Обратная задача теории совместимости и функционально-инвариантные решения волнового уравнения в двумерном пространстве

В работе рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка utt — A uxx + B uyy

где и — u ( t,x,y ) — неизвестная функция, A — A(x,y), B — B(x,y) — ненулевые коэффициенты. Предполагается, что все рассматриваемые функции аналитические. Для частных производных используются обозначения вида '-— — u t .

Напомним, что функция u — u(t, x, у ) называется функционально-инвариантным решением уравнения (1), если для любой достаточно гладкой функции F (z) одного аргумента функция F ( и ) также будет решением уравнения (1). Легко понять, что и функциональноинвариантное решение уравнения (1) только, если u решение системы

utt - A uxx + B uyy, ut - A ux + B Uy.

При A — B — 1 общее решение этой системы дается формулой Смирнова-Соболева [1]

tVa2 + b2 + xa + yb — c,(3)

где a, b, c — произвольные функции от переменной u.

Приведение системы (2) в инволюцию, при A — B — 1, в соответствие с теорией Рикье [2, 3] показывает, что (2) эквивалентна системе ut

и Х + u y , U xx

ux       u2x uxy -   uyy uy       u2y

которая уже находится в инволюции, и решение которой однозначно определяется данными u|t=x=0 = ^(y), Ux|t=x=0 = ^(y),                                 (5)

для двух произвольных функций ^ ( y ) , ^(y), что соответствует формуле (3).

Широтой (или произволом) решения системы (4) называется наименьший набор данных, по которым однозначно восстанавливается решение (см. [2, 3]). В данном случае это две функции одного аргумента.

Рассмотрим следующую задачу:

Определить коэффициенты A = A(x,y) , В = В ( x,y) при которых функционально-инвариантные решения уравнения (1) определяются двумя произвольными функциями одного аргумента, т.е. широта решения системы (2) совпадает с широтой решения системы (4).

Отметим, что такая постановка соответствует обратной задаче теории совместности, сформулированной в ([4], с. 24):

« Какого вида должны быть дифференциальные связи Ф _ав и уравнения Ф _у подсистемы ( S ) С ( S ), чтобы переопределенная система имела заданный произвол в своем решении » .

Имеет место

Теорема 1. Системы (2) и (4) имеют одинаковую широту решения тогда и только тогда, когда по модулю преобразований

A -—» aA, B -—» вВ, где а, в ^ R\{0}, справедливо одно из следующих соотношений:

• 1.    В ² = A ² , где A = exp y , Y = Y(x, У ) — некоторое решение уравнения Y xx + Y _yy = 0 ,

• 2.    В ² = A ² + 1 , где (In A ² ) _yy + (ln(A ² + 1)) _xx = 0 ,

• 3.    В ² = 1 — A ² , где (In A ² ) yy = (ln(1 — A ² )) _xx .

Доказательство. Пусть A ² = В ² , тогда система (2) принимает вид

“ tt — ^{A ( u} xx ⁺ “ yy )> ^u t — ^{A (}“ x ⁺ u y )•

Второе уравнение системы (6) запишем в виде

u t = A^JuX + “ У .

Из (7) находим u _tt и подставляем в первое уравнение системы (6)

A u x u tx ⁺ “ ^y “ ^ty = A ² (“ x, + u ,y )• ■ 2

Производные utx и uty заменяем в силу (7)

ux ux+uy

V2 „2 _i_ Д “ ^x “ ^{xx +} “ y “ xy I , “ x I “ y I AA                          I I

• V“ X +“2  )

“y / Л Г^2 I 2 I Л “x“xy + “y“yy I Л / I X / I Ay \J “x + “y + A / I — A(“xx + “yy) “2x + “y2 “2x + “2y или

U xx = — Uxy u y

-

u x             1 , .            .            _{2        2x}

U2u yy ⁺ Au 2 ⁽ A x ^u x + A y ^u y ^)(u x + ^u y )•

Таким образом, система (6) эквивалентна системе ut = A^u2 + uy,

2ux         u2x uxx   n uxy    2 uyy uy         uy

-

⁺ Au y ⁽A x u x ⁺ A y u y ⁾⁽ u x ^{+ U} 2 )•

Так как системы (8) и (4) имеют одинаковую широту решения, то система (8) находится в инволюции. Это означает, что соотношение ( u _t ) _xx = ( u _xx ) _t для правых частей системы (8) должно выполняется тождественно в силу самой же системы (8). Производя соответствующие вычисления, находим, что это соотношение эквивалентно равенству

AA xx ⁺ AA yy ^— A x ^— A y = °

Положим A — exp y , где Y = Y(x,y). Тогда это соотношение примет вид

Y xx ⁺ Y yy = °.

