняя поведение механических полей в окрестности интересующих подобластей [1–3].

Второе направление связано с рассмотрением трещин как рассеивателей, способных повлиять на фронт волны и поток энергии. Эти задачи, как правило, исследованы для пакета трещин и в большей степени интересны при рассмотрении слоистых композитов, фоновых кристаллов, в процессе изготовления которых характерно появление межслойных дефектов. Интересны эти задачи и с целью управления волновым потоком, и для определения частот запирания, вихревых потоков, «мертвых» зон [4–6].

Третье направление связано с решением обратных геометрических задач, связанных с реконструкцией геометрии и местоположения трещин в слоистых волноводах. Основным фактором, предопределяющим степень успеха при решении обратных задач теории трещин, является точность и полнота информации, по которой восстанавливаются характеристики дефекта. В качестве такой информации могут служить акустические механические, электрические или тепловые поля, измеренные на доступном участке волновода. Это направление раскрыто в предлагаемом исследовании, которое посвящено исследованию прямой и обратной задач о колебаниях плоского волновода в режиме антиплоских установившихся колебаний, ослабленного одной или двумя трещинами, расположенными на его нижней границе.

Для протяженных слоистых структур — волноводов задачи теории трещин исследованы достаточно подробно [7, 8] в предположении об однородности (кусочной одно- родности) рассматриваемой среды. Технические методы обнаружения дефектов в протяженных телах описаны в работах [9–10]. В работе [9] представлен современный обзор технических методов обнаружения дефектов в рельсах (плоских волноводах) — методы ультразвукового контроля на базе современных технологий. В работе [10] проведен обзор современных подходов на основе направленных волн для идентификации повреждений в трубопроводных конструкциях (цилиндрических волноводах).

Современные технологии позволяют создавать материалы с градиентными свойствами (непрерывно меняющимися вдоль какого-либо направления), а также современные материалы сложной структуры. Особый интерес представляют волновые процессы в неоднородных волноводах сложной структуры, содержащих локальные дефекты в виде трещин, полостей и других неоднородностей. Работы [11–15], посвящены изучению распространения волн в средах с непрерывно изменяющимися характеристиками. Различным аспектам обратных задач (вопросы единственности и существования решения), связанных с реконструкцией параметров неоднородной среды посвящены работы [16–18], случай неоднородных слоистых структур рассмотрен в работе [19].

Настоящая работа посвящена исследованию динамической задачи (прямой и обратной геометрической) для плоского неоднородного ФГ волновода, ослабленного двумя расслоениями на нижней границе.

• 2.    Постановка задачи

Рассмотрим установившиеся антиплоские колебания ФГ полосы, занимающей область S = { x i G ( -то , сю ) , X 3 = [0 , h ] } , механические свойства которой задаются гладкой положительной функцией ^ ( х з ) . Рассматривается случай жесткого закрепления нижней границы полосы, источник колебаний приложен в точке верхней границы.

На нижней границе имеется участок с расслоениями l cr = { x i G [ a, b] , x i G [c, d ] , х з = 0 , [ a, b] 0 [c, d ] = 0 } , берега которых остаются раскрытыми в процессе колебаний.

Рис. 1. ФГМ полоса с расслоениями.

В рамках рассматриваемой постановки ненулевой компонентой вектора перемещения будет компонента и ₂ (х 1 ,х з , t ) = и (х 1 ,х з ) е^ш1 .

Краевая задача после отделения временного множителя имеет вид:

V 2j,j + рш ² и = 0 , j = 1 , 3 ,

^ 2j ( х 1 ,х з ) = ^(х з )и ^ ( х 1 ,х з ) , ^ 2з ( х 1 , h) = р5(х 1 ), и(х 1 , 0) = 0 , х 1 /1 сг ,

^ 23 ( x i , 0) = 0 , X 1 G l cr .

Для формулировки условий излучения волн на бесконечности использован принцип предельного поглощения [20].

• 3.    Решение прямой задачи

Для построения волнового поля смещения в полосе перейдем к безразмерным переменным и функциям x1 = x1h, хз = x1h, a = ah, b = bh, c = ch, d = dh, u = uh, о 23 = opo,

ρω ² h ²

P = PP o , p = PP o , k = ------•

µ 0

Здесь µ 0 — некоторое характерное значение функции, например, максимальное значение на отрезке [0 , 1] , либо значение в нуле. В дальнейших выкладках знак верхнего подчеркивания будем опускать.

Перейдем от исходной краевой задачи со смешанными граничными условиями к вспомогательной задаче, введя функцию раскрытия трещины, характеризующую смещение всей нижней границы полосы x(xi), которая равна нулю вне зоны расслоения. Применим к вспомогательной задаче интегральное преобразование Фурье по координате x1 с параметром преобразования а. Краевая задача в терминах трансформант Фурье о, и, записанная в каноническом виде, приобретет форму о' = (а2р — k2)u, и' = ^,  и(0) = X  а(1)= р.

Решение краевой задачи (3) построим согласно методу пристрелки в виде линейной комбинации решений задач Коши для функций U j , X j , j = 1 , 2 , — решений системы дифференциальных уравнений задачи (3) и граничных условий:

U i (0) = 1 ,    S i (0) = 0 ,

U2 (0) = 0,   S2(0) = 1, тогда решение (3) можно представить в виде:

и ( а,х з ) = х ( а ) К ( а,х з ) + рК 2 (а,х з ) , 0(а,х з ) = Ха)К з (а,х з ) + рК 4 (а,х з ) ,

K i ( а, x 3 )

^ 2 ( а, 1) U i ( а, Х з ) — X i ( а, 1) U 2 ( а, Х 3 ) X 2 ( а, 1)

K 3 ( а, x 3 )

X 2 ( а, 1) X i ( а, Х 3 ) — X i ( а, 1) X 2 ( а, Х 3 ) X 2 ( а, 1)

K 2 ( а, x 3 )

K 4 ( а, x 3 )

U 2 (а, Х 3 )

S 2 ( а, 1)

^S 2 ^{( а}, ^Х 3 )

S 2 ( а, 1)

После применения обратного преобразования Фурье к (4), удовлетворив полученное решение граничным условиям исходной краевой задачи на нижней границе полосы (2), получим граничное интегральное уравнение (ГИУ) относительно функций раскрытия первого Xi(€) и второго Хз(€) расслоений bd

У K (£ - xi) xi Ш d€ + У K (€ — xi) Х2 Ш d€ = F (xi), x1 ∈ lcr

K ( € - x i ) = I

К з (а, 0)e ^ia^ ^{- x} 1 ) da,

j = 1 , 3 ,

σ

F( x i ) = - p

I K .   O).— da,

σ

σ — контур интегрирования, определяемый принципом предельного поглощения [20].

• 4.    Асимптотическое исследование символов ядра интегрального уравнения (ИУ)

Дифференциальное уравнение краевой задачи (3) при замене переменной е = 0- представляет собой дифференциальное уравнение с малым параметром при старшей производной, и традиционные численные методы нахождения приближенного решения дают большую погрешность и неэффективны. Поэтому, для изучения прямой задачи проведем асимптотическое исследование символа ядра ИУ (5) при больших значения параметра α на базе метода Вишика — Люстерника [21]. Отметим, что аналогичный анализ символов ядер был проведен ранее для контактной задачи в [22] и цилиндрического волновода в [12].

Отметим также некоторые свойства ядра и подынтегральной функции. Контур интегрирования а cодержит бесконечно удаленную точку а и при этом функция К з ( а,х з ) при х з ^ 0 не является убывающей на бесконечности. Также, учитывая четность решений краевой задачи (3) по параметру преобразования α , можем заключить, что символ ядра есть четная функция.