Рассмотрение случая A ² = B ² завершено.

Пусть A, B — произвольные. Перепишем второе соотношение системы (2) в виде ut = ^ A2ux + B2uy •

Отсюда найдем u _tt и подставим в первое уравнение системы (2)

A ² U x U tx + B 2U y U ty

= A ^{2 (u} xx ^{+ u} yy )•

A²^ + B ² u y

Производные u _tx и u _ty заменяем в силу (9)

² u _x

AA x U x + A 2 u _x u _xx + BB x^y + B ² u y u xy

B ² u y

AA _y u x + A ² u _x u _xy

^ A ² u x + B 2 u y

+ BB y u y + B ² U y U yy

+

A²u² + B 2 u y

A ^{2 (u} xx ^{+ u} yy )•

или

u xx = “^x u xy ^— xx u^u yy ⁺ в 2x2 ⁽AA x ^u x ⁺ BB x u y ) ⁺ в 2цу ⁽ AA y ^u x ⁺ BB y ^u y )• ^yy              y                                   ^y

Таким образом

система (2) эквивалентна системе ut

u xx

J ^²ux ⁺ B ² u y ,

"^x u xy - X u^u yy ⁺ в 2x2 ⁽ AA x ^u x ^{+ BB} x ^u y ) ⁺ в 2-n у ⁽ AA y u x ⁺ BB y ^u y )• ^yy               y                                      y

Так как системы (10) и (4) имеют одинаковую широту решения, то система (10) находится в инволюции. Это означает, что соотношение (u _t ) _xx = ( u _xx ) _t для правых частей системы (10) должно выполняется тождественно в силу самой же системы (10). Производя соответствующие вычисления, находим, что это соотношение эквивалентно равенству

B ³ ( AB ³ B yy — 2A y B ³ B y + AB ² B y + A ³ BB xx — A ³ B x )u y +

2 A2B4 ( A x B y - A y B xVy u x +

AB ( - B ⁴ A y + AB 4 A _yy + A 2 B ³ B _yy - 2AB ³ A _y B y + A ³ B ³ A _XX +          (11)

A 2 B ² A X + A 2 B 2 B y - 2A ³ BA _X B _X + A 4 BB _XX - A 4 B X )u X u y +

2 A4B2 ( A x B y - A y Bx^u X u y +

A ³ (AB ³ A _yy - B ³ A y + A 2 BA X + A ³ BA _XX - 2 A ³ A _x B _x ) u X = 0.

Производные u _x , u y в соотношении (11) надо считать независимыми переменными. Поэтому (11) эквивалентно системе соотношений

' AB ³ B yy - 2 A y B ³ B y + AB ² B y + A ³ BB xx - A ³ B X = 0, - B 4 A y + AB 4 A yy + A ² B ³ B yy - 2AB ³ A y B y + A ³ B ³ A xx +

< A ² B 2 A X + A ² B ² B y - 2 A ³ BA _X B _X + A 4 BB _XX - A 4 B X = 0,            (12)

AB ³ A _yy - B ³ A 2 + A 2 BA X + A ³ BA _XX - 2A ³ A _X B _X = 0,

. ^A x ^B y ^{- A} y ^B x = 0.

Последнее соотношение означает, что функции A и B функционально-зависимы. Для определенности будем считать, что

B = B(A).                                      (13)

Тогда оставшиеся три соотношения системы (12) примут вид

' AB ³ (B ’’ + B ‘ A _yy ) - 2A y B ³ B ‘ + AB ² (B ‘ ) ² A 2 + A ³ B(B ’’ A X + B ‘ A xx ) - A ³ (B ‘ ) ² A X = 0,

- B 4 A 2 + AB 4 A yy + A ² B ³ (B ‘‘ A 2 + B ‘ A yy ) - 2AB ³ B ‘ A y + A ³ B ³ A xx + A 2 B 2 A X + A ² B ² (B ‘ ) ² A y -

2A3BB‘AX + A4B(B’’AX + B‘Axx) - A4(B‘)2AX = 0, ч AB3Ayy - B3Ay + A2BAX + A3BAXX - 2A3B‘AX = 0.

Соотношения системы (14) не являются независимыми. Если первое соотношение домно-жить на A и вычесть из второго, то получим третье соотношение. Поэтому достаточно рассматривать только первое и третье соотношения. Если третье соотношение домножить на B ^′ и вычесть из первого, то получим

(ABB ’’ + A(B ‘ ) ² - BB ‘ )(A 2 A X + B 2 A y ) = 0.

Так как A ² A X + B ² A y = 0 (иначе A постоянная и в силу (13) B постоянная), то

ABB ’’ + A(B ‘ ) ² - BB ‘ =0.

Итак, система (14) эквивалентна системе

J AB ³ A yy - B ³ A y + A 2 BA X + A ³ BA xx - 2A ³ B ‘ A X = 0, t ABB ‘‘ + A(B ‘ ) ² - BB ‘ = 0.

Второе соотношение (15) перепишем в виде

A(BB ‘ ) ‘ = BB ‘ .

Отсюда

B2 — aoA2 + ai, где a0 , a1 — некоторые вещественные числа. Растяжением коэффициентов

A i—> aA, B i—> вВ, где а, в € R \{ 0 } ,

(которые индуцированы растяжением переменных t, x, y, u исходной системы (2)) приходим к одному из случаев

• 1.    B ² = A ² ,

• 2.    B ² = A ² + 1,

• 3.    B ² = 1 — A ² .

Случай B ² = A ² уже рассмотрен.

Пусть B ² = A ² + 1. Так как BB = A, то первое соотношение (15) примет вид

• — 2A 4 A X + AB ² (B ² A yy + A ² A xx ) + B ² (A ² A X — B 2 A p ) = 0.

Подставляем сюда B ² = A ² + 1

— 2A 4 A X + A(A ² + 1) ² A yy + A ³ (A ² + 1)A _XX + A ² (A ² + 1)A X — (A ² + 1) ² A y = 0.

Домножим на A ² и перепишем в виде

• — P ² P2 + P (P + 1) ² P yy — (P + 1) ² P y² + P ² (P + 1)P xx = 0,

где P = A ² . Или

P ² (P + 1)P xx — P ² P x² + P (P + 1) ² P yy — (P + 1) ² P y² = 0,

^{P 2 (P + 1) 2} ( PPH ) _x ^{+P 2 (P + 1) 2} (PP ) _y = »•

(ln(P + 1)) xx + (ln(P)) yy = 0.

Итак, функция A ² в случае B ² = A ² + 1 удовлетворяет уравнению

(ln A ² ) yy + (ln(A ² + 1)) xx = 0.

Пусть B ² = 1 — A ² . Так как BB ‘ = — A, то первое соотношение (15) примет вид

2 A ⁴ A X + AB 2 (B 2 A yy- Подставляем сюда B ² = 1 — A ²

2A 4 A X + A(1 — A ² ) ² A _yy + A 3 (1 -

Домножим на A ² и перепишем в виде

P 2P2 + P (1 — P ) 2P yy где P = A ² . Или

+ A ² A xx ) + B ² (A ² A X — B 2 A 2 ) = 0.

— A2 ) A _XX + A ² (1 — A ² ) A X — (1 — A ² ) 2A2 = 0.

— (1 — P ) 2P2 + P 2 (1 — P ) P xx = 0,

(1 — P ) ² (PP yy — P y² ) + P ² ((1 — P ) P xx + P²) = 0, p ² (1 — p ) 2 (. P_P) , + p ^{2 (1} — p ) 2 (P) =0-(ln(1 — P ))= — (ln(P)) yy = 0.

Итак, функция A ² в случае B ² = 1 — A ² удовлетворяет уравнению (ln A ² ) yy = (ln(1 — A ² )) xx .

Далее рассмотрим вопрос о существовании замены переменных вида t = t, x = y(x,y), y = ^(x,y), которая бы приводила систему utt — u-- + uyy, ut — u- + uy, к виду utt = A2uxx + B2uye, u2 = Aux + B2ue в каждом из трех случаев указанных в теореме.

1-й случай. B ² = A ² , где A = exp 7, Y = Y(x,y) — некоторое решение уравнения Y _-- + Y _yy = 0. Покажем, что существует замена переменных вида (16), причем (у, ф) — пара гармонически сопряженных функций.

Итак, пусть функции у = у(х,у), ф = ф(х,у) удовлетворяют условиям Коши - Римана у- — фУ, уУ + ф- — °-

Тогда замена (16) приводит систему (17) к виду utt = (уХ + у2 )(и-- + uyy), u2 = (у- + уУ )(uX + ux), т.е. A = у- + уУ. Исключая ф из (19), получим систему уравнений у- + у У = A2, у-- + уУУ = ° на функцию ϕ, причем функцию A надо считать заданной. Перепишем эту систему в виде у- =  A2- уУ ,

у -- = ^—у уу

(2°)

составим соотношение (у-)- = у-- и преобразуем его в силу самой системы (20). После несложных вычислений получим у- = //A2- уУ , ууу = Ay уу- A- //A2- у2,                  (21)

Условие совместности (у _- ) уу = (у уу ) _х после преобразований в силу (21) принимает вид

(ln А) -- + (ln A) yy = °.