Рассмотрим краевую задачу (3) и для исследования поведения решения при х з ^ 0 , не нарушая общности рассуждений, рассмотрим ее упрощенную постановку с граничными условиями и (0) = 1 , a(1) = 1 .

Согласно методу Вишика — Люстерника, поведение погранслойных решений на нижней границе определяется их представлением в виде

и(а,х з ) = (и о ( х з )+ au i ( х з ) + аи 2 ( х з ) + o ( a 1 )^ e ^ax 3 , а (а,х з ) = ^ао ( х з ) + aa i ( х з ) + ^2^3 ) + o ( a ^{- 1} )^ e ^{- ax} 3 .

Подставляя (6) в (3) и выписывая соответствующие множители перед одинаковыми степенями α, получим серию краевых задач относительно неизвестных функций σk , uk , k = 0,1, 2,

a

a

a o - a 2 = - k ² u o ,

a i - a o = ^U 2 - k ² u i ,

u o‘ - U 2 = и 0 (0) = 1 ,

^o(1) = 1;

ui' - uo = 71, µ u1 (0) = 0,

^i (1) = 0;

a i = - ^u o , < uo (0) = 1 ,

a ³ :

a o (1) = 1;

(^u i = 0 ,

(u i (0) = 0;

a 2 :

a ₂ ^' = - k ² u 2 , ^u 2 ‘ = 7 2 , u 2 (0) = 0 , ^2(1) = 0 .

Последовательное решение краевых задач (7) приводит к необходимости решения лишь краевой задачи относительно σ 0 , u 0 , которое может быть получено методом пристрелки. В результате, решение систем краевых задач (7) имеет вид

^ о ( х з )

U 0 ( х з )

1 — ⁰ 01 ⁽¹⁾ 0 02 (1)

0 02 ( х з ) + ^ О1 ( Х 3 ) ,

1 - £01 (1) 0 02 (1)

U O2 ( X 3 ) + U 01 ( X 3 ) ,

^ 1 ( х з ) = — м ( х з ) и 0 ( х з ) , и 1 ( х з ) = и 2 ( х з ) = Ых з ) = 0 -

Через a 0j , U 0j , j = 1 , 2 , обозначены решения соответствующих вспомогательных задач Коши с граничными условиями 0 01 (0) = 0 , U 01 (0) = 1 , 002 (D) = 1 , U 02 (0) = 0 .

Таким образом, строя решения вида (6) с учетом (8), получаем

К з ( а,х з ) ^ 0 01 ( х з ) —

° ^{01 (1)} 0 02 ( х з ) + аХх з ) ( ° ^{01 (1)} и 02 ( х з ) - зд( х з )^ -0 02 (1)                     \002 (1)                  /

Учитывая свойства функции К з (а,х з ) , а также граничные условия в нуле соответствующих решений, находим

lim K 3 ( а, х з ) ^ K 0 | а | , K 0 = /1 (+0) - x 3 → +0,

| α |→ + ∞

Полученная асимптотика подтверждается результатами вычислительных экспериментов и соответствует полученным ранее выводам работы для однородной полосы [7].

C учетом асимптотической оценки символа ядра, выделим главную и регулярную части ядра (5):

K ( r ) = J К з (а, 0) e ^iar

da = J (к₃(а, 0) — K ₃ ⁰ | а | + K | а | ^e^iarda

σσ

= у ( К з ( а, 0) — K ₃ ⁰ | а | ) e ^iar ) da + J K 0 | а | e^iarda = K ^reg ( r ) — Д K ₃ ⁰ , σσ

K ^reg ( r ) = J ^ K₃ (a, 0) — K ₃ ⁰ | a | ^ e ^iar da, r = £ — x 1 - σ

Решение ИУ (5) возможно лишь численно, на основе метода граничных элементов и метода коллокации.