Итак, существует замена вида (16), где (у,ф) — гармонически сопряженная пара функций, преобразующая (17) в (18), где A ² = B ² .

Замечание 1. Ясно, что существует аналог формулы Соболева – Смирнова (3) для функционально-инвариантных решений уравнения (1) при B ² = A ² .

2-й случай. Пусть B2 = 1 ± A2. Замена переменных (16) преобразует систему (17) к виду utt = |Vу|2uxx + 2 < Vу, Vф > uxx + 1^Ф12ихХ + дуих + Афих, и2 = ру|2и- + 2 < Vу, Vф > uxux + |Vф|2uX.

Здесь использованы стандартные обозначения: V у = (у _- ,у у ), А у = у _-- + у уу , |V у | ² = у - + у У , <  V у, V ф >= у - ф - + у у ф у .

Предположим, что полученная система имеет вид (18), т.е.

|V ^ | ² = A ² , <  V p, V ф >= 0, |V ф | ² = B2, △ p = Д ф = 0

или, разрешив относительно производных, фx = B Py, фу =

P x = у A ² - P 2 ,

- B J A ² - P 2 . ^p xx =   ^p yy •

ψ xx

^ф уу ,

(Выбор знаков в правых частях системы (22) связан с наличием преобразований p ^ — р , ф ^ — ф , x ^ — x, y ^ — у.) Последние два соотношения заменим на эквивалентные

P x = \ A2 ^— р У , P yy = A y P y ^— AA ^А^ ^— p y •

Из первых двух соотношений (22) находим фxx - фУУ =

B _x A - BA _x

B 2    ^P y ⁺

BA y - B y A A ²

A 2

BA y       Bϕ y ϕ yy

A ² - ϕ ²y     A A ² - ϕ ²y ^,

—

ϕ 2 _y

—

BA y

A ²

-

ϕ ²y

+

Bϕ y ϕ yy

A A ²

-

ϕ ²y

и подставляем в третье соотношение. Получим

( B x A — BA x )P y + ( BA y — B y A) ^A ² — P y = 0.

Пусть B ² + A ² = 1. Введем функцию 9 = 9 ( x, у ) так, что

B = cos 9, A = sin 9.

Тогда из (23)

9 y sin 9

P y = /        •

9 x ² + 9 y ²

Итак, исходная система (22) может быть переписана в эквивалентном виде

θy cos θ фх = Vex+2 ’

θ x sin θ

^{P x} = V e x + I ’

^ф у = ^—

θ x cos θ

V x + I ’

θ y sin θ

^{P y} = V x + f ’ ^{P yy} =

■■»■

Из последних двух соотношений, составив равенство (P y ) у = P yy , найдем, что ( 9 x 9 yy — 9 у 9 xy ) sin 9 + 9 x (9 X + 9 у ) cos 9 = 0.

Из соотношений ф _ху = ф _ух , P x_y = P _yx найдем, что

(9 у (9 у 9 xx — 9 x 9 xy ) + 9 x ( 9 x 9 yy — 9 у 9 xy )) cos 9 = (9 X + 9 y ) ² sin 9,

9 _x ( 9 y 9 _xx

—

9 x 9 xy ) = 9 y (9 x θ yy

—

⁹ y ⁹ xy )•

Введем обозначение P = e x . Тогда три дополнительных соотношения перепишутся в виде

PP x + P y = 0, P x — PP y = (P ² + 1) 2 9 y tg9, P y = P (P ² + 1)9 y ctg9.

Из первых двух соотношений системы находим P y = — P ( P ² + 1)0 y tg# и подставляем в третье соотношение. Получаем, что tg ² 0 = — 1. Противоречие.

Аналогично рассматривается случай B ² — A ² = 1.

Итак, не существует замены переменных (16), которая бы приводила систему (17) к виду (18) при B ² ± A ² = 1.

В связи с этим можно поставить следующий

Вопрос. Существует ли аналог формулы Соболева – Смирнова (3) для функциональноинвариантных решений уравнения (1) при B ² ± A ² = 1?

Работа выполнена при финансовой поддержке Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (проект 44 – 2012) и ФЦП ≪ Научные и научно-педагогические кадры инновационной России ≫ на 2009 – 2013 гг. (государственный контракт №16.740.11.0127).