5. Дискретизация ГИУ

Для получения дискретного аналога ГИУ (5) сведем его к ИУ, проведя параметризацию расслоений, введя инвариантные параметры, характеризующие расстояние по горизонтали от точки приложения нагрузки до середин расслоений d 1 , d 2 , а также их полудлины l 1 , l 2 :

X 1 , £ E [ a, b ] ,   X 1 — d 1 + I 1 T,  т E [ — 1 , 1] ,    £ — d 1 + l 1 t,  t E [ — 1 , 1] ,

X 1 ,£ E [ c, d ] ,   X 1 = d 2 + I 2 T,  т E [ — 1 , 1] ,   £ = d 2 + l 2 t,  t E [ — 1 , 1] -

В результате запишем (5) в виде li J X1 (t) R (li(t - T)) dt + I2 J X2 (t)R(d2 + l2t - di — 11T) d^ = F (di + кт),

- 1

- 1

l i j X i (t) R (d i + l i t - d 2 - I 2 T ) dt + I 2 j X 2 ( t ) R (h(t - т )) d^ — F (d 2 + I 2 T ) ,

- 1

- 1

R ( y ) = - 4 K 3 + K reg ( у )  т G [ - 1 , 1] .

_y 2   3

Применим метод коллокаций, определив в качестве точек дискретной схемы середины отрезков разбиения и узлы разбиения отрезка [ - 1 , 1] : { t j } N=i , { t i } N=|¹ . Составим СЛАУ относительно вектора неизвестных х = ( X i ( t ? ) , • • •,X i ( t N ) , X 2 ( t 0 ) , • • •,X 2 ( t N ))^T

AX = B,

B = { F ( d i + ^ll^{t j} ) ^,F ( ^d 2 + ^l 2 t j)} j_=i,..,N ,

A =(

A 1 A 12

A 21 A 22

,

A ii = ( 4° a j + hK reg (l i ( t i - t j ))!         ,

• ^{l 1}                                          i,j=1,...,N

A i2 = ^l 2 { 2 K 3 ^a ij + ^K reg ( ^d + l 2 t i ^{- l}l t j ) } j=i   n ,

A 2i = l i { 2 ^{K 0 a} ij + K reg ( d + lit i ^- l 2 t j ) } i j=i   _N

A 22 = ( 4° a ij + l 2 K reg ( l 2 ( t i - t j )) }          ,

• ^{l 2}                                           i,j=1,...,N

1           1    _              1                   1

-----------А   --------А 'СЦЧ'     ---------------------А    -----------------А. ti+i ^- tO     t i ^- t j         ^d + ^l 2 t i+i ^- llt j     ^d + ^l 2 t i ^- llt j

d = d ₂ - di •

При проведении численных расчетов для вычисления интегралов, стоящих в правой части и в регулярной части ядра, могут быть использованы как схемы численного интегрирования, так и теория вычетов

^N 1        e iα n | y |

F (y) = 2msp ^ -—      , n=i ^2,a( san, 1)

s = Sign( y ) ,

где a n (Re( a _n ) ^ 0 , Im( a _n ) ^ 0) — корни дисперсионного уравнения S 2 ( a, 1) = 0 , которые могут быть найдены только численно путем многократного обращения к решению задачи Коши. Стоит отметить, что множество корней уравнения представляет собой конечное число m i ( mi < N i ) вещественных и счетное множество мнимых корней, при этом m i — определяет число бегущих волн в полосе. В формуле (14) ^ 2,_а — решение

следующей вспомогательной задачи Коши:

£ 2 = ( a ² ^ - к ² ) U 2 ,   U 2 = ^ 2 ,

µ

^ 2^ = 2a^U 2 + ( a ² ^ - k ² ) U2, _a ,  U 2 ,a = ^

U 2 (0)=0 , S ₂ (0) —1 ,

U 2,a (0) = 0 , S 2,a (0) = 0 .

После нахождения функции раскрытия можно построить волновое поле смещения на верхней границе полосы, применив к (4) обратное преобразование Фурье u (x1, 1) — u (x1) + ^ lm j L (dm + lmt   xi ) xm (t) dt,

L ( € - x i

) = ! [ K i (a, 1) e ^ia« ^{- X 1 )} da, ^{2 n} J a

u ⁰

( x 1 ) = — f K₂ (a, 1) e i ^ax 1 da. 2 n J

σ

Для вычисления интегралов в представлении поля (15) могут быть использованы формулы численного интегрирования и теория вычетов.

Для дальнейшего решения задачи идентификации расслоений по данным о полях смещений, измеренных в точках верхней границы полосы, очень важным этапом является анализ полей смещений на границе и их чувствительность к параметрам дефектов. Обнаружено, что в случае, когда полудлины дефектов составляют не менее 0.01h, их длины I 1 /I 2 cong 1 и расположены на расстоянии от 3 l i до 30 l i , наблюдается уверенное восстановление дефектов. В случае, когда 1 1 ^ 1 , I 2 ^ 0 . 01 h, т. е. размеры одного из дефектов существенно больше размеров другого, то «малый» дефект становится менее «чувствительным» для поля смещения и соответственно менее заметным для процедуры идентификации. На рис. 2а приведены графики полей смещений на верхней границе неоднородной полосы h — 1 , д ( х з ) — 1 + уд для различных значений волнового числа, когда в полосе одна ( к — 4 ) и две ( к — 7 ) бегущие волны при l i — l ₂ — 0 . 1 h, d i — h , d — 5 d i . На рис. 2b приведены графики вещественных частей полей смещений, измеренных на верхней границе полосы, для расслоений разной длины (меняется длина только первого расслоения) l i — 0 . 01 (сплошная), l i — 0 . 05 (пунктир), l i — 0 . 1 (точки) при d i — 0 . 5 , I 2 — 0 . 1 , d 2 — 3 . 0 , к — 5 . Как видно из графиков, на рисунке присутствуют участки менее «чувствительные» к изменению длины расслоения, при этом амплитуда волнового поля более «чувствительна» к изменению длин дефектов. На рис. 2с приведены графики полей смещений для случаев, когда два расслоения расположены близко друг к другу, при этом компоненты поля смещения совпадают с компонентами поля смещения от аналогичного одиночного расслоения l — 0 . 07 , d — 1 . 05 , l i + l 2 — l , к — 5 .

• 6.    Решение обратной задачи

0.3 0.2 0.1

Обратная задача заключается в реконструкции инвариантных параметров расслоений l 1 , l 2 , d 1 , d 2 по данным ультразвукового зондирования, снятым в дискретном наборе точек верхней границы полосы при фиксированном значении частоты колебания

Рис. 2 а. Графики вещественной (красная) и мнимой (синяя) частей поля смещения при х з = h .

О

-0.1

-0.2

-0.3

Рис. 2 b. Графики вещественных частей полей смещений для расслоений разной длины.

Рис. 2 с. Графики вещественной (красная) и мнимой (синяя) частей поля смещения.

Рис. 3. Графики вещественной (красная) и мнимой (синяя) частей функции раскрытия. Методом ГЭ (сплошные) и асимпт. методом (точки).

Рис. 4. Графики вещественной (красная) и мнимой (синяя) частей поля смещения. Методом ГЭ (сплошные) и асимпт. методом (точки).

k,u*(x 1 ,k) , x 1 G [ x ii ,x i2 ] , k € [ k i ,k 2 ] . В дальнейших формулах под обозначениями u * ( x * , k ) , u ( x * , k ) будем иметь в виду волновые поля на верхней границе полосы, измеренные и рассчитанные по формуле (15) в точке x i = x 1 , Х 3 = 1 при фиксированной частоте k соответственно.

С учетом построенного выражения (15) для поля смещения соответствующие параметры дефекта могут быть найдены из условия минимума функционала невязки

N

Ф( 1 1 ,1 ₂ ,d i ,d 2 )= min У| и * ( х 11 , k ) - u(x 1j , k ) | 2 .                (16)

l 1 ,l 2 , d 1 ,d 2

j=1

Таблица 1

Результаты восстановления параметров расслоений

Параметры	Точные	Восстановленные значения		Точность вос-
	значения			становления
				ε (%)
		Генетический	Нелдера — Ми-
			да
l 1	0 . 1	0 . 05669	0 . 10000	<< 1
d 1	1 . 0	1 . 23781	1 . 00012	<< 1
l 2	0 . 1	0 . 12669	0 . 10001	<< 1
d 2	0 . 5	0 . 72516	0 . 49978	<< 1
l 1	0 . 05	0 . 04466	0 . 03997	20 . 6
d 1	1 . 5	1 . 69068	1 . 68320	2
l 2	0 . 05	0 . 05626	0 . 05832	16 . 64
d 2	1 . 5	1 . 48628	1 . 52467	1 . 64
l 1	0 . 1	0 . 100257	0 . 100017	< 1
d 1	0 . 5	0 . 504458	0 . 500197	< 1
l 2	0 . 01	0 . 006266	0 . 009811	1 . 9
d 2	1 . 0	1 . 29982	1 . 00869	< 1
l 1	0 . 05	0 . 04813	0 . 05000	<< 1
d 1	0 . 5	0 . 53316	0 . 49999	<< 1
l 2	0 . 05	0 . 05078	0 . 05000	<< 1
d 2	3 . 0	3 . 03187	2 . 99997	<< 1

Решение оптимизационной задачи (16) не представляется сложным, для численной реализации данного класса задач могут быть привлечены оптимизационные алгоритмы нулевого порядка. В табл. 1 приведены результаты восстановления параметров двух расслоений на базе генетического алгоритма. Дальнейшее уточнение полученных результатов осуществлено за счет использования на следующем этапе метода Нелдера — Мида (метод многогранника), где в качестве начального приближения заданы найденные на первом этапе (табл. 1) значения параметров. Точки наблюдения выбраны на участке u * G [0 . 5 , 2 . 3] , k = 5 , e = ^lrt_rtr^l 100 — погрешность восстановления параметра r, где r_t — точное значение соответствующего параметра. Такой алгоритм решения обратной геометрической задачи является универсальным и применим к дефектам более сложной конфигурации, а также к задачам, в которых осуществлен учет затухания бегущих волн в полосе.

• 7.    Случай одиночного расслоения. Асимптотика для «малого» дефекта

Рассмотрим частный случай одиночного расслоения, положив в полученных выражениях I 2 = 0 , d 2 = 0 . Тогда параметрами одиночного расслоения будут l i , d i .

Интегральное уравнение при этом примет вид

o

--—3-^ + l i K reg (t - t ) x i ( t ) dt = F (d i + hr ) ,   t € [ - 1 , 1] .      (17) _i       l i ^{( t - T} )                       /

В случае расслоения малого относительного размера l-1 ^ 1 имеет место асимптотическая оценка решения ИУ вида

i dt=

- ( t - T ) ²

-

l i F ( d i ) 2 K 0 ’

^т € ^{[ -} 1 , 1] ,

X i ( t ) = W o V 1 - t ² , W o

l i F (d i ) 2 nK 0 ’

Асимптотическая оценка волнового поля на верхней границе имеет вид

i

u ( x i , 1) = u ⁰ ( x i , 1) + ^{1 iF}^ ⁱ ) [ V 1 - t ² L (d i + l i t - 4 nK °

x i ) dt.

Подынтегральную функцию можно вычислить по теории вычетов

L(^ - x i ) = — K K( (a, 1) e^ia£-^x1da 2 n J

σ

M

= 2nis ^

n=1

S 2 ( sa n , 1) U i ( sa n , 1)

-

S i (sa n , 1) U 2 (sa n , 1)

^S 2,a ^{( sa} n , 1)

s = Sign ( d _i + l _i t - x _i ) .

e i« n | d 1 +/ 1 t - X 1 |

На рис. 3, 4 приведены результаты решения прямой задачи для случая одиночного расслоения при ^ = 1 + уд , l i = 0 . 001 , d i =0 , k = 5 , полученные по асимптотическим формулам и на базе метода ГЭ.

Для решения обратной задачи сделаем несколько допущений. Предположим, что данные снимаются в дальней зоне справа от трещины s <  0 , в этом случае поле смещения в зависимости от интересующих нас параметров x i , l i , d i , k запишется в виде

u ( x i , 1) - u ⁰ ( x i ) = ^l2F (d o ^i it R n (k)D n (l i ,kK^^ ^{- X 1 )} , ^{4 nK} 3 ^{( k )} _{n =i}

R n ( k ) =

M-aJk ) , 1) U i ( a n ( k ) , 1) - S i ( a n ( k ) , 1) U 2 ( a n ( k ) , 1)

S 2,a ( a n ( k ) , 1)

i

D n ( l i ,k ) = J ^ 1 - t ² e ^{- ia} n (k)l i ^tdt .

- i

,

Выражение (19) в стилось относительно

предположении о малости относительного размера дефекта упро-исходного представления (14), и решение обратной задачи может быть сведено к минимизации функционала невязки относительно двух параметров, как в случае позиционного зондирования, так и для частотного зондирования.

Однако возможно и дальнейшее упрощение с целью получения простых формул для определения параметров расслоения и составления схемы поэтапной реконструкции.

Поэтапная реконструкция заключается в последовательном исключении параметров дефекта и комбинации эффективных режимов съема дополнительной информации.

Пусть в качестве дополнительной информации заданы значения полей смещений (без учета эталонного поля) при фиксированной частоте в двух точках х * , х“: и * , и ** соответственно, тогда построим функцию двух переменных вида

*      £ R n (k)D n (l₁,k)e^{-i a}n ( ^k^ ( ^{d 1 -} x ¹^

Ф( ll,d 1 ) =

U п=1 ____________________________

u £ Rn(k)Dn(h,k)e^ian(F(d1-x1F n=1

Так, для расслоений l <  0 . 005 D _n (l i , k ) ~ П и функция Ф будет зависеть только от d i , при этом для определения полудлины можно использовать представление (19).

Так, при х * = 1 . 2 , х ** = 1 . 0 , d i = 0 . 0 , l i <  0 . 01 h параметры дефекта восстанавливаются с погрешностью менее 10% , что допустимо при реконструкции дефектов.

Также процедуру реконструкции можно проводить по заданным амплитудам бегущих волн

A m ( k,l i ,d i ) = ’ ( d i ’k ^ i R m (k)D m (l i ,k)e^-ia m ^{( k ) d 1} , m = 1 , 2 .           (21)

4 nK 30 ( k )

Например, выделив первую и вторую амплитуды A * , A * , при фиксированной частоте k, когда в полосе распространяются две бегущие волны m =1 , 2 и l i <  0 . 005 h

Я RP

2 _    f ^Ky ad1 Ai \ i      [F (di,k)Ri i)'

Согласно полученным формулам (22) проведены расчеты по восстановлению параметров расслоения, в качестве точек наблюдения выбраны две точки х* = 1.0, х** = 1.2, к = 6. Результаты вычислительных экспериментов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты восстановления одиночного расслоения на базе асимптотических формул

Параметры	Точные значения	Восстановленные значения	Точность восстановления e (%)
11	0.001	0.001	<< 1
di	0.0	0.0	<< 1
li	0.01	0.011	10
di	0.0	0.0	<< 1
li	0.1	-	>20
di	0.0	-	>20

Заключение

Исследована обратная геометрическая задача об обнаружении расслоений от основания ФГ полосы. Обратная задача реконструкции дефектов решена как на базе миними-зационных алгоритмов, так и на основе асимптотического подхода для дефектов малого относительного размера. Проведены вычислительные эксперименты, которые подтверждают эффективность предлагаемых подходов.